精品解析：湖北省随州市曾都区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

曾都区2025−2026学年度第二学期学业质量监测八年级数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效． 3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 五边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各数中，能与，组成一组勾股数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最低的时刻是（ ） A. 时 B. 时 C. 时 D. 时 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线交轴于点，交轴于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 某校八年级研学活动有四个备选地点，经一人一票投票，每个地点的得票数如下表所示，则研学地点应选择（ ） 地点 炎帝故里 市科技馆 千年银杏谷 九口堰 票数 A. 炎帝故里 B. 市科技馆 C. 千年银杏谷 D. 九口堰 9. 求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形是菱形，对角线，交于点O．求证：．以下是排乱的证明过程：①又；②∴，即；③∵四边形是菱形；④∴．证明步骤正确的顺序是( ) A. B. C. D. 10. 目前，我市城区道路更新正如火如荼地建设中．现有甲、乙两个工程队分别同时开挖两条米长的道路，所挖道路长度（米）与挖掘时间（天）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲队每天挖米 B. 乙队开挖天后，每天挖米 C. 甲队比乙队提前天完成任务 D. 当时，甲、乙两队所挖道路长度相等 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分，把正确答案直接填在答题卡对应题号的横线上） 11. 已知正比例函数（是常数，），随的增大而减小，写出一个符合条件的的值为_____． 12. 计算 的结果等于_________． 13. 将数据，，，10分成第一组和第二组，易计算出第二组的离差平方和为，请你计算第一组的离差平方和为________． 14. 如图，在中，，，，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，则的周长为________． 15. 如图，在矩形中，动点从点出发，沿的路径匀速运动到点处停止，运动速度为．设点运动的时间为，的面积为，表示与的函数关系的图象如图所示，则图中的值为________，当时，点运动的路程为________． 三、解答题（本题共9小题，共75分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 现向一个容积为的空水池中注水，注水速度为，水池中的水量（单位：）随注水时间（单位：）的增加而增加． （1）指出这个问题中的常量； （2）写出表示与的函数关系的式子； （3）写出自变量的取值范围． 18. 一家专用汽车零售店的名销售人员月份销售专用汽车数量（单位：辆）如下： 12 10 3 9 10 12 2 6 14 画出的箱线图如图所示． （1）根据箱线图，知道这个月专用汽车销售数量的最小值是，请你直接写出这个月专用汽车销售数量的最大值及四分位数； （2）结合箱线图分析这个月专用汽车销售数量的特点． 19. 如图，一次函数的图象与轴的正半轴相交于点，与轴相交于点B． （1）求出的值． （2）过点作直线与轴的负半轴相交于点，且，求直线的解析式． 20. 下面是某校数学“综合与实践”活动小组开展的一个项目化学习，阅读下列材料，解决后面的问题． 项目 名称 测量吊车起重臂顶端与地面的距离 对象 简介 吊车作业时是通过液压杆的伸缩使起重臂绕点转动的，从而使得起重臂完成升降作业（起重臂的长度也可以伸缩） 重新上传 下载 删除 操作 示意图 操作 数据 起重臂米，点到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点到的距离米． 解决问题 （1）求证：四边形是矩形； （2）求吊车起重臂的顶端到地面的距离． 21. 已知点是正方形的边上一点，，是线段上的一定点，过点的直线交边，于点，． （1）如图，若，求证：； （2）如图，的延长线与的延长线相交于点，若，请直接写出线段与的数量关系． 22. 跳绳是一项有效的有氧运动．某校八年级名学生在“跳绳提升”训练前后各参加了一次规格相同的测试，测试成绩为整数，满分10分．两次测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，用抽样调查的方式从中抽取了名学生训练前后的测试成绩，绘制出了如下统计图及数据分析表． 平均数 中位数 众数 方差 训练前 训练后 根据以上信息，解答下列问题： （1）在“训练前跳绳成绩统计图”中补全条形统计图； （2）填空： ， ， ； （3）估计该校八年级学生在训练后比训练前跳绳成绩满分的增加了多少人？ （4）请从平均数、中位数、众数和方差这四个统计量中任意选一个，说明其在本题中的意义． 23. 根据以下项目化学习材料，解答后面的问题． 【主题】如何接到最佳温度的温水 【背景】学校教学楼的公共饮水机有开水、常温水两个出水按钮，如图为其信息图，开水出水温度为，出水速度为；常温水出水温度为，出水速度为． 【素材】常用水杯容积：． 物理知识：开水和常温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于常温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度常温水体积×常温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与）． 【操作】先从饮水机接常温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热量损失，不考虑水溢出的情况） 【问题】 （1）接到常温水的体积是 ，接到开水的体积是 ．（用含的代数式表示）； （2）学校倡导减少开水浪费，要求所接的常温水体积不少于开水体积的倍，则至少应接常温水多少秒？ （3）设水杯接满水后水杯中温度为， ①求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； ②若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围． 24. 已知四边形是平行四边形，，，，点是边上一个动点，连接，沿将翻折至，所在的直线与交于点． （1）如图，当点落在内部时，判断与的数量关系，并证明； （2）如图，当点与点重合时，求的长； （3）当取最大值时，直接写出此时折痕的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曾都区2025−2026学年度第二学期学业质量监测八年级数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效． 3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】∵最简二次根式需满足两个条件，1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 对选项A：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对选项B：，被开方数是能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项C：的被开方数，不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，是最简二次根式； 对选项D：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 2. 五边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】n边形的内角和是 ，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和． 【详解】（5﹣2）×180°=540°． 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容． 3. 下列各数中，能与，组成一组勾股数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三个正整数若满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数为一组勾股数，据此验证各选项即可求解，掌握勾股数的定义是解题关键． 【详解】解：A选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意； B选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意； C选项：，三个数均为正整数， 是一组勾股数，该选项符合题意； D选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意． 4. 如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最低的时刻是（ ） A. 时 B. 时 C. 时 D. 时 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图像可得，函数图像的最低点在时出现，即这一天气温最低的时刻是时． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的四则运算法则逐一计算判断选项即可． 【详解】A选项：与不是同类二次根式，无法直接合并，运算错误； B选项：，运算错误； C选项：，运算正确； D选项：，运算错误． 6. 如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】明确基础图形是平行四边形，需回忆平行四边形判定为矩形的定理，包括对角线相关、内角相关的判定条件。逐一分析各选项对应的几何性质，结合判定定理匹配符合要求的选项． 【详解】解：选项A：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中对角线，满足条件，可以判定它是矩形，该选项正确． 选项B：邻边相等（）的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，该选项错误． 选项C：平行四边形本身就具有对边平行的性质，本来就是平行四边形的已有性质，无法判定它是矩形，该选项错误． 选项D：对角线互相垂直（）的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项错误． 7. 如图，直线交轴于点，交轴于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数值大于0的解集是轴上方的函数图象所对应的自变量的取值． 【详解】解：由图象可知，直线与轴交于点， 当时，函数的图象在轴上方，即， 不等式的解集是． 8. 某校八年级研学活动有四个备选地点，经一人一票投票，每个地点的得票数如下表所示，则研学地点应选择（ ） 地点 炎帝故里 市科技馆 千年银杏谷 九口堰 票数 A. 炎帝故里 B. 市科技馆 C. 千年银杏谷 D. 九口堰 【答案】D 【解析】 【分析】一人一票投票选择研学地点，应选择得票数最多的地点，只需比较四个地点的得票大小，找到得票最多的地点即可． 【详解】解：∵一人一票制投票，应选定票数最高的地点，比较四个地点得票数可得， ∴九口堰得票数最多， 因此研学地点应选择九口堰． 9. 求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形是菱形，对角线，交于点O．求证：．以下是排乱的证明过程：①又；②∴，即；③∵四边形是菱形；④∴．证明步骤正确的顺序是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形是特殊的平行四边形以及等腰三角形的性质证明即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， ∵对角线，交于点O， ∴， ∴， 即， ∴证明步骤正确的顺序是， 故选：B． 【点睛】考查菱形的性质以及等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．本题的技巧是四边形是菱形肯定是第一个，这是命题的条件，肯定排最后，这是命题的结论． 10. 目前，我市城区道路更新正如火如荼地建设中．现有甲、乙两个工程队分别同时开挖两条米长的道路，所挖道路长度（米）与挖掘时间（天）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲队每天挖米 B. 乙队开挖天后，每天挖米 C. 甲队比乙队提前天完成任务 D. 当时，甲、乙两队所挖道路长度相等 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算甲队的速度、乙队天后的速度、乙队完成任务的总时间以及时两队的挖掘长度，逐一判断选项即可． 【详解】解：由图象可知，甲队天挖了米，  甲队每天挖（米），故A选项说法正确，不符合题意； 乙队开挖天后，从第天到第天共挖了（米），用时（天），  乙队开挖天后，每天挖（米），故B选项说法正确，不符合题意； 乙队完成米任务所需时间为（天）， 甲队完成任务需天，  甲队比乙队提前（天）完成任务，故C选项说法错误，符合题意； 当时，甲队所挖长度为（米）， 乙队所挖长度为（米），  当时，甲、乙两队所挖道路长度相等，故D选项说法正确，不符合题意． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分，把正确答案直接填在答题卡对应题号的横线上） 11. 已知正比例函数（是常数，），随的增大而减小，写出一个符合条件的的值为_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正比例函数图像与性质，由正比例函数增减性直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数（是常数，），随的增大而减小， ∴， ∴的值可以取（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查正比例函数图像与性质，熟练掌握正比例函数增减性是解决问题的关键． 12. 计算 的结果等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式进行计算即可. 【详解】 故填13. 【点睛】本题考查平方差公式及二次根式的运算，熟练掌握公式是解题关键. 13. 将数据，，，10分成第一组和第二组，易计算出第二组的离差平方和为，请你计算第一组的离差平方和为________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算第一组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方的和，即可得到结果. 【详解】解：计算第一组的平均数：， 根据离差平方和的定义，第一组的离差平方和为： . 14. 如图，在中，，，，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，利用平行四边形的性质得出和的长，根据作图痕迹可知是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得出，从而将的周长转化为求解． 【详解】解：， ， 在中，，， ， 四边形是平行四边形， ，， 由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ， 的周长为：． 15. 如图，在矩形中，动点从点出发，沿的路径匀速运动到点处停止，运动速度为．设点运动的时间为，的面积为，表示与的函数关系的图象如图所示，则图中的值为________，当时，点运动的路程为________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】先由图可得的值，则可求得与的值；当时，点在线段或上，从而问题得解． 【详解】解：动点从点出发，沿的路径匀速运动， ； ， 在矩形中，， 点在线段上时 ， 解得： 点运动的路程为 点在线段上时， ， ∴ 解得： ∴点运动的路程为 综上所述，，当时，点运动的路程为或． 三、解答题（本题共9小题，共75分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 现向一个容积为的空水池中注水，注水速度为，水池中的水量（单位：）随注水时间（单位：）的增加而增加． （1）指出这个问题中的常量； （2）写出表示与的函数关系的式子； （3）写出自变量的取值范围． 【答案】（1） 常量为水池容积和注水速度 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据常量是在一个变化过程中，数值不发生变化的量，解答即可； （2）根据水池中的水量=注水速度注水时间，结合已知条件列出函数关系式即可； （3）自变量x的取值范围需要考虑实际情况，即注水时间不能为负数，且水池注满水时注水时间达到最大值． 【小问1详解】 解：常量是水池容积和注水速度； 【小问2详解】 解：由题意得，与的函数关系式为 【小问3详解】 解：， ． 18. 一家专用汽车零售店的名销售人员月份销售专用汽车数量（单位：辆）如下： 12 10 3 9 10 12 2 6 14 画出的箱线图如图所示． （1）根据箱线图，知道这个月专用汽车销售数量的最小值是，请你直接写出这个月专用汽车销售数量的最大值及四分位数； （2）结合箱线图分析这个月专用汽车销售数量的特点． 【答案】（1）这个月专用汽车销售数量的最大值为14，中位数为10，第一四分位数为，第三四分位数为； （2）从箱线图可以看出：有的销售人员销售量在2到4.5辆之间；有的销售人员销售量在4.5到10辆之间；有的销售人员销售量在10到12辆之间；有的销售人员销售量在12到14辆之间；数据的中位数是10，说明一半的销售人员销售量不低于10辆，另一半不高于10辆；箱线图左侧的“须”更长，说明低销售量的数据更分散，高销售量的数据相对集中． 【解析】 【分析】（1）根据箱线图直接得到汽车销售数量的最大值，将数据从小到大排列，利用中位数定义及四分位数定义解答； （2）根据箱线图的特点解答即可． 【小问1详解】 解：根据箱线图，知道这个月专用汽车销售数量的最大值为14， 将数据从小到大排列：2，3，6，9，10，10，12，12，14，共9个数据， 第5个数为10，即中位数为10， 第一四分位数为，第三四分位数为； 【小问2详解】 略 19. 如图，一次函数的图象与轴的正半轴相交于点，与轴相交于点B． （1）求出的值． （2）过点作直线与轴的负半轴相交于点，且，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式中，即可求得m的值； （2）求出B、C两个点的坐标，利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与轴的正半轴相交于点， ∴， 解得， 即的值为； 【小问2详解】 解：对于，令，得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把两点的坐标代入，得， 解得， 故直线的解析式为． 20. 下面是某校数学“综合与实践”活动小组开展的一个项目化学习，阅读下列材料，解决后面的问题． 项目 名称 测量吊车起重臂顶端与地面的距离 对象 简介 吊车作业时是通过液压杆的伸缩使起重臂绕点转动的，从而使得起重臂完成升降作业（起重臂的长度也可以伸缩） 重新上传 下载 删除 操作 示意图 操作 数据 起重臂米，点到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点到的距离米． 解决问题 （1）求证：四边形是矩形； （2）求吊车起重臂的顶端到地面的距离． 