第四章 数列 第3节 等比数列的定义与通项 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦等比数列核心考点，涵盖定义、通项公式、性质、判断证明及实际应用，按“概念—公式推导—性质拓展—应用”逻辑层次展开。通过考点梳理、方法指导（如累乘法、构造法）、真题训练（含2023年高考题）等环节，帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义采用问题驱动与分层训练结合，如构造等比数列时引导学生转化递推关系，培养数学思维；通过函数观点分析数列单调性，发展数学眼光。设置典例精讲与变式练习，配合反思总结，确保高效复习，助力教师把控节奏，提升学生应考能力。

第四章 数列 第3节 等比数列的定义与通项 一、等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，即（常数），则这个数列为等比数列，常数称为其公比． 注意：（1）在等比数列中，任何一项，公比； （2）奇数项同号，偶数项同号； （3）当时，，为常数列． 【典例1】等比数列，，，…的第四项等于 ． 【解析】方法1（定义法）：由等比数列的定义，得，解得， 故此等比数列为即第四项等于． 方法2（等比中项法）：因为，，为等比数列，所以，解得，或，又因为任意一项不为零，所以，所以第四项为． 反思：利用等比数列的定义解题时，应注意以下三个要点： ①任意一项，公比；②奇数项同号，偶数项同号；③三个数成等比数列，可设这三个数为，或设为．四个数成等比数列，可设这四个数为，，，或设为，． 二、等比数列的通项公式 等比数列的通项公式为． 1．推导 方法1（累乘法）：，，，…，，以上个式子相乘，得（时也成立）． 方法2（迭代法）：． 【典例2】（1）已知数列满足：，，求数列的通项公式. （2）设等比数列的前项和为，其公比为．若，，则 ． 【解析】（1）方法1（累乘法）：，于是当时，，，…，，以上个式子相乘，得，因为，所以. 方法2（递推法）因为，由， 即，得. （2）联立方程组两式相减，得，即，结合，及，得． 反思：（1）利用累乘法求数列的通项公式时，应弄清作乘积的式子的个数，以及约去的项与剩下的项各是哪些，必要时检验首项是否满足公式； （2）基本量之间的互求（知三求二的思想方法）：涉及到两个条件，或已知，，，中的三个量，求其他两个量的问题，一般先建立首项与公比的方程（组），再利用两式相比或代入消元的方法求得与，最后进行其他的相关运算． 【变式2-1】已知数列满足：，，求． 【解析】因为，所以当时， ，又也符合上式，所以． 【变式2-2】设等比数列满足，． （1）求的通项公式；（2）记为数列的前项和．若，求． 【解析】（1）设的公比为，则，由已知得解得，，所以的通项公式为. （2）由（I）知，故，由，得，化为，解得（舍去），． 【变式2-3】（2023年贵州高考）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由题知，即，即，即．由题知，所以，所以．故选C． 2．推广（等比数列任意两项的关系） ，即． 【典例3】设数列的前项和为，若，，则 . 【解析】方法1：当时，由，得，所以，即，即从第二项起，是公比为的等比数列，则，又，所以，故 方法2：构造数列:，，，，其通项公式为，所以的通项公式为 方法3：由，得，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以 反思：公式可以实现向的转化． 【变式3】已知等比数列的各项都是正数，且，成等差数列，则 ． 【解析】因为，成等差数列，所以，设的公比为，则，又，所以，因为，解得，故 ． 反思：对于等比数列与等差数列的混合题型，首先应将等差与等比区分开来，然后再按各自的规则进行处理． 3．构造等比数列 【典例4】在数列中，若，，求的通项公式. 【解析】将变形为，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即. 反思：若递推公式为（均为非零常数，且），把原递推公式转化为，其中，即构造新的等比数列进行求解. 【变式4】设数列{}的前项和为，已知，． （1）设，证明：数列{}是等比数列；（2）求数列{}的通项公式． 【解析】（1）由…①，得时，…②． ①②，得，即.由及，得，于是，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（I）知，时，，从而，所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，即. 三、等比数列的性质 1．等比中项 ，，成等比数列或，，成等比数列是与的等比中项，即． 【典例5】已知△的三边长，，依次成等比数列，三内角，，依次成等差数列，求证：为正三角形． 【解析】因为，，依次成等差数列，所以，所以． 因为，，依次成等比数列，所以．由余弦定理，得，所以，即，所以为正三角形． 【变式5】在正项等比数列中，，则 ． 【解析】由，得，即，因为各项为正数，所以． 2．等比中项性质的推广（整体思想与特值法） 若，则，特别地，当时，有． 【典例6】在等比数列中，若，则( ) A． B． C． D． 【解析】方法1：由，得，所以，从而．故选D． 方法2：令，则，所以，从而． 【变式6-1】在等比数列中， ，，则 ． 【解析】由，得． 【变式6-2】若正项等比数列满足：，则（ ） A． B． C． D． 【解析】方法1：由，得，又，所以．故选C． 方法2：令，则，即，所以． 【变式6-3】若正项等比数列满足，则 ． 【解析】由，得，从而 ． 【变式6-4】等比数列中，，，则 ． 【解析】因为数列为等比数列，所以，所以是方程的两根，所以或 当时，，，此时． 当时，，，此时． 故． 【变式6-5】（2023年全国乙卷）已知为等比数列，，，则 ． 【解析】解法1：设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则，则 ，则，则． 解法2：设的公比为，则，因为，所以，由，得，所以，从而． 3．函数观点看数列 ，当，且时，可看作是关于的指数型函数，即，． （1）若，当时，是递增数列；当时，是递减数列； （2）若，当时，是递减数列；当时，是递增数列； （3）若，则为摆动数列； （4）若，则为常数列． 【典例7】等比数列中，，公比，记，则取最大值时的值为（ ） A． B． C．或 D． 【解析】，从而 ，当或时，最大．因为，，所以取最大值时的值只能为．故选B． 【变式7-1】设等比数列满足：，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【解析】设的公比为，由已知得，即，则，得，所以． 方法1：，由二次函数的对称轴方程知，当或时，有最大值．故选C． 方法2：令，当最大时，即 得即解得，且 ，，所以的最大值为． 【变式7-2】设数列的前项和为，且满足：，数列满足：，求函数的最大值． 【解析】由，得，则．设最大，则即化为又，解得，所以． 4．其它常见性质 （1）两个等比数列与的积、商、倒数数列、、仍为等比数列． （2）去掉数列的前项后余下的项仍组成公比为的等比数列； （3）若数列是公比为的等比数列，则每隔项取出一项得到的， 仍是等比数列，其公比为； （4）奇数项数列是首项为、公比为的等比数列；偶数项数列是首项为、公比为的等比数列； （5）若是正项等比数列，则数列（且）为等差数列． 四、等比数列的判断与证明 【典例8】数列满足，，求证：是等比数列. 【证明】方法1：设，即，与对比知，，所以，即，故是等比数列． 方法2：因为，所以，故是等比数列． 反思：等比数列的常见判定方法有： ①（≥，且是不为零的常数）是公比为的等比数列； ②（是不为零的常数）是等比数列； ③（≥，）是等比数列． 五、实际应用 【典例9】从盛满纯酒精的容器中倒出，然后加满水，再倒出混合溶液后又加满水，如此继续下去…，第次操作后酒精的浓度是多少？若，倒几次后才能使酒精浓度低于？ 【解析】第一次取出纯酒精，加水后浓度为，记为， 第二次取出纯酒精，再加水后浓度为，记为， …… 第次取出纯酒精，加水后浓度为. 当时，由，解得，即至少倒次后才能使酒精浓度低于. 【评注】求解等比数列应用题的一般步骤是： 1.审题；2.建立数列模型；3.解方程或不等式；4.下结论. 【变式9-1】某种细胞开始时有个，小时后分裂成个并死掉个，小时后分裂成个并再次死掉个，小时后分裂成个同样死掉个，按此规律，小时后，细胞的存活数是多少个？（注：母细胞分裂之后变成个子细胞）按此规律，小时后，细胞的存活数是多少？ 【解析】细胞小时后分裂成4个并死掉1个，设为； 细胞小时后分裂成个并死掉个，设为； 细胞小时后分裂成个并死掉个，设为； 细胞小时后分裂成个并死掉个，设为； 细胞小时后分裂成个并死掉个，设为； 细胞小时后分裂成个并死掉个，有． 所以小时后，细胞的存活数是个． 按此规律，小时后，细胞的存活数设为，则，即． 令，则，且，所以数列是等比数列，其中，， 所以，所以．故小时后，细胞的存活数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 第3节 等比数列的定义与通项 一、等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，即（常数），则这个数列为等比数列，常数称为其公比． 注意：（1）在等比数列中，任何一项，公比； （2）奇数项同号，偶数项同号； （3）当时，，为常数列． 【典例1】等比数列，，，…的第四项等于 ． 反思：利用等比数列的定义解题时，应注意以下三个要点： ①任意一项，公比；②奇数项同号，偶数项同号；③三个数成等比数列，可设这三个数为，或设为．四个数成等比数列，可设这四个数为，，，或设为，． 二、等比数列的通项公式 等比数列的通项公式为． 1．推导 方法1（累乘法）：，，，…，，以上个式子相乘，得（时也成立）． 方法2（迭代法）：． 【典例2】（1）已知数列满足：，，求数列的通项公式. （2）设等比数列的前项和为，其公比为．若，，则 ． 反思：（1）利用累乘法求数列的通项公式时，应弄清作乘积的式子的个数，以及约去的项与剩下的项各是哪些，必要时检验首项是否满足公式； （2）基本量之间的互求（知三求二的思想方法）：涉及到两个条件，或已知，，，中的三个量，求其他两个量的问题，一般先建立首项与公比的方程（组），再利用两式相比或代入消元的方法求得与，最后进行其他的相关运算． 【变式2-1】已知数列满足：，，求． 【变式2-2】设等比数列满足，． （1）求的通项公式；（2）记为数列的前项和．若，求． 【变式2-3】（2023年贵州高考）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 2．推广（等比数列任意两项的关系） ，即． 【典例3】设数列的前项和为，若，，则 . 反思：公式可以实现向的转化． 【变式3】已知等比数列的各项都是正数，且，成等差数列，则 ． 反思：对于等比数列与等差数列的混合题型，首先应将等差与等比区分开来，然后再按各自的规则进行处理． 3．构造等比数列 【典例4】在数列中，若，，求的通项公式. 反思：若递推公式为（均为非零常数，且），把原递推公式转化为，其中，即构造新的等比数列进行求解. 【变式4】设数列{}的前项和为，已知，． （1）设，证明：数列{}是等比数列；（2）求数列{}的通项公式． 三、等比数列的性质 1．等比中项 ，，成等比数列或，，成等比数列是与的等比中项，即． 【典例5】已知△的三边长，，依次成等比数列，三内角，，依次成等差数列，求证：为正三角形． 【变式5】在正项等比数列中，，则 ． 2．等比中项性质的推广（整体思想与特值法） 若，则，特别地，当时，有． 【典例6】在等比数列中，若，则( ) A． B． C． D． 【变式6-1】在等比数列中， ，，则 ． 【变式6-2】若正项等比数列满足：，则（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】若正项等比数列满足，则 ． 【变式6-4】等比数列中，，，则 ． 【变式6-5】（2023年全国乙卷）已知为等比数列，，，则 ． 3．函数观点看数列 ，当，且时，可看作是关于的指数型函数，即，． （1）若，当时，是递增数列；当时，是递减数列； （2）若，当时，是递减数列；当时，是递增数列； （3）若，则为摆动数列； （4）若，则为常数列． 【典例7】等比数列中，，公比，记，则取最大值时的值为（ ） A． B． C．或 D． 【变式7-1】设等比数列满足：，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】设数列的前项和为，且满足：，数列满足：，求函数的最大值． 4．其它常见性质 （1）两个等比数列与的积、商、倒数数列、、仍为等比数列． （2）去掉数列的前项后余下的项仍组成公比为的等比数列； （3）若数列是公比为的等比数列，则每隔项取出一项得到的， 仍是等比数列，其公比为； （4）奇数项数列是首项为、公比为的等比数列；偶数项数列是首项为、公比为的等比数列； （5）若是正项等比数列，则数列（且）为等差数列． 四、等比数列的判断与证明 【典例8】数列满足，，求证：是等比数列. 反思：等比数列的常见判定方法有： ①（≥，且是不为零的常数）是公比为的等比数列； ②（是不为零的常数）是等比数列； ③（≥，）是等比数列． 五、实际应用 【典例9】从盛满纯酒精的容器中倒出，然后加满水，再倒出混合溶液后又加满水，如此继续下去…，第次操作后酒精的浓度是多少？若，倒几次后才能使酒精浓度低于？ 【评注】求解等比数列应用题的一般步骤是： 1．审题；2．建立数列模型；3.解方程或不等式；4.下结论． 【变式9-1】某种细胞开始时有个，小时后分裂成个并死掉个，小时后分裂成个并再次死掉个，小时后分裂成个同样死掉个，按此规律，小时后，细胞的存活数是多少个？（注：母细胞分裂之后变成个子细胞）按此规律，小时后，细胞的存活数是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $