规范练18 导数的概念及其意义、导数的运算2027届高三一轮复习试题 数学

**基本信息** 聚焦导数概念、运算及几何意义，通过基础巩固与综合提升分层训练，以题载法构建从定义到应用的逻辑体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|1-10题|导数定义直接应用、基本求导公式（含复合函数）、切线斜率与方程求解|从导数概念生成到运算规则，再到几何意义（切线倾斜角、方程）的递进| |综合提升练|11-14题|函数奇偶性与导数关系、多曲线公切线问题、牛顿切线法建模|结合函数性质深化导数应用，通过实际问题（方程近似解）培养模型意识与推理能力|

课时规范练18　导数的概念及其意义、导数的运算 (分值:72分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.(2025·河南洛阳模拟)已知函数f(x)=,则=(　　) A. B.-5 C.2 D.-2 2.若f(x)=x2-2sin x,则f'()=(　　) A.π+2 B.π-2 C.π D. 3.(2025·安徽合肥期中)曲线f(x)=x2ln x-2x+2在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.135° 4.设函数f(x)=.若f'(1)=,则a=(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 5.(2025·湖北武汉模拟)若曲线y=ln(x+2a)的一条切线为y=ex-2b(e为自然对数的底数),其中a,b为正实数,则的取值范围是(　　) A.[2,e) B.(e,4] C.[4,+∞) D.[e,+∞) 6.(2024·全国甲,理6)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 7.(多选题)(2025·陕西渭南期中)下列函数的求导运算正确的是(　　) A.()'= B.(x3-2x+1)'=3x2-2xln 2 C.()'=- D.[sin2(2x+)]'=2sin(4x+) 8.(2025·全国1,12)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=　　　　　.  9.(2022·新高考Ⅱ,14)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为　　　　　　　　,　　　　　　　　.  10.(2025·河南名校模拟)若直线y=kx-k是曲线f(x)=ex-1的切线,也是曲线g(x)=ln(x-1)+m的切线,则m=　　　　　.  综合提升练 11.(多选题)(2022·新高考Ⅰ,12)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f,g(2+x)均为偶函数,则(　　) A.f(0)=0 B.g=0 C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2) 12.若过点(a,b)可以作曲线y=ln x的两条切线,则下列选项正确的是(　　) A.a<ln b B.b<ln a C.ln b<a D.ln a<b 13.若函数f(x)=-x+ln x+ln a的最小值为1,则实数a的取值范围为　　　　　.  14.(2026·湖南长沙模拟)牛顿切线法是牛顿提出的一种用导数求方程近似解的方法,具体步骤如下:设r是函数y=f(x)的一个零点,任意选取x0作为r的初始近似值,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线为l1,设l1与x轴交点的横坐标为x1,并称x1为r的1次近似值;曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线为l2,设l2与x轴交点的横坐标为x2,称x2为r的2次近似值.一直继续下去,得到x1,x2,x3,…,xn.一般地,作点(xn,f(xn))处曲线y=f(x)的切线ln+1,记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1,并称xn+1为r的n+1次近似值,称数列{xn}为牛顿数列.函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的两个零点分别为α,β(α<β),数列{xn}为函数f(x)的牛顿数列,若数列{an}满足an=ln(n∈N*),a1=2 025,xn>β,则+…+=　　　　　.  参考答案 课时规范练18　导数的概念及其意义、导数的运算 1.A　解析 由f(x)=,得f'(x)=,所以=f'(4)=.故选A. 2.C　解析 因为f(x)=x2-2sin x,所以f'(x)=2x-2cos x,于是f'()=π.故选C. 3.D　解析 由已知得f'(x)=2xln x+x-2,所以f'(1)=2ln 1+1-2=-1,所以曲线在点(1,f(1))处的切线的斜率为-1,因此切线的倾斜角为135°.故选D. 4.A　解析 对函数f(x)=求导得f'(x)=,由题意得f'(1)=,解得a=1.故选A. 5.C　解析 y'=,令=e,则x=-2a,有y=ln(-2a+2a)=-1,即e(-2a)-2b=-1,即ae+b=1.又a,b为正实数,则=() (ae+b)=1+1+≥2+2=4,当且仅当,即b=ea=时,等号成立,故的取值范围是[4,+∞).故选C. 6.A　解析 由已知得f'(x)=, 则f'(0)=3,故所求切线方程为y=3x+1,则所求面积S=×1=.故选A. 7.BCD　解析 对于A,()'=,故A错误;对于B,(x3-2x+1)'=3x2-2xln 2,故B正确;对于C,()'=()'=-,故C正确;对于D,[sin2(2x+)]'=2sin(2x+)·cos(2x+)·2=2sin(4x+),故D正确.故选BCD. 8.4　解析 设切点P(x0,+x0+a).因为y=ex+x+a,所以y'=ex+1,所以解得 9.y=　y=-　解析 当x>0时,y=ln x,点(x1,ln x1)(x1>0)上的切线为y-ln x1=(x-x1). 若该切线经过原点,则ln x1-1=0,解得x1=e,此时切线方程为y=. 当x<0时,y=ln(-x),点(x2,ln(-x2))(x2<0)上的切线为y-ln(-x2)=(x-x2). 若该切线经过原点,则ln(-x2)-1=0,解得x2=-e,此时切线方程为y=-. 10.2　解析 由题意可得f'(x)=ex-1,设直线y=kx-k与曲线f(x)=ex-1的切点为(x1,y1),则=k.又切点在曲线上,所以y1=kx1-k=,联立解得x1=2,即k=e.由题意得g'(x)=,设直线y=ex-e与曲线g(x)=ln(x-1)+m的切点为(x2,y2),所以k==e.又y2=ln(x2-1)+m=ex2-e,联立解得m=2. 11.BC　解析 ∵f(-2x)是偶函数,∴f(+2x)=f(-2x),∴函数f(x)的图象关于直线x=对称,∴f(-1)=f(4).故C正确;∵g(2+x)为偶函数,∴g(2-x)=g(2+x),∴g(x)的图象关于直线x=2对称.∵g(x)=f'(x),g(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(x)的图象关于点(2,t)(t∈R)对称.∵f(x)的图象关于直线x=对称,∴g(x)的图象关于点对称.∴f(x)与g(x)均是周期为2的函数.∴f(0)=f(2)=t(不恒等于0),故A错误;g=g=0,∴B正确;构造函数f(x)=sin(πx)符合题目要求,g(x)=πcos(πx),而g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos 2π=π,故D错误.故选BC. 12.D　解析 设切点坐标为(x0,ln x0),由于y'=,因此切线方程为y-ln x0=(x-x0). 又切线过点(a,b),则b-ln x0=,即b+1=ln x0+,则b+1=ln x0+有两个不相等的实根. 设f(x)=ln x+,定义域是(0,+∞),即直线y=b+1与曲线f(x)=ln x+有两个不同的交点. f'(x)=,当a≤0时,f'(x)>0恒成立,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,不符合题意;当a>0时,若0<x<a,则f'(x)<0,f(x)单调递减,若x>a,则f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(a)=ln a+1.由题意知b+1>ln a+1,即b>ln a. 13.[e,+∞)　解析 f(x)=-x+ln x+ln a=ex-ln x-ln a-(x-ln x-ln a),令x-ln x-ln a=t,原式可化为g(t)=et-t,g'(t)=et-1,当t>0时,g'(t)>0,g(t)单调递增;当t<0时,g'(t)<0,g(t)单调递减,则当t=0时,g(t)取得最小值1,所以x-ln x-ln a=0有解,即x-ln x=ln a有解. 记h(x)=x-ln x,h'(x)=1-,当x>1时,h'(x)>0,h(x)在区间(1,+∞)上单调递增,当0<x<1时,h'(x)<0,h(x)在区间(0,1)上单调递减,故h(x)≥h(1)=1,且当x→0时,h(x)→+∞,当x→+∞时,h(x)→+∞,所以ln a≥1,得a≥e,所以实数a的取值范围为[e,+∞). 14.[1-()n]　解析 因为f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),则f'(x)=2x+a,可得f(xn)=+axn+b,f'(xn)=2xn+a,过点(xn,f(xn))作曲线y=f(x)的切线ln+1:y-f(xn)=f'(xn)(x-xn),令y=0,得xn+1=xn-=xn-,则an+1=ln=ln=ln, 又因为α,β是函数f(x)=x2+ax+b的两个零点,则可得an+1=ln=ln=ln()2=2ln()=2an,故数列{an}为等比数列,且an=2 025·2n-1,所以+…++…+)=[1-()n]. 学科网（北京）股份有限公司 $