精品解析：安徽省合肥市庐阳区庐阳中学等校2025-2026学年第二学期期末核心素养检测八年级数学试卷

2025~2026学年第二学期期末核心素养检测八年级数学试卷 满分150分，时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 5. 满足下列条件时不是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 6. 若一个多边形的内角和为，则从这个多边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（ ） A. 地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B. 地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C. 地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D. 地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 8. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（ ）． A. B. C. D. 9. 已知四边形的对角线与交于点，．添加下列选项中的条件，仍不能判定四边形是菱形的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 10. 在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程的两根之积为，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 计算：___________． 12. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则点到点的距离为_____． 13. 某校为备战中考体育测试，组织九年级男生进行立定跳远训练，李明在连续5次模拟测试中的成绩（单位：米）分别为2.45，2.50，2.48，2.52，2.45．这5次成绩的平均数为2.48米，方差为0.00076．若李明再跳一次，成绩恰好为2.48米，则这6次立定跳远成绩的方差______（填“变大”“不变”或“变小”） 14. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别在，上．将该正方形沿折叠，使点A落在边上的点M处，连接，与折痕交于点P． （1）若M是的中点，则的长为______； （2）若G为的中点，随着折痕位置的变化，的最小值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算：． 16. 解方程： 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图． （1）在图①中，画一个格点三角形，使得，，． （2）在图②中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若是该方程的两个实数根，且该方程有一个根是，求的值． （2）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 为了解某校九年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽取了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制出统计图如图所示，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的男生人数为____________，图1中的值为____________； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校1800名九年级男生中该项目良好的人数． 20. 如图，在平行四边形中，，点是的中点，过点的直线分别交，的延长线于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 【综合与实践】 【问题情境】：在学习了《二次根式》和《勾股定理》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】：“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，共顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点C、A，他们借助此图求出了的面积． 【实践探究】 （1）在图1中，所画的的三边长分别是，，，的面积为_____． 【继续探究】 “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料：已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（，约公元50年)，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式，其中，，我国南宋时期数学家秦九韶，给出了著名的秦九韶公式． （2）①一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式，求得这个三角形的面积是_______． ②一个三角形边长依次为，，，利用秦九韶公式，求得这个三角形的面积是_______． （3）“勾股定理”小组经过合作交流，已知任意形状的三角形的三边长也可以用“勾股定理”求出其面积．如图2，在中，，，，求的面积．给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于D，设，用含x的代数式表示_______． ②根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； ③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，正方形与矩形的顶点重合于点A，且为边上的一点，B，，三点共线． （1）求证：矩形为正方形； （2）如图2，连接，，若，P，分别是，，的中点，连接，，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，，求的长度． 八、（本题满分14分） 23. 对关于x的一元二次方程开展深入探究 （1）学校计划用围栏围成一个长方形劳动实践基地，经过测量，基地的长比宽多1米，设基地的宽为x米，围成基地的面积为m平方米，当时，求此时x的值； （2）若实数a，b满足，且，求的值； （3）若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期末核心素养检测八年级数学试卷 满分150分，时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数是非负数，分式分母不为0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴需同时满足二次根式有意义和分式分母不为0的条件， ∴ ，解得 ． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； B、的被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、的被开方数，不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件． 3. 若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式将原方程配方为指定形式，即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 整理得 ， 对比，可得． 4. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值判断根的情况，掌握判别式与根的对应关系是解题关键． 【详解】解：对于一元二次方程， 可得，，， ∵ ， 又∵ 对任意实数，都有， ∴ ，即， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 5. 满足下列条件时不是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理是本题的考点，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理是解题的关键．利用勾股定理逆定理可以判断两项，利用三角形的内角和可以判断两项． 【详解】解：、， 是直角三角形， 故本选项不符合题意； 、设， ， 是直角三角形， 故本选项不符合题意； 、， ， 不是直角三角形， 故本选项符合题意； 、，， ， ， 是直角三角形， 故本选项不符合题意； 故选：． 6. 若一个多边形的内角和为，则从这个多边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，多边形的对角线，本题先利用内角和公式建立方程求解多边形的边数，再利用从n边形一个顶点出发可作条对角线可得答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则， 解得， 从七边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数：， 故选：A． 7. 如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（ ） A. 地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B. 地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C. 地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D. 地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 【答案】C 【解析】 【分析】箱线图中，箱体的上下四分位数、中间的线是中位数，两端是最大值和最小值，数据越分散，方差越大． 【详解】解：A、A地的最大值接近20，B地的最大值在15左右，所以A地最大值大于B地，正确； B、A地的中位数比B地的中位数低，正确； C、A地的数据分布比B地更分散，所以A地的方差大于B地的方差，该选项说法错误； D、B地的最小值约为5，A地的下四分位数在5以下，说明有以上的数据低于5，即低于B地的最小值，正确； 所以不正确的是C． 8. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等，可得，先由刻度尺求出线段的长度，即可得到的长． 【详解】解： 四边形是矩形， ， 由题意，顶点对应刻度，顶点对应刻度， ， ． 9. 已知四边形的对角线与交于点，．添加下列选项中的条件，仍不能判定四边形是菱形的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A． 由和，不能判定四边形是平行四边形，所以由，不能判定四边形是菱形，符合题意； B． 由和可知四边形是平行四边形，再由可判定四边形是菱形，故不符合题意； C． 由和可知四边形是平行四边形，由可知，即可判定四边形是菱形，故不符合题意； D． 由和可知四边形是平行四边形，再由可判定四边形是菱形，故不符合题意； 故选：A． 10. 在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程的两根之积为，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，， 一元二次方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根， ，故①错误； ②若方程的两根之积为，则，得到，故②正确； ③方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故③正确； ④由是方程的一个根，得，即． 当，则；当，则不一定等于，故④不一定正确． 综上所述：正确的有个； 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则点到点的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由点A和点P的坐标可知点A在y轴上，点P在x轴上，可得为直角三角形，利用勾股定理即可求出点A到点P的距离． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为 ∴点在轴上，点在轴上，， ，， 在中，由勾股定理得． 13. 某校为备战中考体育测试，组织九年级男生进行立定跳远训练，李明在连续5次模拟测试中的成绩（单位：米）分别为2.45，2.50，2.48，2.52，2.45．这5次成绩的平均数为2.48米，方差为0.00076．若李明再跳一次，成绩恰好为2.48米，则这6次立定跳远成绩的方差______（填“变大”“不变”或“变小”） 【答案】变小 【解析】 【分析】先求出6次成绩的平均数，再根据方差的计算公式计算6次成绩的方差，与原方差比较大小，即可得到结论． 【详解】解：由题意可得，原次成绩的平均数为 ， 则次成绩的平均数为：， 则次成绩的方差为：， 因为， 所以方差变小． 14. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别在，上．将该正方形沿折叠，使点A落在边上的点M处，连接，与折痕交于点P． （1）若M是的中点，则的长为______； （2）若G为的中点，随着折痕位置的变化，的最小值为______． 【答案】 ①. ##3.75 ②.   【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理解三角形，轴对称的最短路径问题，解决本题的关键是做辅助线，确定． （1）由折叠的性质可得是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据勾股定理求解的长即可； （2）取的中点Q，根据两点之间线段最短求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质可得是的垂直平分线， ， 设，则. 是的中点， ， 在中，， 即， 解得， 即的长为， 故答案为：； （2）如图，取的中点Q，连接，，，由折叠的对称性可知. 为的中点，为直角三角形， ， ， 当且仅当D，P，Q三点共线时最小， 最小值． 故答案为： ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式乘法及平方差公式进行计算，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的运算，平方差公式的应用，解题关键是掌握二次根式混合运算法则． 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先展开方程右侧，再通过移项合并同类项化简方程，最后将系数化为1即可得到结果． 【详解】解：， 展开方程右侧得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图． （1）在图①中，画一个格点三角形，使得，，． （2）在图②中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据勾股定理可知，当两条直角边长度分别为1和2时，斜边为，当两条直角边长度分别为2和3时，斜边为，由此作图即可； （2）可以考虑作一个腰长为的等腰直角三角形． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 解：作图如下： 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若是该方程的两个实数根，且该方程有一个根是，求的值． （2）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入原方程求出k的值，再利用根与系数的关系求出和的值即可得到答案； （2）利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：∵该方程有一个根是， ∴把代入得， 解得， ∴原方程为， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 为了解某校九年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽取了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制出统计图如图所示，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的男生人数为____________，图1中的值为____________； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校1800名九年级男生中该项目良好的人数． 【答案】（1）40；25 （2）平均数为5.8，中位数为6，众数为5 （3）990 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图中的各组数据即可求出本次接受随机抽样调查的男生人数，由条形统计图可知测试成绩为6次的人数和被调查的总人数，由此可求出m的值； （2）由平均数，中位数，众数的定义求解即可； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， ，即， 【小问2详解】 解：平均数为（次）， 将这40名男生引体向上的次数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数是次，因此中位数是6次， 可知数据5出现了12次，次数最多，故众数为5； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校1800名男生中该项目良好的人数大约为990人. 20. 如图，在平行四边形中，，点是的中点，过点的直线分别交，的延长线于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，结合对顶角相等，即可证明，得出，进而即可得证； （2）勾股定理求得，，根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ，， ， 为中点， ， 在和中 ， ， 即； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 【综合与实践】 【问题情境】：在学习了《二次根式》和《勾股定理》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】：“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，共顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点C、A，他们借助此图求出了的面积． 【实践探究】 （1）在图1中，所画的的三边长分别是，，，的面积为_____． 【继续探究】 “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料：已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（，约公元50年)，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式，其中，，我国南宋时期数学家秦九韶，给出了著名的秦九韶公式． （2）①一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式，求得这个三角形的面积是_______． ②一个三角形边长依次为，，，利用秦九韶公式，求得这个三角形的面积是_______． （3）“勾股定理”小组经过合作交流，已知任意形状的三角形的三边长也可以用“勾股定理”求出其面积．如图2，在中，，，，求的面积．给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于D，设，用含x的代数式表示_______． ②根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； ③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 【答案】（1） （2）①；② （3）①；②见解析，；③见解析，84 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式、三角形的面积公式求出的面积； （2）①根据海伦公式计算即可； ②把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可； （3）①根据可得答案； ②在两个直角三角形中分别应用勾股定理可得方程，解方程可得的值； ③根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：的面积； 【小问2详解】 解：①， ； ②三边长依次为，，的三角形的面积； 【小问3详解】 解：①，， ， ②， ，， ， 解得； ③由②得：， ． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，正方形与矩形的顶点重合于点A，且为边上的一点，B，，三点共线． （1）求证：矩形为正方形； （2）如图2，连接，，若，P，分别是，，的中点，连接，，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，，求的长度． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形和矩形的性质，可逐步证明，得到，再根据正方形的判定证明即可； （2）连结，，分别证明和都是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一性质，即可得到，，再结合，即可证明结论； （3）连结，先根据三角形中位线定理及勾股定理求出，进一步求得，，即可求得答案． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， B，，三点共线， ， ， ， ， ， ， 矩形为正方形； 【小问2详解】 证明：连结，， 四边形是正方形， ，，，， 四边形是矩形， ， 点O是的中点， ， 点P是的中点， ， ，点Q是的中点， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连结， ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形的中位线定理等知识，添加辅助线，利用等腰三角形的三线合一性质解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 对关于x的一元二次方程开展深入探究 （1）学校计划用围栏围成一个长方形劳动实践基地，经过测量，基地的长比宽多1米，设基地的宽为x米，围成基地的面积为m平方米，当时，求此时x的值； （2）若实数a，b满足，且，求的值； （3）若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】（1）3 （2） （3）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）设基地的宽为x米，则基地的长为米．围成基地的面积为12平方米，根据矩形面积=长×宽，列一个关于x的一元二次方程，解方程，舍去不符合题意的负值，即可求出x的值； （2）由可得，即，设，则有，再由已知条件及可得，a和c是方程的两个不同的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合，求出； （3）先将已知的两个等式作差，并进行因式分解，整理得到，再将已知的两式相加，整理得到，根据完全平方公式变形得 ，将其代入，整理后得到 ，将代入该式，整理后可证得结论． 【小问1详解】 解：设基地的宽为x米，则基地的长为米． ∵围成基地的面积为m平方米，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， 答：当时，x的值为3． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， 设， 则， ∵， ∴a和c是方程的两个实数根， ∵， ∴， ∴a和c是方程的两个不同的实数根， ∴， ∵， ∴， 即． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $