精品解析：北京市第二中学朝阳学校2025-2026学年高一下学期6月测试数学试卷

北京第二中学朝阳学校2025-2026学年下学期测试卷 一、单选题本大题共10道小题，每小题5分，共50分. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 这组数据的第50百分位数是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 3. 在中，已知，，，则角（ ） A. B. C. D. 4. 某班分成了A､B､C､D四个学习小组学习二十大报告，现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果展示，则组和组恰有一个组被抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若存在实数，使得，则和的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ，2 D. ，2 6. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知直线，与平面，，，能使成立的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 8. 钝角三角形的面积是，，则=（ ） A. B. C. 7 D. 7或1 9. 如图，在直角梯形中，，，，若为的中点，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 10. 已知四边形为矩形，，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图），设的中点为. 在翻折过程中，有如下四个命题： ①平面； ②的长度为定值； ③三棱锥体积的最大值为； ④在翻折过程中，存在某个位置，使得. 其中真命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题本大题共6道小题，每小题5分，共30分. 11. 已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为_________． 12. 已知的三条边长分别为，则此三角形的最大角与最小角之和为_______． 13. 某学校为了调查高一年级600名学生年平均阅读名著的情况，通过抽样，获得了100名学生年平均阅读名著的数量（单位：本），将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则图中的值为__________；估计高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本的人数为__________. 14. 木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点画直线，则满足______________（选出你认为正确的全部结论） ①；②；③与直线相交；④与直线相交． 15. 根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形按上述操作作图后，得如下图所示的图形，若，则__________. 16. 如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动，且．给出下列结论： ①； ②三棱锥的体积为定值； ③点P在线段CE上(E为BB1的中点)； ④面积的最大值为2． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题本大题共70分，请将答案填在答题纸上. 17. 在中，． （1）求； （2）若，，求． 18. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 19. 如图，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且， （1）求正四棱锥的表面积； （2）求点到平面的距离； （3）侧棱上是否存在一点E，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 20. 如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕边旋转至. （1）求证：直线平面； （2）求证：直线平面； （3）当平面平面时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个，使平面与平面垂直.并证明你的结论. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（3）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求： ①，；②，； （2）若向量，求证：； （3）若A，B，C是以О为圆心的单位圆上不同的点，记，，． （i）当时，求的最大值； （ii）写出的最大值．（只需写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京第二中学朝阳学校2025-2026学年下学期测试卷 一、单选题本大题共10道小题，每小题5分，共50分. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的概念判断即可； 【详解】解：复数的虚部为； 故选：C 2. 这组数据的第50百分位数是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算求解即可. 【详解】将数据从低到高排列为1，2，3，4，5，5. 而，所以第50百分位数是. 故选：B. 3. 在中，已知，，，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理得，即，可得， 因为，所以，即为锐角， 所以. 故选：A. 4. 某班分成了A､B､C､D四个学习小组学习二十大报告，现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果展示，则组和组恰有一个组被抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法结合古典概型概率公式即得. 【详解】从A､B､C､D四个学习小组中随机抽取两个小组有共6种结果， 其中组和组恰有一个组被抽到的结果有共4种结果， 所以组和组恰有一个组被抽到的概率为. 故选：C. 5. 