第四章 数列 第4节 等比数列的前项和 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦等比数列前n项和高考核心考点，涵盖基本计算、实际应用、公式性质及错位相减法，按“基础计算—性质探究—求和方法”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、典例精讲（含2021新课标3卷等真题）、变式训练和方法反思，帮助学生系统突破分类讨论、公式应用等难点。 资料特色在于融合数学文化（如《九章算术》织布问题）与高考真题，以函数观点分析前n项和公式培养数学思维，设计分层练习。例如错位相减法教学中总结“乘公比—错位对齐—作差求和”步骤，提升数学语言表达能力，为教师提供精准复习节奏指导，高效提升学生应考能力。

第四章 数列 第4节 等比数列的前项和 一、等比数列前项和公式的基本计算及实际应用 在等比数列中，公比， 注意：①对于，， ，，，利用求和公式（必要时用到通项公式），可以做到知三求二；②为项数；③注意对分类讨论． 【典例1】（1）在等比数列中，，求. （2）已知等比数列的前项和为，，则（ ） A． B． C． D． 反思：两个和式相比可约去，当时，． 【变式1-1】已知等比数列的前项和为，且公比，若是与的等差中项，则 ． 【变式1-2】设公比为的等比数列的前项和为．若，，则 ． 反思：碰到项数较少的求和问题时，可以避开求和公式． 【变式1-3】一个有穷等比数列的首项为，项数为偶数，如果其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数． 反思：若项数为偶数，则，项数为奇数时，． 【变式1-4】已知等比数列的公比，且，则 . 【变式1-5】已知等比数列有项，，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-6】古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天织布多？”根据上述的已知条件，可求得该女子第5天所织布的尺数为______． 【变式1-7】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（  ） A．6里 B．5里 C．4里 D．3里 【变式1-8】一个热气球在第上升了的高度，在以后的每里，它上升的高度都是它在前上升高度的，这个热气球上升的高度能达到吗? 二、公式及性质运用 1．探究函数观点看等比数列前项和公式 对于等比数列，当时， 由知，与指数函数相联系．设，，则，且． 反之，若（都是常数，且，），则一定是等比数列吗？ 当时，． 当时，，因为，当时，，是等比数列；当，不是等比数列． 由上讨论可知，（都是常数，且，），则是等比数列的充要条件是：． 【典例2】已知等比数列的前项为满足：，则( ) A． B． C． D． 【变式2】已知等比数列的其前项和，则( ) A． B． C． D． 2．探究等比数列前项和与等比数列的单调性 【典例3】（提升）设是等比数列，且，下列正确结论的个数为（     ） ①数列具有单调性；     ②数列有最小值为； ③前项和有最小值；      ④前项和有最大值 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（提升）设等比数列的公比为，前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（     ） A． B． C． D．是数列中的最大项 【变式3-2】已知首项为，公比为的等比数列，其前项和为，则“”是“单调递增”的（  ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．若是等比数列，且公比，则，，…成等比数列，即等比数列中相隔相同数目项的和仍然成等比数列，公比；当，且为偶数时，数列,…是各项均为的常数数列，它不是等比数列． 【典例4】各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则 ． 【变式4-1】设是等比数列的前项和，若，则 ． 【变式4-2】设等比数列的首项，前项和为．若，求． 【变式4-3】等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．或 D．或 4．，特别地，当时，． 证明： ． 【典例5】在等比数列中，若，，则______． 【变式5-1】设等比数列的前项和为，已知，，则 ． 【变式5-2】（2021年新课标3卷）记为等比数列的前项和．若， ，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】设为等比数列的前项和，已知，，求． 【变式5-4】（2023年新高考2卷）记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-5】已知等比数列的前项和为，且，则下列各式中一定成立的（ ） A． B． C． D． 5．最值 【典例6】（多选）已知数列满足，，为的前项和，则（     ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递减数列 D．当或时，取得最大值 6．构造等比数列 【典例7】设数列的前项和为．若，，求． 反思：公式可以实现与的相互转化． 【变式7-1】数列的前项和为，若，，则 . 【变式7-2】若数列的前项和，则的通项公式是 . 【变式7-3】若数列的前项和为，，且，求与. 【变式7-4】已知数列数列满足，求的通项公式． 8．错位相减法求数列的和 【典例9】已知数列满足：，设，求数列的前项和． 反思:1．错位相减法：若数列为等差数列，为等比数列，则求数列的前项和时可以用错位相减法，具体做法是：将等式两边同时乘以公比，错项对齐，然后两式作差.应注意三点：①为避免出错，可以在空位上补零；②留意哪些项带正号，哪些项带负号；③求等比数列的和时，应分清等比数列的项数． 2．简化公式：数列的通项公式为，记，，则． 【变式9-1】已知数列，的通项公式分别是，，求数列的前项和. 【变式9-2】已知数列，的通项公式分别是，，设，求数列的前项和． 【变式9-3】已知数列，的通项公式分别是，，求数列的前项和． 【变式9-4】（2023年全国甲卷理科）设为数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式；（2）求数列的前项和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 第4节 等比数列的前项和 一、等比数列前项和公式的基本计算及实际应用 在等比数列中，公比， 注意：①对于，， ，，，利用求和公式（必要时用到通项公式），可以做到知三求二；②为项数；③注意对分类讨论． 【典例1】（1）在等比数列中，，求. （2）已知等比数列的前项和为，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】（1）若时，则，与已知条件矛盾； 若时，由解得，所以. （2）方法1：设等比数列的公比为，，由题意，．因为前3项和为，，所以，，则．故选D． 方法2：设等比数列的公比为，，由题意，．因为前项和为， ，所以，，则． 反思：两个和式相比可约去，当时，． 【变式1-1】已知等比数列的前项和为，且公比，若是与的等差中项，则 ． 【解析】因为是与的等差中项，所以，即，得，解得，或（舍去），从而 ． 【变式1-2】设公比为的等比数列的前项和为．若，，则 ． 【解析】联立方程组两式相减，得，即， 结合，及，得． 反思：碰到项数较少的求和问题时，可以避开求和公式． 【变式1-3】一个有穷等比数列的首项为，项数为偶数，如果其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数． 【解析】设偶数项和为，奇数项和为，公比为，项数为，则， 从而前项和，即，解得． 反思：若项数为偶数，则，项数为奇数时，． 【变式1-4】已知等比数列的公比，且，则 . 【解析】若项数为，则，所以 . 【变式1-5】已知等比数列有项，，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为，偶数项为，整体代入得，所以前项的和为 ，解得．故选B． 【变式1-6】古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天织布多？”根据上述的已知条件，可求得该女子第5天所织布的尺数为______． 【解析】设这女子每天分别织布的尺数构成数列，依题意，数列是公比为的等比数列，前项之和，即，得，所以． 【变式1-7】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（  ） A．6里 B．5里 C．4里 D．3里 【解析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得，所以． 【变式1-8】一个热气球在第上升了的高度，在以后的每里，它上升的高度都是它在前上升高度的，这个热气球上升的高度能达到吗? 【解析】用示热气球在第上升的高度.由题意，得，因此,数列是首项、公比的等比数列，热气球在里上升的总高度，所以这个热气球上升的高度不可能超过． 二、公式及性质运用 1．探究函数观点看等比数列前项和公式 对于等比数列，当时， 由知，与指数函数相联系．设，，则，且． 反之，若（都是常数，且，），则一定是等比数列吗？ 当时，． 当时，，因为，当时，，是等比数列；当，不是等比数列． 由上讨论可知，（都是常数，且，），则是等比数列的充要条件是：． 【典例2】已知等比数列的前项为满足：，则( ) A． B． C． D． 【解析】易知，由知，且， 所以．故选B． 【变式2】已知等比数列的其前项和，则( ) A． B． C． D． 【解析】方法1：因为，所以， ，，因为是等比数列，所以，即，解得．故选A． 方法2：显然公比，由等比数列求和公式，得，又，所以，得． 2．探究等比数列前项和与等比数列的单调性 【典例3】（提升）设是等比数列，且，下列正确结论的个数为（     ） ①数列具有单调性；     ②数列有最小值为； ③前项和有最小值；      ④前项和有最大值 A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】由，有． 当时，有，解得，此时数列是每一项都是正数的单调递增数列，所以其前项和没有最大值，如，，，…．故④不正确． 当时，有，解得或． （1）当时，数列是摆动数列，不具有单调性，如，，，，…．故①、②不正确； （2）当时，，前项和无最小值，如，，，…．故③不正确． 故选A． 【变式3-1】（提升）设等比数列的公比为，前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（     ） A． B． C． D．是数列中的最大项 【解析】由，得或，即或，对于①，由得；对于②，由得，所以，与②相矛盾，故，，故A错误． 由知，，且，故B、C正确． 易知，，，，，，所以是数列中的最大项，则D正确． 故选A． 【变式3-2】已知首项为，公比为的等比数列，其前项和为，则“”是“单调递增”的（  ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【解析】在等比数列中，，则． 当时，，所以单调递增，故充分性成立； 当单调递增时，时，单调递增，但是推不出，故必要性不成立． 故选A． 3．若是等比数列，且公比，则，，…成等比数列，即等比数列中相隔相同数目项的和仍然成等比数列，公比；当，且为偶数时，数列,…是各项均为的常数数列，它不是等比数列． 【典例4】各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则 ． 【解析】方法1：由等比数列前项和的性质知，，，，依次成等比数列，则，即，又，解得，同理有，即，解得． 方法2：，，，所以，所以． 【变式4-1】设是等比数列的前项和，若，则 ． 【解析】方法1：设，所以，因为数列是等比数列，所以成等比数列，因为数列的公比为，所以，所以，所以，所以，所以． 方法2：由，得，所以，所以，，从而． 【变式4-2】设等比数列的首项，前项和为．若，求． 【解析】方法1：易知，，成等比数列，所以由，得，得，从而． 方法2：由性质，得，所以，得，从而． 方法3：由题意得，由，得，解得，从而． 【变式4-3】等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．或 D．或 【解析】方法1：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，解得或，因为，所以，则．故选A． 方法2：由，得，即 ，化为，即，易知，解得． 方法3：，所以． 4．，特别地，当时，． 证明： ． 【典例5】在等比数列中，若，，则______． 【解析】设等比数列的公比为，由题可知， 方法1：由已知条件可列出方程组两式作商，得，所以，所以． 方法2：因为，，成等比数列，而，，所以，即，所以． 方法3：由性质，得，即，所以，所以． 方法4：运用性质，由已知条件，，易得，所以，即，所以，由，解得． 【变式5-1】设等比数列的前项和为，已知，，则 ． 【解析】由，得，即，得． 【变式5-2】（2021年新课标3卷）记为等比数列的前项和．若， ，则（ ） A． B． C． D． 【解析】方法1：为等比数列的前项和，，，由等比数列的性质，可知，，成等比数列，因为，，成等比数列，所以，解得．故选A． 方法2：，． 【变式5-3】设为等比数列的前项和，已知，，求． 【解析】方法1：易知，，成等比数列，而，，所以，即，所以． 方法2：由性质，得，即，所以，所以． 方法3：运用性质，由已知条件，，易得，所以，即，所以，由，解得． 【变式5-4】（2023年新高考2卷）记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】解法1：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；由，，得，①，由①得，解得，所以．故选C． 解法2：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而成等比数列，所以，解得或． 当时，，即为，，，，易知，即；当时， ，与矛盾，舍去． 解法3：由 或．若，则，不合题意；若，则 ． 【变式5-5】已知等比数列的前项和为，且，则下列各式中一定成立的（ ） A． B． C． D． 方法1：由，得，所以，即，化为，即，所以．故选C． 方法2：由，得， 即，所以． 方法3：由，得，所以 ，即，所以． 5．最值 【典例6】（多选）已知数列满足，，为的前项和，则（     ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递减数列 D．当或时，取得最大值 【解析】因为，所以，即，， 又因为，所以，所以为首项为，公比为的等比数列，A正确； ，所以，B错误； 因为函数是减函数，所以为递减数列，C正确； 令，即，解得，所以时，，时，，所以当或时，取得最大值，D错误． 故选AC． 6．构造等比数列 【典例7】设数列的前项和为．若，，求． 【解析】方法1：由于解得．由，得，所以，所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即． 方法2：由于解得，．由，得时，，两式相减，得，又，所以数列是首项为、公比为的等比数列，所以，从而． 反思：公式可以实现与的相互转化． 【变式7-1】数列的前项和为，若，，则 . 【解析】当时，由，得，所以，即，即从第二项起，是公比为的等比数列，则．又，所以，故 【变式7-2】若数列的前项和，则的通项公式是 . 【解析】当时，，得，当时，， 得，于是，，…，，以上个式子相乘，得，故数列的通项公式是. 【变式7-3】若数列的前项和为，，且，求与. 【解析】当时，，得；当时，， 得．因为，故从第二项起，是等比数列，所以 由，得，由知，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故. 【变式7-4】已知数列数列满足，求的通项公式． 【解析】方法1：由，得时，，得；时，，得，即，又，所以是数列是首项为、公比为的等比数列，所以，即． 方法2：由，得时，，得；当，，即．令，即，所以得，所以， 且，所以数列是首项为、公比为的等比数列，所以，即，从而 ． 8．错位相减法求数列的和 【典例9】已知数列满足：，设，求数列的前项和． 【解析】方法1：由，得 ，两式作差，得，所以，从而 …①，则…②． ①②，得，化简、整理得． 方法2：，，，．，，． 反思:1．错位相减法：若数列为等差数列，为等比数列，则求数列的前项和时可以用错位相减法，具体做法是：将等式两边同时乘以公比，错项对齐，然后两式作差.应注意三点：①为避免出错，可以在空位上补零；②留意哪些项带正号，哪些项带负号；③求等比数列的和时，应分清等比数列的项数． 2．简化公式：数列的通项公式为，记，，则． 【变式9-1】已知数列，的通项公式分别是，，求数列的前项和. 【解析】因为，所以 ，即…①， 所以…②． ①②，得 ，化简、整理，得． 【变式9-2】已知数列，的通项公式分别是，，设，求数列的前项和． 【解析】， 即…①， 则…②． ①②，得，化简、整理得． 【变式9-3】已知数列，的通项公式分别是，，求数列的前项和． 【解析】由题意，得…①， 从而…②． ①②，得，化简、整理得． 【变式9-4】（2023年全国甲卷理科）设为数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式；（2）求数列的前项和． 【解析】（1）由，得时，，即；当时，，即，当时，， 得，化简得，当时，，即，当，，时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ，两式相减，得 ，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $