北京市北京中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

**基本信息** 2026北京中学高一6月月考数学试卷，聚焦向量、立体几何、概率统计等核心知识，融入世界杯数据、学校抽样等真实情境，通过分层设问与创新定义题，考查数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/50|向量垂直、复数模、立体几何位置关系|基础概念辨析，如向量垂直求参数| |填空题|6/30|概率计算、统计百分位数、立体几何体积|结合频率分布直方图，考查数据意识| |解答题|5/70|立体几何证明、解三角形、世界杯概率应用、创新定义（无和划分）|世界杯数据统计分析体现应用意识，创新定义题考查逻辑推理|

2026北京北京中学高一6月月考 数 学 一、单选题（每小题5分，共50分，每小题均只有一个正确答案） 1．已知向量，，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在平行四边形中，为的中点，若，则（      ） A． B． C． D． 4．北中高中部有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（    ） A．200 B．192 C．176 D．96 5. 在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（     ） A． B． C． D． 6．已知l，m，n是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D． 若，，，则 7．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频数 4 6 6 4 、、分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（   ） A． B． C． D． 8．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 9．设非零平面向量，，两两不垂直，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知向量，，满足，且向量与的夹角为60°，则的最大值是（   ） A． 8 B． C．6 D． 二、填空题（每小题5分，共30分） 11．若复数在复平面对应的点为，的共轭复数为，则________. 12．在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色不同的概率为________. 13．北中英才学生在某次抽样检测中，随机抽取100个人的成绩频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，估计此次考试成绩的第80百分位数为________. 14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的体积为________. 15．已知，，设．当时，________, 当时，的取值范围为________. 16．如图，正方体棱长为2.点E为AD中点，P为正方体侧面内（包含边界）的动点.记E、C、三点所在的平面为.给出下列四个结论： ①直线与平面所成角的正切值为； ②已知平面，若，则； ③若点P满足，则必有的面积为1； ④若点P满足，则必有. 其中所有正确结论的序号为________. 三、解答题（共5小题，共70分） 17．（本小题14分） 在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，M，N分别为，的中点． (1)若平面MBN∩平面=l，求证：l； (2)若，求证平面平面． 18. （本小题13分） 在中，为钝角，． (1)求角B的大小； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最小边上的高． 条件①：的面积为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19.（本小题13分） 2026年美加墨世界杯期间，C罗与梅西均将开启个人第六次世界杯征程。两人是现役球员中职业生涯总进球数最高的两位，其自然年进球数与同龄进球数统计如图1、图2所示： 图1 自然年总进球数对比 图2 相同年龄总进球数对比 （1）从图1所示的21年中随机选取1年，求C罗该年进球数多于梅西的概率； （2）已知2005—2025年间，年度最佳射手（全球自然年进球最多者）的平均进球数为53.2球。以频率估计概率，求C罗与梅西中至少有一人当选年度最佳射手的概率； （3）记图2中20岁至22岁连续三年内，C罗与梅西的进球数方差分别为和，比较与的大小关系；并判断梅西从多少岁开始的连续三年进球数方差最大（结论不要求证明）。 20．（本小题15分） 如图，已知平面平面，四边形是正方形，，点E，F分别是，的中点. (1) 若点M为线段中点，点G在线段PC上，求证：MG∥平面； (2) 若点M在线段上，在线段PC上是否存在点G，使得PB，若存在，求线段PG与PC的比值，若不存在，请说明理由； (3)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在，求二面角的余弦值. 条件①：；条件②：；条件③：； 注：如果选择条件不能使四棱锥存在得零分. 21．（本小题15分） 设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”： ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于. C罗 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 15 25 34 35 30 48 60 63 69 61 57 55 53 49 39 44 47 16 54 43 41 梅西 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 3 12 31 22 41 60 59 91 45 58 52 59 54 51 50 27 43 35 28 29 46 C罗 20岁 21岁 22岁 23岁 24岁 25岁 26岁 27岁 28岁 29岁 30岁 31岁 32岁 33岁 34岁 35岁 36岁 37岁 38岁 15 25 34 35 30 48 60 63 69 61 57 55 53 49 39 44 47 16 54 梅西 20岁 21岁 22岁 23岁 24岁 25岁 26岁 27岁 28岁 29岁 30岁 31岁 32岁 33岁 34岁 35岁 36岁 37岁 38岁 31 22 41 60 59 91 45 58 52 59 54 51 50 27 43 35 28 29 46 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $