精品解析：安徽省合肥市庐阳区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期八年级质量检测 数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 5. 已知的、和的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定是直角三角形的条件有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 某厂一月份生产某大型机器20台，计划二、三月份共生产90台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级（1）班选派的7名学生一次性垫球成绩（单位：个）如图所示．则下列结论中，正确的是（ ） A. 中位数为17 B. 众数为26 C. 平均成绩为20 D. 方差为0 8. 如图，在中，于点D，E是中点，且交于点F，已知，，连接，则长（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9. 如图所示，点O是平行四边形的对称中心，，E，F是边的三等分点；G，H是边的四等分点．若，分别表示和的面积，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 点E是正方形对角线上一点，连接，过点E作，点P在延长线上，则为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____________． 12. 若m是方程的一个根，则的值为________． 13. 矩形第一次沿折叠得到四边形，展开后第二次沿折叠，使得点C与点F重合．若，，则______． 14. 菱形中，，E是中点，连接，点F是上一动点，G为中点，连接． （1）______； （2）若，则的最小值为______． 三、（本大题共2题，每小题8分，共16分） 15. 计算： 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）判断的形状，并说明理由； （2）求边上的高． 18. 观察下列各式的规律：①；②；③…… （1）按照此规律写出第4个等式：______； （2）猜想第个等式是：______；说明你猜想的正确性；（的整数） 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 20. 年月日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为迎接中国航天日，某校举行了七、八年级航天知识竞赛，校务处在七、八年级中各随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分分．单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：．，．，．，．．E．）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为： ． 八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：． 绘制了不完整的统计图． 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，上述表中________，________，八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为___________度； （2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？写出一条理由； （3）如果该校七年级有名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数． 六、（本题12分） 21. 已知平行四边形的边延长至点E，使得．连接相交于点O， （1）当满足什么条件时，四边形为菱形？ （2）求证：当时，四边形为矩形； 七、（本题12分） 22. 合肥某水果店在5月份准备了一批西山枇杷，每盒利润为30元，平均每天可卖50盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利3000元，则每盒枇杷应降价多少元？ 八、（本题14分） 23. 正方形，E是的中点，F为射线上一点（不与点B，C重合），连接并延长到点G，使得，连接．过点C作的垂线交直线于点H． （1）如图①，当点F在线段上时，求证：； （2）如图②，当点F在线段上时，试说明之间的数量关系； （3）如图③当点F在的延长线上时，直接写出线段之间的数量关系：______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期八年级质量检测 数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得． 解得x≥3， 故选：A． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤，进行配方，判断即可． 【详解】解：， ∴， ∴； 故选B． 4. 若正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 【答案】C 【解析】 【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数． 【详解】解：这个正多边形的边数：360°÷45°=8． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． 5. 已知的、和的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定是直角三角形的条件有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，以及勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形；故①正确； ∵， 设， ∵， ∴是直角三角形；故②正确； ∵，， ∴， ∴是直角三角形；故③正确； ∵， ∴， ∴是直角三角形；故④正确； ∵，，， ∴， ∴是直角三角形；故⑤正确； 故选D． 6. 某厂一月份生产某大型机器20台，计划二、三月份共生产90台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关系式：原有台数×(1+增长率)=现有台数，可分别求得二、三月份的机器台数，从而可得方程． 【详解】由题意知，二月份生产机器台数为：20(1+x)台，三月份生产机器台数为：20(1+x)2台，根据二、三月份计划共生产90台可得方程：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握好关系式：原有台数×(1+增长率)=现有台数． 7. 某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级（1）班选派的7名学生一次性垫球成绩（单位：个）如图所示．则下列结论中，正确的是（ ） A. 中位数为17 B. 众数为26 C. 平均成绩为20 D. 方差为0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数和方差概念．根据中位数、众数、平均数和方差概念即可解答． 【详解】解：A选项：将这组数据从小到大排列为：17、19、22、26、26、30、35， 从中可以看出，一共7个数据，第4个数据为26，所以这组数据的中位数为26； B选项：这组数据中26出现的次数最多，所以这组数据的众数为26； C选项：（个），所以这组数据的平均数为25； D选项：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，所以当方差等于0时，这组7个数据应相同，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在中，于点D，E是中点，且交于点F，已知，，连接，则长（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查斜边上的中线，三线合一，勾股定理．斜边上的中线得到，，得到，三线合一，结合勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，E是中点，， ∴，， ∴， ∴； 故选B． 9. 如图所示，点O是平行四边形的对称中心，，E，F是边的三等分点；G，H是边的四等分点．若，分别表示和的面积，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据三等分点可得，；再结合点是的对称中心可得 ，即可求解． 【详解】解：连接，则必过点，如图所示： ∵，是边的三等分点， ∴， ∵G，H是边的四等分点， ∴， ∵点O是的对称中心， ∴ ∴， ∴； 故选A． 10. 点E是正方形对角线上一点，连接，过点E作，点P在延长线上，则为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，交于点，交于点，易得四边形，四边形均为矩形，，均为等腰直角三角形，得到，证明，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，， ∴，均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义：几个最简二次根式的被开方数相同，这几个最简二次根式叫做同类二次根式，进行计算即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：； 故答案为：2． 【点睛】本题考查同类二次根式的定义．熟练掌握同类二次根式的定义，是解题的关键． 12. 若m是方程的一个根，则的值为________． 【答案】2019 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的运用、代数式求值，根据题意，可得，将代数式变形，整体代入即可求解，掌握代数式的变形计算，一元二次方程的解的运用是解题的关键． 【详解】解： m是方程的一个根， 即， ， 故答案为：2019． 13. 矩形第一次沿折叠得到四边形，展开后第二次沿折叠，使得点C与点F重合．若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，根据矩形和折叠的性质，得到四边形为正方形，求出，设，在中，利用勾股定理求出的值，进一步求出的长即可． 【详解】解：∵矩形第一次沿折叠得到四边形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵第二次沿折叠，使得点C与点F重合， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 菱形中，，E是中点，连接，点F是上一动点，G为中点，连接． （1）______； （2）若，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，三线合一，即可得出结果； （2）取的中点，的中点，连接，，根据三角形的中位线定理，推出点在上运动，当时，最小，进行求解即可． 【详解】解：（1）连接， ∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵E是中点， ∴平分， ∴； 故答案为：； （2）取的中点，的中点，连接， 则：，， ∴三点共线， ∴点在线段上运动， ∴当时，最小， ∵菱形， ∴，，， 由（1）知：为等边三角形， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同法可得：，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 三、（本大题共2题，每小题8分，共16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘除运算，去绝对值运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）判断的形状，并说明理由； （2）求边上的高． 【答案】（1）是直角三角形；理由见解析 （2）边上的高为2 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）勾股定理求出三边长，勾股定理逆定理，判断三角形形状即可； （2）等积法求高即可． 【小问1详解】 解：是直角三角形；理由如下： 由勾股定理，得：， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 设边上的高为， ∵， ∴， ∴； 即：边上的高为2． 18. 观察下列各式的规律：①；②；③…… （1）按照此规律写出第4个等式：______； （2）猜想第个等式是：______；说明你猜想的正确性；（的整数） 【答案】（1） （2），说明见解析 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究： （1）根据题干给定的等式，写出第四个等式即可； （2）根据给定的等式，猜想出第个等式，再证明即可 【小问1详解】 解：， ， ， ∴第4个等式为：； 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）可知：，证明如下： ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 20. 年月日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为迎接中国航天日，某校举行了七、八年级航天知识竞赛，校务处在七、八年级中各随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分分．单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：．，．，．，．．E．）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为： ． 八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：． 绘制了不完整的统计图． 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，上述表中________，________，八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为___________度； （2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？写出一条理由； （3）如果该校七年级有名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数． 【答案】（1） 补全频数分布直方图如图： ，，； （2） 解：七年级学生成绩好． 理由：七年级学生成绩平均数、中位数、众数均高于八年级学生成绩，所以七年级学生成绩好． （3）名． 【解析】 【分析】（）根据频数分布直方图求出，即可补全频数分布直方图，根据中位数、众数的定义即可求出的值，求出八年级学生成绩在组的人数，用乘以其占比即可求解； （）根据平均数、中位数、众数判定即可； （）用乘以七年级竞赛成绩不低于分的学生人数的占比即可求解； 本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：七年级抽取的名学生的竞赛成绩在组的人数为：名， 八年级在组的学生有名， ∵八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：， ∴第名和第名学生的竞赛成绩为， ∴， ∵七年级中抽取的名学生的竞赛成绩中分的最多， ∴， ∵八年级学生成绩在组的学生数为名， ∴八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 答：估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数为名． 六、（本题12分） 21. 已知平行四边形的边延长至点E，使得．连接相交于点O， （1）当满足什么条件时，四边形为菱形？ （2）求证：当时，四边形为矩形； 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，根据，结合平行线的性质，推出，即可得出四边形为菱形； （2）先根据平行线的性质，得到，进而得到，三角形的外角，推出，得到，进而得到，即可得证． 【小问1详解】 当时，四边形为菱形，理由如下： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平行四边形的边延长至点E，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； 【小问2详解】 ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 七、（本题12分） 22. 合肥某水果店在5月份准备了一批西山枇杷，每盒利润为30元，平均每天可卖50盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利3000元，则每盒枇杷应降价多少元？ 【答案】每盒枇杷应降价元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每盒枇杷应降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每盒枇杷应降价元，由题意，得： ， 解得：或， ∵尽快减少库存， ∴； 答：每盒枇杷应降价元． 八、（本题14分） 23. 正方形，E是的中点，F为射线上一点（不与点B，C重合），连接并延长到点G，使得，连接．过点C作的垂线交直线于点H． （1）如图①，当点F在线段上时，求证：； （2）如图②，当点F在线段上时，试说明之间的数量关系； （3）如图③当点F在的延长线上时，直接写出线段之间的数量关系：______． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． （1）过点作，先证明，得到，再证明，即可得出结论； （2）过点作，证明，得到，，再证明，得到，根据结合等量代换即可得出结论； （3）过点作，同法（2）即可得出结论． 【小问1详解】 证明：过点作，则：， ∵正方形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 过点作，则：， 同（1）法可证：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 过点作， 同法可证：，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $