素养拓展03 直线与圆中的距离最值（范围）问题（5知识点+7大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

素养拓展03 直线与圆中的距离最值（范围）问题 知识点01：常用距离公式 1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 2、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 知识点02：三点共线最值问题 1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 知识点03：点与圆的位置关系最值（范围）问题 1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 知识点04：代数式的几何意义最值（范围）问题 1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距 知识点05：直线与圆的位置关系最值（范围）问题 设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为 【题型01：点到直线的距离】 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江·月考）若为圆内的一个动点，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 2．（2025·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知点M，N在直线上运动，且，点P在圆上，则的面积的最大值为 ． 4．（24-25高二下·云南西双版纳·期中）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为 5．（23-24高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 6．（24-25高二下·上海·期中）已知为圆上一动点，则的最大值为 ． 【题型02：两点间的距离】 一、单选题 1．（24-25高二上·四川绵阳·期末），函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题 2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若实数满足，则的最大值是 ． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ． 4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知，，则的最小值为 . 【题型03：平行线间的距离】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·月考）已知分别是直线与上的动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知，两点的坐标分别为，，若两平行直线，分别过点A，B，则，间的距离的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25高二下·上海·月考）已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．（23-24高二上·云南临沧·月考）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 三、解答题 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知两条平行直线与分别过点与点，、之间的距离为，求的最大值，并指出此时、的方程． 【题型04：三点共线最值（含将军饮马问题）】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 3．（24-25高二上·河南·月考）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 5．（2025·辽宁·三模）函数（）的最小值（    ） A．4 B． C．5 D． 6．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知动点在直线上，点是坐标原点，点是圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【题型05：点与圆的位置关系中的】 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江·月考）若为圆内的一个动点，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 2．（24-25高二下·贵州遵义·期中）已知点满足，点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D．6 3．（24-25高二上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高二上·广东东莞·月考）已知与圆上的动点，则两点间距离的取值范围是 . 5．（24-25高二下·浙江·期中）已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ． 【题型06：直线（圆）与圆的位置关系中的】 一、单选题 1．（24-25高二下·四川南充·月考）记表示点到曲线上任意一点距离的最小值．已知圆，圆，若点为圆上的一点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．8 D．3 2．（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 二、填空题 5．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知点M，N在直线上运动，且，点P在圆上，则的面积的最大值为 ． 6．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为 . 7．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 8．（24-25高二上·江苏盐城·月考）已知圆，从点向圆作两条切线，切点分别为，，若，则点的轨迹方程为 ；点到直线的最大距离为 ． 【题型07：代数式的几何意义】 一、填空题 1．（2025高二·全国·专题练习）若实数满足方程，则代数式的取值范围为 . 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知x和y满足，则的最大值为 ，最小值为 . 二、解答题 3．（2024高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 4．（2024高二·全国·专题练习）已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上. (1)求的最大值和最小值； (2)求x＋y的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 一、单选题 1．（24-25高二上·四川绵阳·月考）若点在直线：上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 2．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知点A，B在直线上运动，且，点C在圆上，则面积的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（23-24高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 4．（24-25高二下·江西赣州·月考）已知点，若点满足，则点到直线 的距离的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25高二上·山西大同·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高二上·陕西·期中）已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．1 7．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，圆，点为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·湖北恩施·期中）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·江苏南通·月考）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．12 10．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，圆，点在圆上，点在圆上，点在轴上，则的最大值为（   ） A． B． C． D．9 11．（23-24高二下·湖南长沙·期末）已知，且，则的最大值为（    ） A．9 B．12 C．36 D．48 12．（23-24高二上·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 二、多选题 13．（2024高二上·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 14．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）若P，Q分别为上的动点，且满足：∥，则下面正确的有（　　） A． B． C．当c确定时，有最小值，没有最大值 D．当的最小值为3时， 15．已知实数，满足方程，则下列说法不正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题 16．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）圆上的点到直线的最大距离是 ． 17．（24-25高二下·上海松江·月考）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 18．（24-25高二上·甘肃·月考）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为 ． 19．（24-25高二下·浙江·月考）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为 ． 20．（24-25高二上·江西·月考）已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为 . 21．（2025高二下·全国·专题练习）已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为 ． 22．（24-25高二上·山东青岛·月考）已知实数满足，则的最小值为 . 23．（23-24高二上·江苏无锡·月考）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养拓展03 直线与圆中的距离最值（范围）问题 知识点01：常用距离公式 1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 2、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 知识点02：三点共线最值问题 1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 知识点03：点与圆的位置关系最值（范围）问题 1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 知识点04：代数式的几何意义最值（范围）问题 1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距 知识点05：直线与圆的位置关系最值（范围）问题 设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为 【题型01：点到直线的距离】 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江·月考）若为圆内的一个动点，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】根两点之间线段最短可得线段和的最小值. 【详解】由题意知为圆的直径，根据两点之间线段最短， 的最小值为4 故选:D. 2．（2025·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定圆心的轨迹方程，再根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离最大值. 【详解】已知圆经过点，半径为，设圆心的坐标为， 可得圆心到点的距离为， 即，化简可得， 所以圆心的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆. 可得原点到直线的距离为：， 所以点到直线的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径，即. 故选：B. 二、填空题 3．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知点M，N在直线上运动，且，点P在圆上，则的面积的最大值为 ． 【答案】15 【分析】设圆心C到直线的距离为d，P到直线l的距离为，当最大时，则，最后由三角形的面积公式即可求解. 【详解】设圆心C到直线的距离为d，P到直线l的距离为， 又圆心坐标为，所以， 又半径为，则当最大时，， 此时的面积也最大，最大值为． 故答案为：15. 4．（24-25高二下·云南西双版纳·期中）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为 【答案】2 【分析】根据题意可得Q在以为圆心，1为半径的圆上，求的最小值，转化为求的最小值即可. 【详解】由题意，圆可化为, ∴圆C是以为圆心，半径的圆， ∵，点Q为线段中点， ∴， 即Q在以为圆心，1为半径的圆上， ∴求的最小值，转化为求的最小值， ∵圆心到直线距离， ∴， ∴， 故答案为：2. 5．（23-24高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海·期中）已知为圆上一动点，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】设，由题意直线与圆有公共点，通过圆心到直线的距离与半径的关系可以求解. 【详解】设，则在直线上， 又因为在圆上， 所以直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 所以的最大值为. 故答案为：. 【题型02：两点间的距离】 一、单选题 1．（24-25高二上·四川绵阳·期末），函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据距离公式，利用的几何意义求最小值. 【详解】表示的几何意义为平面内的点到定点的距离， 表示的几何意义为平面内的点到定直线的距离， 所以表示的几何意义是动点到定点和到定直线的距离和， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，当点在线段时，最小，最小值为. 故选：C 二、填空题 2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若实数满足，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】利用两点间距离几何意义求解最值. 【详解】设点，由实数满足可得： 点在以原点为圆心，以为半径的圆上， 设点，则的几何意义为动点到定点的距离， 由，则点在圆外， 结合图形可知，. 的最大值是. 故答案为：.    3．（24-25高二上·全国·课后作业）直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用两点间距离公式求出，再分析得到最值即可. 【详解】因为：与直线：的交点坐标为， 所以， 若最大，则最小，则最小， 而，当且仅当时取等，此时， 所以的最大值是． 故答案为： 4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解. 【详解】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 【题型03：平行线间的距离】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·月考）已知分别是直线与上的动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得的最小值即为两平行直线与的距离，代公式计算可得． 【详解】， 直线与平行， 的最小值，即为两平行直线与的距离， 化直线方程为， 由平行线间的距离公式可得 故选：B． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知，两点的坐标分别为，，若两平行直线，分别过点A，B，则，间的距离的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据平行线之间的距离转化为一直线上的点到平行线之间的距离，可结合图形分析，间的距离的最大值为，即可求得. 【详解】解：由题可知，，如图，两平行直线，分别过点A，B， 因为，所以，间的距离即点到直线的距离，由图可知， 当，垂直时，，间的距离取最大值，即最大值为， 又由两点间的距离公式可知，. 故选：D． 3．（24-25高二下·上海·月考）已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 二、填空题 4．（23-24高二上·云南临沧·月考）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 【答案】5 【分析】求出直线恒过点，从而得到两平行线的最大距离为点与点的距离，得到答案. 【详解】由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点，则过点作直线， 且，则最大距离为点与点的距离， 即. 故答案为：5 三、解答题 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知两条平行直线与分别过点与点，、之间的距离为，求的最大值，并指出此时、的方程． 【答案】的最大值为，此时，. 【分析】由两直线平行且过定点，可知，根据取等时直线、与直线的位置关系可得直线方程. 【详解】因为两条平行直线与分别过点与点， 所以两平行线间的距离， 当且仅当直线、均与直线垂直时等号成立， 此时，所以， 所以，也即； ，也即. 【题型04：三点共线最值（含将军饮马问题）】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点为，则最短路程为.根据点关于 直线的对称问题，列方程组，可求得，再应用两点间的距离公式求即可. 【详解】如图，作点关于直线的对称点为，    则，解得， 所以. 则“将军饮马”的最短总路程为. 故选：C. 2．（24-25高二上·黑龙江大庆·月考）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用对称求关于直线对称点为，结合将军饮马模型求最小值. 【详解】令关于直线对称点为，则，可得， 由，则， 当且仅当共线时取等号，故最小值为10. 故选：D 3．（24-25高二上·河南·月考）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，则为直线与直线的交点时，满足条件，进而可求得答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则中点在直线上，即①， 直线与直线垂直，即②， 解得，即点关于直线的对称点为， 又，所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，， 所以当取得最小值时，点的坐标为． 故选：B． 4．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】作出圆关于轴对称的圆，利用对称的性质、圆的性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 作圆关于轴对称的圆，其圆心 因此， 当且仅当是线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 5．（2025·辽宁·三模）函数（）的最小值（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】当时，将函数转化为直线上点P到直线的距离与到点的距离之和，作出图象，结合图象及点到线的距离公式求解即可. 【详解】当时，，可视为与两点间的距离，则P是直线上的动点，，可视为点到直线的距离，设与y轴交于点，过点P作，垂足为B，画出示意图如下： 则待求为的最小值，当三点共线，且时，点A到直线的距离为所求的最小值，此时，. 故选：B. 6．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知动点在直线上，点是坐标原点，点是圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出点C关于直线的对称点，把的最大值转化为点到圆心距离加半径，再求出到两个定点距离差的最大值即可作答. 【详解】点在直线上， 圆的圆心，半径，而点在圆上，则， 因此，令点关于直线对称点，， 则有，解得，即， 因此，当且仅当点共线，且点在线段上时取等号， 直线方程为，由，解得，即直线与直线交于点， 所以当点与重合时，，. 故选：C 【题型05：点与圆的位置关系中的】 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江·月考）若为圆内的一个动点，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】根两点之间线段最短可得线段和的最小值. 【详解】由题意知为圆的直径，根据两点之间线段最短， 的最小值为4 故选:D. 2．（24-25高二下·贵州遵义·期中）已知点满足，点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据函数解析式，分析出点的运动轨迹，判断线段最大值时点所在位置，求出长度. 【详解】 因为，变形得，所以轨迹是以为圆心，以为半径的圆的上半部分，如图所示，则当与点重合时线段长度最大， 可知当与点重合时，,在中根据勾股定理可知. 故选：C. 3．（24-25高二上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为圆上任意一点，利用向量的坐标运算得，进而利用的几何意义可求得的最大值. 【详解】设为圆上任意一点， 因为，，所以，， 所以，所以， 表示点到点的距离， 又的圆心到点的距离为， 又圆的半径为， 所以到点的距离的最大值为， 所以的最大值为. 故选：D. 二、填空题 4．（23-24高二上·广东东莞·月考）已知与圆上的动点，则两点间距离的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据点点距离即可求解.到圆心的距离,进而结合圆的半径即可求解. 【详解】由于点在圆外， 所以到圆心的距离为， 而圆的半径为，所以， 故, 故答案为： 5．（24-25高二下·浙江·期中）已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出点关于轴的对称点为，由圆的几何性质可得出，即可得解. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，圆的圆心为，半径为， 由于为轴上的动点，由对称性知， 所以， 当且仅当、分别为线段与圆、轴的交点时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 【题型06：直线（圆）与圆的位置关系中的】 一、单选题 1．（24-25高二下·四川南充·月考）记表示点到曲线上任意一点距离的最小值．已知圆，圆，若点为圆上的一点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．8 D．3 【答案】A 【分析】由圆心距与半径的关系可得两圆相离，再由题意与圆的相关知识即可求得. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由圆，得圆心，半径， 因为，所以两圆外离， 因为点为圆上的动点，所以， 所以的最大值为. 故选：A. 2．（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线经过定点已经圆的圆心与半径，根据圆的弦长公式与直线与圆相交的性质，算出直线被圆截得的最短弦长，即可得得答案． 【详解】直线，整理可得， 令，解得，故直线过定点， 又圆，则圆心，半径圆， 根据圆的性质，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 结合，可得直线被圆截得的最短弦长等于. 故选：C. 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线过定点，再根据点在圆内结合直线与圆的位置关系求出最长弦长和最短弦长即可得解. 【详解】由题意直线可化为，则直线过定点， 点代入圆可得，所以点在圆内， 又圆半径，圆心， 所以当时，直线被圆截得弦长最短，即， 当过圆心时，直线被圆截得弦长最长，即， 所以， 故选：A 4．（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】先根据垂径定理得出，即可得出点的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 因为点为线段的中点，， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 点在直线上， 可得圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：A    二、填空题 5．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知点M，N在直线上运动，且，点P在圆上，则的面积的最大值为 ． 【答案】15 【分析】设圆心C到直线的距离为d，P到直线l的距离为，当最大时，则，最后由三角形的面积公式即可求解. 【详解】设圆心C到直线的距离为d，P到直线l的距离为， 又圆心坐标为，所以， 又半径为，则当最大时，， 此时的面积也最大，最大值为． 故答案为：15. 6．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，即可根据面积公式即可求解. 【详解】 四边形的面积, 当与直线垂直时，此时取最小值，故最小值为， 又半径，所以，则四边形面积的最小值为. 故答案为： 7．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 【答案】 【分析】设的坐标为，由题意结合圆的切线的几何性质推出在直线上，继而将的最小值转化为点到直线的距离，即可求解. 【详解】根据题意，设的坐标为，圆的圆心为，则. 为圆的切线，则有， 又由，则有，即， 变形可得：，即在直线上， 则的最小值即为点到直线的距离， 且，即的最小值是； 故答案为：. 8．（24-25高二上·江苏盐城·月考）已知圆，从点向圆作两条切线，切点分别为，，若，则点的轨迹方程为 ；点到直线的最大距离为 ． 【答案】 【分析】在中，求得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，求解方程即可，结合点到直线的距离公式，即可求得到直线的最大距离. 【详解】    从点向圆作两条切线，且， 所以在中，，，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故的轨迹方程为：， 因为点到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为. 故答案为：； 【题型07：代数式的几何意义】 一、填空题 1．（2025高二·全国·专题练习）若实数满足方程，则代数式的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，转化可得，构造向量，结合求解即可. 【详解】设，则，① 方程，可化为. 故可将①式写成. 构造向量， 则，， 由，得，解得， 故所求的取值范围是. 故答案为：. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知x和y满足，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 【分析】由题意知表示圆上的点到坐标原点距离的平方，先求出原点到圆心的距离为，圆上的点到坐标原点的最大、小距离为，求解即可. 【详解】的圆心为，， 由题意知表示圆上的点到坐标原点距离的平方， 显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值. 原点到圆心的距离为， 故圆上的点到坐标原点的最大距离为，最小距离为， 因此的最大值和最小值分别为和. 故答案为：；. 二、解答题 3．（2024高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围； （2）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】（1） 如图，由于点满足关系式，且， 所以点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 由于的几何意义是直线的斜率，且，， 所以的取值范围是． （2） 因为的几何意义是过，两点的直线的斜率， 由题意可知点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 则，，所以． 所以的取值范围为． 4．（2024高二·全国·专题练习）已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上. (1)求的最大值和最小值； (2)求x＋y的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 【答案】(1)最大值为－2＋，最小值为－2－ (2)最大值为－1，最小值为－－1 (3)最大值为＋1，最小值为－1 【分析】（1）可视为点(x，y)与原点连线的斜率，设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，分析即得解； （2）设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距，求解即可； （3）＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差. 【详解】（1）可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率. 设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－ ∴的最大值为－2＋，最小值为－2－. （2）设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距， ∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距. 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1， 解得t＝－1或t＝－－1. ∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1. （3）＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差. 又圆心到定点(－1，2)的距离为， ∴的最大值为＋1，最小值为－1. 一、单选题 1．（24-25高二上·四川绵阳·月考）若点在直线：上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】A 【分析】根据表达式特征求出点到直线的距离即可. 【详解】易知代表点与点之间的距离， 因此当两点连线与直线垂直时，取得最小值， 其最小值为点到直线的距离. 故选：A 2．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知点A，B在直线上运动，且，点C在圆上，则面积的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】求出圆心到直线l的距离，进而得到点C到直线l的最大距离，得到三角形面积最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线l的距离为， 则点C到直线l的最大距离为， 则面积的最大值为 故选：A 3．（23-24高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】分析可知，计算出，即可求得四边形的面积. 【详解】由，则圆心坐标是，半径是3．因为圆心到点的距离为， 所以点在圆内，最长弦为圆的直径， 由垂径定理，得最短弦和最长弦（即圆的直径）垂直， 故最短弦的长为，最长弦即直径， 所以四边形的面积为． 故选：D 4．（24-25高二下·江西赣州·月考）已知点，若点满足，则点到直线 的距离的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先根据可得点的轨迹方程为，又直线过定点，故最大距离为圆心到定点的距离与半径的和，进而可得. 【详解】令，由，可得， 可得点的轨迹方程为，其中圆心，半径为2. 而直线过定点， 故距离的最大值为. 故选：D 5．（24-25高二上·山西大同·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】问题转化为两平行线间距离的平方，利用平行线间距离公式可得结果. 【详解】由题意得，点在直线上，点在直线上， 所以的最小值为两平行线间距离的平方， 即. 故选：D. 6．（24-25高二上·陕西·期中）已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】可以验证点与点关于直线对称，从而，结合三角不等式即可得解. 【详解】 设，注意到点，，所以中点为，满足， 且，所以点关于直线对称， 从而，等号成立当且仅当三点共线， 所以的最大值为. 故选：A. 7．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，圆，点为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两圆圆心坐标，作圆心关于轴的对称点，由对称性可知，，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 作圆心关于轴的对称点，由对称性可知，， 所以，， 当且仅当、、三点共线时，取最小值. 故选：B. 8．（23-24高二下·湖北恩施·期中）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将实数满足的方程理解为动点的轨迹方程，即圆的方程，把看成圆上点与点连线的斜率，考虑直线与圆相切情况，结合图形即得结论. 【详解】由配方得，可得点的轨迹是圆心在,半径为1的圆， 而可看成圆上点与点连线的斜率,如图， 由图可知过点A与圆相切的直线斜率一定存在， 设过点的圆的切线方程为：， 由圆心到切线的距离为，解得， 依题意，需使或，即得的取值范围是. 故选：B. 9．（24-25高二上·江苏南通·月考）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】A 【分析】依题意，设点，推得点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式表示的几何意义将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和最小问题解决. 【详解】不妨设点在点的左边，因直线的倾斜角为， 且，则点的坐标为， 则， 记， 则可将理解为点到的距离之和， 即点到直线的距离之和，依题即需求距离之和的最小值. 如图，作出点关于直线的对称点,则， 连接，交直线于点,则即的最小值， 且, 故的最小值为. 故选：A. 10．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，圆，点在圆上，点在圆上，点在轴上，则的最大值为（   ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】结合图形，先得到，作圆关于轴的对称圆，则得，则，即当三点共线时，取得最大值. 【详解】 如图，由圆，圆可得，两圆半径依次为， 因点是轴上一点，点分别是圆和圆上一点， 则 ， 如图作圆关于轴的对称圆，其圆心为，半径为， 由图知，则， 当且仅当三点共线时，等号成立，即的最大值为9. 故选：D. 11．（23-24高二下·湖南长沙·期末）已知，且，则的最大值为（    ） A．9 B．12 C．36 D．48 【答案】C 【分析】设与，为的中点，可证明点在以为圆心，2为半径的圆上，由，结合两点距离的几何意义即可求解. 【详解】设与为圆上一点， 则，得，， 即为等腰直角三角形，设为的中点， 则，得， 即点在以为圆心，2为半径的圆上， 故， 因为点到定点D的距离的最大值为， 因此的最大值为36. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将原问题化为，根据两点距离的几何意义求解即可. 12．（23-24高二上·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】先将问题转化为动点到定点距离的和，再利用数形结合求解即可． 【详解】解：设，则表示：， ，则直线的方程为，令，则， 所以直线与轴相交于点， 所以， 所以，当点P为时，等号成立，故的最小值为9. 故选：B.    二、多选题 13．（2024高二上·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据几何位置关系，结合两点之间距离公式即可判断A；当与圆相切时，最大，进而求得，即可判断B；当，，三点共线，且在，之间时，最大，即可判断C；当为射线与圆的交点时，取得最大值，即可判断D． 【详解】因为，所以点在圆外，点在圆内，如图所示， 对于A，当为线段与圆的交点时，即，此时取得最小值为，故A正确； 对于B，由题知，点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，此时，故B错误； 对于C，因为点在圆上，为圆心，则，所以当最大时，也最大， 当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确； 对于D，当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确． 故选：ACD．    14．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）若P，Q分别为上的动点，且满足：∥，则下面正确的有（　　） A． B． C．当c确定时，有最小值，没有最大值 D．当的最小值为3时， 【答案】ABC 【分析】由∥可得，，即可判断A，B选项； 因为的最小值为，之间的距离，由两平行线间的距离可得，所以得，进而可判断C，D. 【详解】解：因为∥， 所以，， 所以,，故A，B正确； 的最小值为，之间的距离， 又因为∥， 所以，之间的距离， 所以当c确定时，有最小值为，没有最大值，故C正确； 当时，则有或，故D错误. 故选：ABC. 15．已知实数，满足方程，则下列说法不正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】CD 【分析】设，则只需直线与圆有公共点，利用点到直线的距离公式可得不等式求得z的范围，可判断A；同理可判断D；设，利用几何意义求得t的范围判断B；设，则直线和圆有公共点，进而可得不等式求得k的范围判断C. 【详解】由题意知方程即表示圆，圆心为，半径为， 对于A，设，则只需直线与圆有公共点， 则，解得，    即的最大值为，A正确； 对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离， 而上的点到原点距离的最大值为， 即t的最大值为，故的最大值为，B正确； 对于C，设，则，则直线和圆有公共点， 则，解得，即的最大值为，C错误； 对于D，设，则直线与圆有公共点， 则，解得， 即的最大值为，D错误； 故选：CD 三、填空题 16．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）圆上的点到直线的最大距离是 ． 【答案】 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆心和半径，利用圆心到直线的距离加上半径，可求解. 【详解】将圆化为标准方程可得， 所以圆的圆心为，半径， 根据点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为， 所以可得最大距离为. 故答案为： 17．（24-25高二下·上海松江·月考）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【详解】由， 即， 令，解得，则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 18．（24-25高二上·甘肃·月考）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】表示圆上的点到原点之间的距离，再结合点圆关系确定最值和范围即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 表示圆上的点到原点之间的距离， 因为， 所以原点在圆外， ， 所以，即， 即. 故答案为：. 19．（24-25高二下·浙江·月考）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设为曲线上一点，利用点到直线的距离公式可得，可求最小值. 【详解】设为曲线上一点，则， 则到直线的距离为， 当且仅当令，取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 20．（24-25高二上·江西·月考）已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由直线过定点，可知圆心到直线的距离的范围，即可得弦长的取值范围. 【详解】 直线：过定点， 圆的标准方程为，所以圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆相交， 设圆心到直线的距离为，当与直线垂直的时候最大，所以， 则. 故答案为：. 21．（2025高二下·全国·专题练习）已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先找到点关于直线的对称点，然后结合两点之间线段最短即可求解. 【详解】如图所示：    设点A于直线的对称点为， 则解得则，因为， 所以的最小值为． 故答案为： 22．（24-25高二上·山东青岛·月考）已知实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，先将转化为，从而将问题转化为圆上任一点到点与的距离之和，数形结合即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 则， 相当于圆上的任一点到点与的距离之和，如图， 因为，当在线段与圆的交点处时，即为所求， 所以所求最小值为. 故答案为：. 23．（23-24高二上·江苏无锡·月考）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意转化为动点到的距离之和，结合图象得到为矩形对角线交点时距离最小，进而得到答案. 【详解】 相当于动点到的距离之和， 因为四边形为矩形，所以， 所以当为矩形对角线交点时，， 此时最小，最小为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据几何意义，转化为动点到的距离之和问题，画出图象，，当为矩形对角线交点时，距离最小. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$