微练（二十四）导数中的函数构造问题-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数中函数构造问题，通过构造分式、商差、辅助函数等方法，系统解决比较大小、不等式恒成立等问题，体现用数学思维分析问题的能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比较大小|3题|构造lnx/x、x/e^x等分式函数，利用单调性比较|以导数研究函数单调性为基础，通过函数构造实现数值大小转化| |抽象函数导数应用|2题|构造f(x)/e^x、f(x)-sinx等商差函数，结合奇偶性、周期性|从导函数与原函数关系出发，构建新函数研究性质| |不等式与恒成立|3题|构造e^x+x、x e^x等辅助函数，转化为最值问题|以函数单调性和最值为核心，通过构造实现不等式等价转化| |函数性质综合|4题|结合周期、奇偶性构造F(x)=f(x)/x等复合函数|整合函数周期性、导数应用，构建函数模型解决综合问题|

微练(二十四)　导数中的函数构造问题 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　) A.b<a<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 2.若a=,b=,c=,则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<b<a 3.(2026·福州模拟)已知a=ln ,b=ln(ln 3),c=-,则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b 4.(2026·南京模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则(　　) A.f(ln 3)>3f(0) B.f(2)<e2f(0) C.f(ln 2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0) 5.设x>0,y>0,若ex+ln y>x+y,则下列选项正确的是(　　) A.x>y B.x>ln y C.x<y D.x<ln y 6.定义域为R的函数y=f(x)满足对任意x∈R,都有f(x+2)f(x)=-1,且当x∈(0,4]时,xf'(x)-f(x)>0,则4f(2 025),2f(2 026),f(2 024)的大小关系是(　　) A.4f(2 025)<2f(2 026)<f(2 024) B.2f(2 026)<4f(2 025)<f(2 024) C.f(2 024)<2f(2 026)<4f(2 025) D.4f(2 025)<f(2 024)<2f(2 026) 7.设函数f(x)=sin x+ex-e-x-x+3,则满足f(x)+f(3-2x)<6的x的取值范围是(　　) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(3,+∞) D.(-∞,3) 8.若关于x的不等式ex+x+ln ≥mx+ln m恒成立,则实数m的最大值为(　　) A.2 B.e C.3 D.e2 二、多项选择题 9.(2026·邯郸模拟)已知a>0,b∈R,e是自然对数的底数,若b+eb=a+ln a,则a-b的值可以是(　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 10.(2026·池州模拟)下列不等关系中正确的是(　　) A.ln 2< B.bea>aeb(a>b>1) C.cos< D.sin +>π 三、填空题 11.(2026·长春模拟)不等式xex+≥0(a<0)对∀x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　　.   12.(2026·渭南模拟)已知实数x1,x2满足=,ln x2=,则x1=　　　　.   13.设f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f'(x)-cos x<0,则不等式f(x)<sin x的解集为　　　　.  14.已知a>0,若在(1,+∞)上存在x使得不等式ex-x≤xa-aln x成立,则a的最小值为　　　　.  微练(二十四)　导数中的函数构造问题 1.D　解析　设f(x)=,x>0,则f'(x)=,由f'(x)=0,得x=e,当0<x<e时,f'(x)>0,当x>e时,f'(x)<0,所以f(x)的增区间为(0,e),减区间为(e,+∞),又f(2)===f(4),因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即f(3)>f(2)>f(5),所以c<a<b.故选D. 2.B　解析　因为a==>0,b=>0,c=>0,所以ln a=,ln b=,ln c=.设函数f(x)=,则f'(x)=,当x∈[e,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,所以f(4)<f(3)<f(e),所以ln a<ln c<ln b,故a<c<b.故选B. 3.B　解析　因为b=ln(ln 3)>ln(ln e)=0,而a=ln<0,c<0,所以b最大,构造函数f(x)=xln x(x>0),因为f'(x)=ln x+1(x>0),当0<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,又因为a=f ,c=f ,所以f >f ,即a>c,故b>a>c. 4.B　解析　由题意,构造函数g(x)=,则g'(x)=<0对任意的x∈R恒成立,所以g(x)在R上是减函数.对A,因为ln 3>0,所以g(ln 3)<g(0),即<=,得f(ln 3)<3f(0),故A错误,对C,因为ln 2>0,所以<=,即f(ln 2)<2f(0),故C错误.对B、D,因为g(2)<g(0),所以<,即f(2)<e2f(0),故D错误,B正确.故选B. 5.B　解析　不等式ex+ln y>x+y等价于ex-x>y-ln y,令f(x)=ex-x,则f(ln y)=eln y-ln y=y-ln y,所以不等式ex-x>y-ln y等价于f(x)>f(ln y),因为f'(x)=ex-1,所以当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以若y∈(1,+∞),则ln y∈(0,+∞),由f(x)>f(ln y)有x>ln y;若y∈(0,1],则ln y≤0,由x>0,有x>ln y.综上所述,x>ln y. 6.A　解析　依题意知,对任意x∈R,都有f(x+2)f(x)=-1,可得f(x+2)=-,则f(x+4)=-=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.构造函数F(x)=(0<x≤4),则F'(x)=>0,所以F(x)在区间(0,4]上单调递增,所以F(1)<F(2)<F(4),即<<,所以f(2 025)=f(1),=,=,故<<,所以4f(2 025)<2f(2 026)<f(2 024).故选A. 7.C　解析　f(x)=sin x+ex-e-x-x+3,设g(x)=f(x)-3=sin x+ex-e-x-x,又易知g(-x)=-g(x),所以g(x)为R上的奇函数,又g'(x)=cos x+ex+e-x-1≥cos x+2-1=1+cos x≥0,所以g(x)在R上是增函数,又f(x)+f(3-2x)<6,所以[f(x)-3]+[f(3-2x)-3]<0,所以g(x)+g(3-2x)<0,所以g(x)<-g(3-2x),又g(x)为R上的奇函数,所以g(x)<g(2x-3),又g(x)在R上是增函数,所以x<2x-3,所以x>3,故满足f(x)+f(3-2x)<6的x的取值范围是(3,+∞). 8.B　解析　由题意得,m>0,x>0,不等式等价于ex+x≥mx+ln(mx)恒成立,即ex+ln ex≥mx+ln(mx)恒成立,令f(x)=x+ln x,则不等式转化为f(ex)≥f(mx),因为f'(x)=1+>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以ex≥mx,则≥m.令g(x)=,x>0,则g'(x)=,则当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以当x=1时,g(x)有最小值,即g(x)min=g(1)=e,则m≤e,则m的最大值为e. 9.BCD　解析　设函数f(x)=x+ex,则f(x)在R上是增函数,所以b+eb-(a+ln a)=b+eb-(ln a+eln a)=f(b)-f(ln a)=0,所以b=ln a,即a=eb,所以a-b=eb-b,令g(x)=ex-x,则g'(x)=ex-1,当x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)≥g(0)=1,从而a-b≥1,结合选项,选项BCD符合题意. 10.ABD　解析　对于A项,由ln 2=,构造函数f(x)=(x>0),则f'(x)==,当0<x<e2时,f'(x)>0,则f(x)在(0,e2)上单调递增,所以f(4)<f(5),即<,故A项正确;对于B项,设m(x)=,x>1,则m'(x)=>0在(1,+∞)上恒成立,故函数m(x)在(1,+∞)上单调递增,因为a>b>1,故m(a)>m(b),即>,故bea>aeb,故B项正确;对于C项,因为cos<⇔cos<1-=1-×,故构造函数f(x)=cos x-1+x2(x>0),则f'(x)=x-sin x,令g(x)=x-sin x,则g'(x)=1-cos x≥0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,则g(x)>g(0),即f'(x)>f'(0)=0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,f=cos->f(0)=0,故C项错误;对于D项,sin+>π⇔sin>π-⇔sin>π-⇔sin<-π,由C项分析可知-π>sin,故D项正确. 11.[-e,0)　解析　由xex+≥0可得xex≥-=-aln x·e-aln x,令f(x)=xex(x>0),则f'(x)=(x+1)ex>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为a<0,x∈(1,+∞),则-aln x>0,则f(x)≥f(-aln x),可得x≥-aln x,即a≥-对∀x∈(1,+∞)恒成立,令g(x)=,x>1,则g'(x)=,由g'(x)=0可得x=e,故当1<x<e时,g'(x)<0,当x>e时,g'(x)>0,所以g(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(e)=e,得a≥=-e,又a<0,所以-e≤a<0. 12.4　解析　由=,可得x1=4,故x1>0,由ln x2=,可得ln =4,可得·ln =4,故ln >0,令f(x)=xex,则f(x1)=f(ln ),f'(x)=(x+1)ex,当x>0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.由f(x1)=f(ln )得x1=ln ,所以=,因为x1=4,所以x1=x1=4. 13.(0,+∞)　解析　令φ(x)=f(x)-sin x,所以当x≥0时,φ'(x)=f'(x)-cos x<0,所以φ(x)在[0,+∞)上单调递减,又f(x)为R上的奇函数,所以φ(x)为R上的奇函数,所以φ(x)在(-∞,0]上单调递减,故φ(x)在R上单调递减且φ(0)=0,不等式f(x)<sin x 可化为f(x)-sin x<0,即φ(x)<0,即φ(x)<φ(0),故x>0,所以原不等式的解集为(0,+∞). 14.e　解析　因为xa==ealn x,所以不等式即为ex-x≤ealn x-aln x,因为a>0且x>1,所以aln x>0,设y=ex-x,x>0,则y'=ex-1>0,故y=ex-x在(0,+∞)上单调递增,所以1<x≤aln x,即a≥,所以a≥,设f(x)=(x>1),则f'(x)=,当x∈(1,e)时,f'(x)<0;当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(e)=e,所以a≥e.故a的最小值为e. 学科网（北京）股份有限公司 $