第三章 第5节 导数中的函数构造问题 训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数中函数构造问题，通过构造辅助函数转化问题，系统覆盖单调性应用、不等式证明等高频题型，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础构造|4题|构造f(x)±g(x)、xf(x)等辅助函数|导数判断单调性→比较大小/解不等式| |进阶应用|6题|分式型（f(x)/eˣ）、平方型（f²(x)）构造|函数性质（奇偶性、最值）与导数综合| |综合拓展|4题|结合数据、实际情境构造|从具体问题抽象数学模型，体现数学语言表达|

第5节导数中的函数构造问题 一、单选题 1.(2026·萍乡模拟)记x,y为实数，设甲y>x>0,乙：x-cos心y一cosx,则甲是乙的() A.充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.函数fx)的定义域为R,-1)=2,对任意x∈R,fw)>2,则x)>2x+4的解集为() A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞，-1) D.(-∞，十∞) 3.已知函数x)的定义域为R,设x)的导函数是fw),且x)fw)十snx>0恒成立，则( A er orri 4.若函数x在R上可导，且x)>f(x),则当>b时，下列不等式成立的是() A.enaeAb) B.efd)-eAb) C.efb)efa) D.eab)-fa) 5.(2025·武汉三模)已知定义在(0，+∞)上的函数x),对任意的x∈(0，+∞)都有2x)一yfx)>0 成立，则下列不等式一定成立的是() A.41)2) B.1)=0 C.42)>4) 61236济南展树已知a=子61兰。，则ac的大小关系为） A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a 7.(2026·信阳统考)已知x)是定义在R上的偶函数，当0时，fy一y)0,且(-2)=0，则不 等 20的解集是() A.(-2,0)U(0,2) B.(-∞，-2)U(2,+∞) C.(-2,0)U(2,+∞) D.(-∞，-2)U(0,2) 1 、1 8若nx一hyInx一nyl,>),则(） A.e>1 B.e<l C.ex-1>1 D.ex<1 二、多选题 9.已知函数y-)对任意x∈受，受引清足x0er+元m0,则下列不等式成立的是(） A0-2 B2/ CRo)2 D 10.已知心b0,且a=b,则() A.0<b<1 B.0<K1 C.1<b<e D.a-e 11.定义在(0，十∞)上的函数x)满足fx)一1>0，则下列结论正确的是() A2)-1n2>f1) B4)-2)ln2 Cf2)+n2>e)+1 De)-e)>1 三、填空题 12.己知定义在R上的函数w)满足x)十x)>0,且1)=1，则xx)>1的解集为 13.已知函数x)在R上可导，且f(x)十fx)<0,则不等式ex+2:x十2)<ex一x)的解集为 H尼斑顶数定义球+当0时，f货会-之若=6+ X 则1 n xf(In x)一xnx>2的解集为 第5节导数中的函数构造问题 一、单选题 1.(2026萍乡模拟)记xy为实数，设甲y>x>0,乙x一cos心y一cosx,则甲是乙的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案A 解析令函数)=x十cosx,求导得fx)=1一six≥0，故w)在R上单调递增， 由y>x>0,得y)>x), 即x一c0sKy一cosx,即充分性成立； 由x一cos y<y-一cosx,得x十cosx≤y十cosy, 即xy,可得y>x, 故必要性不成立， 综上可知，甲是乙的充分不必要条件 2.函数x)的定义域为R,一1)=2，对任意x∈R,fx)>2,则x)>2x十4的解集为() A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞，-1) D.(-∞，十∞) 答案B 解析x)>2x十4，fx)2x-40, 令g(x)=x)-2x-4, 则g'(x)=fx)一20， ·gx)为R上的增函数， 又.'g(-1)=-1)-2×(-1)-4=0 ∴.由g(x)>g(-1)=0得x>-1. 3.已知函数f)的定义域为R,设fx)的导函数是fw),且x)fw)十snx0恒成立，则() a橙f 份才 era-r rf引 答案D 解析设g(x)=(x)一2cosx, g'x)=2fx):f(x)+2sin x-0, 故gx)在定义域R上是增函数， 所以 即 所以r到f到 4若函数x)在R上可导，且x)fx),则当a心b时，下列不等式成立的是() A.ena)-enb) B.ef(a)-efb) C.efb)-efa) D.efb)-efd) 答案D 解析令h(w)=e,则h(w)=e'[,)十fx小，而)+f)正负不确定， 则函数(x)的单调性不确定，当a>b时，h(,h(b)的大小关系不确定，A,C错误； f(x &),由四w,得g9=0,函数的为R上的单调递减函 et 由a>b,得g(ag(b),即e)<eb),B错误，D正确 5.(2025·武汉三模)已知定义在(0，十∞)上的函数x),对任意的x∈(0，十∞)都有2x)一w)>0 成立，则下列不等式一定成立的是() A.41)2) B1)=0 C.42)4) 号财 答案C 解标设80-fe0,可举gV2国=12☒ 因为对任意的x∈(0，十∞)都有2w一f(x)>0, 即xfw)-2x)<0,且x30, 所以g(x大0， 这表明gx)在(0，十∞)上单调递减. 逐一分析选项， 对于A,由g(x)在(0，十∞)上单调递减， 得&1)>g2.即ff2 12222， 也就是41)>2)，所以A错误； 仅根据已知条件无法得出I)=0,所以B错误； 对于C,由g)在(0，十∞)上单调递减， 公2=0.即2，，也欲是利所以cE病 对于D,由g(x)在(0，十∞)上单调递减， 11 11 得8283 即 , 也就是423， 3 所以D错误. 1 6.(2026:济南模拟)已知a=4,b= 号，e-号三，则a6e的大小关系) A.ab<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a 答案A 解折2-2，。子造医条利-货，e1,则到=， 1-Inx 当1<xKe时，f(x)>0,当x>e时，fx)<0, 故函数x)在(1，e)上单调递增，在(e,十∞)上单调递减， 由于8竖-2-4-06-号-.134 4 1n41 则3)>4，即c>b,又b=44=4, 所以Kb<c. 7.(2026信阳统考)已知x)是定义在R上的偶函数，当x心0时，xfx一w<0,且人一2)=0，则不 分式义0的解类(） A.(-2,0)U(0,2) B.(-∞，-2)U(2,+∞) C.(-2,0)U(2,+∞) D.(-∞，-2)U(0,2) 答案D 解析设8=f x,x≠0. 因为)是定义在R上的偶函数， 所以孔一)= 因为-9=其x-1-一. -X 所以g)为奇函数， 所以g(-2)=一g(2). 因为-2)=0， 所以g(-2)=一g(2)=0. 当x>0时，g'x)= 对x-f0. X 所以gx)在(0，十∞)上单调递减， 光时不等式区0的解朵是0) 因为g)为奇函数，图象关于原点对称， 所以gw)在(-∞，0)上单调递减， 所以当0时，不等式N0的解集是(-0，一2) 综上所述，不等式f0的解集是(-，一2U0,2) X 11 8.若nx-lnnx一nyl,),则() A.ex>1 B.e<l C.ex-1>1 D.e<l 答案A 解标依斑客，血r文 令0=1-(t≠0)，则f0=1+20, 所以)在（一∞，0），(0，+∞)上单调递增； 又x>1,y>1,得1nx>0,ny>0, 则nx)n), 由单调递增得ln<ny, .1<y,即y->0, 所以exe°=1，A正确，B不正确； 又y一x一1无法确定与0的大小关系，故C,D不正确 二、多选题 9.已知函数y-利对任意x∈受，号引满足c0sx十an0,则下列不等式成立的是() A0-24 B D骨寸到 答案BD 解析令r的= COS X' ππ 依题意当x∈ 2’2时， f'(x)cosx +f(x)sinx F(x)= 0, COSX 故函数F()在 π 2 罗 上单调递增 由FOR 得0 cos 0 COS 即0r2财程 A错误； f f 得 3 即2号引 π B正确； 3 由FO)F 得0 cos0 COS 即0)水2 C错误； 由小 小小 得 D正确 1 10.己知a>b0,且a°=b°，则() A.0<b<1 B.0<K1 C.1<b<e D.a>e 答案CD 1 解析 a°=b5两边同取自然对数得na=nb ab' Inx 1-Inx 设，则)=X, 令fx)>0,解得0<<e, 令fw)<0,解得e, ∴x在(0，e)上单调递增，在(e,+o∞)上单调递减， 1 ∴x在x=e处取得最大值©)=e, 在(0，e)内，函数x)有唯一的零点x=1,在(e,+∞)内，x)>0, 又.心b0且=b)0, .1<b<e,a>e,故选CD. 11.定义在(0，十∞)上的函数x)满足)-一1>0，则下列结论正确的是() A2)-1n2>1) B4)-2)ln2 C2)+n2>e)+1 D.fe)-fe)>1 答案ABD 解析构造函数gx)=人x)一lnx,x>0, 则四网1 X 因为xfx)-10,所以gx)0. 故g(x)是增函数，由g(2)>g(1), 得2)-n2>1)-1n1, 即2)-n2>1),故A正确： 由g(4)>g(2),得4)-n4>2)-ln2,即4)-2)n4-n2=n2,故B正确； 由g(e)>g(2),得e)-lne>2)-ln2, 即fe)十ln22)十1，可得e)+12)十n2,故C错误， 由g(e)>g(e),得e)-nee)-lne,即fe)-2>e)-l,即e)-e)>l, 故D正确.故选ABD 三、填空题 12.己知定义在R上的函数x)满足x)十x)>0,且1)=1，则xx)>1的解集为 答案(1，+∞) 解析令gx)=x),则g(x)=xfw)十)>0，则g(w)在R上单调递增， 因为1)=1，则g(1)=1, 则原不等式为g()>g1),故x心1. 13.已知函数x)在R上可导，且fx)+fx)<0,则不等式e+2:x十2)<ex一x)的解集为 答案(-1，十∞) 解析设g(x)=ex), 则g'(x)=e[f(x)+fx)]<0, 故g(x)在R上单调递减， 又e+x十2e-x), 即gx+2水g(-), 故x十2>一x,心-1.故不等式e+x十2)e-)的解集为(-1，十∞). 14.已知函数x的定义域为(0，+∞)，当x2>x>0时， f(xi)f(x2)ee 名，为xx,若2)=e+1, 则In xf(In x)一xnx>2的解集为 答案(1，e) 解析由 f(xi)f(x2)e"e 得xx1)-x1e*>x)-xe, 令gx)=xf)-xe, 则g(x)>gx),又x>x10, ∴gx)在(0，十∞)上单调递减： .'In xf(In x)-xln x-2, g(2)=22)-2e2=2,∴.gnx)>g(2), .0<nx<2,得1<<e2