第05讲 反比例函数（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪科版

第05讲 反比例函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 反比例函数的辨别 题型10 反比例函数实际应用——行程问题 题型2 根据反比例函数的定义求参数 题型11 反比例函数实际应用——工程问题 题型3 图像共存问题 题型12 反比例函数实际应用——物理问题 题型4 反比例函数的增减性 题型13 一次函数与反比例函数的实际应用 题型5 反比例函数图像所在象限问题 题型6 比较反比例函数值或自变量的大小 题型7 的几何意义 题型8 待定系数法求反比例函数解析式 题型9 反比例函数与方程（组）、不等式（组）结合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 反比例函数定义 反比例函数的图像和性质 k的几何意义 实际问题列反比例函数解析式 1. 理解反比例函数概念，熟记反比例函数三种表达式，掌握一般形式。 2. 明确比例系数k的含义，能精准辨别反比例函数，根据定义求参数数值。 3. 掌握反比例函数自变量、函数值取值范围，区分反比例函数与一次函数、二次函数。 4. 结合路程、工程、面积等实际问题，梳理变量关系，列出反比例函数关系式。 5. 理解反比例关系与反比例函数的区别，夯实函数基础，做好新旧知识衔接。 学习重点：反比例函数定义与标准形式、反比例函数判定、根据实际问题列反比例函数解析式。 学习难点：隐含参数求解、辨析易混淆函数关系式、实际情境中变量关系梳理与建模。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 反比例函数的定义 1.反比例关系：如果两个量的乘积一定，这两个量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2.反比例关系可以表示为：。 3. 反比例函数的定义：形如的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． 注意：在中，当时，分式无意义。 4. 反比例函数的判断：首先看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或或。 即时即练有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【易错提醒】/【方法总结】 易错: （1）分不清分母形式：误把当成反比例函数，分母必须仅含，不能有常数； （2）混淆纯分式与带常数：存在常数项，不是反比例函数，反比例函数不能额外加减常数； （3）忽略等价形式：不认识是反比例函数，误以为带负指数就不是； （4）常数认知误区：以为必须是整数，像这类非零常数也可以作为； （5）形式不会变形：看不出可转化为。 知识点02 待定系数法求反比例函数解析式 1. 通用步骤：① 设反比例函数为； ② 代：把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程； ③求：解方程算出常数的值； ④写：将代回所设式子，写出最终函数表达式。 即时即练已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）符号计算出错：代入负坐标计算时漏负号，错算，解析式写成； （2）判断点时逻辑颠倒：把纵坐标代入解析式求，步骤混乱；或只看数值相等，忽略正负号； （3）混淆判断依据：忘记反比例函数核心性质，不会快速验证点； （4）书写格式错误：求出后不代回写出完整函数表达式，只写，答题不完整。 知识点03 反比例的图像的绘制 1. 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 2. 画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。 即时即练在如图所示的平面直角坐标系中画出反比例函数和的图象，并解答下列问题： 反比例函数的图象叫做_______．因为自变量x与函数y的值都不能取_______，所以反比例函数的图象与x轴、y轴_______(填“有”或“无”)交点． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）画图易错：曲线画成折线、直线段，双曲线必须平滑曲线；曲线端点碰到坐标轴（坐标轴是渐近线，只能无限靠近，不能相交）； （2）和象限搞反：在一、三象限，在二、四象限。 （3）列表时取，忽略反比例函数自变量的限制条件。 知识点04 反比例的图像和性质 解析式 图像形状 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 对称性 中心对称图形（对称中心：原点） 轴对称图形（对称轴：直线） 增减性 在每个象限内，随增大而减小 在每个象限内，随增大而增大 渐近趋势 无限靠近轴、轴，永不与坐标轴相交 取值范围 即时即练关于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）增减性漏 “同一象限” 前提k<0 只能说 “每个象限内y随x增大而增大”，跨象限不成立； （2）象限判断符号混淆记错规律：k>0 在一、三象限，k<0 在二、四象限，看到负k仍误判一、三象限；（3）坐标对称性质不熟悉反比例函数xy=k，点(a,b)与(b,a)乘积不变，都满足解析式； （4）忽略自变量不能为0分析取值范围时，忘记x=0，直接笼统讨论x>−1全部区间。 知识点05 反比例函数系数的几何意义 1. 在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 2. 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 即时即练如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）混淆矩形、三角形面积关系直接把矩形面积8当成△ABC面积； （2）忘记三角形面积是矩形的一半； （3）误解 k 的几何意义：只记住 “过双曲线上一点作坐标轴垂线，形成直角三角形面积为​”，误把△OAB面积当成△ABC面积； （4）符号干扰计算：若A在二、四象限，一正一负，不取绝对值会算出负面积，忽略面积非负； （5）图形看错直角顶点：误把∠C当成直角，或找错三角形底、高。 知识点06 利用反比例函数解决实际问题 1. 一般步骤 （1）审题：分析题意，找出变量，确定两个变量成反比例关系； （2）设解析式：设函数表达式为； （3）代值求：把题目中一组对应数值代入，求出常数； （4）确定解析式：将回代，得到实际问题的函数关系式； （5）求解作答：根据问题代入自变量求因变量（或反之），结合实际取值范围检验，写出答案。 即时即练1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 【易错提醒】/【方法总结】 易错：忽略实际意义算出负数结果，未结合题意舍去。 题型1 反比例函数的辨别 【例1】下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】有下列函数：①：②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）标准形式3种，满足任意一种就是反比例函数：； （2）核心：次数为，且常数，分母只含单个，不含。 【变式1-1】下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知下列函数①，②，③，④（为常数），其中是反比例函数的是_____（填序号）． 题型2 根据反比例函数的定义求参数 【例3】若为关于的反比例函数，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例4】已知函数是关于x的反比例函数，求这个反比例函数的表达式． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）两步列式：的指数；比例系数； （2）联立方程组求解参数。 【变式2-1】若是反比例函数，则a的值为________． 【变式2-2】已知函数 (1)若y是x的正比例函数，求m的值． (2)若y是x的反比例函数，求m的值． 题型3 图像共存问题 【例5】反比例函数与一次函数（其中为自变量，为非零常数）在同一直角坐标系中的大致图象可以是（   ） A． B． C． D． 【例6】已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【易错警示】/【技巧归纳】 分两步排除：①先看反比例：在一、三象限；在二、四象限，确定正负； ②再对照一次函数：符号必须和一致，结合截距排除错误选项。 【变式3-1】在同一平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 题型4 反比例函数的增减性 【例7】下列函数中，y随x增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【例8】若点在反比例函数的图象上，在图象的每一支上，随的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 【易错警示】/【技巧归纳】 易错：①最核心错误：去掉“在每个象限内”，直接说全体定义域单调；②跨象限两点不能直接用增减性比较。 【变式4-1】反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】函数是反比例函数，且当时，随的增大而减小，则的值为___________． 题型5 反比例函数图像所在象限问题 【例9】反比例函数的图像在（   ）象限 A．第一、第二象限 B．第二、第三象限 C．第二、第四象限 D．第三、第四象限 【例10】已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象经过第_______象限． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错：①正负和象限记反；②忽略，图像永远不触碰坐标轴。 【变式5-1】如图，这是反比例函数 的图象，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是______． 题型6 比较反比例函数值或自变量的大小 【例11】已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【例12】已知点，，都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则，，的大小关系用“”连接为______． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）同象限点：直接用增减性比较； （2）跨象限点：时，的恒正，的恒负；反之；正数一定大于负数。 【变式6-1】若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】在反比例函数的图象上有，两点．则和之间的大小关系为__________(填“”“”或“”)． 题型7 的几何意义 【例13】如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且的面积为8，若双曲线经过边的中点C，则k的值为（  　） A．4 B．6 C．8 D．12 【例14】如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线 ＞上，连接交于，连接，则图中是________． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）双曲线上任一点作轴垂线，围成矩形面积； （2）围成直角三角形面积； （3）面积永远取正数，符号只看象限。 【变式7-1】如图，点A，B依次在反比例函数（常数，）的图象上，，分别垂直x轴于点C，D，轴于点E，于点F，若，阴影部分面积为12，则k的值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【变式7-2】如图所示，A，B是反比例函数图象上的两个点，分别过A，B作x轴、y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形．已知，则的值是_______． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积． 题型8 待定系数法求反比例函数解析式 【例15】已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求x的值． 【例16】已知，与x成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错：设解析式漏写；代入坐标时代反。 【变式8-1】已知反比例函数（k为常数，且）与一次函数的图象都过．求反比例函数的表达式． 【变式8-2】已知一个反比例函数的图象经过点，那么点是否在该函数图象上? 题型9 反比例函数与方程（组）、不等式（组）结合 【例17】如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数 的图象，它们相交于点 ，则关于的方程的解有（     ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例18】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例在第二象限内的图象交于点， (1)求反比例函数的关系式： (2)方程的解为_____________； (3)求出不等式的解集为__________； (4)若直线与反比例函数在第四象限的交点为，则的面积是___________． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）方程组解=两个函数图像交点横、纵坐标； （2）不等式：看图像，双曲线在直线上方的取值，分左右两支分段写解集。 【变式9-1】如图，平面直角坐标系中，反比例函数 与一次函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出的解集． 【变式9-2】如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)请直接写出当且时，的取值范围． 【变式9-3】如图，直线与反比例函数的图象交于两点，与坐标轴分别交于点和点，连接． (1)求直线与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)观察该函数图象，请直接写出不等式的解集． (4)观察该函数图象，请直接写出不等式的解集． 题型10 反比例函数实际应用——行程问题 【例19】全民健身成为一种新时尚．淇淇在长为的路段上进行骑车训练，若行驶全程所用的时间为，行驶的平均速度为．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若t减小，则v也减小 D．若t减小一半，则v增大一倍 【例20】元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地沿公路匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为．设小汽车行驶的平均速度为，行驶的时间为 t h． (1)求v关于t的函数表达式(不用写出自变量t的取值范围)； (2)若这条公路限速为，李老师需要不超过从乙地返回甲地，求李老师从乙地返回甲地的平均速度ν的取值范围． 【易错警示】/【技巧归纳】 路程固定时，，成反比例，，图像只在第一象限。 【变式10-1】已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）； (2)若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围． 【变式10-2】自1997年以来，我国铁路一共经历了六次大提速．2004年第五次提速后，一列客车从A地开往B地，以的平均速度行驶需要5 h，2007年又经历了第六次提速． (1)设第六次提速后该路段的平均速度为v，全程运行的时间为t，请写出t与v之间的函数表达式； (2)如果第六次提速后该路段的平均速度为，那么提速后全程运行需要多长时间？ (3)如果全程运行时间控制在内，那么提速后的平均速度至少应为多少？ 题型11 反比例函数实际应用——工程问题 【例21】已知一艘轮船上装有150吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）． (1)求v关于t的函数表达式； (2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ 【例22】一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 【易错警示】/【技巧归纳】 总工程量固定，效率，反比例关系，自变量、函数值均为正数。 【变式11-1】若以30升/分钟的速度向一个空水池内注水，40分钟可以注满水池，设注水的速度为升/分钟，注满水池需要分钟． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若小明的爸爸用24分钟就将这个空水池注满水，求注水的速度． 【变式11-2】已知一艘轮船上装有120吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为（单位：小时）． (1)求关于的函数表达式； (2)若要求不超过6小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ (3)按6小时卸完船上的这批货物，卸货2小时后，根据实际情况，要求剩下的货物要在2小时内卸完，在剩下的时间内每小时要多卸多少吨货物？ 题型12 反比例函数实际应用——物理问题 【例23】综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度呈反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（   ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度， B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体密度 D．当液体密度时，浸在液体中的高度 【例24】如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表： (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式； (3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少？ 【易错警示】/【技巧归纳】 易错：物理公式变形出错；混淆正反比例条件（必须一个量固定才成比例）。 【变式12-1】在某一电路中，电源电压U（单位：V）保持不变，电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）的函数图象如图所示． (1)写出I关于R的函数解析式； (2)如果该电路中的电流不得超过，那么电阻R的取值范围是多少？ 【变式12-2】某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：） 与其深度（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)写出这一函数的表达式； (2)受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积S的取值范围． 【变式12-3】密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化，已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，设，图象如图所示，当时，． (1)求密度ρ关于体积V的函数表达式； (2)当时，求二氧化碳密度ρ的值． 题型13 一次函数与反比例函数的实际应用 【例25】为预防流感，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内每立方米空气中的含药量与时间之间的函数关系如图所示．已知在药物燃烧阶段，与成正比例，燃烧完后与成反比例．现测得药物燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经过_____后教室内的空气才能达到安全要求． 【例26】工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是． (1)求材料煅烧和锻造时与的函数关系式； (2)根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）分段判断：区分什么时候是一次函数、什么时候是反比例； （2）联立解析式求交点，交点是两种函数变化的分界点； （3）结合实际，自变量只取正数。 【变式13-1】心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示，点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 【变式13-2】某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【变式13-3】实验数据显示，一般成人喝50毫升白酒后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）变化的图如图（图由线段与部分双曲线组成）所示，国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”不能驾车上路． (1)求线段和双曲线的函数表达式： (2)假设某驾驶员晚上22时在家喝完50毫升白酒，第二天早上6点半能否驾车去上班？请说明理由． 1．若反比例函数的图象经过点，则k的值为（    ） A． B．2 C． D． 2．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象在第二、四象限内 C．若，则 D．当时，y随x的增大而减小 3．如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于A，B两点，若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 4．对于函数的说法正确的是（   ） A．函数的图象位于第二、四象限，y随x的增大而增大 B．当时，函数的图象在第一象限，y随x的增大而减小 C．当时，函数的图象在第二象限，y随x的增大而增大 D．当时， 5．如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 6．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 7．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，垂直平分分别交，于点，，连接，点在直线上方运动．设，，则与之间的函数关系用图象可以大致表示为(　　) A． B． C． D． 9．若点，在反比例函数（a为常数）的图像上，则________（填“”、“”或“”）． 10．已知，是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为_______． 11．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则_____． 12．小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中水温与开机时间(分)满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间(分)成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温与开机时间(分)的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小明下午五点将饮水机在通电开机(此时饮水机中原有水的温度为)后即外出打篮球，预计一个半小时回到家中，回到家时，饮水机内的水温约为多少？请说明你的理由． 13．，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点C，过点C作轴于点B，． (1)求点B的坐标； (2)求反比例函数的解析式． 14．在平面直角坐标系中，为双曲线上一点． (1)求的值； (2)在（1）的条件下： ①点和在双曲线上，比较与的大小； ②点在双曲线上，点的坐标为．若的面积为8，求点的坐标． 15．已知反比例函数． (1)①该函数部分y与x的对应值如下表所示，请补全表格； ②在下图中画出函数的图象． (2)函数的图象位于第______象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而______． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 17．如图，直线与反比例函数的图像相交于两点，连接和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图像直接写出的解集； (3)求的面积． 18．知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，与在轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 19．如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25，加热到100时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要_____； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 20．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出这一函数的表达式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 21．实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式； 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 22．某野外考察小组在途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安全，迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线用若干块木板铺了一条临时通道，木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图像经过，． (1)请直接写出P与S的函数关系式． (2)求m的值，并解释m的实际意义． (3)如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？ 23．近年来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王老师在活动期间购买了价格为12万元的这款新能源汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目； (2)王老师若用20个月结清，平均每月应付多少万元？ (3)王老师每月付款不少于多少元，可以确保在规定期限内结清余额？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 反比例函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 反比例函数的辨别 题型10 反比例函数实际应用——行程问题 题型2 根据反比例函数的定义求参数 题型11 反比例函数实际应用——工程问题 题型3 图像共存问题 题型12 反比例函数实际应用——物理问题 题型4 反比例函数的增减性 题型13 一次函数与反比例函数的实际应用 题型5 反比例函数图像所在象限问题 题型6 比较反比例函数值或自变量的大小 题型7 的几何意义 题型8 待定系数法求反比例函数解析式 题型9 反比例函数与方程（组）、不等式（组）结合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 反比例函数定义 反比例函数的图像和性质 k的几何意义 实际问题列反比例函数解析式 1. 理解反比例函数概念，熟记反比例函数三种表达式，掌握一般形式。 2. 明确比例系数k的含义，能精准辨别反比例函数，根据定义求参数数值。 3. 掌握反比例函数自变量、函数值取值范围，区分反比例函数与一次函数、二次函数。 4. 结合路程、工程、面积等实际问题，梳理变量关系，列出反比例函数关系式。 5. 理解反比例关系与反比例函数的区别，夯实函数基础，做好新旧知识衔接。 学习重点：反比例函数定义与标准形式、反比例函数判定、根据实际问题列反比例函数解析式。 学习难点：隐含参数求解、辨析易混淆函数关系式、实际情境中变量关系梳理与建模。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 反比例函数的定义 1.反比例关系：如果两个量的乘积一定，这两个量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2.反比例关系可以表示为：。 3. 反比例函数的定义：形如的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． 注意：在中，当时，分式无意义。 4. 反比例函数的判断：首先看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或或。 即时即练有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的识别，根据形如（为常数，且）的函数是反比例函数进行判断即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：① 是反比例函数； ② ，是反比例函数； ③ ，是反比例函数； ④，即，是反比例函数； ⑤ 不是反比例函数； ⑥不是反比例函数； ∴是的反比例函数的有①②③④，共个， 故选：． 【易错提醒】/【方法总结】 易错: （1）分不清分母形式：误把当成反比例函数，分母必须仅含，不能有常数； （2）混淆纯分式与带常数：存在常数项，不是反比例函数，反比例函数不能额外加减常数； （3）忽略等价形式：不认识是反比例函数，误以为带负指数就不是； （4）常数认知误区：以为必须是整数，像这类非零常数也可以作为； （5）形式不会变形：看不出可转化为。 知识点02 待定系数法求反比例函数解析式 1. 通用步骤：① 设反比例函数为； ② 代：把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程； ③求：解方程算出常数的值； ④写：将代回所设式子，写出最终函数表达式。 即时即练已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）符号计算出错：代入负坐标计算时漏负号，错算，解析式写成； （2）判断点时逻辑颠倒：把纵坐标代入解析式求，步骤混乱；或只看数值相等，忽略正负号； （3）混淆判断依据：忘记反比例函数核心性质，不会快速验证点； （4）书写格式错误：求出后不代回写出完整函数表达式，只写，答题不完整。 知识点03 反比例的图像的绘制 1. 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 2. 画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。 即时即练在如图所示的平面直角坐标系中画出反比例函数和的图象，并解答下列问题： 反比例函数的图象叫做_______．因为自变量x与函数y的值都不能取_______，所以反比例函数的图象与x轴、y轴_______(填“有”或“无”)交点． 【答案】双曲线； 0 ； 无 【分析】本题考查了反比例函数图象的画法和性质，准确画出函数的图象是解题的关键． 利用描点法，作出反比例函数的图象，结合图象填空． 【详解】对于函数，选取点，，，，在坐标系中，描出这四个点，再画出反比例函数的图象； 对于函数，选取点，，，，在坐标系中，描出这四个点，再画出反比例函数的图象； 如下图所示： 由图知，反比例函数的图象叫做双曲线．因为自变量x与函数y的值都不能取0，所以反比例函数的图象与x轴、y轴无交点． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）画图易错：曲线画成折线、直线段，双曲线必须平滑曲线；曲线端点碰到坐标轴（坐标轴是渐近线，只能无限靠近，不能相交）； （2）和象限搞反：在一、三象限，在二、四象限。 （3）列表时取，忽略反比例函数自变量的限制条件。 知识点04 反比例的图像和性质 解析式 图像形状 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 对称性 中心对称图形（对称中心：原点） 轴对称图形（对称轴：直线） 增减性 在每个象限内，随增大而减小 在每个象限内，随增大而增大 渐近趋势 无限靠近轴、轴，永不与坐标轴相交 取值范围 即时即练关于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，结合，逐一判断各选项即可得到正确结论． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象分布在第二、四象限，选项A错误； ∵，当时，y的值随x的增大而增大，选项B错误； 当时，，当时，，包含的情况，因此不是所有满足的y都满足，选项C错误； 若点在函数图象上，则，整理得，即， 因此点满足函数解析式，故也在该函数图象上，选项D正确． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）增减性漏 “同一象限” 前提k<0 只能说 “每个象限内y随x增大而增大”，跨象限不成立； （2）象限判断符号混淆记错规律：k>0 在一、三象限，k<0 在二、四象限，看到负k仍误判一、三象限；（3）坐标对称性质不熟悉反比例函数xy=k，点(a,b)与(b,a)乘积不变，都满足解析式； （4）忽略自变量不能为0分析取值范围时，忘记x=0，直接笼统讨论x>−1全部区间。 知识点05 反比例函数系数的几何意义 1. 在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 2. 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 即时即练如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）混淆矩形、三角形面积关系直接把矩形面积8当成△ABC面积； （2）忘记三角形面积是矩形的一半； （3）误解 k 的几何意义：只记住 “过双曲线上一点作坐标轴垂线，形成直角三角形面积为​”，误把△OAB面积当成△ABC面积； （4）符号干扰计算：若A在二、四象限，一正一负，不取绝对值会算出负面积，忽略面积非负； （5）图形看错直角顶点：误把∠C当成直角，或找错三角形底、高。 知识点06 利用反比例函数解决实际问题 1. 一般步骤 （1）审题：分析题意，找出变量，确定两个变量成反比例关系； （2）设解析式：设函数表达式为； （3）代值求：把题目中一组对应数值代入，求出常数； （4）确定解析式：将回代，得到实际问题的函数关系式； （5）求解作答：根据问题代入自变量求因变量（或反之），结合实际取值范围检验，写出答案。 即时即练1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 【答案】(1) (2)半径为米 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，把点代入，解方程即可得到结论； （2）把代入反比例函数的解析式即可得到答案； 本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数图象过点， ∴ ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴当某人迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． 【易错提醒】/【方法总结】 易错：忽略实际意义算出负数结果，未结合题意舍去。 题型1 反比例函数的辨别 【例1】下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键，根据反比例函数定义通过检查各选项，即可得到答案． 【详解】解：A：，是正比例函数，此项错误； B：，x的指数为，不是，此项错误； C：，是反比例函数，此项正确； D：，可化为，是一次函数，此项错误； 故选：C． 【例2】有下列函数：①：②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的标准形式，形如 （为常数，）的函数是反比例函数，根据反比例函数的定义，逐一检查各函数是否符合此形式即可． 【详解】解：∵ ① 符合 形式，，∴ 是反比例函数； ∵ ② 是正比例函数，不符合反比例形式，∴ 不是反比例函数； ∵ ③ ，，∴ 是反比例函数； ∵ ④ 可化为 ，，∴ 是反比例函数； ∵ ⑤ 分母是，不是，∴ 不是反比例函数； ∵ ⑥ 含有常数项，不符合形式，∴ 不是反比例函数； ∴ 反比例函数有①、③、④，共3个； 故选：C． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）标准形式3种，满足任意一种就是反比例函数：； （2）核心：次数为，且常数，分母只含单个，不含。 【变式1-1】下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键． 根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A、是反比例函数，故该选项不符合题意； B、是反比例函数，故该选项不符合题意； C、不是反比例函数，故该选项符合题意； D、是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】已知下列函数①，②，③，④（为常数），其中是反比例函数的是_____（填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了反比例函数的定义：形如的函数叫反比例函数；直接根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：下列函数①，②，③，④（为常数），其中是反比例函数的是，， 故答案为：②③． 题型2 根据反比例函数的定义求参数 【例3】若为关于的反比例函数，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的定义和解一元一次方程，形如的函数，叫反比例函数．根据反比例函数定义直接列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵为关于的反比例函数， ∴， 解得， 故选C． 【例4】已知函数是关于x的反比例函数，求这个反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义、解一元二次方程，掌握反比例函数的定义是关键． 【详解】解：∵是关于x的反比例函数， ∴且， 由，解得或， 由，得， ∴． ∴， ∴这个反比例函数的表达式为． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）两步列式：的指数；比例系数； （2）联立方程组求解参数。 【变式2-1】若是反比例函数，则a的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义．即，只需令，即可． 【详解】解：由题意得：且，； 解得，又； ． 故答案为：． 【变式2-2】已知函数 (1)若y是x的正比例函数，求m的值． (2)若y是x的反比例函数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了正比例函数和反比例函数的定义，掌握基本定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义求解即可； （2）根据反比例函数的定义求解即可； 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，； 答：当时，是的正比例函数； （2）解：由题意得，， 解得，； 答：当时，是的反比例函数． 题型3 图像共存问题 【例5】反比例函数与一次函数（其中为自变量，为非零常数）在同一直角坐标系中的大致图象可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况求解即可． 【详解】解：A：根据反比例函数图象，得即，根据一次函数图象，得，且交点在y轴的正半轴上,则，矛盾，不符合题意； B：根据反比例函数图象，得即，根据一次函数图象，得，且交点在y轴的正半轴上，故，且，符合题意； C：根据反比例函数图象，得即，根据一次函数图象，得，矛盾，不符合题意； D：根据反比例函数图象，得即，根据一次函数图象，得,且交点在y轴的负半轴上矛盾，不符合题意． 【例6】已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，掌握函数各项系数与函数图象之间的关系是解题的关键． 首先根据二次函数图象得到，再根据反比例函数与一次函数的图象与系数的关系，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴的右侧， ， ， 反比例函数的图象在第二、四象限；一次函数的图象经过第一、三、四象限， 选项A符合题目要求． 故选：A． 【易错警示】/【技巧归纳】 分两步排除：①先看反比例：在一、三象限；在二、四象限，确定正负； ②再对照一次函数：符号必须和一致，结合截距排除错误选项。 【变式3-1】在同一平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数的性质．根据正比例函数的性质，反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：正比例函数中，函数图象经过二、四象限； 反比例函数中，函数图象经过一、三象限； 只有A符合． 故选：A． 【变式3-2】已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数、二次函数和一次函数综合题，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键．根据反比例函数和一次函数的图象可得，，进而得到函数的图像的对称轴在轴左侧，再根据反比例函数与一次函数的交点坐标得到，进而得到函数经过点，即可判断图像． 【详解】解：∵反比例函数的图像在第二象限，一次函数的图像与轴交点在上面， ∴，， ∴， ∴函数的图像的对称轴在轴左侧， ∵在第二象限内的图像与一次函数的图像有一个交点的横坐标为， ∴当时，， ∴， 当时，函数， ∴函数经过点， 观察个选项，只有C选项符合条件， 故选：C． 题型4 反比例函数的增减性 【例7】下列函数中，y随x增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，熟知相关函数的性质是解答的关键．根据一次函数、反比例函数以及二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； B、∵，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； C、∵，∴当时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意； D、∵，∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例8】若点在反比例函数的图象上，在图象的每一支上，随的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，根据解析式判断反比例函数的增减性，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 待定系数法求反比例函数解析式可得的值，根据即可得增减性． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 即； 又∵ ∴在图象的每一支上，随的增大而减小． 故答案为：减小． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错：①最核心错误：去掉“在每个象限内”，直接说全体定义域单调；②跨象限两点不能直接用增减性比较。 【变式4-1】反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：D． 【变式4-2】函数是反比例函数，且当时，随的增大而减小，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义及性质，由反比例函数的定义计算可得或，再结合反比例函数的性质得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得：或， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型5 反比例函数图像所在象限问题 【例9】反比例函数的图像在（   ）象限 A．第一、第二象限 B．第二、第三象限 C．第二、第四象限 D．第三、第四象限 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据反比例函数比例系数可判断图像在第二、四象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴图像在第二、第四象限． 故选：C． 【例10】已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象经过第_______象限． 【答案】二、四 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质等知识点，根据反比例函数的性质确定函数图象所在的象限是解答本题的关键．直接将点代入求出k的值,然后根据k的正负即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，即， ∴该反比例函数的图象在第二、四象限． 故答案为：二、四． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错：①正负和象限记反；②忽略，图像永远不触碰坐标轴。 【变式5-1】如图，这是反比例函数 的图象，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象分布在二、四象限可得，求出的取值范围进而即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在二、四象限， ∴， ∴， ∴的值可以是， 故选：． 【变式5-2】若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出范围即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 解得：． 故答案为：． 题型6 比较反比例函数值或自变量的大小 【例11】已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数中当时，反比例函数图象经过第一，三象限，在每个象限内y随x增大而减小是解题的关键．根据反比例函数的增减性，以及经过的象限即可判断结果． 【详解】解：由条件可知反比例函数的图象经过第一，三象限，在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，，， ∴． 故选：A． 【例12】已知点，，都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则，，的大小关系用“”连接为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，先判断，可知反比例函数的图象在一、三象限，再利用图象法可得答案，理解“在每个象限内，随的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键． 【详解】解：， 反比例函数是常数）的图象在一、三象限， 如图所示，当时，， 即 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）同象限点：直接用增减性比较； （2）跨象限点：时，的恒正，的恒负；反之；正数一定大于负数。 【变式6-1】若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，先把代入，算出，即可作答． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ 解得 ∴ 故选：D． 【变式6-2】在反比例函数的图象上有，两点．则和之间的大小关系为__________(填“”“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数增减性是关键．根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：反比例函数，图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 题型7 的几何意义 【例13】如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且的面积为8，若双曲线经过边的中点C，则k的值为（  　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】设、，则，根据的面积为8求出，再将C点坐标代入双曲线解析式，从而求出的值． 【详解】解：设、， ∵点C是边的中点， ， 点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上， 、， ， ， ， 将代入得：． 【例14】如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线 ＞上，连接交于，连接，则图中是________． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用以上知识是解题的关键． 先根据和均为正三角形可知，故可得出，所以，过点B作于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）双曲线上任一点作轴垂线，围成矩形面积； （2）围成直角三角形面积； （3）面积永远取正数，符号只看象限。 【变式7-1】如图，点A，B依次在反比例函数（常数，）的图象上，，分别垂直x轴于点C，D，轴于点E，于点F，若，阴影部分面积为12，则k的值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，正确理解反比例函数中k的几何意义得到四边形的面积都是k是解题的关键． 延长交y轴于H，根据题意得四边形都是矩形，利用比例系数的几何意义得到四边形的面积都是k，由得到四边形的面积为，列得，即可求出k． 【详解】解：延长交y轴于H， ∵，分别垂直x轴于点C，D，轴于点E，于点F， ∴，， ∴四边形都是矩形， 同理得四边形是矩形， ∵点A，依次在反比例函数（常数，）的图象上， ∴四边形的面积都是k， ∵， ∴四边形的面积为， ∵阴影部分面积为12， ∴， 解得， 故选：A． 【变式7-2】如图所示，A，B是反比例函数图象上的两个点，分别过A，B作x轴、y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形．已知，则的值是_______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握在反比例函数图象上任取一点，过这个点分别向两坐标轴作垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 根据A， B是反比例函数图象上的两点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵A， B是反比例函数图象上的两点， ， ， ， ， 故答案为：8． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数中系数k的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于D，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图作轴于D，延长交y轴于E， ∵四边形是平行四边形， ∴，； ∴轴， ∴， ∴， 根据系数k的几何意义，，， ∴四边形的面积． 题型8 待定系数法求反比例函数解析式 【例15】已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正确进行计算是解题关键． （1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式； （2）把代入函数关系式，即可求得x的值． 【详解】（1） 解：设， 当时，，则， 解得， ∴； （2） 解：当时，代入，得， 解得， ∴当时，x的值为3． 【例16】已知，与x成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用待定系数法求函数的解析式，求代数式的值等． （1）设，，得到，把，；，代入得到方程组，求出方程组的解即可； （2）把代入解析式求出即可． 【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例， 设，， ， ， 把，；，代入， 得：， 解得：， ， 答：与的函数关系式是； （2）解：当时，． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错：设解析式漏写；代入坐标时代反。 【变式8-1】已知反比例函数（k为常数，且）与一次函数的图象都过．求反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查一次函数性质，以及求反比例函数表达式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 将点代入中求得的值，即得出点A的坐标，再将点A的坐标代入中求解，即可解题． 【详解】解：将点代入中得：， 解得：， 则点A的坐标为， 将点代入中得：， ∴反比例函数的表达式为． 【变式8-2】已知一个反比例函数的图象经过点，那么点是否在该函数图象上? 【答案】点在该函数图象上 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求反比例函数值．先求出反比例函数的解析式，再求出当时，的值，即可得出答案． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， 故将代入，得， 解得：， 故反比例函数的解析式为， 当时，， 即点在反比例函数的图象上． 题型9 反比例函数与方程（组）、不等式（组）结合 【例17】如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数 的图象，它们相交于点 ，则关于的方程的解有（     ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】将点 代入与，可求出两个函数的解析式，，，根据反比例函数的对称性，点也在反比例函数的图像上，当时，，即可判断与在第三象限有两个交点，结合图形即可找到第三个交点，本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的对称性，二次函数图像的平移，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法． 【详解】解：二次函数与反比例函数 相交于点 ， ，，解得：，， 二次函数解析式为，反比例函数解析式为， 点在反比例函数上， 点也在反比例函数上， 当时，， 与在第三象限有两个交点， 由图像可知，   与在第一象限有一个交点， 与有三个交点， 关于的方程的解有三个， 故选：． 【例18】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例在第二象限内的图象交于点， (1)求反比例函数的关系式： (2)方程的解为_____________； (3)求出不等式的解集为__________； (4)若直线与反比例函数在第四象限的交点为，则的面积是___________． 【答案】(1) (2)， (3)或 (4) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用数形结合解题即可； （3）借助图象得到不等式的解集即可； （4）先求出长，然后利用解题即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ，， ∴点，， 把代入得， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：由图象可得直线与双曲线的交点横坐标为和， ∴即的解为，； （3）解：由图象可得不等式的解集为或； （4）当时，， ∴， ∴． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）方程组解=两个函数图像交点横、纵坐标； （2）不等式：看图像，双曲线在直线上方的取值，分左右两支分段写解集。 【变式9-1】如图，平面直角坐标系中，反比例函数 与一次函数的图象相交于点，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出的解集． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用，正确进行计算是解题关键． （1）把点代入求出，进而求出，把点，代入，即可求出； （2）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ． ∴反比例函数的解析式为； 把代入，则． ∴点． 把，代入，得 ，解得 ∴一次函数的解析式为． （2）解：，， 由图象可知，不等式的解集为或． 【变式9-2】如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，且点的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)请直接写出当且时，的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键． （1）将点的横坐标代入正比例解析式中求出点的纵坐标，确定出点坐标，代入反比例解析式求出的值，即可确定出反比例解析式； （2）根据正比例函数和反比例函数图象的对称性，可直接得到点的坐标，观察图象即可求出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：把代入，得， 点． 在反比例函数的图象上， ，即， 反比例函数的解析式为； （2）解：．理由如下： 根据正比例函数和反比例函数均关于坐标原点对称，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，， ， 观察图象可知，当且时，的取值范围为． 【变式9-3】如图，直线与反比例函数的图象交于两点，与坐标轴分别交于点和点，连接． (1)求直线与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)观察该函数图象，请直接写出不等式的解集． (4)观察该函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)直线的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3) (4)或 【分析】本题考了反比例函数和一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求出点的坐标，再利用分割法求的面积即可； （3）根据图像给出的信息即可得到答案； （4）根据图像给出的信息即可得到答案． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于两点， ， ，， 反比例函数的解析式为， 点的坐标为， 把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：直线的解析式为， 当时，；当时，； ，； ，， ； （3）解： ，， 由图象可得，不等式的解集为； （4）解： ，，； 由图象可得，不等式的解集为或． 题型10 反比例函数实际应用——行程问题 【例19】全民健身成为一种新时尚．淇淇在长为的路段上进行骑车训练，若行驶全程所用的时间为，行驶的平均速度为．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若t减小，则v也减小 D．若t减小一半，则v增大一倍 【答案】C 【分析】本题主要考查函数与变量，根据题意列出函数关系式，再逐项进行分析即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，， A.当，则，解得，，故选项A说法正确，不符合题意； B.当，则，故选项B说法正确，不符合题意； C. 若t减小，则v将变大，故选项C说法错误，故符合题意； D. 若t减小一半，则v增大一倍，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：C． 【例20】元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地沿公路匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为．设小汽车行驶的平均速度为，行驶的时间为 t h． (1)求v关于t的函数表达式(不用写出自变量t的取值范围)； (2)若这条公路限速为，李老师需要不超过从乙地返回甲地，求李老师从乙地返回甲地的平均速度ν的取值范围． 【答案】(1) (2)李老师从乙地返回甲地的平均速度的取值范围是 【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，解题的关键是根据时间、速度和路程的关系求解． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）将代入v关于t的函数表达式，再结合题意即可得小汽车行驶的速度范围． 【详解】（1）解：由题意可得从甲地到乙地路程为：， 与的关系式为：； （2）解：在中， 令， ，当时，随的增大而减小， ， 又此公路限速， 答：李老师从乙地返回甲地的平均速度的取值范围是． 【易错警示】/【技巧归纳】 路程固定时，，成反比例，，图像只在第一象限。 【变式10-1】已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）； (2)若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）分别算出至时间长为小时，至时间长为6小时，再代入，且结合反比例函数的图象性质，得出汽车行驶速度v的范围为．即可作答． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴． （2）解：依题意，（小时），（小时） ∴至时间长为小时，至时间长为6小时， 则将代入得；将代入得． ∴汽车行驶速度v的范围为． 【变式10-2】自1997年以来，我国铁路一共经历了六次大提速．2004年第五次提速后，一列客车从A地开往B地，以的平均速度行驶需要5 h，2007年又经历了第六次提速． (1)设第六次提速后该路段的平均速度为v，全程运行的时间为t，请写出t与v之间的函数表达式； (2)如果第六次提速后该路段的平均速度为，那么提速后全程运行需要多长时间？ (3)如果全程运行时间控制在内，那么提速后的平均速度至少应为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数应用，根据题目给定条件正确列出有关量的函数表达式，是解答关键． （1）根据路程、速度、时间之间的关系列出t与v之间的函数表达式即可； （2）把代入到（1）得到的函数表达式全程运行时间； （3）把代入到（1）得到的函数表达式得到提速后的平均速度，再根据题意判定速度范围即可． 【详解】（1）解： ∴ （2）当时， 答：提速后全程运行3h． （3）当时， 由函数增减性可知，速度至少为． 题型11 反比例函数实际应用——工程问题 【例21】已知一艘轮船上装有150吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）． (1)求v关于t的函数表达式； (2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ 【答案】(1) (2)平均每小时至少要卸货30吨 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用． （1）直接利用进而得出答案； （2）直接利用要求不超过5小时卸完船上的这批货物，进而得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则； （2）解：要求不超过5小时卸完船上的这批货物， ， 则， 答：平均每小时至少要卸货30吨． 【例22】一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 【答案】(1) (2)平均每天至少要回填30吨土 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键. （1）首先根据题意可知总工作量为吨不变，故回填速度v与回填天数t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式； （2）由得出，再将代入，即可求出v的取值范围． 【详解】（1）设总工作量为k吨，根据已知条件得， ∴v关于t的函数表达式为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 那么平均每天至少要回填30吨土． 【易错警示】/【技巧归纳】 总工程量固定，效率，反比例关系，自变量、函数值均为正数。 【变式11-1】若以30升/分钟的速度向一个空水池内注水，40分钟可以注满水池，设注水的速度为升/分钟，注满水池需要分钟． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若小明的爸爸用24分钟就将这个空水池注满水，求注水的速度． 【答案】(1) (2)50升/分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据水池容积不变，得到等式，即可求解； （2）将代入（1）所得方程，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 则， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，有， 解得， 注水的速度为50升/分钟． 【变式11-2】已知一艘轮船上装有120吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为（单位：小时）． (1)求关于的函数表达式； (2)若要求不超过6小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ (3)按6小时卸完船上的这批货物，卸货2小时后，根据实际情况，要求剩下的货物要在2小时内卸完，在剩下的时间内每小时要多卸多少吨货物？ 【答案】(1) (2)若货物不超过6小时卸完，则平均每小时至少要卸货20吨 (3)在剩下的时间内每小时要多卸20吨货物 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）直接利用再变形即可得出答案； （2）把代入函数解析式求出的值，再结合反比例函数的性质即可得出答案； （3）先求出按6小时卸完船上的这批货物的速度，再求出2小时后剩余的吨数，然后可求出剩余货物在2小时内卸完的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，则； （2）解：把代入中，得：， 对于函数，当时，越小，越大． 这样若货物不超过6小时卸完，则平均每小时至少要卸货20吨． （3）解：按6小时卸完船上的这批货物，卸货的速度为（吨/小时）， 2小时后，货物还剩（吨）， 则（吨/小时）， （吨）， 在剩下的时间内每小时要多卸20吨货物． 题型12 反比例函数实际应用——物理问题 【例23】综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度呈反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（   ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度， B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度时，该液体密度 D．当液体密度时，浸在液体中的高度 【答案】D 【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可． 【详解】解：设关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． 关于的函数解析式为． A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项不正确，不符合题意； D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，正确，故符合题意； 故选：D． 【例24】如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表： (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式； (3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少？ 【答案】(1) 图象如下： (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）在坐标系中描点连线即可； （2）根据图象猜测是反比例函数，利用待定系数法求解； （3）将代入（2）中结论，求出x的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，设函数关系式为， ∵当时，， ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：当时， 解得， 即活动托盘B与点O的距离是． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错：物理公式变形出错；混淆正反比例条件（必须一个量固定才成比例）。 【变式12-1】在某一电路中，电源电压U（单位：V）保持不变，电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）的函数图象如图所示． (1)写出I关于R的函数解析式； (2)如果该电路中的电流不得超过，那么电阻R的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象性质，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意可知图象经过，即可求出； （2）根据，且，得，解出，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意可知图象经过 ， 解得， 关于的函数解析式为； （2）解：∴，且， ∴， 解得， 电流不得超过，电阻R不得低于 【变式12-2】某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：） 与其深度（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)写出这一函数的表达式； (2)受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查反比例函数的性质和概念； （1）设底面积与深度的反比例函数解析式为，把点代入解析式求出的值； （2）由的范围和的性质求出的范围． 【详解】（1）解：（1）设底面积与深度的反比例函数解析式为， 把点代入解析式得， ∴． （2）由（1）得， 当时，， 当时，， 随的增大而减小， 当时，． 【变式12-3】密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积变化时，气体的密度随之变化，已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，设，图象如图所示，当时，． (1)求密度ρ关于体积V的函数表达式； (2)当时，求二氧化碳密度ρ的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据函数图像上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式； （2）再利用反比例函数图像上点的坐标特征，即可求出当时的ρ值． 【详解】（1）设，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）当时，． 题型13 一次函数与反比例函数的实际应用 【例25】为预防流感，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内每立方米空气中的含药量与时间之间的函数关系如图所示．已知在药物燃烧阶段，与成正比例，燃烧完后与成反比例．现测得药物燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经过_____后教室内的空气才能达到安全要求． 【答案】40 【分析】此题考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，设药物燃烧后与之间的解析式为，把点代入即可，把代入反比例函数解析式，求出相应的 ． 【详解】解：设药物燃烧后与之间的解析式为， 把点代入得， 解得：， ∴关于的函数关系式为：， 当时，由得：， 所以分钟后教室内的空气才能达到安全要求， 故答案为：． 【例26】工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是． (1)求材料煅烧和锻造时与的函数关系式； (2)根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 【答案】(1)材料加热时，与的函数关系式为；停止加热进行锻造时与的函数关系式为： (2) 【分析】考查了反比例函数和一次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）根据题意，材料煅烧时，温度与时间成一次函数关系，煅烧结束时，温度与时间成反比例函数关系，将题中数据代入，用待定系数法可得两个函数的关系式； （2）把代入中，求解，进而得出答案即可． 【详解】（1）解：停止加热时，设， 由题意得， 解得：， 当时，， 解得， ∴点B的坐标为； 材料加热时，设， 由题意得， 解得． ∴材料加热时，与的函数关系式为：， 停止加热进行锻造时与的函数关系式为：． （2）解：把代入中， 得， ． 答：锻造的操作时间为． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）分段判断：区分什么时候是一次函数、什么时候是反比例； （2）联立解析式求交点，交点是两种函数变化的分界点； （3）结合实际，自变量只取正数。 【变式13-1】心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示，点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1) (2)安排不合理， 理由： 由题意，设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 令， 解得：， 令， ∴， ∵， ∴老师安排不合理． 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质与其图象的性质是解题的关键． （1）设所在反比例函数的解析式为，将代入即可； （2）求出段的直线解析式，先求出指标数为时段和段的时间，再求出指标数不低于的时间长即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，设所在反比例函数的解析式为， ∵点的坐标为， ∴， ∴； （2）略 【变式13-2】某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【答案】(1)该产品的生产成本为38元/件 (2)4月份该产品销售单价的范围是 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得到．把代入解析式得到，设该产品的生产成本为元件，列方程即可得到结论； （2）根据题意得到3月份利润为元．由题意得4月份成本为元件，列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象得曲线解析式为． 令，则， 即3月份销售量为400件， 设该产品的生产成本为元件，则， 解得， 答：该产品的生产成本为38元件； （2）解：3月份利润为：元． 由题意得4月份成本为元件， 则， 解得， 月份该产品销售单价的范围是． 【变式13-3】实验数据显示，一般成人喝50毫升白酒后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）变化的图如图（图由线段与部分双曲线组成）所示，国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”不能驾车上路． (1)求线段和双曲线的函数表达式： (2)假设某驾驶员晚上22时在家喝完50毫升白酒，第二天早上6点半能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1)， (2)解：不能，理由如下： 由得当时，， 从22时到第二天早上6点时间间距为8.5小时， ， 第二天早上不能驾车去上班． 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．本题难度不大，较易得分． （1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； （2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】（1）解：依题意， 直线过，则设直线的解析式 把代入 解得 ∴， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； （2）略 1．若反比例函数的图象经过点，则k的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的图象与性质．把点代入反比例函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故选：． 2．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象在第二、四象限内 C．若，则 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限． 根据反比例函数的性质判断各选项即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限，故选项B错误； 当时，，则点在图象上，故选项A正确； 当时，，故选项C正确； 当时，图象在第三象限，y随x的增大而减小，故选项D正确． 故选：B． 3．如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于A，B两点，若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题． 根据交点判断即可． 【详解】解：由图可知，若，则的取值范围是或， 故选：D． 4．对于函数的说法正确的是（   ） A．函数的图象位于第二、四象限，y随x的增大而增大 B．当时，函数的图象在第一象限，y随x的增大而减小 C．当时，函数的图象在第二象限，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】B 【分析】考查反比例函数图象与性质，关键是掌握时的象限分布和增减性，易错点是忽略“在每个象限内”的前提． 逐一分析选项：A中图象象限和增减性均错；B中时图象在第一象限且y随x增大而减小，正确；C中时图象所在象限且增减性均错；D中时，错． 【详解】选项A：对于反比例函数，，图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，所以A错误． 选项B：当时，函数的图象在第一象限，且在第一象限内y随x的增大而减小，B正确． 选项C：当时，函数的图象在第三象限，且在第三象限内y随x的增大而减小，所以C错误． 选项D：当时，，不是，所以D错误． 故选：B． 5．如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，反比例函数的图像，反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数，的图象分布在第二象限， ，，，， 当时，由图象可得， ， ， 故选：B． 6．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，解题的关键是设出点的坐标表示出线段长度，结合中点性质求出的高，再利用面积公式计算． 设点A的横坐标为，根据反比例函数解析式表示出A、B两点坐标，求出的长度；由D是中点得出点D到的距离；最后代入三角形面积公式计算． 【详解】解：设点的坐标为（）． 轴， 点的横坐标为，点的横坐标为． 点在的图象上， 点的坐标为． 点在的图象上， 点的坐标为． ， 即． 点是的中点， 点到直线（直线）的距离为． ． 故选：D． 7．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象、一次函数的图象以及反比例函数的图象与系数的关系． 根据二次函数图象得出，即可解答． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴相交于负半轴， ∴， ∴一次函数经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限， 故选：A． 8．如图，在中，，，垂直平分分别交，于点，，连接，点在直线上方运动．设，，则与之间的函数关系用图象可以大致表示为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直平分线、勾股定理、直角三角形的性质及反比例函数图像等知识点，根据题意求得与解析式是解答本题的关键．根据勾股定理可得出与解析式，注意的取值范围即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵ ∴ 即， 解得 ∵点在直线上方运动 ∴， ∴ ∴与之间的函数关系为， 故选：B． 9．若点，在反比例函数（a为常数）的图像上，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再结合反比例函数的性质，根据两点横坐标的大小比较纵坐标的大小． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数. 根据反比例函数的性质，当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， 已知点，，可得， ∴点、都在第三象限的图象上， 因此可得． 10．已知，是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，根据反比例函数图象上点的横纵坐标和解析式中的值一一对应，运用横纵坐标之积相等，得到关于的方程，即可得到答案； 【详解】解：∵，是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则_____． 【答案】 【分析】根据函数与反比例函数交于两点，得出、两点关于原点对称，推出，过点作轴于点，由三线合一可得，从而得到，进而可求出的值． 【详解】解：过点作轴于点， 函数与反比例函数交于两点， 、两点关于原点对称， 即， ， ，轴 ， ， 即， ． 12．小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中水温与开机时间(分)满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间(分)成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温与开机时间(分)的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小明下午五点将饮水机在通电开机(此时饮水机中原有水的温度为)后即外出打篮球，预计一个半小时回到家中，回到家时，饮水机内的水温约为多少？请说明你的理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，见解析． 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次(反比例)函数解析式以及一次(反比例)函数图象上点的坐标特征； （1）根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间分的函数关系式； （2）由点，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间分的函数关系式，再将代入该函数关系式中求出x值即可； （3）将代入反比例函数关系式中求出值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间分的函数关系式为．将、代入中，得： ， 解得：， 当时，水温与开机时间分的函数关系式为． （2）解：当时，设水温与开机时间分的函数关系式为 ， 将代入 中，得： ，解得：， 当时，水温与开机时间分的函数关系式为 ． 当 时，， 图中的值为． （3）解：时，． 答：小明回到家中时，饮水机内的水温约为80℃． 13．，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点C，过点C作轴于点B，． (1)求点B的坐标； (2)求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是熟练掌握两个函数的性质． （1）先根据直线方程求解出点A的坐标，再由可求解，由此可得点B的坐标； （2）先利用直线方程求解出点C的坐标，再将点C代入反比例函数中即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令， 解得， ∴，即， ∵， ∴， ∴点B的坐标为． （2）解：∵轴，B的坐标为， ∴点C的横坐标为， ∵点C在直线上， ∴，解得， ∴点， ∴将点代入中， ∴， 解得 ∴反比例函数的解析式为． 14．在平面直角坐标系中，为双曲线上一点． (1)求的值； (2)在（1）的条件下： ①点和在双曲线上，比较与的大小； ②点在双曲线上，点的坐标为．若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或者 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数上点的特征，求函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①将点代入函数解析式，求得，再比较大小即可；②利用，求得或，然后再代入求出横坐标即可． 【详解】（1）解： 为双曲线上一点， ， ； （2）解：①点和在双曲线上， ， ， ； ②不妨设， 点的坐标为， ， ， ， 或， 当代入，得到； 当代入，得到； 或者． 15．已知反比例函数． (1)①该函数部分y与x的对应值如下表所示，请补全表格； ②在下图中画出函数的图象． (2)函数的图象位于第______象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而______． 【答案】(1)，，， (2)二、四，增大 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，关键是画出函数图象． （1）分别把，，，代入函数解析式求出对应y的值即可； （2）用描点，连线的方法画出函数图象； （3）根据函数的图象和性质可以得出结论． 【详解】（1）①补全表格 ②图象如图： （2）函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大 故答案为：二、四，增大． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】（1）先利用点B在直线上求出点B的横坐标m，再将点B坐标代入反比例函数求k，进而得到解析式； （2）先联立直线与反比例函数解析式求点A坐标，再根据三角形面积关系求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数求横坐标； （3）通过观察函数图象，确定直线在反比例函数下方时x的取值范围． 【详解】（1）解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； 又，即， 所以， 故点纵坐标为4或． 将代入得，． 将代入得，． 所以点的坐标为或． （3）结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质及其交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用图象解不等式．利用已知条件通过代数运算求解未知参数是解题的关键． 17．如图，直线与反比例函数的图像相交于两点，连接和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图像直接写出的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，利用函数图像求不等式的解集及三角形的面积，解题的关键是理解待定系数法求函数解析式及利用图像比较函数值的大小． （1）利用待定系数求一次函数和反比例函数的解析式即可； （2）利用图像求不等式的解集； （3）设直线交轴于点，利用求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图像上， ，， 反比例函数的解析式为：， 在反比函数上， ， ， 将点代入一次函数中，得， 解得， 所以一次函数的表达式为：； （2）， ， 根据图像，得或； （3）把代入得，， 设点为与轴的交点，则， ， 18．知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，与在轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 【分析】（1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，∵，，与的距离为5，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 19．如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25，加热到100时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要_____； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）根据题意列式计算即可； （2）设，结合（1）中可得点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）根据加热过程中水温不低于的时间降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，进行分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数， 设， 由（1）知，过点， ， 水温关于通电时间的函数表达式为； （3）解：由题意得，， 当时，，解得， 又 ， 加热一次，水温不低于的时间为． 20．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出这一函数的表达式； (2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 【答案】(1) (2)为了安全起见，气体的体积应不小于 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于理解体积和气压的关系，气压越大体积越小． （1）设表达式为，取点A，代入解得k值即可； （2）令，代入表达式解得，则由图可知，为了安全起见，气体的体积应不小于． 【详解】（1）解：设该函数的表达式为， ∵该函数的图象过点A， ， 解得，， ∴这一函数的表达式为； （2）解：令得，． 解得，， 由图象可知：当时，， 答：为了安全起见，气体的体积应不小于． 21．实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． 任务1：求I关于R的函数表达式； 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】任务1∶ ；任务2∶ ． 【分析】任务1∶ 利用待定系数法解答即可； 任务2∶ 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将表示为的函数， 根据反比例函数的增减性求出的取值范围， 从而由求出的取值范围即可． 本题考查反比例函数的应用， 掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键． 【详解】解∶ 任务1∶ 设关于的函数表达式为 (为常数， 且)． 将， 代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为． 任务2∶ 根据图3， 光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围为， ， ， ， 随的增大而减小， 当时值最大， 最大， 当时值最小， 最小， ， ， ， 的取值范围为． 22．某野外考察小组在途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安全，迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线用若干块木板铺了一条临时通道，木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图像经过，． (1)请直接写出P与S的函数关系式． (2)求m的值，并解释m的实际意义． (3)如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？ 【答案】(1) (2)，当木板对地面的压强时，木板面积是； (3) 【分析】本题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题，认真观察图象得出结果． （1）设反比例函数关系式为，将点代入即可得出解析式； （2）将代入解析式，可求出S的值，即可求解； （3）将代入解析式，可求出S的值，然后根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数关系式为， 把代入，得， 解得， ∴P与S的函数关系式； （2）解：把代入，得， 解得， 当木板对地面的压强为时，木板面积是； （3）解：当时，， 解得， ∵在中，， ∴P随S的增大而减小， 故当压强不超过时，木板的面积至少是． 23．近年来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王老师在活动期间购买了价格为12万元的这款新能源汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目； (2)王老师若用20个月结清，平均每月应付多少万元？ (3)王老师每月付款不少于多少元，可以确保在规定期限内结清余额？ 【答案】(1)，首付款为3万元 (2)每月应付万元 (3)他每月至少应付万元，可在期限内结清余款 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，然后再根据实际意义进行解答； （1）从反比例图象上任意找一点向两坐标轴引垂线，形成的矩形面积等于的绝对值，由图可知，即可求出解析式． （2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值． （3）知道了自变量的范围，利用解析式即可求出因变量的范围． 【详解】（1）解：由图象可知与成反比例，设与的函数关系式为， 把代入关系式得， ， ， （万元）． 答：首付款为3万元； （2）解：当时，（万元）， 答：每月应付万元； （3）解：当时，， 答：他每月至少应付万元，可在期限内结清余款． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $