课后作业18 导数的概念及运算-2027届高考数学一轮专题复习

**基本信息** 聚焦导数概念及运算，通过分层题型构建“定义-运算-应用”逻辑体系，以题载法培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|1-2题|基本求导公式（指数、三角函数等）|从导数定义到公式应用，夯实运算基础| |切线应用|3-5、7、10-11题|导数几何意义（求斜率、切线方程）|结合函数性质（奇偶性）拓展切线综合应用| |高阶导数|8题|二阶导数判断凸函数（f''(x)<0）|从一阶导数到二阶导数，深化导数工具性| |实际应用|6题|牛顿法迭代公式（xₙ₊₁=xₙ-f(xₙ)/f'(xₙ)）|连接导数与方程近似解，体现应用价值| |综合问题|12题|含参数导数问题（判别式分析根）|整合导数与函数性质，提升综合解题能力|

课后作业(十八)　导数的概念及运算 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共96分 一、单项选择题 1．若f (x)＝2x，则＝ (　　) A． ln 2 2．下列求导运算正确的是 (　　) A．(sin a)'＝cos a(a为常数) B．(sin 2x)'＝2cos 2x C．(3x)'＝3xlog3e D．( 3．(2026·山东青岛开学考试)设函数f (x)＝，则曲线y＝f (x)在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是 (　　) A． C．1 D．2 4．(2026·江西南昌模拟)已知函数f (x)的定义域为R，f (x)是偶函数，当x<0时，f (x)＝ln(1－2x)，则曲线y＝f (x)在点(2，f (2))处的切线斜率为 (　　) A． C．2 D．－2 5．直线l与曲线y＝ex＋1和y＝ex+1均相切，则直线l的斜率为 (　　) A． B．1 C．2 D．e 6．(人教A版选择性必修第二册P82探究与发现改编)牛顿法是用导数求方程近似解的一种方法．如图，方程f (x)＝0的根就是函数f (x)的零点r，取初始值x0，f (x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴交点的横坐标为x1，f (x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r．若f (x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为 (　　) A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375 二、多项选择题 7．(2026·河北邢台期末)若过点P(a，0)恰好可作曲线y＝的两条切线，则a的值可以为 (　　) A．e B．e2 C．－e D．－e2 8．(2026·山东济南模拟)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数f (x)在(a，b)上的导函数为f '(x)，f '(x)在(a，b)上的导函数为f ″(x)，若在(a，b)上f ″(x)<0恒成立，则称函数f (x)在(a，b)上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是 (　　) A．f (x)＝sin x＋cos x B．f (x)＝ln x－2x C．f (x)＝－x3＋2x－1 D．f (x)＝－xe-x 三、填空题 9．(2025·山西晋中三模)若函数f (x)＝xln x＋2xf '(1)，则曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为___________． 10．(2025·福建厦门三模)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝x2－2x－a也相切，则a＝___________． 四、解答题 11．(15分)已知两曲线y＝x3＋ax和y＝x2＋bx＋c都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线． (1)求a，b，c的值； (2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积； (3)若曲线y＝ln(bx－1)上的点M到直线2x－y＋3＝0的距离最短，求点M的坐标和最短距离． 12．(13分)已知函数f (x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 13．(多选)已知定义在R上的函数f (x)，g(x)，其导函数分别为f '(x)，g'(x)，f (1－x)＝6－g'(1－x)，f (1－x)－g'(1＋x)＝6，且g(x)＋g(－x)＝4，则 (　　) A．g'(x)的图象关于点(0，1)中心对称 B．g'(x＋4)＝g'(x) C．f '(6)＝f '(2) D．f (1)＋f (3)＝12 14．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f (x)在闭区间[a，b]上的图象连续，在开区间(a，b)内的导数为f '(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f (b)－f (a)＝f '(c)(b－a)成立，其中c叫做f (x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f (x)＝x3－2x在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为___________． 15．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：记y＝f '(x)为y＝f (x)的导函数，y＝g'(x)为y＝f '(x)的导函数，则曲线y＝f (x)在点(x，f (x))处的曲率为K＝．曲线f (x)＝ln x－cos(x－1)在点(1，f (1))处的曲率为 ___________． 课后作业(十八) 1．C　[因为f (x)＝2x，所以f '(x)＝2xln 2， 所以f '(1)＝2ln 2， 则＝f '(1)＝2ln 2．故选C．] 2．B 3．A　[因为f (x)＝，则f '(x)＝，所以曲线y＝f (x)在点(0，－1)处的切线斜率为f '(0)＝2， 故所求切线方程为y＝2x－1，该直线交x轴于点，交y轴于点(0，－1)， 因此，切线与两坐标轴围成的三角形面积为×1＝．故选A．] 4．A　[函数f (x)的定义域为R，f (x)是偶函数，则f (x)＝f (－x)， 两边同时求导可得，f '(x)＝－f '(－x)， 当x<0时，f (x)＝ln(1－2x)， 所以f '(x)＝，则有f '(－2)＝－， 又由f '(x)＝－f '(－x)， 令x＝2可得f '(2)＝－f '(－2)＝， 则曲线y＝f (x)在点(2，f (2))处的切线斜率为． 故选A．] 5．B　[由y＝ex＋1，可得y'＝ex； 由y＝ex+1，可得y'＝ex+1， 设两个切点的坐标分别为(x1，＋1)和(x2，)，直线l的斜率k＝， 故x1＝x2＋1，即x1≠x2， 所以k＝＝1，即直线l的斜率为1．] 6．B　[f '(x)＝2x，而x0＝2，则f '(x0)＝4，又f (x0)＝2，所以函数f (x)的图象在横坐标为x0＝2的点处的切线方程为y－2＝4(x－2)， 令y＝0，得x1＝，则f '(x1)＝3，f (x1)＝－2＝， 因此函数f (x)的图象在横坐标为x1＝的点处的切线方程为y－＝3，令y＝0，得x2＝≈1.417，所以x2约为1.417． 故选B．] 7．BCD　[令f (x)＝，则f '(x)＝， 设切点为，所以切线方程为y－(x－x0)，切线过点P(a，0)， 代入得0－(a－x0)，即方程－ax0＋a＝0有两个不等实根，则Δ＝a2－4a>0，解得a<0或a>4．故选BCD．] 8．ABC　[对于A，由f (x)＝sin x＋cos x，得f '(x)＝cos x－sin x， 则f ″(x)＝－sin x－cos x＝－(sin x＋cos x)， 因为x∈，所以sin x>0，cos x>0，f ″(x)＝－(sin x＋cos x)<0，所以此函数是凸函数，故A正确； 对于B，由f (x)＝ln x－2x，得f '(x)＝－2，则f ″(x)＝－， 因为x∈，所以f ″(x)＝－<0，所以此函数是凸函数，故B正确； 对于C，由f (x)＝－x3＋2x－1， 得f '(x)＝－3x2＋2，则f ″(x)＝－6x， 因为x∈，所以f ″(x)＝－6x<0，所以此函数是凸函数，故C正确； 对于D，由f (x)＝－xe-x，得f '(x)＝－e-x＋xe-x，则f ″(x)＝e-x＋e-x－xe-x＝(2－x)e-x， 因为x∈，所以f ″(x)＝(2－x)e-x>0，所以此函数不是凸函数． 故选ABC．] 9．y＝－x－1　10．－3 11．解：(1)由y＝x3＋ax，得y'＝3x2＋a，由y＝x2＋bx＋c，得y'＝2x＋b， 又两曲线都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线， ∴解得a＝1，b＝2，c＝－1． (2)由y＝x2＋2x－1，得y'＝2x＋2，则y'|x=1＝4， ∴y＝x2＋2x－1在点P(1，2)处的切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0． 则两曲线的公切线方程为4x－y－2＝0，取y＝0，得x＝，取x＝0，得y＝－2． ∴公切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝×2＝． (3)由y＝ln(bx－1)＝ln(2x－1)，得y'＝＝2，得x＝1． ∴y＝ln(2×1－1)＝0，即M(1，0)，点M到直线2x－y＋3＝0的最短距离为． 12．解：f '(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1． (2)因为曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线， 所以关于x的方程3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0， 即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－． 所以a的取值范围为∪． 13．BCD　[由题意可得 两式相减可得g'(1＋x)＝－g'(1－x)，① 所以g'(x)的图象关于点(1，0)中心对称，A错误； 由g(x)＋g(－x)＝4，② ②式两边对x求导可得g'(x)＝g'(－x)，可知g'(x)是偶函数， 以1＋x替换①中的x可得g'(2＋x)＝－g'(－x)＝－g'(x)， 可得g'(4＋x)＝－g'(2＋x)＝g'(x)， 所以g'(x)是周期为4的周期函数，B正确； 因为f (x)＝6－g'(x)，可知f (x)也是周期为4的周期函数，即f (x＋4)＝f (x)， 两边求导可得f '(x＋4)＝f '(x)， 所以f '(6)＝f '(2)，C正确； 因为g'(1＋x)＝－g'(1－x)，令x＝0，则g'(1)＝－g'(1)，即g'(1)＝0， 又因为g'(x)是偶函数， 所以g'(－1)＝g'(1)＝0， 又因为g'(x)是周期为4的周期函数，则g'(3)＝g'(－1)＝0， 由f (x)＝6－g'(x)可得 所以f (1)＋f (3)＝12，D正确．] 14．2　[∵＝2，f '(x)＝3x2－2， 令3x2－2＝2，解得x＝－∈[－2，2]或x＝∈[－2，2]， ∴f (x)在[－2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2．] 15．0　[因为f (x)＝ln x－cos(x－1)， 所以f '(x)＝＋sin(x－1)， g'(x)＝－＋cos(x－1)， 则f '(1)＝＋sin 0＝1， g'(1)＝－＋cos 0＝0， 所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的曲率为K＝＝0．] 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $