5.2 解一元一次方程 课件 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦“解一元一次方程”，系统覆盖合并同类项、移项、去括号、去分母四个核心步骤。课堂导入通过阿尔-花拉子米《对消与还原》历史故事及购买计算机、分图书等实际问题，衔接同类项、等式性质等旧知，搭建递进式学习支架。 其亮点在于融入历史文化与生活情境，引导学生用数学眼光观察现实问题，如“盈不足问题”建模。强调解题依据与步骤逻辑，通过例题详解发展数学思维，如移项依据等式性质1。小结结构化步骤，助力学生用数学语言表达方程转化过程，既培养学生逻辑推理与应用能力，也为教师提供系统教学资源与丰富实例。

5.2 解一元一次方程 第五章 一元一次方程 第1课时 合并同类项 学习目标 重点 学会运用合并同类项解形如 ax+bx=c 类型的一元一次方程， 进一步体会方程中的“化归”思想. 回顾复习 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项. 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 1. 同类项的概念 2. 合并同类项法则 文字语言 符号语言 等式的 性质1 等式的 性质2 等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果a=b，那么a±c=b±c   3. 等式的性质 问题导入 约公元820年，中亚细亚数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程.这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》.“对消”与“还原”是什么意思呢？ 新知探究 知识点 解一元一次方程——合并同类项 问题1 某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍.前年这个学校购买了多少台计算机？ 设前年购买计算机 x 台. 可以表示出：去年购买计算机 2x 台，今年购买计算机 4x 台. 根据问题中的相等关系：前年购买量+去年购买量 + 今年购买量=140台，列得方程 x+2x+4x= 140. 今年是前年的几倍呢？ 这个方程怎么解呢？ x + 2x + 4x = 140 尝试把一元一次方程转化为 x = m 的形式. 方程的左边出现几个含x的项，该怎么办？ 它们是同类项，可以合并成一项！ 合并同类项 系数化为1 依据：分配律的逆运用 依据：等式的性质2 小结 用合并同类项解一元一次方程的步骤： 第一步：合并同类项，即将等号同侧的含未知数的项、常数项分别合并，把方程转化为 ax=b(a≠0)的形式； 第二步：系数化为1，即在方程两边同时除以未知数的系数(或乘未知数系数的倒数)，将未知数的系数化为1，得到 x=(a≠0). 思考 上述解方程中的“合并”起了什么作用？ 解方程中“合并”起了化简作用，把含有未知数的项合并为一项，从而达到把方程转化为 ax = b 的形式，其中a，b是常数,“合并”的依据是分配律的逆运用. 例题详解 例1 解: 合并同类项，得 系数化为1，得 解下列方程： (1) ；   x=4. 依据是什么？ (2) . 解:合并同类项，得 6x=-78. 系数化为1，得 x=-13. 如何得到系数1？ （1）解方程中的合并同类项与整式加减中的合并同类项一样，要牢记合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变. （2）系数为1或 -1的项在合并时不能漏掉. 注意 例题详解 有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243 ，··· . 其中某三个相邻数的和是 -1701，这三个数各是多少？ 分析：从符号和绝对值两方面观察，可以发现这列数的排列规律，后面的数是它前面的数与-3的乘积.如果三个相邻数中的第1个记为x，则后两个数分别是-3x，9x. 例2 解：设所求的三个数分别是 x，-3x，9x. 由三个数的和是 -1701，得 x-3x+9x=-1701. 合并同类项，得 7x=-1701. 系数化为1，得 x=-243. 所以 -3x=729，9x=-2187 . 答：这三个数是 -243，729，-2187. 各部份量的和=总量 小结 审题 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 找相等关系 设未知数 列方程 解方程 检验 写出答案 （1）列一元一次方程解决实际问题的关键是审题，寻找相等关系. （2）求出方程的解后要进行检验(检验的过程在草稿纸上进行)，既要检验所求出的解是不是方程的解，又要检验所求出的解是否符合实际意义. 随堂练习 1.下列方程合并同类项正确的是 ( ) A. 由 3x-x＝-1＋3，得 2x ＝4 B. 由 2x＋x＝-7-4，得 3x ＝-3 C. 由 15-2＝-2x＋ x，得 3＝x D. 由 6x-2-4x＋2＝0，得 2x＝0 D 2. 解下列方程： (1) 5x－2x = 9； (2) . 解：(1)合并同类项，得 3x=9, 系数化为1，得 x=3. (2)合并同类项，得 2x=7, 系数化为1，得 3.某市准备用灯笼美化街道，计划用A，B两种不同类型的灯笼200个，如果B种灯笼的个数是A种灯笼个数的，则需A种灯笼 个，B种灯笼_____个. 解析： 设需A种灯笼 x 个，则需B种灯笼x 个. 根据题意，得 x+ x=200. 解得 x= 120，所以 x= 80. 120 80 拓展提升 1.解下列方程： 解：(1)合并同类项，得 系数化为1，得 (2)合并同类项，得 去绝对值，得 系数化为1，得 解：设二班植树 x 棵，则一班植树(x+4)棵，三班植树(2x-4)棵. 根据题意，得x+x+4+2x-4=100. 合并同类项，得4x=100.系数化为1，得x=25. 所以x+4=29，2x-4=46. 答：一班植树29棵，二班植树25棵，三班植树46棵. 2.某学校在植树节开展植树活动，七年级三个班共植树100棵，其中一班植树的棵数比二班植树的棵数多4，三班植树的棵数比二班植树的棵数的2倍少4，求三个班各植树多少棵. 归纳小结 1.用合并同类项解一元一次方程的步骤： 第一步：合并同类项，即将等号同侧的含未知数的项、常数项分别合并，把方程转化为 ax=b(a≠0)的形式； 第二步：系数化为1，即在方程两边同时除以未知数的系数(或乘未知数系数的倒数)，将未知数的系数化为1，得到 x=(a≠0). 归纳小结 审题 2.列一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 找相等关系 设未知数 列方程 解方程 检验 写出答案 5.2 解一元一次方程 第五章 一元一次方程 第2课时 移项 学习目标 1. 理解移项的意义，掌握移项的方法. 2. 学会运用移项、合并同类项解形如“ax+b=cx+d”的一元一次方程. 3. 进一步认识解方程的基本变形—移项，感悟解方程过程中的转化思想. 重点 重点 4. 能够抓住实际问题中的数量关系列一元一次方程解决实际问题. 回顾复习 文字语言 符号语言 等式的性质1 等式的性质2 1.等式的性质 等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果a=b，那么a±c=b±c 如果a=b，那么ac=bc； 如果a=b(c≠0)，那么 2.用合并同类项解一元一次方程的步骤： 第一步：合并同类项，即将等号同侧的含未知数的项、常数项分别合并，把方程转化为 ax=b(a≠0)的形式； 第二步：系数化为1，即在方程两边同时除以未知数的系数(或乘未知数系数的倒数)，将未知数的系数化为1，得到 x=(a≠0). 问题导入 上一课时列方程解决例1时，题目中的相等关系为“各部分量的和=总量”，除此之外，实际问题中还有其他相等关系吗？ 新知探究 问题2 把一些图书分给某班学生阅读.若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本.这个班有多少学生？ 这批书的总数有几种表示法？它们之间有什么关系？本题哪个相等关系可作为列方程的依据呢? 　　设这个班有x名学生. 　　每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书共(3x+20)本. 　　每人分4本，共需要4x本，减去缺少的25本，这批书共(4x-25) 本. 　　这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等，根据这一相等关系列得方程3x+20=4x- 25. 这与前边方程有何不同？ 表示同一个量 思考 方程3x+20=4x-25的两边都有含x的项(3x与4x)和不含字母的常数项(20与-25)，怎样才能把它转化为x=a(a为常数)的形式呢? 为了使方程的右边没有含 x 的项，等号两边减4x， 利用等式的性质1，得 3x+20-4x=-25. 为了使方程的左边没有常数项，等号两边减20， 利用等式的性质1，得 　　　　　　　　　3x-4x=-25- 20. 上面方程的变形，相当于把原方程左边的20变为-20移到右边，把右边的4x变为-4x移到左边. 把某项从等式一边移到另一边时，这项有什么变化? 知识点1 解一元一次方程——移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 1.移项的定义 移项的依据是等式的性质1，移项的目的是将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边，使方程更接近 x=a 的形式. 2.移项的依据 注意 1. 移项必须是由等号的一边移到另一边，而不是在等号的同一边交换位置. 2. 方程中的各项均包括它们前面的符号，如x-2=1中，方程左边的项有x，-2，移项时所移动的项一定要变号. 3. 移项时，一般都习惯把含未知数的项移到等号左边，把常数项移到等号右边. 下面的框图表示了解这个方程的流程. 3x+20=4x-25 3x -4x= -25-20 - x= -45 x=45 移项 系数化为1 合并同类项 由上可知，这个班有45名学生. 小结 (1) 总量=各部分量的和； 常见的两种基本相等关系： (2) 表示同一个量的两个不同的式子相等. 例题详解 例3 解下列方程： 解： (1) 移项，得 合并同类项 ，得 系数化为1，得 (1) 3x+7=32-2x； (2) . (2) 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得x=-8. 3x+2x=32-7. 5x=25. x=5. x-x=1+3. -x=4. 小结 通过移项解一元一次方程的步骤： 移项 合并同类项 系数化为1 例题详解 例4 某制药厂制造一批药品，如果用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如果用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100 t.新、旧工艺的废水排量之比为2:5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？ 思考：①如何设未知数？ ②你能找到相等关系吗？ 旧工艺废水排量-200 t=新工艺排水量+100 t 分析：因为新、旧工艺的废水排量之比2：5，所以可设它们分别为2x t和5x t，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程. 解：设新、旧工艺的废水排量为2x t和5x t. 根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得 移项，得 5x-2x=100+200. 系数化为1，得 x=100. 合并同类项，得 3x=300. 答：新工艺的废水排量为 200 t，旧工艺的废水排量为 500 t. 5x-200=2x+100. 所以 2x=200，5x=500. 溯源 约820年，阿拉伯数字家花拉子米著有《代数学》（又称《还原与对消计算概要》），其中，“还原”指的是“移项”，“对消”隐含着移项后合并同类项，我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法. 拓展 “盈不足问题” 问题2及例4都属于中国古代数学中所说的“盈不足问题”. “盈”是分配中的多余情况，“不足”是分配中的缺少情况，有的题目不会出现“盈”或“不足”的字样. “盈不足”问题中，一般会给出两个条件：什么情况下会“盈”，“盈”多少；什么情况下会“不足”，“不足”多少. 小结 利用“表示同一个量的两个不同的式子相等”解应用题的基本步骤： (1) 找出题中不变的量； (2)用两个不同的式子表示出这个量； (3)由表示同一个量的两个不同的式子相等列出方程； (4)解方程，并作答. 随堂练习 1.解方程：7x-2=5x+8. 解：移项，得7x-5x=8+2. 合并同类项，得2x=10. 系数化为1，得 x=5. 注意符号的变化！ 2.若 x-5与2x-1的值相等，则 x 的值是 . 解析：根据题意，得 x-5=2x-1. 移项，得 x-2x= -1+5. 合并同类项，得 -x=4. 系数化为1，得 x= -4. -4 3.利用方程解答下列问题： (1) x的3倍与2的和等于x的2倍与1的差，求x的值； (2) 已知整式-3x+2 与2x-1的值互为相反数，求x的值. 解：(1) 列方程，得3x+2=2x-1. 移项，得3x- 2x=-1-2. 合并同类项，得x=-3. (2)根据题意，得 -3x+2+2x-1=0. 移项，得 -3x+2x= -2+1.合并同类项，得 -x=-1. 系数化为1，得 x=1. 4.某校七年级200名学生分别到甲、乙两个纪念馆参观，其中到甲纪念馆参观的学生人数比到乙纪念馆参观的学生人数的2倍少10人，求到乙纪念馆参观的学生有多少名. 解：设到乙纪念馆参观的学生有 x 名，则到甲纪念馆参观的学生有(2x-10)名. 根据题意列方程，得 2x-10+x=200. 移项，得 2x+x=200 +10. 合并同类项，得 3x=210. 系数化为1，得 x=70 . 答：到乙纪念馆参观的学生有70名. 5.一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，得到的数比原数小36，求原来的两位数. 解：设原来的两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为2x. 根据题意，得10×2x+x-36=10x+2x， 即 20x+x-36=10x+2x. 移项，得 20x+x-10x-2x=36. 合并同类项，得 9x=36. 系数化为1，得 x=4. 所以 2x=8. 答：原来的两位数是84. 为何乘以10？ 拓展提升 1.已知关于 x 的一元一次方程3x+9=2x-m与x+2m=3的解相同，求m的值. 解：对于方程 3x+9=2x-m，移项，得 3x-2x=-m-9. 合并同类项，得 x=-m-9. 对于方程 x+2m=3，移项，得 x=3-2m. 因为两个方程的解相同，所以 -m-9=3- 2m. 移项，得 -m+2m=3+9. 合并同类项，得 m=12. 3.明代数学家程大位所著的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银.七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两.请问：所分的银子共有 两. (注:明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语) 解析：设有x人.依题意，得 7x+4=9x-8. 移项，得 7x-9x= -8-4. 合并同类项，得 -2x= - 12. 系数化为1，得 x=6. 所以所分的银子共有7x+4=42+4 =46(两). 46 4.列方程解应用题：《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三. 问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45 元；每人出7元，则差3元，求人数和羊价各是多少. 解：设买羊的人数为 x 人.根据题意，得5x+45=7x+3. 移项，得5x-7x=3-45. 合并同类项，得-2x= -42. 系数化为1，得x=21. 所以5x +45=5×21+45= 150. 答：买羊的人数为21人，羊价为150元. 归纳小结 2.通过移项解一元一次方程的步骤 移项 合并同类项 系数化为1 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 1.移项的定义 3.利用“表示同一个量的两个不同的式子相等”解应用题的基本步骤： (1) 找出题中不变的量； (2)用两个不同的式子表示出这个量； (3)由表示同一个量的两个不同的式子相等列出方程； (4)解方程，并作答. 5.2 解一元一次方程 第五章 一元一次方程 第3课时 去括号 学习目标 1. 了解“去括号”是解方程的重要步骤. 2. 熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程. 重点 难点 3.能够明确行程问题中的数量关系，准确列出方程，体会数学建模思想. 回顾复习 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加. 去括号法则： 问题导入 神话故事“哪吒闹海”众所周知，另有描写哪吒斗夜叉的场面：哪吒和夜叉真个是各显神通，分身有术，只杀得走石飞沙昏天暗地，只见“八臂一头是夜叉，三头六臂是哪吒，三十六头难分辨，手臂缠绕百零八，试向看官问一句，几个夜叉几哪吒？” 设有x个哪吒，则有________个夜叉， (36-3x) 依题意有 6x+8(36-3x)=108 你会解这个方程吗？ 新知探究 问题3 某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2 000 kW·h(千瓦·时)，全年用电150 000 kW·h. 这个工厂去年上半年每月平均用电是多少？ 分析：月平均用电量×n(月数)＝n个月用电量 上半年的用电量＋下半年的用电量＝全年的用电量 一台功率为1 kW的电器1 h的用电量是1 kW·h 6x＋6(x -2 000)＝150 000. 设上半年每月平均用电量为x kW·h， 则下半年每月平均用电量为(x-2 000) kW·h． 上半年共用电6x kW·h， 下半年共用电6(x-2 000) kW·h． 根据题意列出方程 怎样解这个方程？这个方程与我们前面研究过的方程有什么不同？ 解这个方程的流程如下： 去括号 6x + 6 ( x-2 000 ) = 150 000 6x+6x-12 000=150 000 6x+6x=150 000+12 000 12x=162 000 x=13 500 移项 合并同类项 系数化为1 一般含有未知数的项移到等式右边！ 方程中有带括号的式子时，去括号是常用的化简步骤. 知识点1 解一元一次方程——去括号 解一元一次方程时，按照去括号法则把方程中的括号去掉，这个过程叫做去括号. 解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同： 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加. 例题详解 例1 解下列方程： 解：(1)去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 (1) 2x-(x+10)=5x+2(x-1)； (2)去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 (2) 3x-7(x-1)=3-2(x+3). 2x-x-10=5x+2x-2. 2x-x-5x-2x=-2+10. -6x=8. x=- . 3x-7x+7=3-2x-6. 3x-7x+2x=3-6-7. -2x=-10. x=5. 小结 解含有括号的一元一次方程的一般步骤 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 记着变号！ 例题详解 分析：一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等，由此填空： 顺流速度___顺流时间___逆流速度___逆流时间. × ＝ × 例2 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了 2 h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了 2.5 h．已知水流的速度是 3 km/h，求船在静水中的平均速度. 解：设船在静水中的平均速度为 x km/h， 则顺流速度为(x+3) km/h，逆流速度为(x-3) km/h. 去括号，得 2x + 6 = 2.5x-7.5. 移项及合并同类项，得 0.5x = 13.5. 系数化为1，得 x = 27. 答：船在静水中的平均速度为 27 km/h. 根据往返路程相等，列得 2( x+3 ) = 2.5( x-3 ). 习题 在风速为24 km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8 h，它逆风飞行同样的航线要用3 h，求两机场之间的航程． 分析： 顺风速度×顺风时间＝逆风速度×逆风时间. 解：设飞机在无风时的速度为x km/h，则在顺风中的速度为(x+24) km/h ，在逆风中的速度为(x-24)km/h. 根据题意，得 . 去括号，得2.8x+67.2=3x-72. 两机场之间的航程为 3×(696-24)=2016 (km). 答：两城之间的距离为2016 km. 移项及合并同类项，得0.2x=139.2. 系数化为1，得x=696. 小结 航行问题 顺流速度=静水速度+水流速度； 逆流速度=静水速度-水流速度. 顺风速度=无风速度+风速； 逆风速度=无风速度-风速. 往返于A，B两地时，顺流(风)航程=逆流(风)航程. 拓展 1.相遇问题 甲的行程+乙的行程=甲、乙出发点之间的距离； 若甲、乙同时出发，则甲用的时间=乙用的时间. 2.追及问题 快者走的路程-慢者走的路程=快者出发时两者间的距离； 若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间. 随堂练习 1.方程 3x+2(1-x) =4的解是( ) A. B. C. x=2 D. x=1 C 2.解方程：(1) 2(x+3) =5x. 解：(1)去括号，得 2x+6=5x. 移项，得 2x-5x=-6. 合并同类项，得 -3x=-6. 系数化为1，得 x=2. (2) 4x+3(2x-3)=12-(x+4). (2)去括号， 得 4x+6x-9=12-x-4. 移项，得 4x+6x+x=12-4+9. 合并同类项，得 11x=17. 系数化为1，得 x= . 3.一艘轮船在A，B两地之间航行，顺水航行需用3 h，逆水航行需用5 h.已知该轮船在静水中的速度是12 km/h，求水流的速度及A，B两地之间的距离. 解：设水流的速度为 x km/h,则轮船顺水航行时的实际速度为(12+x) km/h,逆水航行时的实际速度为(12- x) km/h. 根据题意，列方程得 3(12+x)=5(12-x). 去括号，得 36+3x=60-5x. 移项、合并同类项，得 8x=24. 系数化为1，得x=3. 所以A，B两地之间的距离为(12+3)×3=45(km). 答:水流的速度为3 km/h, A,B两地之间的距离为45 km. 4.甲、乙两人从相距480 km的两地相向而行，甲乘汽车每小时行驶90 km，乙骑自行车每小时行驶30 km，如果乙先行2 h，那么甲出发多长时间后两人相遇？ 解：设甲出发x h后两人相遇. 根据题意，得 90x+30(x+2) =480. 去括号，得 90x+30x+60=480. 移项、合并同类项，得 120x =420.系数化为1，得 x=3.5. 答：甲出发3.5 h后两人相遇. 拓展提升 1.解方程： 2-3(x+1)=1-2(1+0.5x). 解：去括号，得 2-3x-3=1-2-x. 移项，得 -3x+x=1-2-2+3. 合并同类项，得 -2x=0. 系数化为1，得 x=0. 2.解方程：. 解：去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 系数化为1，得 x=6. 3.甲、乙两运动员在长为100 m的直道AB(A，B为直道两端点)上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点……若甲跑步的速度为5 m/s，乙跑步的速度为4 m/s,则起跑后100 s内,两人相遇的次数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 B 解：因为甲、乙是同时从A点起跑的， 所以每经过 s，甲、乙相遇一次. 设两人相遇的次数为 x， 依题意有 ， 解得 x=4.5， 因为 x 为整数， 所以 x 取4．故选B. 4.一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6 h，飞 机出航时顺风飞行，在无风时的速度是575 km/h， 风速为25 km/h，这架飞机最远能飞出多少千米就应 返回？ 解：设飞机顺风飞行的时间为t h. 依题意，有(575＋25)t＝(575－25)(4.6－t)． 解得t＝2.2. 则(575＋25)t＝600×2.2＝1 320. 答：这架飞机最远能飞出1 320 km就应返回． 归纳小结 1.解含有括号的一元一次方程的一般步骤 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 记着变号！ 2.航行问题 顺流速度=静水速度+水流速度； 逆流速度=静水速度-水流速度. 顺风速度=无风速度+风速； 逆风速度=无风速度-风速. 往返于A，B两地时，顺流(风)航程=逆流(风)航程. 3.相遇问题 甲的行程+乙的行程=甲、乙出发点之间的距离； 若甲、乙同时出发，则甲用的时间=乙用的时间. 4.追及问题 快者走的路程-慢者走的路程=快者出发时两者间的距离； 若同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间. 5.2 解一元一次方程 第五章 一元一次方程 第4课时 去分母 学习目标 1.掌握解一元一次方程中“去分母”、“去括号”的方法，并能解此类型的方程． 2.熟练地掌握含有分数系数的一元一次方程的解法. 重点 难点 回顾复习 解含有括号的一元一次方程的一般步骤 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 记着变号！ 问题引入 问题4 如下图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山50 km，距绿水70 km.某天，一辆汽车匀速行驶，途径王家庄、青山、绿水三地的时间如下表所示.王家庄距翠湖的路程有多远？ 地名 王家庄 青山 绿水 时间 10：00 13：00 15：00 解：设王家庄距翠湖的路程为x km，则王家庄距青山的路程为（x-50）km,王家庄距绿水的路程为（x+70）km.由上表可知，汽车从王家庄到青山的行驶时间为3 h，从王家庄到绿水的行驶时间为5 h. 根据汽车在各段的行驶速度相等，列得方程 你能解出这道方程吗？把你的解法与其他同学交流一下,看谁的解法好. 系数是分数，若能化去分母，把系数化为整数，则计算更方便一些 等式的两边乘同一个数，结果仍相等.这个方程中各分母的最小公倍数是15，方程两边都乘15， 得 若要使方程的系数变成整数系数，方程两边应该同乘以什么数?去分母时要注意什么问题? 这个方程中各分母的最小公倍数是10，方程两边乘10，于是方程左边变为 1）=10× －10×2=5（3x+1）-10×2， 去了分母，方程右边变为什么？ 例 解方程： 系数化为1 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数) 移项 合并同类项 去括号 方程两边的每一项都要乘10. 知识点 解一元一次方程——去分母 解含有分母的一元一次方程时，方程两边乘各分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程就是去分母. 注意： (1) 去分母时，方程两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项； (2) 由于分数线具有括号的作用，因此若分子是多项式，则去分母时，要将分子作为一个整体加上括号. 小结 化小数分母为整数分母和去分母的区别： 化小数分母为整数分母是针对某个分数而言的，利用分数的基本性质，将分数的分子、分母同时乘一个数； 去分母是针对整个方程而言的，利用等式的性质2将方程两边同时乘一个数. 归纳 解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等. 通过这些步骤，可以使以 x 为未知数的方程逐步转化为 x=a 的形式.这个过程主要依据等式的性质和运算律等. 例题详解 例 解下列方程： 解：(1)去分母(方程两边乘4)，得 2(x+1) -4 = 8+ (2 -x). 去括号，得 2x+2 -4 = 8+2 -x. 移项，得 2x+x = 8+2 -2+4. 合并同类项，得 3x = 12. 系数化为1，得 x = 4. 勿漏乘最小公倍数 解：(2)去分母(方程两边乘6)，得 18x+3(x-1) =18-2 (2x -1). 去括号，得 18x+3x-3 =18-4x +2. 移项，得 18x+3x+4x =18 +2+3. 合并同类项，得 25x = 23. 系数化为1，得 . 注意符号变化 随堂练习 1.若式子 4x-5与 的值相等，则 x 的值是( ) A. 1 B. C. D. 2 B 解析：根据题意，得 . 去分母，得 8x-10=2x-1. 移项、合并同类项，得 6x=9. 系数化为1，得 . 解：去分母，得3(x-3)-2(2x+1) =6. 去括号，得 3x-9-4x-2=6. 移项、合并同类项，得 -x=17. 系数化为1，得 x=-17. 2.解方程： . 解：去中括号，得 ， 去小括号，得 ， 去分母，得 x-4-12=8+4x. 移项、合并同类项，得 -3x=24. 系数化为1，得 x=-8. 3.解方程： . 4.火车用 26 s 的时间通过一个长 256 m 的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以 16 s 的时间通过了长 96 m 的隧道，求火车的长度． 解：设火车的长度为x m，列方程： 解得 x =160. 答：火车的长度为160 m． 拓展提升 解：整理，得 ， 去分母，得 2=7-5x. 移项、合并同类项，得 5x=5. 系数化为1，得 x=1. 1.解方程： . 2.清人徐子云《算法大成》中 有一首诗： 巍巍古寺在山林， 不知寺中几多僧． 三百六十四只碗， 众僧刚好都用尽． 三人共食一碗饭， 四人共吃一碗羹． 请问先生名算者， 算来寺内几多增？ 诗的意思： 3个僧人吃一碗饭，四个僧人吃一碗羹，刚好用了364只碗，请问寺内有多少僧人？ 解：设寺内有x个僧人，依题意得 解得 x=624. 答：寺内有624个僧人. 归纳小结 1.去分母的注意事项： (1) 去分母时，方程两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项； (2) 由于分数线具有括号的作用，因此若分子是多项式，则去分母时，要将分子作为一个整体加上括号. 2.解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等. 通过这些步骤，可以使以 x 为未知数的方程逐步转化为 x=a 的形式.这个过程主要依据等式的性质和运算律等. $