已知向量，，若存在实数，使得，则和的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ，2 D. ，2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，且， 所以，所以，解得； 故选：A 6. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：若，则， ∴，由正弦定理得， 所以，因为，所以，所以，∴，反之也成立， 故“”是“”的充要条件； 故选：C 7. 已知直线，与平面，，，能使成立的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面与平面的位置关系可判断AC；利用直线与平面的位置关系可以判断B；利用面面平行的判定定理可判断D. 【详解】对于A，，，则与相交或，故A错误； 对于B，，，则与相交或，故B错误； 对于C，，，则，故C正确； 对于D，，，，，没有说明直线，相交，故不能通过线面平行证明面面平行，故D错误； 故选：C 8. 钝角三角形的面积是，，则=（ ） A. B. C. 7 D. 7或1 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据面积公式求角，再结合余弦定理求. 【详解】， 所以，或， 当时，, 即，此时，满足题意， 当，，满足题意， 所以或. 故选：D 9. 如图，在直角梯形中，，，，若为的中点，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，令，，得到点的坐标，利用坐标法计算可得； 【详解】解：如图建立平面直角坐标系，令，，则，，， 所以，所以，， 所以， 故选：C 10. 已知四边形为矩形，，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图），设的中点为. 在翻折过程中，有如下四个命题： ①平面； ②的长度为定值； ③三棱锥体积的最大值为； ④在翻折过程中，存在某个位置，使得. 其中真命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】分别延长，交于，连接，即可证明为的中点，为的中点，从而判断①，再取的中点，连接，即可得到即可判断②，当平面平面时体积最大，即可判断③，利用反证法说明④. 【详解】解：对于①，分别延长，交于，连接，如图所示； 由为中点，且，可得为的中点，为的中点， 可得为的中位线，可得， 平面，平面，可得平面①正确； 对于②，取的中点，连接，由①知且 所以， 即的长度为定值，故②正确； 对于③，当平面平面时，到平面的距离最大，且为， 此时到平面的距离最大，且为， 的面积为，可得三棱锥的最大体积为，③正确； 对于④，若，又，，可得，平面， 所以平面，平面， 则，这与为斜边矛盾，④错误； 综上，以上正确命题的序号为①②③． 故选：C 二、填空题本大题共6道小题，每小题5分，共30分. 11. 已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据球体的体积和表面积数值相等的条件得到等式关系，解方程即可求出球的半径 【详解】假设球体的半径为，由已知条件球体的体积与其表面积数值相等， 得，解得. 故答案为： 12. 已知的三条边长分别为，则此三角形的最大角与最小角之和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意设、、，根据三角形的性质可得，利用余弦定理求出，再根据三角形内角和定理计算可得； 【详解】解：依题意设、、，因为，所以， 由余弦定理， ， ，所以， 即该三角形最大角与最小角之和为． 故答案为：． 13. 某学校为了调查高一年级600名学生年平均阅读名著的情况，通过抽样，获得了100名学生年平均阅读名著的数量（单位：本），将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则图中的值为__________；估计高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本的人数为__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由频率和为1列方程求参数a，由图知数量不少于10本的频率为，进而求人数. 【详解】由直方图知：， 所以， 则高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本为人. 故答案为：， 14. 木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点画直线，则满足______________（选出你认为正确的全部结论） ①；②；③与直线相交；④与直线相交． 【答案】③④ 【解析】 【分析】延长、交于点，则、的延长线也过点，则直线即为所求作的直线，由此可得出结论. 【详解】延长、交于点，则、的延长线也过点，如下图所示： 因为，则平面，则直线即为所求作的直线， 所以，直线与直线、直线都相交. 故答案为：③④. 15. 根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形按上述操作作图后，得如下图所示的图形，若，则__________. 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，求得 的坐标，再由求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 设，则，，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 则，化简得， 故答案为： 16. 如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动，且．给出下列结论： ①； ②三棱锥的体积为定值； ③点P在线段CE上(E为BB1的中点)； ④面积的最大值为2． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①，连接，由三角形为等边三角形判读；对于②，体积为，为定值；对于③，连接，证明平面，进而判断；对于④，当点到点位置时，此时面积为. 【详解】对于①，连接，由正方体的性质知三角形为等边三角形，由于为底面的中心，故为中点，故，正确； 对于②，无论点在侧面的边界及其内部运动的任何位置，三棱锥的高始终为正方体的边长，故体积为，为定值，正确； 对于③，连接，由正方体中的性质知，，所以，故,所以，又因为，所以平面，又因为，故点在线段上(为的中点)，正确； 对于④，当点到点位置时，此时面积为，故错误. 故正确的序号是：①②③ 故答案为：①②③ 三、解答题本大题共70分，请将答案填在答题纸上. 17. 在中，． （1）求； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）利用正弦定理计算可得； 【小问1详解】 解：因为，即 由余弦定理， 因为，所以； 【小问2详解】 解：因为，，， 由正弦定理，即，所以； 18. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【答案】（1）20 （2）平均数32.25; 第80百分位数37.5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，先求出年龄在内的频率，再求出频数； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【小问1详解】 （1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 【小问2详解】 (2) 平均数为 32.25; 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. 【小问3详解】 （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题. 19. 如图，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且， （1）求正四棱锥的表面积； （2）求点到平面的距离； （3）侧棱上是否存在一点E，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，计算出的长，再结合三角形和正方形的面积公式可求得正四棱锥的表面积； （2）连接交于点，连接、，证明出平面，计算出的长，即为所求； （3）取的中点为，过作的平行线交于，连接、，由线面平行的判定可得平面，根据等比例性质有，再根据线面平行的判定得平面，最后由面面平行的判定及性质即可确定存在性. 【小问1详解】 解：取的中点，连接， 因为，，则， 且， 所以，正四棱锥的表面积为 . 【小问2详解】 解：连接交于点，连接、，如下图所示： 因为四边形是边长为的正方形，则， 故是边长为的等边三角形， 因为，则为、的中点，所以，， 且，， 因为，则， 由余弦定理可得， 所以，，所以，， 因为四边形为正方形，则， 因为，为的中点，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因此，点到平面的距离为. 【小问3详解】 解：在侧棱上存在一点，使平面，满足，理由如下： 取的中点为，因为，则， 过作的平行线交于，连接、. 在中，因为、分别为、的中点，则， 因为平面，平面，所以平面， 由，则， 因为平面，平面，所以平面， 而，、平面，故面面， 又面，则平面，此时. 20. 如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕边旋转至. （1）求证：直线平面； （2）求证：直线平面； （3）当平面平面时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个，使平面与平面垂直.并证明你的结论. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（3）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）条件选择见解析，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知可得出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （3）选择条件②，利用面面垂直的性质可得出平面，可推导出，利用勾股定理证明出，再利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立； 选择条件③，利用面面垂直的性质可得出平面，可推导出，利用已知条件可得出平面，最后利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； 条件①不合乎要求，根据反证法结合面面垂直的性质可得出结论. 【小问1详解】 证明：翻折前，在直角梯形中，， 将直角梯形绕边旋转至，则. 因为、平面，且，所以平面. 【小问2详解】 证明：翻折前，， 将直角梯形绕边旋转至，则，所以，， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 【小问3详解】 证明：条件②：因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面. 因为平面，所以. 在梯形中，，， 所以，，且为等腰直角三角形， 又因为，则， 因为，由余弦定理可得， 所以，，故， 因为、平面，，所以，平面. 因为平面，所以平面平面； 条件③：因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面. 因为平面，所以，. 因为，、平面，，所以，平面. 因为平面，所以平面平面； 条件①不符合题目要求，理由如下： 若，且，则， 从而可得，则， 因为，则，所以，， 由余弦定理可得， 因为，则，即与不垂直， 过点在平面内作，垂直为点， 因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面. 因为平面，所以，. 又因为，，、平面，所以，平面， 若平面平面，根据面面垂直的性质定理可知， 在平面内且过点有且只有一条直线与平面垂直，即平面， 但平面，矛盾，故条件①不满足题意. 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求： ①，；②，； （2）若向量，求证：； （3）若A，B，C是以О为圆心的单位圆上不同的点，记，，． （i）当时，求的最大值； （ii）写出的最大值．（只需写出结果） 【答案】（1）详见解析； （2）详见解析； （3）（i）；（ii） ． 【解析】 【分析】（1）由求解； （2）由证明； （3）（i）设， 由求解；（ii）求解. 【小问1详解】 解：因为，， 且， 所以； 又，， 是 ； 【小问2详解】 因为向量，， 且向量， 则， 所以， 同理， 所以； 【小问3详解】 （i）设，因为， 所以， 所以， ， 当，即时， 取得最大值； （ii）设不包含的，不包含的，不包含的所对的圆心角分别是. 不妨设，否则适当地将中一点改为其对径点，则不变，但情况变为. 又由于，故 . 当是正三角形时，有，此时. 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $