第四章 数列 第5节 数列通项公式的求法 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦数列通项公式求法这一高考核心考点，系统整合公式法、累加法、待定系数法等九类方法，通过方法梳理、典例精讲、变式训练的教学流程，帮助学生构建完整的解题方法体系，突破数列通项求解的难点。 讲义以“数学思维”和“推理能力”为导向，设计“方法归类-典例示范-变式拓展”的递进式教学活动，如累加法中通过归纳递推关系培养逻辑推理，待定系数法中强化模型构建。分层练习覆盖基础到综合，确保高效复习，助力学生提升解题速度与准确性，为教师提供清晰的复习进度把控方案。

第四章 数列 第5节 数列通项公式的求法 一、公式法 由首项与公差（公比），代入公式中直接求解 【典例1】设等差数列的前项和为，且，，求数列的通项公式． 【解析】设的公差为，则由，得，所以 ，即…①，由，得 ，即…②，联立①②，得，，所以数列的通项公式为． 【变式1-1】已知等差数列中，，公差，且，，成等比数列，求的通项公式． 【解析】由题意，得，所以，即，又，解得，所以． 【变式1-2】在等比数列中，已知，在数列中，设 ，求的通项公式． 【解析】由题意，得，所以 ． 二、观察法（不完全归纳） 【典例2】将全体正整数排成如下“三角形数阵”： 记数阵中第行从左至右的第个数为（），则 ． 【解析】由图知，，，，，，所以，，，，，从而当时，以上个式子相加得，得． 【变式2-1】数列，，，，，的一个通项公式是 ． 【解析】方法1：由题意知，，，，，， 记，，，，，，所以，，，，，，从而当时，以上个式子相加得，所以 ，故． 方法2：由题意知，，，，，，所以． 三、周期性法 【典例3】已知数列满足，，则 ． 【解析】，所以数列中的项呈周期性出现，且其周期为，故． 【变式3-2】已知数列满足：，，且，则 ． 【解析】，，， ，所以是周期为的周期数列，且． 四、累加法 【典例4】已知数列满足，，求数列的通项公式． 【解析】由，得，所以， ，……． 以上个式子相加，得，得 ，即． 点评：形如，且易于化简，可以考虑使用累加法．其原理是： ． 【变式4-1】数列中，， ，求的通项公式． 【解析】 (时也成立)，即． 【变式4-2】已知数列满足，，则的通项公式是 ． 【解析】原式变形为，则，，…，．以上个式子相加，得，从而（时也成立）． 五、累乘法 【典例5】在数列中，已知首项，其前项和，求的通项公式． 【解析】由…①，得时，…②，①②，得，化为，所以，，，，…，，以上个式子相乘，得，即，又也满足该公式，所以． 点评：形如，且易于化简，可以考虑使用累乘法．其原理是：． 【变式5-1】在数列中，已知，且，求的通项公式． 【解析】(时也成立)，即． 【针对练习5-2】已知数列的前项和为，且满足：，，求的通项公式． 【解析】当时，由，所以 ，即，又，故． 【针对练习5-3】已知数列，，且，设 ，则数列的通项公式为 ． 【解析】由，得，，…，，以上个式子相乘，得． 【针对练习5-4】设是首项为的正项数列，且有，则的通项公式是 . 【解析】. 方法1（迭代法）： （也成立）. 方法2（累乘法）：（也成立）. 方法3（构造等差或等比数列）：，是首项为、公比为的等比数列，所以． 六、作差法 【典例6】若数列的前项和为，，且，求的通项公式. 【解析】当时，，得；当时， ，得．因为，故从第二项起，是等比数列，所以 点评：给出与或与的等量关系，可以考虑用已知等量关系得到另一个等量关系，两式作差，利用公式消去“”，再从项与项的等量关系中探求通项公式，必要时需构造新数列．有时需二次作差，如已知，，则当时，，两式作差，得，所以，两式作差，得，所以是等差数列，再由，可得的通项公式．值得注意的是，最后要检验是否满足公式． 【变式6-1】已知数列的前项和，求数列的通项公式． 【解析】由…①，得时，；当时，…②，①②，得，所以 【变式6-2】已知数列的前项和，求的通项公式． 【解析】由…①，得时，；当时， …②，①②，得，所以 【变式6-3】已知数列满足，其中，求通项. 【解析】由①，得时，，即；当时， ②，①①，得，即，变形为，又，所以数列是首项为、公比为的等比数列，从而，即. 【变式6-4】已知数列满足：，则的通项公式为 . 【解析】由，得时， ，两式相减，得，即.当时，由条件得，也满足，所以数列的通项公式为. 【变式6-5】若数列的前项和满足：，则的通项公式是 ． 【解析】当时，，得；当时， ，得．由等比数列定义，得． 【变式6-6】设为数列的前项和，，，求的通 项公式． 【解析】将代入中，得，又，所以，从而…①，当时，有…②，①②，得 ，即，所以是首项为，公比为的等比数列，得． 【变式6-7】已知数列的前项和为，若，且对于任意的都有，则的通项公式为 ． 【解析】由…①，得时，；当时， …②，①②得，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以． 【变式6-9】设数列的各项均为正数，其前项和满足，则 ． 【解析】当时，得；当时 ，所以，（当时也满足），即． 七、作商法 【典例7】在数列中，已知，，求的通项公式． 【解析】将两边同时除以，得，故数列是首项为、公差为的等差数列，所以，即． 点评：若递推式为，且，可以在等式两边同时除以，得，从而构造首项为，公差为的等差数列． 【变式7】在数列中，已知，，求的通项公式． 【解析】将两边同时除以，得，故数列是首项为、公差为的等差数列，所以，即． 八、取倒数法 【典例8】若数列满足：，，求的通项公式． 【解析】将的两边同时取倒数，得，又，所以数列是以为首项、为公差的等差数列，所以，即． 点评：形如“（，均为非零常数）”型的数列，可在两边取倒数得，于是，数列是首项为、公差为的等差数列；形如“ （为非零常数，）”型的数列，可在两边同时除以，得 ，于是，数列是首项为、公差为的等差数列． 【变式8-1】在数列中，，且，求的通项公式． 【解析】两边同时除以，得，则是首项为、公差为的等差数列，所以，化为． 九、待定系数法 类型1：“”型 【典例9】已知数列满足，，求的通项公式． 【解析】方法1（待定系数法）：设，即，与 对比知，，即，所以，从而数列是首项为，公比为的等比数列，所以，得． 方法2：（作商法），累加，得 ，化为． 点评：当递推式为（，均为非零常数，且），可设 ，其中．若，则是等比数列，进而得的通项公式；若，则． 【变式9-1】已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 【解析】方法1（待定系数法）：由，得，令 ，即，所以，即，所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以 ，即数列的通项公式为． 方法2（奇偶分析法）：由，得时，，所以；当时，，两式相减，得，所以当为奇数时，，为偶数时，，即 类型2：“”型 【典例10】已知数列中，，且，求数列的通项公式． 【解析】设，即，与原式对比知，解得即，所以，得． 点评：当递推式为（，均为非零常数，且），可设，构造新数列，进而得的通项公式． 【变式10-1】设数列满足，，计算，，猜想的通项公式并加以证明． 【解析】当时，，，猜想，证明如下：令，即，与原式对比知，得即，故， …，，得，即． 【变式10-2】已知数列满足，，则的通项公式为 ． 【解析】方法1（待定系数法）：由，得，令 ，即，所以，且 ，即，，所以，又，所以数列是首项为、公比为的等比数列，所以，即数列的通项公式为． 方法2（奇偶分析法）：由，得时，，两式相减，得．当为奇数时，设，，则，所以；当为偶数时，设，，则，所以．故 【变式10-3】已知数列满足，，则的通项公式为 ． 【解析】方法1（待定系数法）：由，可设 ，即，所以，，解得， ，所以，又，所以数列是首项为、公比为的等比数列，所以，即． 方法2（奇偶分析法）：由①，得时，，得；时，②，①②，得，即．当为奇数时，设，，则 ，所以；当为偶数时，设，，则，所以． 综上知， 1 学科网（北京）股份有限公司 $第四章数列 第5节数列通项公式的求法 一、公式法 由首项4与公差（公比9），代入公式中直接求解 【典例1】设等差数列fa,}的前n项和为Sn,且S=4S2,am=2a,+1,求数列 {a,}的通项公式. 111 【变式1-1】已知等差数列[a,}中，a=2,公差d≠0，且a，a,，a4成等比数 列，求{a,}的通项公式. 1 【变式12】在等比数贰0}中，已知4=9 3,在数列b,}中，设b。=l0g4+ loga2++loga,求{b,}的通项公式。 二、观察法（不完全归纳） 【典例2】将全体正整数排成如下“三角形数阵”： 1 23 456 78910 1112131415 161718192021 … 记数阵中第n行从左至右的第2个数为a,(n≥2)，则0，= 1111 【变式2-1】数列a,1,3,6,10,15,…的一个通项公式是 三、周期性法 5+a2 【典例3】已知数列a,}满足4=V5.8= 1-V5a,则a2o18= 【变式3-2】 己知数列a,小满足：4=1,4=3，且02=a1-0,则41= 四、累加法 【典例4】已知数列fa,}满足4=2，a1-a,=3×20(n≥)，求数列fa,的通 项公式 【变式41】数列a,}中，4=1，a=a,+3,求{a,}的通项公式. 3+1.a 【度式421已数微a}情足4=3.+3，a的政公式是 2 五、累乘法 【典例5】在数列a,}中，已知首项4=1，其前n项和S +2 =3a(n≥1) 求 {a,}的通项公式. aml n 【变式5-1】在数列a,}中，己知4=5，且a,n+1,求{a,}的通项公式. 6.at 1 【针对练习5-2】已知数列a的前”项和为5，且满足：46， 2 a ,求{a,}的通项公式 【针对练习后3】己知数列a,4=1,且 n+2,设b=aaa,… a-2an-aa,则数列b,}的通项公式为 【针对练习5-4】设a,}是首项为1的正项数列，且有(n+)ai-n0+01a,=0 ,则{a}的通项公式是 六、作差法 3 【典例6】若数a,}的前n项和为Sn,4=1,且S,=2a1,求{a,}的通项公式 【变式6-1】已知数a}的前n项和S,=n+n+1,求数fa}的通项公式 【变式6-2】已知数列a,小的前n项和S,=3”+2,求{a,}的通项公式. 【变式6-3】已知数列a,}满足4+a,++a,=n-a。,其中n∈N,求通项am n 式64)已知数列a满足：4十3a+3a++3a3,则a》的通项 为 2.1 【变式6-5】若数列fa,}的前n项和Sm满足： 5,-专0，+方，则a,的通项公式是- 【变式6-6】设Sn为数列a,的前n项和，a≠0,20。a=S,S,求{a,}的通 4 项公式 【变式6-7】已知数列a,}的前n项和为Sn,若4=2，且对于任意的n∈N都有 na1=Sn+{n+l),则a}的通项公式为 【变式6-9】设数列a,}的各项均为正数，其前n项和Sn满足” 则 0n= 七、作商法 【典例7刀在数列a,}中，己知4=1,01=2血，+3x2,求a,的通项公式 【变式7】在数列a,}中，已如4=1，a1=2血，+21，求a,的通项公式 八、取倒数法 2an 【集胸】为长a花4-片，“a2,a医公气 【变式81】在数列fa,}中，4-艺，且9-a=-2a,a,求(a,}的通项公式 5 九、待定系数法 类型1：“a1=Aa.+B”型 【典例9】已知数a,}满足4=l,a1=30,+1,求{a,}的通项公式。 【变式g-1】已知数列a,}满足4=0，a1+a,=3,则数列a,}的通项公式为 类型2：“a+1=Aan+Bn+C”型 【典例10】已知数列a,中，4=-l,且a=3a,-2m+3,求数列fa,}的通项公 式 【变式10-1】设数列a,满足4=3，a1=3a。-4n,计算4，4，猜想{a,}的通 项公式并加以证明. 【变式10-2】己知数列fa,}满足4=1，a1+a,=2n,则{a,}的通项公式为 【变式10-3】已知数列{a,}满足4=0，a+a,=3n+2,则{a}的通项公式为 6