精品解析：江苏省南通市2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

七年级数学试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，8 B. 5，5，10 C. 3，4，5 D. 1，1，3 3. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第一象限的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中适合采用全面调查的是（ ） A. 调查本校七年级2班男生引体向上成绩情况 B. 调查某品牌电视机屏幕的抗摔能力 C. 调查我市初中学生周末使用电子产品时长的情况 D. 调查一批西瓜的甜度情况 6. 若为正整数，且满足，则的值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊价各是多少？若设人数为x，羊价为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程组满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，，平分，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，点，，，，且．点E是线段的中点，过点E作，若l与线段有公共点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（本大题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知二元一次方程，用含m的代数式表示n，则_______． 12. 若点在x轴上，则点P的坐标是_______． 13. 若是二元一次方程的一个解，则的值等于_______． 14. 在中，点O为和角平分线的交点，，则_______． 15. 已知关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围为_______． 16. 如图，点E，F在内，，，和四边形的面积都相等，的延长线分别交线段，于点G，D，． （1）的面积与的面积的比值为_______． （2）若的面积为364，则的面积是_______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 完成下列小题； （1）计算；； （2）解方程组： 18. 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E． （1）若，，求的大小； （2）求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，其中点，，分别与点，，对应，画出平移后的，则的面积为 ； （2）将平移，使得点，平移后的对应点，落在坐标轴上，点为内一点，则平移后点的对应点的坐标为 ． 21. 我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表． 50个家庭去年月均用水量频数分布表 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 A 7 B m C n D 6 E 2 合计 50 根据上述信息，解答下列问题： （1） ， ． （2）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少？ 22. 如图，图中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图所示的一个大正方形． （1）图中拼成的大正方形纸片的边长为______； （2）如图，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由． 23. 脆饼、麻虾酱、狼山烧鸡是南通的特色美食．在某超市了解到以下信息：麻虾酱价格为38元/瓶，1袋狼山烧鸡比2包脆饼贵48元；购买1袋狼山烧鸡和5包脆饼，支付160元．“五一”来临之际，该超市推出两种礼盒装，其中礼盒包含两包脆饼，一瓶麻虾酱，一袋狼山烧鸡；礼盒包含两袋狼山烧鸡． （1）求脆饼、狼山烧鸡的单价． （2）超市举行“五一”促销活动，礼盒打八折，礼盒打九折，某公司现购入两种礼盒（两种礼盒均有购买），最终支付2400元，写出所有购买方案． 24. 如图，在平面直角坐标系中，，，且，连接，以，为边作长方形，点D为直线上一动点． （1）直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． （2）若点D为的中点，点F在y轴负半轴上，连接．当的面积与的面积相等时，求点F的坐标； （3）若，的平分线与的平分线所在直线交于点E，探究与之间的数量关系，并说明理由． 25. 【阅读材料】 在物理学中，物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．三角形匀质薄板的重心就是三角形的重心．对于三角形匀质薄板，其重心有以下结论： 结论一：三角形的重心是三条中线的交点； 结论二：在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标为，，，则该三角形重心G的坐标为：． 【解决问题】 如图，已知的中线，，交于点G． （1）如果建立平面直角坐标系后，四个点的坐标分别为，，，．求a，b的值； （2）求证：； （3）若的面积为20，，则的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：是分数、是有限小数、是整数；由于开不尽立方，则是无理数． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，8 B. 5，5，10 C. 3，4，5 D. 1，1，3 【答案】C 【解析】 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，判断时只需验证两条较短边的和大于最长边即可确定能否组成三角形． 【详解】解：A．， 不能组成三角形，不符合题意； B．， 不能组成三角形，不符合题意； C．， 能组成三角形，符合题意； D．， 不能组成三角形，不符合题意； 3. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第一象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，记住各象限坐标的符号规律即可判断，第一象限坐标符号为，第二象限为，第三象限为，第四象限为． 【详解】解：第一象限内点的横坐标与纵坐标均为正数，∴依次判断各选项： A选项横纵坐标都为正数，符合第一象限的特征； B选项横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限，不符合要求； C选项横纵坐标都为负，位于第三象限，不符合要求； D选项横坐标为正，纵坐标为负，位于第四象限，不符合要求． 4. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可得到正确结果． 【详解】解：根据不等式的基本性质，结合已知判断如下： 对于选项A，不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，A错误； 对于选项B，不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，B正确； 对于选项C，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，C错误； 对于选项D，对两边同时加，可得，D错误． 5. 下列调查中适合采用全面调查的是（ ） A. 调查本校七年级2班男生引体向上成绩情况 B. 调查某品牌电视机屏幕的抗摔能力 C. 调查我市初中学生周末使用电子产品时长的情况 D. 调查一批西瓜的甜度情况 【答案】A 【解析】 【分析】范围小、无破坏性、对数据准确度要求高的调查适合采用全面调查，具有破坏性或范围过大的调查适合采用抽样调查，据此逐一判断即可． 【详解】解：A选项的调查对象是本校七年级2班男生，范围小，无破坏性，适合全面调查； B选项调查电视机屏幕抗摔能力具有破坏性，不适合全面调查； C选项调查对象是我市全体初中生，范围过大，不适合全面调查； D选项调查西瓜甜度具有破坏性，且一批西瓜数量多，不适合全面调查． 6. 若为正整数，且满足，则的值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】通过估算无理数的范围，结合不等式的基本性质化简原式，即可求出正整数的值 【详解】解：∵， ∴， 化简得， ∵， ∴，即， ∵为正整数，满足， ∴． 7. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊价各是多少？若设人数为x，羊价为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，解题关键是找准等量关系，根据两种出钱情况分别得到羊价的等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：设人数为，羊价为钱， 每人出5钱，还差45钱，即所有人出的总钱数加上还差的45钱等于羊价， 可列方程． 每人出7钱，多余3钱，即所有人出的总钱数减去多余的3钱等于羊价， 可列方程． 可列方程组为． 8. 若关于的方程组满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接将方程组中两个方程作差，得到关于的表达式，再代入不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程组， 由②①得， 即， 又∵， ∴，解得． 9. 如图，已知，，平分，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点，根据平行得到，，，再由角平分线得到， 根据三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：延长交于点， ∵ ∴，，， ∵平分， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 10. 在平面直角坐标系中，点，，，，且．点E是线段的中点，过点E作，若l与线段有公共点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先利用已知条件推导的位置特征，得到垂线的方程，再根据直线与线段有公共点的条件列不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴． ∴B点纵坐标为， ∵A点纵坐标为， ∴A、B纵坐标相等， 即轴． ∵E是的中点，由中点坐标公式得E的横坐标为． ∵过点E作，轴， ∴轴， 即为直线． ∵C和D的纵坐标都为， ∴线段上的点的横坐标都在和之间． ∵与线段有公共点， ∴介于和之间， 当即时，， 解得：且， 即； 当即时，， 解得：且， 即； 综上所述，实数m的取值范围是或． 二、填空题（本大题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知二元一次方程，用含m的代数式表示n，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】把看作已知数，解关于的一元一次方程，通过移项、系数化为1即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 两边同时除以，得 ． 12. 若点在x轴上，则点P的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上点的坐标特征，轴上的点纵坐标为，据此列方程求出的值，再代入计算得到点的横坐标，即可得到点的坐标. 【详解】 点在轴上， 点的纵坐标为， 即 ， 解得 ， 将代入横坐标，得 ， 点的坐标为． 13. 若是二元一次方程的一个解，则的值等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将解代入原方程，整理即可得到的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴将代入方程， 得，即， 等式两边同乘得：． 14. 在中，点O为和角平分线的交点，，则_______． 【答案】##76度 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可； 【详解】解：如图， ∵点为和角平分线的交点， ∴，. ， ∴ ． ． 在中，根据三角形内角和定理得 ． 15. 已知关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解以及根据整数解的个数确定参数的取值范围，先解不等式组得到解集，再根据恰有三个整数解确定整数解的具体值，列出关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得 ， 结合不等式②， 可得不等式组的解集为：， 恰有三个整数解， 满足的连续三个整数为， ， 解不等式， 得：， 解不等式， 得：， ． 16. 如图，点E，F在内，，，和四边形的面积都相等，的延长线分别交线段，于点G，D，． （1）的面积与的面积的比值为_______． （2）若的面积为364，则的面积是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设点到的高为，结合面积公式的计算得到的面积与的面积的比值为； （2）根据题意得到，分别算出的面积得到，如图所示，连接，过点作延长线于点，过点作于点，过点D作于点M，由面积的计算得到，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）的延长线分别交线段，于点G，D，， 设点到的高为， ∴，， ∴， ∴的面积与的面积的比值为； （2）∵，，，和四边形的面积都相等， ∴， 解得，， ∴， ∵，即， ∴，则， ∴， ∴， 设点到的高为， ∴， ∴， 如图所示，连接，过点作延长线于点，过点作于点，过点D作于点M， ∴，， ∴， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点F到的高为， ∴， ∴ ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 完成下列小题； （1）计算；； （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 18. 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】1＜x≤4，数轴见解析 【解析】 【详解】解：， 由①得：x＞1， 由②得：x≤4． ∴这个不等式的解集是1＜x≤4．在数轴上表示为： 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示． 19. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E． （1）若，，求的大小； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明：平分， ． ， ． ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线定义求出，再根据三角形外角性质求解即可； （2）先根据角平分线定义得到，再根据三角形外角性质进行角的代换即可证明结论． 【小问1详解】 解：，是的外角的角平分线， ， 又， ； 【小问2详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，其中点，，分别与点，，对应，画出平移后的，则的面积为 ； （2）将平移，使得点，平移后的对应点，落在坐标轴上，点为内一点，则平移后点的对应点的坐标为 ． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，平移前后图形全等，面积相等，利用割补法计算的面积即可； （2）分两种情况讨论：当点在轴上，点在轴上时，或当点在轴上，点在轴上时，分别确定平移规律，进而求解即可． 【小问1详解】 解：的面积为：， 平移不改变图形的形状和大小，  的面积为； 【小问2详解】 解：由题意得：点，， 分情况讨论： 当点在轴上，点在轴上时， 点的横坐标变为，需向左平移个单位长度， 点的纵坐标变为，需向下平移个单位长度，  先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，  的对应点的坐标为； 当点在轴上，点在轴上时， 点的纵坐标变为，需向下平移个单位长度， 点的横坐标变为，需向左平移个单位长度，  先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，  的对应点的坐标为， 综上所述，平移后点的对应点的坐标为或． 21. 我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表． 50个家庭去年月均用水量频数分布表 组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数 A 7 B m C n D 6 E 2 合计 50 根据上述信息，解答下列问题： （1） ， ． （2）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少？ 【答案】（1）20；15 （2）648个 【解析】 【分析】（1）根据C组的扇形统计图的度数即可求出n的值， 再用50减去其他组别的频数，即可求出m的值； （2）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：（个）， 故去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有648个． 22. 如图，图中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图所示的一个大正方形． （1）图中拼成的大正方形纸片的边长为______； （2）如图，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的实际应用、正方形与长方形的面积计算． （1）抓住“剪拼前后图形总面积不变”的核心，得到大正方形的面积，再通过正方形面积公式求边长． （2）通过设长方形纸片的宽为，长为，根据长方形的面积列方程得到长方形的长和宽，判断裁剪的可行性． 【小问1详解】 解：∵小正方形纸片的面积为， ∴大正方形纸片的面积为， ∴大正方形纸片的边长为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设长方形纸片的宽为，则长为，由题意得：， 解得（不符合题意，舍去） ∴， ∵， ∴不能剪出这样的长方形． 23. 脆饼、麻虾酱、狼山烧鸡是南通的特色美食．在某超市了解到以下信息：麻虾酱价格为38元/瓶，1袋狼山烧鸡比2包脆饼贵48元；购买1袋狼山烧鸡和5包脆饼，支付160元．“五一”来临之际，该超市推出两种礼盒装，其中礼盒包含两包脆饼，一瓶麻虾酱，一袋狼山烧鸡；礼盒包含两袋狼山烧鸡． （1）求脆饼、狼山烧鸡的单价． （2）超市举行“五一”促销活动，礼盒打八折，礼盒打九折，某公司现购入两种礼盒（两种礼盒均有购买），最终支付2400元，写出所有购买方案． 【答案】（1） 脆饼单价为元/包，狼山烧鸡单价为元/袋 （2） 所有购买方案为：①购入礼盒份，礼盒份；②购入礼盒份，礼盒份；③购入礼盒份，礼盒份 【解析】 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出方程组，通过解方程组求出脆饼和狼山烧鸡的单价； （2）根据礼盒的组成计算相关费用，再结合促销活动列出方程，通过分析方程的解来确定购买方案． 【小问1详解】 解：设脆饼的单价是元/包，狼山烧鸡的单价是元/袋， 根据题意得：， 解得：， 答：脆饼的单价是16元/包，狼山烧鸡的单价是80元/袋． 【小问2详解】 解：礼盒原价为：（元）， 打八折后的价格为：（元） 礼盒原价为：（元）， 打九折后的价格为：（元）． 设购买礼盒个，购买礼盒个， 根据最终支付2400元，可得， 即， 得． 均为正整数， 必须是5的倍数， 当时， ； 当时， ； 当时， ． 答：购买方案有三种，方案一为购买礼盒14个，礼盒5个；方案二为购买礼盒8个，礼盒10个；方案三为购买礼盒2个，礼盒15个． 24. 如图，在平面直角坐标系中，，，且，连接，以，为边作长方形，点D为直线上一动点． （1）直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． （2）若点D为的中点，点F在y轴负半轴上，连接．当的面积与的面积相等时，求点F的坐标； （3）若，的平分线与的平分线所在直线交于点E，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）点F的坐标为 （3），理由如下：如下图， 四边形是长方形， ， ， 的平分线与的平分线所在直线交于点E， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质求出a和b的值，即可得答案； （2）先求出D的坐标和三角形的面积，用面积公式求出三角形的底的长，即可解答； （3）用表示出，用角平分线和三角形的内角和即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 点D为的中点， ， 设点F的坐标为，其中， ， ， ， 解得：， 点F的坐标为； 【小问3详解】 略． 25. 【阅读材料】 在物理学中，物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．三角形匀质薄板的重心就是三角形的重心．对于三角形匀质薄板，其重心有以下结论： 结论一：三角形的重心是三条中线的交点； 结论二：在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标为，，，则该三角形重心G的坐标为：． 【解决问题】 如图，已知的中线，，交于点G． （1）如果建立平面直角坐标系后，四个点的坐标分别为，，，．求a，b的值； （2）求证：； （3）若的面积为20，，则的最小值为 ． 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，，，，，如图， ∴轴，，，， ∴， ∴，， ∴， 设点A到的距离为h， ∵，， ∴； （3）5 【解析】 【分析】（1）利用题干中的三角形重心G的坐标公式列方程求解即可； （2）设点A到的距离为h，利用中点坐标公式和坐标与图形性质推导出，，进而可求解； （3）由（2）可得，故当时，最短，此时最短，利用三角形的中线平分该三角形的面积得到，进而求得 即可求解． 【小问1详解】 解：∵的中线，，交于点G， ∴点G为的重心， ∵，，，， ∴，即 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，则， 当时，最短，此时最短， ∵是的中线，的面积为20， ∴，又， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $