第四章 数列 第2节 等差数列的前n项和 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦等差数列前n项和核心考点，涵盖公式应用、函数观点、和的性质、裂项相消及最值问题，按“基础公式—性质拓展—方法技巧—实际应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、典例精讲（如2022甲卷、2023乙卷真题）、变式训练分层突破难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如用函数观点分析Sn二次函数特征推导最值条件，结合裂项相消法强化数列求和技能。设置从基础运算到综合应用的分层练习（如变式1-1至1-9），配合反思总结环节，帮助学生高效构建解题模型，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第四章 数列 第2节 等差数列的前项和 一、等差数列的前项和公式 1．． 2．运用公式进行基本运算 【典例1】已知一个等差数列的前项和是，前项的和是，由这些条件，你能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 思考：对于等差数列相关量，已知几个量就可以确定其他量？ 【变式1-1】已知一个等差数列的前四项和为，末四项和为，前项和为，则项数的值为_______． 【变式1-2】已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】设等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-4】已知为等差数列，前项和为，若，则 ． 【变式1-5】已知等差数列的公差为整数，，设其前项和为，且是公差为的等差数列． （1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和． 反思：在等差数列中， （1）若，且，，则项的绝对值的前项和为 （2）若，且，，则项的绝对值的前项和为 【变式1-6】（2023年乙卷文科）记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式；（2）求数列的前项和． 【变式1-7】设数列满足，数列满足，数列是由数列、公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，设数列的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-8】（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式． （2）已知数列的前项和为，且，则通项 ． 3．函数观点看等差数列的前项和公式 （1）在中，令，，有 ，其中，，当时，满足二次函数，点是抛物线上离散的点． 抛物线的对称轴方程，或由抛物线顶点的横坐标知，函数的两个零点为和，从而．比如，给出关系式，可知抛物线的对称轴方程为，关于的最值问题可以转化成二次函数求解，的最值在离对称轴最近的整数中取得．图象如下： （2）由知，当时，满足一次函数 ，点是直线上离散的点． 【典例2】（2022年全国甲卷）记为数列的前项和．已知． （1）证明：是等差数列；（2）若，，成等比数列，求的最小值． 【变式2-1】已知数列的前项和为． （1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； （2）求的最小值，并求取最小值时的值． 【变式2-2】在等差数列中，，，求的最大值 【变式2-3】在等差数列中，已知，，则 ． 【变式2-4】设等差数列的前项和为，若，，，则（ ） A． B． C． D． 4．公式的实际应用 【典例3】在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”．题意是把斤绵分给个儿子做盘缠．按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分斤绵．则年龄最小的儿子分到的绵是（     ） A．65斤 B．82斤 C．184斤 D．201斤 【变式3】“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题．现将到这个数中被除余，且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则（     ） A．2130 B．2734 C．2820 D．3019 二、和的性质 1．，，，成等差数列，且其公差为． 证明： ， ． 同理，． 所以数列，，，是首项为，公差为的等差数列． 【典例4】已知为等差数列的前项和，，则 ． 【变式4】（2020年新课标2卷理科）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ） A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 2．当时，． 【典例5】设等差数列的前项和为，且，，则 ． 【变式5-1】设等差数列的前项和为，且，则 ． 【变式5-2】设等差数列的前项和为，已知， ． 【变式5-3】已知是等差数列的前项和，若，，则（     ） A． B． C． D． 【练习5-4】设等差数列的前项和为，且，则满足的的最大值为( ) A． B． C． D． 【变式5-5】设在等差数列的其前项和为，，，则取最小值时，( ) A． B． C． D． 【变式5-6】设为等差数列， ，为其前项和，且，则的公差 ( ) A． B． C． D． 3．与奇偶项有关的和的性质 ①若等差数列有项，则；，； ②若等差数列有项，则，，． 【典例6】已知等差数列，的前项和分别为，，且满足：， ，则的通项公式为 ． 【变式6-1】一个有穷等比数列的首项为，项数为偶数，如果其奇数项之和为，偶数项之和为，求此数列的公比和项数． 【变式6-2】正项等差数列的前项和为满足，若，则 ( ) A． B． C． D． 【变式6-3】已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则 . 【变式6-4】已知等差数列，前项和分别为，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式6-5】设公差不为的等差数列的前n项和为，已知，则（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式6-6】（2020级绵阳一诊）设等差数列的前项和为，且， 则 ( ) A． B． C. D． 【变式6-7】（贵阳一中2023届第三次月考）设数列的前项和为，且 ．若，则( ) A． B． C． D． 【变式6-8】（2023届贵州省六校联盟高考实用性联考卷一）记为等差数列的前项 和．若，则 ． 【变式6-9】在等差数列中，为其前项和，，则（ ） A． B． C． D． 三、裂项相消法 【典例7】（2022年全国新高考1卷）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式；（2）证明：． 【变式7-1】设为等差数列的前n项和，已知，． （1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和． 【变式7-2】已知正项数列中，，前项和为，且__________．请在①、②中任选一个条件填在题目横线上，再作答： ①，②． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 四、最值问题 1．在等差数列中，当，时，有最大值，使取到最值的由且确定；当，时，有最小值，使取到最值的可由且确定． 2．因为，若d≠0，则从二次函数的角度看：当时，有最小值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的自然数时，取到最值． 【典例8】已知等差数列的前项和为，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．数列是递减数列 D．中最大 【变式8-1】已知等差数列的前项和为，若，且，则满足的的最大值为（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式8-2】等差数列中，为它前项和，若，，，则最大时，（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（     ） A．20 B．17 C．19 D．21 【变式8-4】已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（     ） A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【变式8-5】在等差数列中，为其前项的和，已知，且，当取得最大值时，的值为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【变式8-6】已知当且仅当时，等差数列的前项和取得最大值，若，则公差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．公式的灵活运用 【典例9】已知等差数列中，，，则使前项和的的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】等差数列中，，，则为何值时，最大？ 【变式9-2】（多选题）已知是等差数列的前项和，且， 则下列选项正确的是（     ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【变式9-3】（多选题）已知无穷等差数列的前项和为，且，则（    ） A．在数列中，最大 B．在数列中，最大 C． D．当时， 【变式9-4】（多选题）已知是等差数列的前项和，且，有下列结论正确的是（ ） A．公差         B．在所有中，最大 C．满足的的个数有个       D． 【变式9-5】已知为等差数列的前n项和，d为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最小值时的n为6；④满足成立的最小n值为13，其中正确命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 第2节 等差数列的前项和 一、等差数列的前项和公式 1．． 2．运用公式进行基本运算 【典例1】已知一个等差数列的前项和是，前项的和是，由这些条件，你能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 【解析】方法1：由题意知，，则，，解得，． 方法2：由题意得，解得，由，得，所以． 思考：对于等差数列相关量，已知几个量就可以确定其他量？ 答：已知其中任意三个量，确定另外两个量． 【变式1-1】已知一个等差数列的前四项和为，末四项和为，前项和为，则项数的值为_______． 【解析】由题意得，所以，所以，因为等差数列的前项和为，所以，解得． 【变式1-2】已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】方法1：设等差数列的首项为，公差为，由，，得解得，所以． 故选D． 方法2：，， ． 【变式1-3】设等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 【解析】方法1：设等差数列的首项为，公差为，因为等差数列的前项和为，，所以，整理得，所以 ．故选C． 方法2：易知，，成等差数列，所以，又，消去，得． 【变式1-4】已知为等差数列，前项和为，若，则 ． 【解析】设等差数列的公差为，由已知得得解得所以． 【变式1-5】已知等差数列的公差为整数，，设其前项和为，且是公差为的等差数列． （1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和． 【解析】（1）设的公差为，依题意得，所以，即，化简得，解得或（舍去），故，． （2）依题意，得．所以当时，，故 ；当时，，故 ．故 反思：在等差数列中， （1）若，且，，则项的绝对值的前项和为 （2）若，且，，则项的绝对值的前项和为 【变式1-6】（2023年乙卷文科）记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式；（2）求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得，所以， （2）因为，令，解得，且． 当时，则，得； 当时，则，得 ． 综上所述，. 【变式1-7】设数列满足，数列满足，数列是由数列、公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，设数列的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【解析】易知数列、分别是以，为公差，为首项的等差数列，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以．故选B． 【变式1-8】（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式． （2）已知数列的前项和为，且，则通项 ． 【解析】（1）方法1：由等差数列求和公式知，为等差数列，且，得，又，所以． 方法2：由等差数列求和公式知，为等差数列，且，所以，解得． （2）当时，； 当时，． 所以 3．函数观点看等差数列的前项和公式 （1）在中，令，，有 ，其中，，当时，满足二次函数，点是抛物线上离散的点． 抛物线的对称轴方程，或由抛物线顶点的横坐标知，函数的两个零点为和，从而．比如，给出关系式，可知抛物线的对称轴方程为，关于的最值问题可以转化成二次函数求解，的最值在离对称轴最近的整数中取得．图象如下： （2）由知，当时，满足一次函数 ，点是直线上离散的点． 【典例2】（2022年全国甲卷）记为数列的前项和．已知． （1）证明：是等差数列；（2）若，，成等比数列，求的最小值． 【解析】（1）证明：方法1：由已知有①，把换成，②，②①可得：， 整理得，由等差数列定义有为等差数列． 方法2：因为，所以，所以 ，所以，所以 ，所以，故数列是以首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以，所以故为等差数列． （2）方法1：由已知有，设等差数列的首项为，由（1）有其公差为1，故，解得，故，所以，故得，，，故在或者时取最小值，，故的最小值为． 方法2：由（1）可得，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以 ，所以当或时，． 【变式2-1】已知数列的前项和为． （1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列； （2）求的最小值，并求取最小值时的值． 【解析】（1）当时，有；当时，有，又因为，所以时也成立，因此数列的通项公式为，因为，所以是等差数列 （2）方法1：因为，又因为是正整数，所以当或时，最小，最小值是 方法2：由知，数列是递增的等差数列，而且首项，令 得，解得，且，由此可知，或时，最小，且最小值是 【变式2-2】在等差数列中，，，求的最大值 【解析】方法1：由，得，解得，所以，由二次函数的性质知，当时，有最大值 方法2：由方法1得因为，由解得所以当时，有最大值 方法3：由方法1得由，得， 又因为，故， 因为，，所以，，故当时，有 最大值 方法4：由方法1知，由及二次函数图象 的对称轴方程为，当时取最大值． 方法5：，， 又因为，，所以，，所以最大 【变式2-3】在等差数列中，已知，，则 ． 【解析】，所以数列是公差为的等差数列，由，得，即，所以 ． 【变式2-4】设等差数列的前项和为，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由，，成等差数列，得，解得． 4．公式的实际应用 【典例3】在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”．题意是把斤绵分给个儿子做盘缠．按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分斤绵．则年龄最小的儿子分到的绵是（     ） A．65斤 B．82斤 C．184斤 D．201斤 【解析】设个儿子按年龄从小到大依次分绵斤，斤，斤，，斤，则数列为公差为的等差数列．因为绵的总数为斤，所以，解得．故选C． 【变式3】“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题．现将到这个数中被除余，且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则（     ） A．2130 B．2734 C．2820 D．3019 【解析】能被除余，且被除余的数为能被除余的数，按从小到大的顺序排成以为首项，公差为的等差数列，则，所以 ，所以．故选B． 二、和的性质 1．，，，成等差数列，且其公差为． 证明： ， ． 同理，． 所以数列，，，是首项为，公差为的等差数列． 【典例4】已知为等差数列的前项和，，则 ． 【解析】由等差数列前项和的性质，得，，，成等差数列．令，则，，，成等差数列．令，，则，，，所以，，所以． 【变式4】（2020年新课标2卷理科）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ） A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 【解析】方法1：设第环天石心块数为，第一层共有n环，则是以为首项，为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即，得，解得，所以．故选C． 方法2：因为是等差数列，且公差为，所以，从而． 2．当时，． 证明：． ，所以． 【典例5】设等差数列的前项和为，且，，则 ． 【解析】由，得． 【变式5-1】设等差数列的前项和为，且，则 ． 【解析】由，得． 【变式5-2】设等差数列的前项和为，已知， ． 【解析】由，得，所以，得． 【变式5-3】已知是等差数列的前项和，若，，则（     ） A． B． C． D． 【解析】方法1：设，则解得所以，则．故选B． 方法2：由，得，解得． 【练习5-4】设等差数列的前项和为，且，则满足的的最大值为( ) A． B． C． D． 【解析】由，得，由，得，所以满足的的最大值为．故选C． 【变式5-5】设在等差数列的其前项和为，，，则取最小值时，( ) A． B． C． D． 【解析】由，得，所以 ，得，，所以，从而取最小值时，．故选D． 【变式5-6】设为等差数列， ，为其前项和，且，则的公差 ( ) A． B． C． D． 【解析】方法1：由，得，所以，即，从而． 方法2：由，得，所以． 3．与奇偶项有关的和的性质 ①若等差数列有项，则；，； ②若等差数列有项，则，，． 【典例6】已知等差数列，的前项和分别为，，且满足：， ，则的通项公式为 ． 【解析】方法1：由题意，得，因为，均为等差数列，所以可设，，又，所以，解得，所以．易知，所以，得． 方法2：由得，由于满足，所以． 【变式6-1】一个有穷等比数列的首项为，项数为偶数，如果其奇数项之和为，偶数项之和为，求此数列的公比和项数． 【解析】设偶数项和为，奇数项和为，公比为，项数为，则， 从而前项和，即，解得． 【变式6-2】正项等差数列的前项和为满足，若，则 ( ) A． B． C． D． 【解析】，， 所以．故选C． 【变式6-3】已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且，则 . 【解析】方法1：． 方法2：，取，，则，， ，，从而， ，所以． 【变式6-4】已知等差数列，前项和分别为，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【解析】因为，为等差数列，则 ，即．故选D． 【变式6-5】设公差不为的等差数列的前n项和为，已知，则（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 【解析】因为，又，所以，所以，即，设等差数列的公差为，则，所以，又，所以，所以．故选C． 【变式6-6】（2020级绵阳一诊）设等差数列的前项和为，且， 则 ( ) A． B． C. D． 【解析】方法1：由，得，所以 ． 方法2：，则，得，所以． 【变式6-7】（贵阳一中2023届第三次月考）设数列的前项和为，且 ．若，则( ) A． B． C． D． 【解析】由知，数列为等差数列． 方法1：由，得，得，所以 ．故选A． 方法2：设，则，得，所以． 【变式6-8】（2023届贵州省六校联盟高考实用性联考卷一）记为等差数列的前项 和．若，则 ． 【解析】方法1：． 方法2：设，则，得，所以． 【变式6-9】在等差数列中，为其前项和，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】方法1：．故选B． 方法2：由，得． 三、裂项相消法 【典例7】（2022年全国新高考1卷）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式；（2）证明：． 【解析】（1）方法1（隔项累乘法）：因为是公差为的等差数列，所以，整理得①，当时， ②，①②得，故，化简得，，，，，，，所以，故（首项符合该公式），所以． 方法2（构造常数列）：由方法1得，即，得，故是常数列，所以=，所以． （2）证明：由，得，所以 ． 【变式7-1】设为等差数列的前n项和，已知，． （1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和． 【解析】（1）因为是等差数列，设公差为，所以 所以． （2）由（1）得，则， 所以 ． 【变式7-2】已知正项数列中，，前项和为，且__________．请在①、②中任选一个条件填在题目横线上，再作答： ①，②． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 【解析】（1）若选①：由，得， 即，因为为正项数列，所以，是公差为的等差数列，由，得； 若选②：，当时，，两式作差得 ，则，两式作差得 ，即，所以数列为等差数列，时，，得，公差，则． （2）由（1）知，，又， 所以． 四、最值问题 1．在等差数列中，当，时，有最大值，使取到最值的由且确定；当，时，有最小值，使取到最值的可由且确定． 2．因为，若d≠0，则从二次函数的角度看：当时，有最小值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的自然数时，取到最值． 【典例8】已知等差数列的前项和为，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．数列是递减数列 D．中最大 【解析】因为，所以， 又，所以，则，所以等差数列单调递减，中最大．故选D． 【变式8-1】已知等差数列的前项和为，若，且，则满足的的最大值为（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【解析】由题意得，即， ，即，因为，所以公差，所以，，均为正数，，，均为负数．因为，，所以的取得最大值，且最大值为．故选B． 【变式8-2】等差数列中，为它前项和，若，，，则最大时，（    ） A． B． C． D． 【解析】， ，因此，而，因此该等差数列是递减数列，所以当最大时，．故选A． 【变式8-3】已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（     ） A．20 B．17 C．19 D．21 【解析】因为，所以和异号，又等差数列的前项和有最大值，所以数列是递减的等差数列，所以，，所以， ，所以当时，的最大值为． 故选C． 【变式8-4】已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（     ） A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【答案】C 【解析】设的公差为，则， ，又，，即，又，，由此可知，数列是单调递减数列，点在开口向下的抛物线上，又，点与点关于直线对称，当或时，最大．故选C． 【变式8-5】在等差数列中，为其前项的和，已知，且，当取得最大值时，的值为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【解析】设等差数列的公差为，因为，所以 ，所以，所以，所以，，所以取得最大值．故选C． 【变式8-6】已知当且仅当时，等差数列的前项和取得最大值，若，则公差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】由已知得， 又，所以解得．故选A． 3．公式的灵活运用 【典例9】已知等差数列中，，，则使前项和的的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】由，，得，所以， ，由知，为递增数列，所以使的的最小值为．故选C． 【变式9-1】等差数列中，，，则为何值时，最大？ 【解析】由，得，由 ，得，所以，从而公差，所以时，最大． 【变式9-2】（多选题）已知是等差数列的前项和，且， 则下列选项正确的是（     ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【解析】因为，所以，即，故B正确； 所以数列为递减数列，故A错误；所以的最大值为，故C正确； 又因为，故D错误． 故选BC． 【变式9-3】（多选题）已知无穷等差数列的前项和为，且，则（    ） A．在数列中，最大 B．在数列中，最大 C． D．当时， 【解析】由题意得，，则等差数列的公差，则在数列中，最大，故A正确，B错误； 因，故C错误； 因，，则当时，，故D正确． 故选AD． 【变式9-4】（多选题）已知是等差数列的前项和，且，有下列结论正确的是（ ） A．公差         B．在所有中，最大 C．满足的的个数有个       D． 【解析】因为等差数列中，，所以，故A正确； 因为，所以，，故D正确； 易知，因为，所以，故，由于，单调递减，所以中，前项和为正，当时为负．故B正确，C错误． 故答案为ABD． 【变式9-5】已知为等差数列的前n项和，d为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最小值时的n为6；④满足成立的最小n值为13，其中正确命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】对于①：因为，所以，，所以，故①正确； 对于②：因为，所以，所以，故②正确； 对于③：因为，所以为单调递增数列，所以等差数列中前6项均小于0，则使得取得最小值时的n为6，故③正确； 对于④：因为，且为单调递增数列，且，所以，且满足成立的最小n值为13，故④正确． 故选D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $