第六章 课时3 等比数列的通项与求和公式讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦等比数列通项与求和公式，覆盖概念、公式、性质及数列函数属性等高考核心考点，按“基础梳理-考点突破-拓展延伸”逻辑架构知识，通过知识填空、基础判断、真题例题及规律方法总结，帮助学生系统构建知识网络，突破等比数列运算与证明难点。 资料突出函数思想融合，如分析等比数列与指数函数关系培养数学眼光，通过构造新数列证明等比（例2）发展数学思维，设置基础、提升、综合分层练习，配合2025年新高考真题训练，确保高效突破考点，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

课时3 等比数列的通项与求和公式 一、课标要求 1．理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系．　　　 二、知识梳理 1．等比数列的概念 (1)如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于 非零常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的 ，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：＝ (n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)如果a，G，b三个数成等比数列，那么G叫作a与b的 ，其中G＝±． 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝ ；通项公式的推广：an＝amqn-m． (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝ ＝ ． 3．等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有akal＝ ． (2)等比数列{an}的单调性： 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是 数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是 数列； 当q＝1时，数列{an}是 数列． 当q＜0时，数列{an}是 数列． 【拓展知识】 1．相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 qm． 2．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 3．当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn． 三、基础回顾 1．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) （1）G为a，b的等比中项⇔G2＝ab ． ( ) （2）满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列． ( ) （3）若数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝． ( ) （4）若数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列． ( ) 2．在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 3．（多选题）Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则有(　　) A.a＋c＝0 B.b是数列{an}的公比 C.ac<0 D.{an}可能为常数列 4．在等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9=______ ． 四、考点扫描 考点一 等比数列的基本量运算 例1 （1）若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． （2）（多选题）（2025·新高考Ⅱ卷） 记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则有（ ） A. B. C D. 规律方法： 对点训练 (1) 已知正项等比数列的前三项和为28，且，则（   ） A． B． C． D． （2）（2025·陕西渭南市模拟）已知等比数列的前项和为，则其公比（    ） A． B． C． D． 考点二 等比数列的判定与证明 例2 （2025·八省联考）已知数列中，已知，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）令，证明：． 规律方法： 对点训练 （2025·河北石家庄市模拟）已知数列满足 (1) 写出的值; （2）证明:数列为等比数列. 考点三 等比数列的性质及应用 例3 (1) (2025·安徽安庆市二模)已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（ ） A. B. C. D. （2）（2025·新高考Ⅰ卷）若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 　 　 ． （3）设Sn是等比数列的前n项和. 若，则 . 对点训练 （1）已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　 　) A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分又不必要条件 （2）(2025·江西南昌市模拟)在正项等比数列中，，是的两个根，则 . （3）设等比数列的前项和是.已知,，则 . 规律方法： 拓展与延伸13 数列的函数属性 一、【考情分析】数列的本质就是定义在正整数集（或正整数集的有限子集）上的一类离散函数，数列的通项公式则是相应的函数解析式，如等差数列的通项公式是一次函数，等比数列的通项公式是指数型函数.因此，在解决数列问题时，应充分利用函数的相关知识，将数列与函数联系起来，探究它们间的内在联系，从而有效地简化数列问题，最终解决问题. 近年来，新高考对数列的函数属性考查的力度在增加，突出对数列的本质特征的考查，如2023年新高考I卷单选和解答均考查了等差数列与一次函数、二次函数的内在关系. 二、知识梳理 1.等差数列和等比数列的函数特征 数列 通项公式 函数 图象 单调性 求和公式 函数 图象 等差 一次 直线上离散的点 二次 抛物线上离散的点 等比 指数型 指数函数图象上孤立的点 随着变化而变化 指数型 指数函数图象上孤立的点 2.数列的周期性 数列满足存在正整数，使得对任意大于的自然数，都有成立，则称数列为周期数列，称为它的一个周期. 3.数列的单调性 数列的单调性的研究可参考函数单调性的定义，如作差（商）法，函数性质分析法等. 4.数列中的最值 （1）数列中最大项和最小项的求法 求最大项： ；求最小项： . （2）数列前项和最值的求法：①根据的表达式求最值；②根据数列的通项公式求最值. 三、考点扫描　 考点一 数列的周期性 例1 (2025·湖南益阳市模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 026＝(　 　) A．－3 B．－ C． D．2 规律方法： 对点训练 已知等差数列的公差为，集合，若，则(　　) A．－1 B． C．0 D． 考点二 等差、等比数列的函数特征 例2 （1）已知数列的前项和，则为等比数列的充要条件是(　　) A． B． C． D． （2） 设等差数列与等差数列 的前n项和分别为Sn，Tn. 若对于任意的正整数n，都有，则(　　) B. C. D. （3）记数列{an}的前n项和为Sn，若是等差数列，且S6＝6，则a3＋a4＝(　 　) A． B． C．1 D．2 规律方法： 对点训练 （1）设等比数列的首项为1，公比为q，前n项和为.令，若也是等比数列，则______. （3） 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求的值． 考点三 数列的单调性 例3 (2025·福建漳州市期初)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则当取最小值时，n＝__ __． 规律方法： 对点训练 已知数列，满足，，，，且，. (1)求证：是等比数列； (2)若是递增数列，求实数的取值范围. 考点四 数列的最值 例4 （多选题）（2025·江苏无锡市天一中学期中）无穷等比数列的首项为公比为q. 下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 规律方法： 对点训练（多选题） (2025·福建福州市2月质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S5＝35，则有(　 　) A．nan的最小值为1 B．nSn的最小值为1 C．为递增数列 D．为递减数列 四、巩固提升 1．数列满足，，且，则的前2024项和为(　　) A．8080 B．4048 C．-4048 D．0 2.在等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. B. 6 C. 36 D. 3.（多选题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足，则有(　　) A.的第2项小于3 B.为等比数列 C.为递减数列 D.中存在小于的项 4．（2025·湖南长沙市长郡中学月考）洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列{Ln}为1,3,4,7,11,18,29,47,76，…，即L1＝1，L2＝3，且Ln＋2＝Ln＋1＋Ln(n∈N*)．设数列{Ln}的各项依次除以4所得余数形成的数列为{an}，则a2 025＝_ __． 5．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且与1的等差中项等于与1的等比中项． （1）求的值及数列的通项公式； （2）设，若数列是单调递增数列，求实数的取值范围． 课时3 等比数列的通项与求和公式参考答案 　　　 二、知识梳理 1．(1)2 同一个 公比 q (2)等比中项 2．(1)a1qn-1 (2) 3．(1)am·an (2)递增 递减 常 摆动 三、基础回顾 1．（1）× （2）× （3）× （4）× 2．C【解析】令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，即，所以数列{an}是首项为2、公比为2的等比数列，所以an＝2n，所以×＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4.故选C. 3．ABC【解析】设等比数列{an}的公比为q.当q＝1时，Sn＝，显然是一次函数，不是常数函数形式，故不满足，所以D错误； 当q≠1时，Sn＝，所以c＝，即a＋c＝0，，所以A，B，C正确.故选ABC. 4．【解析】因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝. 四、考点扫描 例1（1）A【解析】在数列中，由，知，则.又，于是，而，所以.故选A. （2）AD【解析】对于选项A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对于选项B，则，故B错误； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，，，则，故D正确.故选AD. 对点训练（1）C【解析】由题意，设公比为，则，即， 解得（负值舍），所以.故选C. （2） C【解析】设等比数列的公比为，因为，若，由，得到，不满足，所以，由，得到①. 由，得到 ②. 由①②，得，整理得到，解得，故选C. 例2 （1）【证明】因为，且，所以，所以，即.又，所以，所以数列为首项和公比均为的等比数列. （2）【解】由（1）知，，所以，所以. （3）【证明】由（2）知，.因为，所以.又，所以，所以． 对点训练【解】(1)由可得；；. （2）【证明】由题可得，则数列是首项为1，公比为2的等比数列. 例3 (1) D【解析】因为等比数列前项和为，设其公比为，由已知，故，所以，，则，故，所以，故.故选D. （2）2【解析】根据题意，可得，，所以，解得舍）． （3）【解析】设等比数列的公比为q，由已知.因为，，，，，．所以． 对点训练(1)B【解析】 若a1＝－1，q＝1，则Sn＝na1＝－n，{Sn}是递减数列，不满足充分性；若{Sn}是递增数列，则q≠0，且Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0恒成立，则a1＞0，q＞0，满足必要性．故甲是乙的必要条件但不是充分条件．故选B. （2）【解析】由根与系数关系得，由于为正项数列，故，. （3）13【解析】因为是等比数列的前项和且，所以，， 也成等比数列，则.因为,，所以，解得.所以. 拓展与延伸13 数列的函数属性 三、考点扫描 例1 C【解析】 因为a1＝2，an＋1＝，所以a2＝＝，a3＝＝－，a4＝＝－3，a5＝＝2，…可知数列{an}是周期为4的周期数列．又2 026＝4×506＋2，所以a2 026＝a2＝．故选C. 对点训练B【解析】依题意，在等差数列中，，显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故选B. 例2（1）B【解析】，当时，，当时，.因为为等比数列，所以，所以.故选B． （2）B【解析】设，所以故选B. （3）D【解析】 因为是等差数列，所以可设＝an＋b，所以Sn＝an2＋bn，所以{an}为等差数列．由S6＝×6＝3(a1＋a6)＝6，可得a1＋a6＝2，所以a3＋a4＝a1＋a6＝2．故选D. 对点训练（1）【解析】当时，，则，，（是常数），即不是等比数列,所以.所以，，，则有，即，即，所以 ，解得或(舍). （2）【解】①因为，所以，解得，所以. 又，所以，即，解得或（舍去），所以. ②因为为等差数列，所以，即，所以，即，解得或，因为，所以.又，由等差数列性质知，，即，所以，即，解得或（舍去），当时，，解得，与矛盾，无解；当时，，解得.综上，. 例3 3【解析】 因为Sn＝n2＋n，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，a1＝S1＝2，也满足an＝2n，故an＝2n．＝＝＋，又y＝x＋在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故当n＝3时，n＋取得最小值，即n＝3时，取得最小值． 对点训练（1）【证明】由题意，得，，故.又，所以，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列. （2）【解】方法一：因为是递增数列，所以对任意恒成立.因为，所以，则对任意恒成立，即对任意恒成立.由（1）知，，所以对任意恒成立.因为当时取得最大值，且最大值为1，所以，即实数的取值范围是. 方法二：，得即.又，故数列为首项，公差的等差数列，所以.又由（1）知，，所以.因为是递增数列，所以对任意恒成立.所以，所以.因为当时，取得最大值，且最大值为1，所以，即实数的取值范围是. 例4 BC【解析】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值； ，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值；，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，所以等比数列有最大值，也有最小值；，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值，偶数项为正无最大值.故选BC. 对点训练ABC【解析】 设{an}的公差为d．由S5＝＝5a3＝35，得a3＝7，又a2＝4，所以d＝3，a1＝1，所以an＝3n－2，Sn＝． 对于选项A，nan＝n(3n－2)＝32－，故当n＝1时，nan取最小值1，故A正确； 对于选项B，nSn＝，令f(x)＝x3－x2，则f′(x)＝x2－x，可知f(x)在区间上单调递增，所以当n＝1时，nSn取得最小值1，故B正确； 对于选项C，＝n－，显然为递增数列，故C正确； 对于选项D，＝－＋，因为＝1，＝1，所以不是递减数列，故D错误．故选ABC. 巩固提升 1．B【解析】由递推关系式可得，，所以，同理可得，所以.故选B． 2.D【解析】 因为是方程的两个根，所以. 由，所以由.故选D. 3.ACD【解析】由题意知，，.当时，，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，则，整理可得.因为，解得，A正确. 假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，B错误. 当时，，可得，所以数列为递减数列，C正确. 假设对任意的，，则，所以，，与假设矛盾，假设不成立，D正确.故选ACD. 4、0【解析】 {Ln}的各项除以4的余数分别为1,3,0,3,3,2,1,3,0，…故可得{an}的周期为6，且前6项分别为1,3,0,3,3,2，所以a2 025＝a6×337＋3＝a3＝0． 5.【解】（1）由已知得，，．当时，求得；当时，，所以，整理得.因为的各项均为正数，所以，又，所以. （2）由（1）得，，又数列是单调递增数列，所以恒成立，从而恒成立．当是奇数时，得恒成立，的最小值为1，；当是偶数时，得恒成立，最大值为，．综上，． . 学科网（北京）股份有限公司 $