5.2 解一元一次方程 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“解一元一次方程”，系统涵盖合并同类项、移项、去括号、去分母四种解法。课堂导入通过复习等式性质、同类项等旧知搭建支架，逐步衔接新知，形成连贯的知识脉络。 其亮点在于以实际问题（如购计算机、分图书）引导学生用数学眼光观察现实，通过问题链培养推理意识与运算能力，课堂总结用表格梳理步骤规范数学语言。学生能理解方程建模，教师可借助典例与检测提升教学效率。

5.2 解一元一次方程 第1课时 利用合并同类项解一元一次方程 1. 学会运用合并同类项解形如ax＋bx＝c类型的一元一 次方程，进一步体会方程中的“化归”思想.（重点） 2. 能够根据题意找出实际问题中的相等关系，列出方程求解.（难点） 学 习 目 标 1.等式的基本性质有哪些？ 2.(1)3xy与－3xy；(2)0.2ab与0.2ab；(3)2abc与9bc；   3.合并同类项的法则是什么？依据是什么？ 性质1：如果 ab ，那么 a±cb±c. 性质2：如果 ab，那么 acbc； 如果 ab (c ≠ 0)，那么.  解：①②是同类项 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变；依据是乘法分配律. 复 习 导 入 某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的 2倍.前年这个学校购买了多少台计算机？ 设前年购买计算机x台. 可以表示出：去年购买计算机2x台，今年购买计算机4x台. 根据问题中的相等关系： 前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台， 列得方程x＋2x＋4x＝140. 把含有x的项合并同类项，得7x＝140. 讲 授 新 课 下面的框图表示了解这个方程的流程： 由上可知，前年这个学校购买了 20台计算机. 合并同类项 系数化为1 x ＋2x＋4x＝140 7x＝140 x＝20 依据：乘法对加法的分配律 依据：等式性质2 讲 授 新 课 1.“合并同类项”的作用是什么？ “合并”起了化简作用，将一元一次方程中含未知数的项 与常数项分别合并，从而达到把方程转化为ax＝b的形式，(其中a,b是常数) 2.“系数化为1”的依据是什么？ 变形的依据是等式的性质2 方程两边同时除以未知数的系数，使一元一次方程ax＝b(a≠0) 变形为x＝(a≠0)的形式. 思 考 例1 解下列方程： (1)2x－x＝6－8； (2) 7y－2.5y＋3y－1.5y＝－15×4－6×3. 解：合并同类项，得 －x＝－2 系数化为1，得 x＝－2÷(－) x＝－2×(－2) x＝4 解：合并同类项，得 6y＝－78， 系数化为 1，得 y＝－78÷6， y＝－13. 在合并同类项时， 需要注意什么？ 典 例 精 析 1. 在合并同类项时，需要注意什么？ 7y－2.5y＋3y－1.5y＝－15×4－6×3 (7－2.5＋3－1.5)y＝－60－18. 6y＝－78. 注意：合并同类项要注意每项系数的符号，合并时要将各项的系数进行相加； 思 考 2. 系数化为 1 时，需要注意什么？ x＝-2×(-2) x＝4 注意：系数化为 1 时，特别注意是在方程两边同时除以未知数的系数 (或者乘以未知数系数的倒数). －x＝－2 x＝－2÷(－) 思 考 例2 有一列数，按一定规律排列成1,－3, 9, －27,81，－243, …，其中某三个相邻数的和是－1701， 这三个数各是多少？ 分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律： 后面的数是它前面的数与－3的乘积. 如果三个相邻数中的第1个记为x， 则后两个数分别是－3x，9x. 典 例 精 析 解：设所求三个数分别是x，－3x，9x. 由三个数的和是－1 701，得 x－3x＋9x＝－1 701. 合并同类项，得7x＝－1701. 系数化为1，得x＝－243. 所以－3x＝729 ，9x＝－2 187. 答：这三个数是－243, 729, －2 187. 知道三个数中 的某个，就能知道 另两个吗？ 典 例 精 析 1.对方程8x＋6x－10x＝6进行合并正确的是( ) A．3x＝6   B．2x＝6   C．4x＝6   D．8x＝6 2．方程18x－3x＋5x＝11的解是( ) A．x＝   B．x＝－    C．x＝    D．x＝  3．方程10x－2x＝6＋1两边合并后的结果为 ， 其解为 ． C C 8x＝7 x＝  随 堂 检 测 4．解下列方程： (1)－10x－6x＝－7＋15； (2)x－x＝－. 解：合并同类项，得 －16x＝8. 系数化为1，得 x＝－. 解：合并同类项，得 －x＝－. 系数化为1，得 x＝. 随 堂 检 测 合并同类项 利用合并同类项解一元一次方程 将含未知数的项与常数项分别合并， 转化为ax＝b的形式. 系数化为1 方程两边同时除以未知数的系数，变形为x＝ (a≠0)的形式. 课 堂 总 结 5.2 解一元一次方程 第2课时 利用移项解一元一次方程 1.通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决实际问题，进一步认识方程模型的重要性；(重点) 2.掌握移项方法，学会解“ax＋b＝cx＋d”的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴含的化归思想.(难点) 学 习 目 标 3x＋7＝32－12x 1.解方程：5x－12x＝－14＋21 解：合并同类项，得 -7x＝7. 系数化为 1，得 x＝－1. 2.观察下列一元一次方程，与上题的类型有什么区别？ 怎样才能使它向 x＝a (a为常数)的形式转化呢？ 新 课 导 入 1、设未知数：设这个班有x名学生. 2、找相等关系： 这批书的总数是一个定值，表示它的两个等式相等. 3、列方程： 每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书共 本. 每人分4本，需要 本，减去缺的25本，这批书共 本. （3x+20） 4x （4x-25） 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少学生？ 3x＋20＝4x－25 讲 授 新 课 3x＋20＝4x－25 3x＋20－4x＝4x-25－4x 3x＋20－4x＝－25 3x＋20－4x－20＝－25－20 3x－4x＝－25－20 （合并同类项） （利用等式性质1） （利用等式性质1） （合并同类项） 怎样解这个方程？它与上节课遇到的方程有何不同？ 思 考 3x＋20＝4x－25 3x－4x＝－25－20 你发现了什么？ 一般地，把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项. 移项的定义： 思 考 3x＋20＝4x－25 3x－4x＝－25－20 －x＝－45 x＝45 移项 合并同类项 系数化为1 下面的框图表示了解这个方程的具体过程： 左边仅含 未知数项 右边仅含 常数项 合 作 探 究 通过移项,使等号左边仅含未知数的项,等号 右边仅含常数的项,目的是便于合并同类项,使方 程更接近x＝a的形式. 2.“移项”起了什么作用？ 1.以上解方程“移项”的依据是什么？ 移项的依据是等式的性质1. 思 考 例1 解下列方程： （1）3x＋7＝32－2x； （2）x－3＝x＋1 解:(1)移项，得3x＋2x＝32－7. 合并同类项，得5x＝25. 系数化为1，得x＝5. (2)移项，得x－x＝1＋3. 合并同类项，得－x＝4. 系数化为1，得x＝－8. 典 例 精 析 例2 某制药厂制造一批药品，如果用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如果用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100 t.新旧工艺的废水排量之比为2:5，两种工艺的废水排量各是多少？ 思考：①如何设未知数？ ②你能找到等量关系吗？ 旧工艺废水排量－200吨=新工艺排水量+100吨 典 例 精 析 解：若设新工艺的废水排量为2x t，则旧工艺的 废水排量为5x t.由题意得 移项，得5x－2x＝100＋200, 系数化为1，得x＝100, 合并同类项，得3x＝300, 答：新工艺的废水排量为 200 t，旧工艺的废水排量为 500 t. 5x－200＝2x＋100, 所以2x＝200,5x＝500. 典 例 精 析 1.下列变形过程中，属于移项的是( ) A．由3x＝－1，得x＝－3(1) B．由＝1，得x＝4 C．由3x＋5＝0，得3x＝－5 D．由－3x＋3＝0，得3－3x＝0 2．对方程2x－3＋x＝6进行移项，下列正确的是( ) A．2x－x＝6＋3   B．2x－x＝6－3 C．2x＋x＝6＋3   D．2x＋x＝6－3 C C 随 堂 检 测 3．解下列方程： (1)5x＝3x－12； 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)12x－7＝8x－3； (2)8x－5＝7x＋2； (4)7y＋8＝2y－5－3y. 解：移项，得5x－3x＝－12. 合并同类项，得2x＝－12. 系数化为1，得x＝－6. 解：移项，得 12x－8x＝－3＋7. 合并同类项，得4x＝4. 系数化为1，得x＝1. 解：移项，得 7y－2y＋3y＝－5－8. 合并同类项，得8y＝－13. 系数化为1，得y＝－. 解：移项，得8x－7x＝2＋5. 合并同类项，得x＝7. 随 堂 检 测 4．由于疫情防控的需要，七(1)班统一购置一定数量的口罩． 若每个学生发3个口罩，则多36个口罩；若给每个学生发4个 口罩，则少8个口罩．请问该班有多少名学生？ 解：设该班有x名学生， 依题意，得3x＋36＝4x－8， 解得x＝44. 答：该班有44名学生． 随 堂 检 测 定义 移项解一元一次方程 注意：移项一定要变号 移项→合并同类项→系数化为1 步骤 应用 课 堂 总 结 5.2 解一元一次方程 第3课时 利用去括号解一元一次方程 1. 准确熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程.(重点) 2. 掌握含有分数系数的一元一次方程的解法.(重点) 3. 熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.(难点) 学 习 目 标 1.化简下列各式： (1) (－3a＋2b) ＋3(a－b)； (2) －5a＋4b－(－3a＋b). 解：(1) 原式=－b；(2) 原式=－2a＋3b. 2.去括号法则： 去掉“+ ( )”，括号内各项的符号不变. 去掉“– ( )”，括号内各项的符号改变. 用三个字母a，b，c表示去括号前后的变化规律： a＋(b＋c)＝a＋b＋c a－(b＋c)＝a－b－c 复 习 导 入 问题：某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2 000 kW·h(千瓦·时),全年用电15万kW·h(千瓦·时),这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？ 思考：怎样用方程解这道题，这个问题中的等量关系是什么？ 全年用电量＝上半年用电量＋下半年用电量 合 作 探 究 分析：设上半年每月平均用电 x kW·h. 则下半年每月平均用电 . 上半年共用电 . 下半年共用电 . 全年共用电 . (x－2 000) kW·h 6xkW·h 6(x－2 000) kW·h 150 000 kW·h 列得方程 6x＋6(x－2 000)＝150 000. 合 作 探 究 去括号 6x + 6 ( x－2000 ) = 150000 6x+6x－12000=150000 6x+6x=150000+12000 12x=162000 x=13500 移项 合并同类项 系数化为1 合 作 探 究 通过以上解方程的过程，你能总结出解含有括号的一元一次方程的一般步骤吗？ 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 合 作 探 究 例1 解下列方程： (1) 2x－(x＋10)＝5x＋2(x－1)； (2) 3x－7(x－1)＝3－2(x＋3). 解：去括号，得 2x－x－10＝5x＋2x－2. 移项，得 2x－x－5x－2x＝－2＋10. 合并同类项，得－6x＝8. 系数化为 1，得x＝－. 解:去括号，得 3x－7x＋7＝3－2x－6. 移项，得 3x－7x＋2x＝3－6－7. 合并同类项，得－2x＝－10. 系数化为 1，得x＝5. 典 例 精 析 分析：等量关系：这艘船往返的路程相等，即 顺流速度___顺流时间___逆流速度___逆流时间 × ＝ × 例2 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了 2 h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了 2.5 h．已知水流的速度是 3 km/h，求船在静水中的平均速度. 典 例 精 析 解：设船在静水中的平均速度为 x km/h，则顺流速度 为(x＋3) km/h，逆流速度为(x－3) km/h. 去括号，得 2x＋6＝2.5x－7.5. 移项及合并同类项，得 0.5x＝13.5. 系数化为1，得 x＝27. 答：船在静水中的平均速度为 27 km/h. 根据顺流速度×顺流时间=逆流速度 ×逆流时间 列出方程，得2(x＋3)＝2.5(x－3). 典 例 精 析 1.将方程3(x－1)＝6去括号，正确的是( ) A．3x－1＝6   B．x－3＝6   C．3x＋3＝6   D．3x－3＝6 2．方程2(x－1)＝x＋2的解是( ) A．x＝1   B．x＝2   C．x＝3   D．x＝4 D D 随 堂 检 测 3．解方程：3(3x＋5)＝2(2x－1)． 解：去括号，得9x＋15＝4x－2. 移项，得9x－4x＝－2－15. 合并同类项，得5x＝－17. 系数化为1，得x＝－. 随 堂 检 测 4．某眼镜厂车间有28名工人，每人每天可生产镜架40个或者镜片60片，已知一个镜架配两片镜片，为使每天生产的镜架和镜片刚好配套，应安排生产镜架和镜片的工人各多少名？ 解：设安排x名工人生产镜片， 则 安排(28－x)名工人生产镜架． 由题意，得60x＝2×40(28－x)， 解得x＝16. 所以28－x＝12. 答：应安排16名工人生产镜片，12名工人生产镜架． 随 堂 检 测 去括号 利用移项解一元一次方程 注意符号，防止漏乘. 步骤 去括号→移项→合并同类项→系数化为1 课 堂 总 结 5.2 解一元一次方程 第4课时 利用去分母解一元一次方程 1. 掌握含有分数系数的一元一次方程的解法.(重点） 2. 熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.（难点） 学 习 目 标 1．你能快速求出方程x＋(20－x)＝8的解吗？ 2．求下列各组数的最小公倍数： (1)2，3； (2)6，8； (3)3，4，8. 解：去括号，得x＋10－x＝8. 移项合并同类项，得－x＝－2. 系数化为1，得x＝12. 解：（1）6；（2）24；（3）24 复 习 导 入 问题1 如图,翠湖在青山、绿水两地之间，距青山50km,距绿水70 km.某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表所示.王家庄距翠湖的路程有多远? 地名 王家庄 青山 绿水 时间 10:00 13:00 15:00 合 作 探 究 解：设王家庄距翠湖的路程为x km,则王家庄距青山的路程为 (x－50)km,王家庄距绿水的路程为(x＋70)km. 由题意，得 ＝ 地名 王家庄 青山 绿水 时间 10:00 13:00 15:00 分析：由表可知，汽车从王家庄到青山的行驶时间为3 h,从王 家庄到绿水的行驶时间为5 h，汽车在各段的行驶速度相等. 合 作 探 究 ＝ 1.此方程与前面学过的一元一次方程有什么不同？ 这个方程带有分数系数，以前学的大多是整数系数的． 2.怎样将这类含分数系数的方程转化为学过的整数系数方程呢？ 去分母 整系数方程 3.如何去掉方程中的分母呢？它的依据是什么？ 在方程两边同时乘各分母的最小公倍数； 依据是等式的性质2. 思 考 解：去分母,得 5(x－50)＝3(x＋70) ＝ 方程两边都乘 最小公倍数15 因此，王家庄距翠湖的路程为230 km. 去括号，得 5x－250＝3x＋210. 移项，得 5x—3x＝210＋250. 合并同类项，得 2x＝460. 系数化为1,得 x＝230. 转化为 整数系数 合 作 探 究 2. 去分母时要注意什么问题? 思考：1. 若使方程的系数变成整系数方程， 方程两边应该同乘以什么数? 问题2 解方程： －2＝－. 合 作 探 究 小心漏乘， 记得添括号！ 方程两边同乘 各分母的最小 公倍数) 合 作 探 究 1.确定各分母的最小公倍数； 2.不要漏乘没有分母的项； 3.去掉分母后，若分子是多项式，要加括号，视多项式为一整体． 4.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号. 去分母时须注意： 新 知 小 结 例 解下列方程：（1）－1＝2＋. 解：去分母(方程两边乘 4)，得 2(x＋1)－4＝8＋(2－x). 去括号，得 2x＋2－4＝8＋2－x. 移项，得 2x＋x＝8＋2－2＋4. 合并同类项，得 3x＝12. 系数化为 1，得 x＝4. 典 例 精 析 解：去分母(方程两边乘6)，得 18x＋3(x－1)＝18－2 (2x －1). 去括号，得 18x＋3x－3＝18－4x＋2. 移项，得 18x＋3x＋4x＝18＋2＋3. 合并同类项，得 25x＝23. 系数化为1，得 x＝. 例 解下列方程：（2）3x＋＝3－. 典 例 精 析 1.解方程－＝1，去分母后的方程为( ) A. 3(3x－7)－2＋2x＝6   B．3x－7－(1＋x)＝1 C. 3(3x－7)－2(1－x)＝1   D．3(3x－7)－2(1＋x)＝6 2.如果式子的值等于5，那么x的值是( ) A.－5   B．－7   C．3   D．5 D B 随 堂 检 测 3.解方程：3x＋＝－. 解：去分母，得 12×3x＋6(x－1)＝3(x＋1)－4(2x－1). 去括号，得36x＋6x－6＝3x＋3－8x＋4. 移项，得36x＋6x－3x＋8x＝3＋4＋6. 合并同类项，得47x＝13. 系数化为1，得x＝. 随 堂 检 测 4.一块金银合金重770克，金放在水中质量减轻，银放在水中质量减轻，这块合金放在水中质量一共减轻50克，这块合金中含金、银各多少克？ 解：设合金中含金x克，则含银(770－x)克. 根据题意，得x＋×(770－x)＝50. 解得x＝570. 所以770－x＝770－570＝200. 答：这块合金中含金570克，含银200克. 随 堂 检 测 步 骤 根 据 注 意 事 项 去分母 去括号 移项 合并同类项 两边同除以未知数的系数 等式性质2 分配律 去括号法则 移项法则 合并同类项法则 等式性质2 1.不要漏乘不含分母的项 2. 分子是多项式应添括号 1.不要漏乘括号中的每一项 2.括号前是“－”号，要变号 移项要变号 系数相加，不漏项 不要把分子、分母搞颠倒 课 堂 总 结 $