精品解析：江苏省连云港市海州区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省连云港市海州区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； B、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意， 故选：． 2. 下列语句是命题的是（ ） A. 对顶角一定相等吗 B. 人们经常用实验、归纳的方法去发现命题 C. 画一个角等于已知角 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了命题，掌握命题的定义是解题的关键，判断是否为命题，①是否为陈述句，②是判断语句．根据命题的定义分别判断下列选项即可． 【详解】解：A、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； B、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意； C、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意； D、符合命题的定义，本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的除法与乘法、幂的乘方法则，解题的关键是熟练掌握法则．根据法则逐个计算后判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，故A错误不符合题意； ，故B错误不符合题意； ，故C错误不符合题意； ，正确符合题意； 故选：D． 4. 如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：C． 5. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立． 【详解】解：A、两边同时乘以负数，不等号方向改变，应为，选项A不成立，符合题意； B、两边同时除以正数，不等号方向不变，应为，选项B成立，不符合题意； C、，两边同时加上，不等号方向不变，应为，选项C成立，不符合题意； D、两边同时减去，不等号方向不变，应为，选项D成立，不符合题意； 故选：A． 6. 我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木多少尺？设木长尺，绳长尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 假设出未知数，根据两种情况找出等量关系列出方程，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、根据用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺，可得此方程，该选项正确，不符合题意； B、根据将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可列，该选项错误，故符合题意； C、根据和，可得，该选项正确，不符合题意； D、 根据和，可得，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式运算的几何应用，正确得到阴影面积与边长关系是解题的关键．设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则，，可得，再由阴影部分的面积为8，可得，即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为 则，， ∴， ∵阴影部分的面积为8， ∴，即， ∴， 即大正方形的面积与小正方形的面积之差为． 故选：C 8. 小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则下列关于的说法正确的是（ ） 小红的思路 设，， 则． ∵， ∴． ∴的最小值为． A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意，设，，则，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． ，进行计算，即可求解． 【详解】解：设，， 则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴有最小值为， 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 命题“偶数一定能被整除”的逆命题是_____________． 【答案】能被整除的数一定是偶数 【解析】 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，熟练掌握逆命题的定义是解题的关键：一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题． 由逆命题的定义即可得出答案． 【详解】解：命题“偶数一定能被整除”的题设是“偶数”，结论是“能被整除”， 由逆命题的定义即可得出原命题的逆命题为：能被整除的数一定是偶数， 故答案为：能被整除的数一定是偶数． 10. 五边形的内角和为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，根据边形内角和公式为，把代入可求五边形内角和即可，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：五边形的内角和为：， 故答案：． 11. 用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的大小比较、实数的平方、假命题的概念解答． 【详解】解：当时，，而， 说明命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 飞机零件的精确度极高 ，它的某个零件的精度小于 0.00000002 丝，则 0.00000002 用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000002； 故答案为：． 13. 为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为，且桥宽忽略不计，则小桥总长为_______． 【答案】300 【解析】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质可得：小桥总长就等于长方形荷塘的长与宽的和，即可得出结果． 【详解】解：由平移的性质得，小桥总长长方形周长的一半， ∵， ∴小桥总长为． 故答案为：300． 14. 已知，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查解三元一次方程组，代数式的值，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．将两个方程相加可得，再将第一个方程变形得，从而求得的值，然后代入原式计算即可． 详解】解：， 得：， 则， 由得：， 则， 原式， 故答案：． 15. 若关于的方程的解不大于，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤和不等式的基本性质．解方程得，根据解不大于列出关于的不等式，解之即可． 【详解】解：解方程得， 由题意知：， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，绕B点逆时针旋转至，、B、C三点在一条直线上，若，则________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平角的定义，根据旋转的性质以及平角的定义得出，，进而可求出，最后再根据平角的定义求解即可． 【详解】解：∵绕B点逆时针旋转至，、B、C三点在一条直线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 17. 若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据解集的情况得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组有3个整数解， ∴，且三个整数解为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 18. 设，，…，，是从，，这三个数取值的一组数，若，则，，…，，中为的个数为_____． 【答案】25 【解析】 【分析】根据题意，设这列数中的个数为，的个数为，1的个数为m， 根据题意，得即可解决问题． 本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意建立方程组是解题的关键． 【详解】解：由 ， 故， 故， 设这列数中的个数为，的个数为，1的个数为m， 根据题意，得， 解得， 所以这列数中的个数为个． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， 由①得：③， 将③代入②，得， 解得：， 把代入③，得， 方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ①，得③， ②，得④， ③④，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 方程组的解为． 20. （1）下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解不等式． 解：去分母，得………第一步 去括号，得………第二步 移项，合并同类项，得………第三步 两边都除以，得………第四步 所以，原不等式的解集为 任务： ①上述求解过程中，第一步变形的依据是 ； ②上述求解过程中，从第 步发生错误，具体错误是 ； ③直接写出该不等式的解集 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）①不等式的性质2；②四；不等式两边除以，不等号方向没有改变；③；（2），见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． （1）①去分母的依据是不等式的性质，由此解答即可；②根据解不等式的步骤判断即可；③写出正确的解答过程即可． （2）按照解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，然后把各个解集表示在数轴上，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）①第一步变形的依据是不等式的性质， 故答案为：不等式的性质； ②从第四步开始出错，具体错误是不等式两边除以，不等号方向没有改变， 故答案为：四，不等式两边除以，不等号方向没有改变； ③， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得，两边都除以，得， 原不等式的解集为． 故答案为：． （2）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 把解集表示在数轴上，如图所示： ． 21. 请根据条件进行推理，完成下面的证明，并在括号内注明理由． 已知：如图，是平分线上一点，交于点．求证：． 证明：， ______（__________） ______（__________） 又平分， ______（__________） ． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，先根据平行线的性质，得到，，再根据平分，即可得到． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∴． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；；角平分线的定义． 22. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A．B．C．D均在格点（网格线的交点）上． （1）将先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到 ，请在图1中画出若连接，，那么，的关系是 ． （2）将绕点D按顺时针方向旋转，得到，请在图2中画出 ． 【答案】（1）见解析，平行且相等 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平移变换和旋转变换作图，平移的性质， （1）根据平移的性质可将点A、B、C先向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，再把平移后得到的点连接，即可得到，然后根据平移的性质求解即可； （2）根据旋转的性质画出对应点，把旋转后所得到的点连接，即可得到． 【小问1详解】 如图1，即为所求， ∴由平移的性质得，的关系是平行且相等； 【小问2详解】 如图2，即为所求． 23. （1）【特例探究】比较与 的大小用等号或不等号填空： 当， 时 ， ， 当， 时 ， ， 当， 时 ， ； （2）【猜想证明】无论 取何值，试猜想与 的大小关系，并说明理由； （3）【拓展应用】已知，求 的最大值． 【答案】（1）；； ；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式应用． （1）根据有理数的运算法则求解； （2）根据作差法求解； （3）根据（2）的结论求解． 【详解】解：（1）当，时，，， ， 当，时，，， ， 当，时，，， ； 故答案为：，，； （2）； 理由：， ； （3），， ， ， 的最大值为． 24. 某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如表： 信息一 信息二 型机器人台数 型机器人台数 总费用/万元 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件． （1）求，两种型号智能机器人的单价． （2）现该企业准备用不超过万元购买，两种型号智能机器人共台则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？最多多少万件？ 【答案】（1）型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元 （2）当该企业购买型智能机器人台，型智能机器人台时，能使每天分拣快递件数最多，最多为万件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，利用总价单价数量，结合信息一的信息，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台，利用总价单价数量，结合总价不超过万元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合，均为正整数，可得出各购买方案，再求出选择各方案每天分拣快递的件数，比较后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：． 答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元； 【小问2详解】 解：设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台， 根据题意得：， 解得：， ，均为正整数， 可以为，，，，， 该企业共有种购买方案， 方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件； 方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件； 方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件； 方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件； 方案：购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天可分拣快递万件， ， 该企业选择购买方案，能使每天分拣快递的件数最多，最多为万件． 答：当该企业购买型智能机器人台，型智能机器人台时，能使每天分拣快递件数最多，最多为万件． 25. 如图，已知线段，点是线段外一点，连接，，将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． （1）依题意在图中补全图形，并证明：； （2）过点作直线，在直线上取点，使．当时，在备用图中画出图形，并求出与之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2）见解析，或 【解析】 【分析】作，根据平移的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，，求得； 分两种情况：点在直线的上方时，如图所示：当点在直线的下方时，如图，根据平移的性质和平行线的性质即可得到结论． 本题考查了作图平移变换，平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示， 证明：作， 将线段沿平移得到线段， ， ， ，, ， 即； 【小问2详解】 解：点在直线的上方时，如图所示：     由平移的性质得：，， ， ， ， ， 整理，得； 当点在直线的下方时，如图，     ， ， 整理，得； 综上所述，与之间的数量关系为或． 26. 定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“跟随方程”． （1）在方程①，②，③中，不等式组的“跟随方程”是 ；(填序号) （2）若不等式组的一个“跟随方程”的解是整数，求这个“跟随方程”中的值； （3）若在三个方程①，②，③中，只有两个是关于的不等式组的“跟随方程”，直接写出的取值范围： ． 【答案】（1）②③ （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、一元一次方程的解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键； （1）依据题意，先解不等式组，然后分别解方程，最后逐个判断可以得解； （2）依据题意，先解不等式组，然后结合方程是不等式组的“跟随方程”，且其解为整数，进而可以计算得解； （3）依据题意，先分别解三个方程为，，，再解不等式组，可得，故不等式组的整数解为、或、，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，解不等式组， ． 又， ， 的解不是不等式组的解， 不是不等式组的“跟随方程”； 又， ， 是不等式组的“跟随方程”； ， ， 是不等式组的“跟随方程”． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，， 解不等式得：，解不等式得：， 不等式组的解集为． 不等式组的整数解为，． 方程是不等式组的“跟随方程”，且其解为整数， 方程的解为或， 当方程的解为时，则，解得； 当方程的解为时，则，解得． 综上所述，或． 【小问3详解】 解：由题意，三个方程为，，， 三个方程的解，，． 又解不等式组， ． 不等式组的整数解为、或、． 或． 或． 故答案为：或． 27. 折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） ；（3）或；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，长方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠可得，进而即可求解； （3）分与不重叠和重叠两种情况讨论，先表示出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可； （4）分点在的左侧，在的右侧和点在的右侧，在的左侧进行分类讨论即可得解． 【详解】解：（1）图2中，由折叠得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）图3中，由折叠得∶，， ， ， ，即， 故答案为：； （3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 当与重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， 又， ， ， 故答案为：或； （4）当点在的左侧，在的右侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 综上，的度数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年江苏省连云港市海州区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列语句是命题的是（ ） A. 对顶角一定相等吗 B. 人们经常用实验、归纳的方法去发现命题 C. 画一个角等于已知角 D. 若，则 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 5. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木多少尺？设木长尺，绳长尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 8. 小红同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若，则下列关于的说法正确的是（ ） 小红的思路 设，， 则． ∵， ∴． ∴的最小值为． A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 命题“偶数一定能被整除”的逆命题是_____________． 10. 五边形的内角和为______度． 11. 用一个值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是_____． 12. 飞机零件的精确度极高 ，它的某个零件的精度小于 0.00000002 丝，则 0.00000002 用科学记数法表示为__________． 13. 为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为，且桥宽忽略不计，则小桥总长为_______． 14. 已知，则_____． 15. 若关于的方程的解不大于，则的取值范围是_____． 16. 如图，绕B点逆时针旋转至，、B、C三点在一条直线上，若，则________． 17. 若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是__________． 18. 设，，…，，是从，，这三个数取值的一组数，若，则，，…，，中为的个数为_____． 三、解答题：本题共9小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程组： （1）； （2）． 20. （1）下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解不等式． 解：去分母，得………第一步 去括号，得………第二步 移项，合并同类项，得………第三步 两边都除以，得………第四步 所以，原不等式的解集为 任务： ①上述求解过程中，第一步变形的依据是 ； ②上述求解过程中，从第 步发生错误，具体错误是 ； ③直接写出该不等式的解集 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 21. 请根据条件进行推理，完成下面的证明，并在括号内注明理由． 已知：如图，是平分线上一点，交于点．求证：． 证明：， ______（__________） ______（__________） 又平分， ______（__________） ． 22. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A．B．C．D均在格点（网格线的交点）上． （1）将先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到 ，请在图1中画出若连接，，那么，的关系是 ． （2）将绕点D按顺时针方向旋转，得到，请在图2中画出 ． 23. （1）【特例探究】比较与 的大小用等号或不等号填空： 当， 时 ， ， 当， 时 ， ， 当， 时 ， ； （2）【猜想证明】无论 取何值，试猜想与 大小关系，并说明理由； （3）【拓展应用】已知，求 的最大值． 24. 某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如表： 信息一 信息二 型机器人台数 型机器人台数 总费用/万元 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件． （1）求，两种型号智能机器人的单价． （2）现该企业准备用不超过万元购买，两种型号智能机器人共台则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递件数最多？最多多少万件？ 25. 如图，已知线段，点是线段外一点，连接，，将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． （1）依题意在图中补全图形，并证明：； （2）过点作直线，在直线上取点，使．当时，在备用图中画出图形，并求出与之间的数量关系． 26. 定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“跟随方程”． （1）在方程①，②，③中，不等式组的“跟随方程”是 ；(填序号) （2）若不等式组的一个“跟随方程”的解是整数，求这个“跟随方程”中的值； （3）若在三个方程①，②，③中，只有两个是关于的不等式组的“跟随方程”，直接写出的取值范围： ． 27. 折纸中数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$