【答案】（1）证明：由题意可得，，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）米 【解析】 【分析】（1）有三个角是直角的四边形是矩形； （2）由矩形的性质可得米，由勾股定理得出米，即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形； ∴米， ∵米，米， ∴米， ∴米． 21. 已知点是正方形的边上一点，，是线段上的一定点，过点的直线交边，于点，． （1）如图，若，求证：； （2）如图，的延长线与的延长线相交于点，若，请直接写出线段与的数量关系． 【答案】（1）证明：如图，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）分情况讨论，①当，根据，证明，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．②当时，画出图形，根据等角对等边即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 如图， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 跳绳是一项有效的有氧运动．某校八年级名学生在“跳绳提升”训练前后各参加了一次规格相同的测试，测试成绩为整数，满分10分．两次测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，用抽样调查的方式从中抽取了名学生训练前后的测试成绩，绘制出了如下统计图及数据分析表． 平均数 中位数 众数 方差 训练前 训练后 根据以上信息，解答下列问题： （1）在“训练前跳绳成绩统计图”中补全条形统计图； （2）填空： ， ， ； （3）估计该校八年级学生在训练后比训练前跳绳成绩满分的增加了多少人？ （4）请从平均数、中位数、众数和方差这四个统计量中任意选一个，说明其在本题中的意义． 【答案】（1） （2）7；6；8.8 （3）140人 （4）选择平均数：训练后的平均成绩为8.8分，比训练前的平均成绩7.6分提高了； 选择中位数：训练前的中位数为7分，训练后的中位数为9分，即处于中间位置的成绩明显提高； 选择众数：训练前的众数为6分，训练后的众数为10分，表明训练后取得满分的人数更多； 选择方差；训练前方差为1.84，训练后方差为1.76，方差减小，表明训练后成绩更稳定．（任选一个即可） 【解析】 【分析】（1）由训练前跳绳成绩统计图可求得测试成绩为8分的学生数，则可补全条形统计图； （2）按照求中位数、众数及平均数的方法即可完成； （3）估计出训练前后满分的人数，相减即可求解； （4）任选一个，根据其含义即可作答． 【小问1详解】 解：训练前跳绳成绩统计图中，测试成绩为8分的学生数是（人）； 补全的条形统计图略； 【小问2详解】 解：训练前：，则；测试成绩为6分的人数最多，则； 训练后：； 【小问3详解】 解：训练前取得满分的学生有（人），训练后取得满分的学生有（人）， 则增加的人数为（人）； 【小问4详解】 解：略． 23. 根据以下项目化学习材料，解答后面的问题． 【主题】如何接到最佳温度的温水 【背景】学校教学楼的公共饮水机有开水、常温水两个出水按钮，如图为其信息图，开水出水温度为，出水速度为；常温水出水温度为，出水速度为． 【素材】常用水杯容积：． 物理知识：开水和常温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于常温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度常温水体积×常温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与）． 【操作】先从饮水机接常温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热量损失，不考虑水溢出的情况） 【问题】 （1）接到常温水的体积是 ，接到开水的体积是 ．（用含的代数式表示）； （2）学校倡导减少开水浪费，要求所接的常温水体积不少于开水体积的倍，则至少应接常温水多少秒？ （3）设水杯接满水后水杯中温度为， ①求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； ②若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）至少应接常温水秒 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）体积出水速度时间； （2）根据“所接的常温水体积不少于开水体积的倍”列出关于的一元一次不等式，求解即可； （3）①根据“开水体积×开水降低的温度常温水体积×常温水升高的温度”得出，整理即可得解；②根据饮水最佳温度是，列出关于的一元一次不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得接到常温水的体积是，接到开水的体积是； 【小问2详解】 解：由题意可得， 解得， ∴至少应接常温水秒； 【小问3详解】 解：①∵开水体积×开水降低的温度常温水体积×常温水升高的温度， ∴， 整理可得， ∴关于的函数关系式为； ②∵饮水最佳温度是， ∴， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 24. 已知四边形是平行四边形，，，，点是边上一个动点，连接，沿将翻折至，所在的直线与交于点． （1）如图，当点落在内部时，判断与的数量关系，并证明； （2）如图，当点与点重合时，求的长； （3）当取最大值时，直接写出此时折痕的长． 【答案】（1）， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由翻折得， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠的性质即可证明． （2）过作，交的延长线于，依据中，，列方程求解即可得出结论； （3）依据，可知，当最短时，最大，进而得出当时，有最大值．依据中，，求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图所示，过作，交的延长线于， 设，则， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． 【小问3详解】 解：如图所示，由折叠可得， ∵， ， ， ， ， ∴当最短时，最大， ∴当时，最短，有最大值， 由（2）可得与之间的距离为， ∴当时，， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定，解一元二次方程，平行四边形的性质以及勾股定理的综合运用，解题的方法是设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $