专题13 直线的两点式方程（3知识点+4大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题13 直线的两点式方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：直线的两点式方程 1、两点式方程的推导 如果直线经过两点，，则直线的斜率．由直线的点斜式方程得．当时，方程可以写成． 2、直线的两点式方程定义 设直线经过两点，，则方程叫作直线的两点式方程，简称两点式． 3、直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 注：（1）当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0(时,不能用两点式方程表示. （2）在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标. 知识点02：直线的截距式方程 1、截距式方程的推导 如图，已知直线经过两点，，其中，有直线的两点式方程得，，即． 2、直线的截距式方程的定义 设直线在轴的截距为，在轴的截距为，且，则方程叫作直线的截距式方程，简称截距式． 3、直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 注：直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 知识点03：中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式． 【题型01：直线的两点式和截距式方程辨析】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北邢台·月考）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河北邢台·月考）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 5．（24-25高二上·广东江门·月考）下列说法正确的是（    ） A．方程表示过点且斜率为k的直线 B．直线与y轴的交点为，其中截距 C．在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为 D．方程表示过任意不同两点，的直线 【题型02：直线的两点式方程】 一、单选题 1．（23-24高二上·甘肃金昌·月考）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·贵州·开学考试）某汽车客运公司托运行李的费用y（元）与行李质量x（）之间的关系如图所示，根据图像可知，乘客最多可免费携带行李的质量为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．35 4．（23-24高二上·吉林·月考）一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 二、解答题 5．（23-24高二上·河南·月考）已知的三个顶点分别满足：点在轴上，点在轴上，，直线的斜率为，直线与直线垂直． (1)求点的坐标； (2)求边上的中线所在直线的方程． 6．（23-24高二上·福建漳州·月考）已知三角形的顶点坐标为，，，是边上的中点. (1)求边所在的直线方程； (2)求中线的方程. 【题型03：直线的截距式方程】 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·期末）过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·月考）在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川绵阳·月考）两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）过点作直线，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 二、解答题 6．（24-25高二上·吉林·月考）求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点，且斜率为； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【题型04：直线与坐标轴围成的图形面积问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南·月考）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏徐州·月考）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、解答题 4．（24-25高二上·甘肃庆阳·月考）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 5．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线，则直线在轴上的截距为（    ） A． B．5 C． D．2 2．（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏镇江·月考）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 二、多选题 5．（23-24高二上·安徽·期中）已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·吉林·月考）已知直线l过点，，则（    ） A．直线l的倾斜角为150° B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量为 D．直线l的截距式方程为 7．（23-24高二上·广东广州·期中）下列说法不正确的有（    ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是3 8．（2024高二上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．过任意两点，的直线方程可以写成 B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 三、填空题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 10．（2024高二·全国·专题练习）（1）若直线l经过点，则直线l的方程为 ； （2）若点在过点的直线上，则 . 11．（23-24高二上·北京·月考）直线与坐标轴围成的图形面积为 . 12．（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 13．（23-24高二·全国·假期作业）若，则直线的方程为 ；设直线与两坐标轴的交点为且点在线段上，则的最大值为 ． 14．（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 . 四、解答题 15．（23-24高二·全国·假期作业）已知在中，的坐标分别为的中点在轴上，的中点在轴上． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程． 16．（23-24高二上·福建福州·月考）已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 17．（24-25高二上·山东枣庄·月考）已知直线l过点 (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 直线的两点式方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：直线的两点式方程 1、两点式方程的推导 如果直线经过两点，，则直线的斜率．由直线的点斜式方程得．当时，方程可以写成． 2、直线的两点式方程定义 设直线经过两点，，则方程叫作直线的两点式方程，简称两点式． 3、直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 注：（1）当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0(时,不能用两点式方程表示. （2）在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标. 知识点02：直线的截距式方程 1、截距式方程的推导 如图，已知直线经过两点，，其中，有直线的两点式方程得，，即． 2、直线的截距式方程的定义 设直线在轴的截距为，在轴的截距为，且，则方程叫作直线的截距式方程，简称截距式． 3、直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 注：直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 知识点03：中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式． 【题型01：直线的两点式和截距式方程辨析】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北邢台·月考）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线方程的相应形式对各个选项逐个判断即可. 【详解】对于选项A：是斜截式方程，故A错误； 对于选项B：是点斜式方程，故B错误； 对于选项C：是截距式方程，故C错误； 对于选项D：是两点式方程，故D正确； 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率判断直线的倾斜角进而判断各个选项； 【详解】易知直线的斜率为，直线的斜率为， 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1， 检验4个选项，知只有B选项满足题意． 故选：B. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线两点式方程可得答案. 【详解】当经过的直线不与轴、轴平行时， 所有直线均可以用表示， 由于可能相等，也可能相等， 所以只有选项C满足包括与轴、轴平行的直线． 故选：C． 4．（24-25高二上·河北邢台·月考）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 5．（24-25高二上·广东江门·月考）下列说法正确的是（    ） A．方程表示过点且斜率为k的直线 B．直线与y轴的交点为，其中截距 C．在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为 D．方程表示过任意不同两点，的直线 【答案】D 【分析】分别由直线的点斜式方程、直线在轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形逐一核对，即可求解. 【详解】对于A中，由表示过点且斜率存在，且不含点的直线，所以A不正确； 对于B中，直线与y轴交于一点，其中截距不是距离，截距为点的坐标，其值可正可负可为0，所以B不正确； 对于C中，当直线经过原点时，此时直线在坐标轴上的截距都是，不能表示为，所以C不正确； 对于D中，方程为直线的两点式方程的变形，可以表示过任意两点，的直线，所以D正确. 故选：D. 【题型02：直线的两点式方程】 一、单选题 1．（23-24高二上·甘肃金昌·月考）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解. 【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上． 故选：D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的中点为列方程组解，然后根据两点式方程计算即可. 【详解】由题可得，解得， 即，． 将点坐标代入两点式方程可得， 即． 故选：D. 3．（23-24高二上·贵州·开学考试）某汽车客运公司托运行李的费用y（元）与行李质量x（）之间的关系如图所示，根据图像可知，乘客最多可免费携带行李的质量为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【分析】根据题意，由直线的两点式方程可得到直线方程的表达式，再令，即可得到结果. 【详解】由图像可得，直线过点，由直线方程的两点式可得， 化简可得，令，解得，即乘客最多可免费携带行李的质量为. 故选：A 4．（23-24高二上·吉林·月考）一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，求反射光线所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于x轴的对称点，由对称性知反射光线过此点，由两点式直线方程求解即可. 【详解】关于 x轴的对称点， 光线从射出与x轴相交于点，则反射光线经过点， 由两点式方程可知， 所求直线方程为，化简得. 故选：D. 二、解答题 5．（23-24高二上·河南·月考）已知的三个顶点分别满足：点在轴上，点在轴上，，直线的斜率为，直线与直线垂直． (1)求点的坐标； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）结合直线垂直时斜率的关系、两点求斜率的公式求得的坐标； （2）根据边上的中线所过点求得中线所在直线的方程. 【详解】（1）因为直线AC的斜率为，直线AC与直线BC垂直， 所以直线BC的斜率为． 设，，则，解得； ，解得．所以，． （2）因为BC的中点坐标为，且中线过点， 所以边BC上的中线所在直线方程为，即． 6．（23-24高二上·福建漳州·月考）已知三角形的顶点坐标为，，，是边上的中点. (1)求边所在的直线方程； (2)求中线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：由两点式直接写出方程；法二：通过两点计算斜率，利用点斜式求出直线方程；（2）由中点坐标公式求出中点坐标，再计算两点斜率，利用点斜式写出直线方程. 【详解】（1）解：法一：由两点式写方程得，即； 法二：直线的斜率为， 直线的方程为，即； （2）解：设的坐标为，则由中点坐标公式可得 ，，故， 所以 所以，直线方程为. 【题型03：直线的截距式方程】 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·期末）过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由截距式得到直线方程. 【详解】由截距式可得直线方程为，A正确，BCD错误. 故选：A 2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·月考）在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由截距式确定直线方程即可求解. 【详解】由题意可得直线方程为， 化简可得：， 所以，即倾斜角为. 故选:B 3．（24-25高二上·四川绵阳·月考）两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的截距式方程，可得直线的横、纵截距分别为a，-b，直线的横、纵截距分别为b，-a，逐项根据截距的正负判断即可. 【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为a，-b，直线的横、纵截距分别为b，-a， 选项A，由的图象可得，可得直线的截距均为正数，故正确； 选项B，由的图象可得，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误； 选项C，由的图象可得，可得直线的横截距均为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误； 选项D，由的图象可得，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误. 故选：A. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）过点作直线，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设直线的方程为，将点代入直线的方程，然后由判别式判断即可. 【详解】设直线的方程为， 将点代入，可得， 即， 由于， 所以方程有两个根， 故满足题意的直线的条数为2． 故选：B. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 二、解答题 6．（24-25高二上·吉林·月考）求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点，且斜率为； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由直线的点斜式方程求解即可. （2）分截距为0和不为0两种情况求解. 【详解】（1）因为直线过点，且斜率为， 所以，化简可得：. （2）当横、纵截距都是0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，即直线的方程为. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，解得，即直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 【题型04：直线与坐标轴围成的图形面积问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 2．（24-25高二下·湖南·月考）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 3．（23-24高二上·江苏徐州·月考）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 二、解答题 4．（24-25高二上·甘肃庆阳·月考）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）设直线的方程为，将点代入，进一步求出和的值，从而求出答案； （2）借助（1）中求出的和，结合面积公式即可求. 【详解】（1）由于直线在两坐标轴上的截距之和为12， 因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线方程为：，且，① 又因为直线过点， 所以，② 由①②解得或， 所以直线的方程为：或， 即或. （2）由（1）可知，当直线的方程为时， ； 当直线的方程为时， ， 所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或. 5．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线，则直线在轴上的截距为（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】C 【分析】利用截距式及截距的定义即可得出． 【详解】直线的方程为，即， 故直线在轴上的截距为． 故选：C. 2．（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可. 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏镇江·月考）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则 ①，则直线过原点，则直线方程为： ②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为： 综上所述：该直线方程为或 故选：D 4．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 二、多选题 5．（23-24高二上·安徽·期中）已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据倾斜角和斜率的关系以及截距的定义判断. 【详解】解：由图可知，，， 故选：AC． 6．（24-25高二上·吉林·月考）已知直线l过点，，则（    ） A．直线l的倾斜角为150° B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量为 D．直线l的截距式方程为 【答案】ABD 【分析】先求出直线l的斜率，由直线的倾斜角和斜率及直线的方向向量间的关系可判断A，C；由直线的两点式、截距式可判断B，D. 【详解】因为直线l过点，，所以直线l的斜率为，倾斜角为150°，故A正确，C不正确； 直线l的两点式方程为，整理易得截距式方程为，所以B，D正确． 故选：ABD. 7．（23-24高二上·广东广州·期中）下列说法不正确的有（    ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是3 【答案】ABD 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；根据直线的斜率公式即可判断B；分直线是否过原点讨论即可判断C；根据直线的截距式即可判断D. 【详解】对于A，当倾斜角为时，斜率为， 当倾斜角为时，斜率为，故A错误； 对于B，当时，斜率不存在，故B错误； 对于C，当直线过原点时，直线方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条，故C正确； 对于D，直线，即， 故直线直线在y轴上的截距是，故D错误. 故选：ABD. 8．（2024高二上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．过任意两点，的直线方程可以写成 B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 【答案】ABD 【分析】根据直线的各种位置判断A，由截距的概念、斜率的概率判断BCD． 【详解】当或时，直线方程不能写成，故A错误； 当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为﹣1，故B错误； 设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为．令， 得直线在x轴上的截距为，于是，故C正确； 若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误． 故选：ABD． 三、填空题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】对原方程进行代数变形即可得到答案. 【详解】原方程即为，此即，所以的斜率为． 故答案为：. 10．（2024高二·全国·专题练习）（1）若直线l经过点，则直线l的方程为 ； （2）若点在过点的直线上，则 . 【答案】 【分析】（1）由两点横坐标相等，即可直接确定直线方程； （2）利用斜率两点式列方程求参数. 【详解】（1）由点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为. （2）由斜率两点式，即，可得. 故答案为：；. 11．（23-24高二上·北京·月考）直线与坐标轴围成的图形面积为 . 【答案】3 【分析】结合截距式的含义直接求解即可. 【详解】直线,故x轴上的截距为2，y轴上的截距为-3， 所以面积为. 故答案为：3 12．（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】 根据题意假设直线的截距式方程，从而得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】 依题意，直线的两个截距都不为0，故设直线为， 则，解得， 所以直线为，即. 故答案为：. 13．（23-24高二·全国·假期作业）若，则直线的方程为 ；设直线与两坐标轴的交点为且点在线段上，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由两点式得，整理为．又在上， ，当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 14．（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先表示出直线的截距式，利用直线过点，得到，借助基本不等式，即可求得最小值. 【详解】直线与与x轴、y轴分别交于， 可设直线的截距式，直线过点，，且， ， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二·全国·假期作业）已知在中，的坐标分别为的中点在轴上，的中点在轴上． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设 的中点坐标为 的中点坐标为， 又中点在轴上且中点在轴上， ，故． （2）由（1）可知， 由截距式方程得， 整理得的方程为． 16．（23-24高二上·福建福州·月考）已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 【答案】(1) (2)是 (3) 【分析】（1）运用直线的斜率相等构造方程组计算D坐标； （2）运用直线斜率乘积判断，进而判断菱形； （3）运用两点式得到直线AD方程. 【详解】（1）设，因为四边形为平行四边形， 所以 所以解得，所以 （2）因为 所以， 所以.所以为菱形. （3）由于则直线AD方程为：，化简得到直线AD方程为:. 17．（24-25高二上·山东枣庄·月考）已知直线l过点 (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)或 (2)最小值为24，此时直线的方程为 【分析】（1）当直线过原点时，求出斜率，再求出直线方程即可；不过原点时，设出截距式，结合题意求出即可； （2）设出截距式，结合基本不等式求出的最小值，再求出面积和直线方程即可； 【详解】（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率， 直线方程为，即； ②当直线l不过原点时， ∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍， ∴可设直线l的方程为：． ∵直线l过点， ∴，解得． ∴直线l的方程为，即． 综上所述，所求直线l方程为或． （2）设直线l的方程为）， 由直线l过点得：． ∴，化为， 当且仅当，时取等号． ∴的面积，其最小值为24． 此时直线的方程为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$