第四章 数列 第6节 数列前项和的求法 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦数列前n项和求法这一高考核心考点，系统整合公式法、Sn求an、裂项相消、错位相减、分组并项拆项等方法，按“方法梳理-典例精讲-针对练习”流程设计，帮助学生构建知识网络，突破求和难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出方法提炼与分层训练，如裂项相消法总结多种裂项技巧，错位相减强调步骤规范，结合高考真题（如2015新课标2题）培养学生数学思维与应用意识。通过典例引领、梯度练习，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第四章 数列 第6节 数列前项和的求法 一、公式法 1．等差数列求和公式：． 2．等比数列求和公式 3．，． 【典例1】已知等差数列和等比数列满足，，． （1）求数列的通项公式；（2）求的计算公式． 【针对练习1-1】在等比数列中，，公比是方程的实根，求. 【针对练习1-2】已知等差数列的公差，， 成等比数列． （1）求的通项公式；（2）求． 二、利用求和 【典例2】设数列的前项和为．若，，求． 【针对练习2-1】（2015高考新课标2）设是数列的前项和，且， ，则 ． 三、裂项相消法 裂项相消法：将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．常见裂项技巧有： ，， ，，， ，， 令，则上式化为，其中为常数． 【典例3】已知等差数列满足，，，则的前项的和． 【针对练习3-1】求的计算公式． 【针对练习3-2】已知数列的通项，设其前项和为，求证：. 【针对练习3-3】设等差数列的前项和为.已知，公差，且是与的等比中项． （1）求的通项公式；（2）设，，求证：． 【针对练习3-4】若数列满足：，，求证：． 【针对练习3-5】在等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若为递增数列，，求数列的前n项和 【针对练习3-6】已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为．求证：． 【针对练习3-7】已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585． （1）求数列的前项和； （2），数列的前项和记为，若恒成立，求的最小值． 【针对练习3-8】已知数列的通项公式为，设其前项和为． 求证：． 四、错位相减法（适用于，其中是等差数列，是等比数列） 设数列的通项公式为，记，，则 ． 【典例4】已知数列，的通项公式分别是，，求数列的前项和. 【小结】将等式两边同时乘以公比，错项对齐，然后两式作差.应注意三点：①不要遗漏项，为了避免出错，可以在空位上补零；②留意哪些项带正号，哪些项带负号；③求等比数列的和时，应分清等比数列的项数． 【针对练习4】已知数列满足：，设，求的前项和． 五、分组、并项、拆项求和 分组、并项求和：将项重新组合成等差或等比数列的和或差的形式，再利用公式求和． 拆项求和：通项可以拆分成等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和． 【典例5】数列的通项，前项和为，则 ． 【针对练习5-1】计算： ． 【针对练习5-2】已知等差数列满足，，数列满足，，且是等比数列． （1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 第6节 数列前项和的求法 一、公式法 1．等差数列求和公式：． 2．等比数列求和公式 3．，． 【典例1】已知等差数列和等比数列满足，，． （1）求数列的通项公式；（2）求的计算公式． 【解析】（1）设公差为，,所以，所以 . （2）设的公比为，，得，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以. 【针对练习1-1】在等比数列中，，公比是方程的实根，求. 【解析】由，得或. 当时，； 当时，，从而. 【针对练习1-2】已知等差数列的公差，， 成等比数列． （1）求的通项公式；（2）求． 【解析】（1）因为成等比数列，所以，即，又，所以，从而． （2）． 二、利用求和 【典例2】设数列的前项和为．若，，求． 【解析】由解得，由，得，所以，所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即． 【针对练习2-1】（2015高考新课标2）设是数列的前项和，且， ，则 ． 【解析】易得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，得． 三、裂项相消法 裂项相消法：将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．常见裂项技巧有： ，， ，，， ，， 令，则上式化为，其中为常数． 【典例3】已知等差数列满足，，，则的前项的和． 【解析】易得，则，所以. 【针对练习3-1】求的计算公式． 【解析】令，则的前项和 ． 【针对练习3-2】已知数列的通项，设其前项和为，求证：. 【解析】，则 ，即. 【针对练习3-3】设等差数列的前项和为.已知，公差，且是与的等比中项． （1）求的通项公式；（2）设，，求证：． 【解析】（1）由是与的等比中项知，，即，又，，结合，得，数列的通项公式为． （2）由（1）知，，，则，即． 【针对练习3-4】若数列满足：，，求证：． 【解析】，所以 ． 【针对练习3-5】在等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若为递增数列，，求数列的前n项和 【解析】（1）设等比数列的公比为q，由得有，解得或，当时，，故数列的通项公式为；当时，故数列的通项公式为． （2）因为为递增数列，所以，由，有，得． 【针对练习3-6】已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为．求证：． 【解析】（1）由题意，当时，，解得或， 因为，所以，由得，两式相减得，整理得，因为， 所以，所以是首项为6，公差为4的等差数列，所以. （2）由（1）知，，所以 ，所以 ．因为， 所以， 所以，即． 【针对练习3-7】已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585． （1）求数列的前项和； （2），数列的前项和记为，若恒成立，求的最小值． 【解析】①根据题意，设等差数列的前三项分别为，则，解得或，又数列为递增数列，所以， ，． （2）由（1）得，则， .因为是单调递增，，又，所以有最小值． 【针对练习3-8】已知数列的通项公式为，设其前项和为． 求证：． 【解析】由，得 ， ， ， …， ， 所以，即． 四、错位相减法（适用于，其中是等差数列，是等比数列） 设数列的通项公式为，记，，则 ． 【典例4】已知数列，的通项公式分别是，，求数列的前项和. 【解析】因为，所以 ，即…①， 所以…②． ①②，得 ，化简、整理，得． 【小结】将等式两边同时乘以公比，错项对齐，然后两式作差.应注意三点：①不要遗漏项，为了避免出错，可以在空位上补零；②留意哪些项带正号，哪些项带负号；③求等比数列的和时，应分清等比数列的项数． 【针对练习4】已知数列满足：，设，求的前项和． 【解析】，，则 ，两式相减，得 ，化简，整理得． 五、分组、并项、拆项求和 分组、并项求和：将项重新组合成等差或等比数列的和或差的形式，再利用公式求和． 拆项求和：通项可以拆分成等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和． 【典例5】数列的通项，前项和为，则 ． 【解析】易得，，，，，，，，…，，，，，所以 ． 【针对练习5-1】计算： ． 【解析】． 【针对练习5-2】已知等差数列满足，，数列满足，，且是等比数列． （1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，则，所以． 设数列的公比为，则，得，所以，从而 ． （2）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $