第04讲 二次函数的应用（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪科版

第04讲 二次函数的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 图形面积问题 题型2 动态几何问题 题型3 拱桥问题 题型4 销售问题 题型5 投球问题 题型6 喷水问题 题型7 增长率问题 题型8 其他问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数实际建模 1. 学会分析生活实际、几何图形、商品销售、运动轨迹四类问题，提炼等量关系，构建二次函数数学模型。 2. 结合实际场景限制条件，精准确定自变量取值范围，规避最值易错点。 3. 掌握面积最值、销售利润、抛物线型实物模型三大常考题型解题思路。 4. 提升建模能力，能用二次函数性质解决实际生活最值问题，感悟函数实用价值。 学习重点：建立二次函数实际模型、利用二次函数求解实际问题最值、经典应用题解题步骤。 学习难点：结合实际情境限定自变量取值、剔除不合题意最值、复杂题干梳理数量关系、几何面积最值建模。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 利用二次函数解决实际问题 1. 一般步骤：(1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证结果是否符合实际． 即时即练一次铅球训练中，某运动员的铅球运动路线呈抛物线，铅球落地前运动的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数表达式是，铅球运动路线如图所示． (1)求铅球推出的水平距离； (2)通过计算说明铅球行进高度能否达到3米． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）根的取舍忽略实际场景； （2）判别式结论记反分不清、对应的含义； （3）脱离实际定义域应用题中代表水平距离，只能取正数；代表高度，只能取非负数，不能只算纯数学解； （4）审题混淆提问分不清“求落地距离”（令）和“判断某高度能否到达”（令定值算判别式）两种题型的解题思路。 题型1 图形面积问题 【例1】如图，小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是(   ) A． B． C． D． 【例2】学校组织“一班一品绘风韵，一墙一景绽芳华”班级布置大赛，初三（1）班计划购买一款矩形镜面，如图，镜子长与宽之比为，镜子四周镶有边框（镜框的宽度忽略不计）．已知镜面的价格是120元，边框的价格是30元，加工费为45元． (1)求总费用（元）与镜面宽之间的函数关系式； (2)如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）设合适未知数（边长/线段长），用含x式子表示图形长、宽、高； （2）套用面积公式列二次函数 ； （3）根据正负求最大/最小面积； （4）结合实际：边长＞0，写出自变量取值范围。 【变式1-1】如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 【变式1-2】如图，一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 题型2 动态几何问题 【例3】如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【例4】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）设运动时间，用速度表示动点移动距离； （2）分阶段讨论：动点在不同边上解析式不同； （3）结合勾股、相似、面积建立函数； （4）区间分段求对应最值。 【变式2-1】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 【变式2-2】如图，在矩形中，，点P在线段上，点P从点A开始沿边以的速度向点B移动；E是的中点，点Q从点E开始，沿以的速度向点C移动，如果点分别从点A、E同时出发． (1)请探究的面积与运动时间之间的函数关系式，并求出t的取值范围； (2)画出此函数的图像． 题型3 拱桥问题 【例5】位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨沁水河上．它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升2米后水面宽度为_____米． 【例6】如图为一座大桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）建平面直角坐标系（优先顶点放y轴/原点，简化计算）； （2）代入已知宽度、高度求抛物线解析式； （3）求某高度对应的水平宽度，或某位置高度； （4）比较车辆高度/宽度判断能否通行。 【变式3-1】如图是一座抛物线形石拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面． (1)如图平面直角坐标系中，求该抛物线的解析式； (2)在（1）条件下，点在图象上，求的值． 【变式3-2】如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），抛物线满足表达式．为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离，求货车的限高应是多少米？ 【变式3-3】一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 题型4 销售问题 【例7】某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件．已知商品的进价为每件30元，设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【例8】第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日--14日在哈尔滨举行，本届赛会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，其中亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天销售量为y个． (1)写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W关于x的函数表达式； (3)零售店定价为多少时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）单件利润=售价−进价；总利润=单件利润×销售量； （2）涨价/降价设，写出变化后售价、销量； （3）列出利润二次函数，开口向下求最大值； （4）限制条件：售价、销量为正数，常有限价。 【变式4-1】某服装店销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果一件衣服每降价1元，商店平均每天可多售出2件，则每件衣服降价___________元时，服装店每天盈利最多． 【变式4-2】排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． (1)直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） (2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? (3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 【变式4-3】综合与实践 【问题情境】随着家居收纳需求不断增加，某家居生活馆销售一款环保折叠收纳箱，每个进价为25元．市场规定：销售单价不低于进价，且单个利润不超过进价的．一段时间后，该商家发现这款环保折叠收纳箱的每周销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元/个）之间的关系满足一次函数，其对应关系如下表：    销售单价x/（元／个） 30 32 34 36 38 销售量y/个 200 180 160 140 120 【问题解决】 (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)设每周销售这款环保折叠收纳箱获得的利润为w（单位：元）． ①求w与x的函数关系式． ②若该家居生活馆希望每周销售这款环保折叠收纳箱的利润达到1500元，求这款环保折叠收纳箱的销售单价． (3)当销售单价定为多少元时，该家居生活馆每周销售这款环保折叠收纳箱的利润最大？最大利润是多少元？ 题型5 投球问题 【例9】在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为（    ） A．6米 B．7米 C．8米 D．9米 【例10】足球作为一项重要的体育运动，越来越受到广大体育爱好者的喜欢，校园足球更是同学们的最爱．在一次足球训练中，小明从球门正前方8米的处射门，已知球门高为米，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3米，现以为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的解析式； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）抛出点设坐标，落地/最高点对应特殊点； （2）顶点对应最大高度，落地时； （3）代入两点求抛物线，求解水平距离、最大高度； （4）判断是否过篮筐、是否超过拦截高度。 【变式5-1】掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，水平距离x（单位：）近似满足函数关系，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/ 0 2 m 6 8 竖直距离y/ 1.67 2.63 2.95 2.63 n (1)填空：______，______； (2)填空：实心球竖直高度的最大值为______； (3)求出满足的函数关系． 【变式5-2】为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 【变式5-3】小聪与小明在家属院打羽毛球时，不慎将羽毛球挂在了一棵树枝处（记为点），为取下羽毛球，小明准备用石子沿抛物线轨迹投掷，他把石子举到头顶上方，出手位置距地面1.8m，石子在距小明水平距离处达到最高点，最高点距水平地面约；以小明脚站立点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，其中是石子距原点的水平距离，是石子距水平地面的高度． (1)求石子运动轨迹的二次函数解析式． (2)测得羽毛球到小明的水平距离是，羽毛球距地面的高度约为，（1）中的二次函数图象与点在同一平面内． ①小明此次投掷的石子能击中羽毛球吗？ ②若小明想让石子击中羽毛球，且保持抛物线形状和最大高度不变，他应如何水平调整位置？ 题型6 喷水问题 【例11】太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名．图1中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图2所示，喷口为点O，水柱的高度与距喷口的水平距离之间满足（），则该水柱的最大高度为______． 【例12】2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）喷水口为起点，水流轨迹为抛物线，顶点是最远/最高处； （2）已知喷射高度、落地距离求解析式； （3）求特定水平位置的喷水高度，判断遮挡物是否阻挡水流。 【变式6-1】2023年5月8日，国产大飞机C919商业首航完成。12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 【变式6-2】根据以下素材，完成探究任务 项目主题 合理设置智慧洒水车喷头 问题背景 洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化，如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 素材1 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口米； 素材2 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 素材3 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为d米． 问题解决 任务1 测量建模：（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务2 推理分析：（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； 任务3 实践探究：（3）若洒水车到绿化带距离调整为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 题型7 增长率问题 【例13】据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）公式：，为基数，为月/年增长率； （2）增长用“+”，减少、降价用“−”； （3）已知两年后总量列方程求增长率。 【变式7-1】为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式为______． 【变式7-2】某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 题型8 其他问题 【例14】滑雪运动员苏翊鸣一次滑雪过程中，第秒时的高度为米，且高度与时间的关系为，若苏翊鸣在第2秒与第5秒时的高度相等，则下列时间苏翊鸣所在高度最高的是（    ） A．第1秒 B．第5秒 C．第6秒 D．第4秒 【例15】汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离与刹车时的车速有以下关系式： (a，b为常数，且)，对某辆车测试如下：当车速为时，刹车距离为；当车速为时，刹车距离为．该车在限速的高速公路上行驶时出了事故，事后测得它的刹车距离为．问该车是否超速行驶？ 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）梳理等量关系，将成本、容积、用料转化为二次函数； （2）自变量受现实约束（长度、重量、数量均大于0）； （3）利用顶点求最低成本、最大容积。 【变式8-1】为了让初三学子以更好的状态迎接体考，川大附中在3.20号安排了针对性模拟．小明参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化(如图)，若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当时，所对应的重心高度分别记为，则的大小关系为__________．(用“”连接) 【变式8-2】如图是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第2行有2个点，……，第n行有n个点……；设前n行点数的和为y．请聪明的你解决以下问题 (1)求当时； ； (2)求y与n的函数关系式； (3)三角点阵中前n行的点数和能否是400吗？如果能，求出n；如果不能，请说明理由． 【变式8-3】兰州牛肉面以其独特的风味火遍全围，是行走的兰州历史文化代表，如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽28cm，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，求碗中汤面的水平宽度为多少？（碗的厚度不计）． 1．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 2．某商场以每件50元的价格购进某款玩具，若以每件80元的价格出售，每日可售出200件．现商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该玩具每件的售价每降价1元，日销售量就会增加20件．设该款玩具每件的售价为元，日销售量为y件． (1)日销售量y关于每件售价x的函数解析式为__________． (2)该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？ 3．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 4．某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，其余边用周长为的篱笆围成，已知墙a长为，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（），种植园面积为y（）． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)根据实际需要，要求这个种植园的面积为，求篱笆的长． 5．一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 6．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 7．在一次高尔夫训练中，某球员从山坡下的点打出一球，该球的飞行高度与飞行时间满足二次函数关系，其函数图象如图所示．如果不考虑空气阻力，球的落点距离点的水平距离为12米时，垂直距离为米． (1)求关于的函数关系式． (2)求该球飞行过程中的最大垂直高度． 8．综合与实践：某次课外实践活动中，数学兴趣小组的同学研究如图1所示的某种简约型装饰吊灯的灯罩，它的垂直截面图形状近似抛物线，灯罩的口径（底面直径）为，高为． 【数学视角】经查阅相关资料，兴趣小组的同学认为：若灯罩的口径是高的倍，则口径与高的比更接近黄金分割数的近似值，将会给人带来更美的视觉效果． 【方案设计】为了检验视觉效果的真实性，需设计一个新的灯罩模型：灯罩的抛物线形状不变，高度为，它的口径等于高的倍． 【问题解决】 (1)请用含有h的式子表示新灯罩的口径； (2)把原灯罩的垂直截面图抽象为如图2所示的抛物线，并建立平面直角坐标系，抛物线顶点为原点，由题知，，请求出点的坐标，并求出抛物线的解析式； (3)在（1）和（2）的条件下，求新灯罩的模型高度的值． 9．【综合与实践】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据： （米） 0 1 2 3 4 （米） (1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______，并求与函数表达式； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 10．综合与实践． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； (3)若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二次函数的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 图形面积问题 题型2 动态几何问题 题型3 拱桥问题 题型4 销售问题 题型5 投球问题 题型6 喷水问题 题型7 增长率问题 题型8 其他问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数实际建模 1. 学会分析生活实际、几何图形、商品销售、运动轨迹四类问题，提炼等量关系，构建二次函数数学模型。 2. 结合实际场景限制条件，精准确定自变量取值范围，规避最值易错点。 3. 掌握面积最值、销售利润、抛物线型实物模型三大常考题型解题思路。 4. 提升建模能力，能用二次函数性质解决实际生活最值问题，感悟函数实用价值。 学习重点：建立二次函数实际模型、利用二次函数求解实际问题最值、经典应用题解题步骤。 学习难点：结合实际情境限定自变量取值、剔除不合题意最值、复杂题干梳理数量关系、几何面积最值建模。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 利用二次函数解决实际问题 1. 一般步骤：(1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证结果是否符合实际． 即时即练一次铅球训练中，某运动员的铅球运动路线呈抛物线，铅球落地前运动的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数表达式是，铅球运动路线如图所示． (1)求铅球推出的水平距离； (2)通过计算说明铅球行进高度能否达到3米． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）解方程即可； （2）由题意得：抛物线的对称轴直线为，求出铅球的最大高度即可判断； 【详解】（1）解：令，解方程得： （舍）， ∴铅球推出的水平距离为； （2）解：由题意得：抛物线的对称轴直线为， 当时，， ∴铅球行进高度能达到3米； 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）根的取舍忽略实际场景； （2）判别式结论记反分不清、对应的含义； （3）脱离实际定义域应用题中代表水平距离，只能取正数；代表高度，只能取非负数，不能只算纯数学解； （4）审题混淆提问分不清“求落地距离”（令）和“判断某高度能否到达”（令定值算判别式）两种题型的解题思路。 题型1 图形面积问题 【例1】如图，小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 【例2】学校组织“一班一品绘风韵，一墙一景绽芳华”班级布置大赛，初三（1）班计划购买一款矩形镜面，如图，镜子长与宽之比为，镜子四周镶有边框（镜框的宽度忽略不计）．已知镜面的价格是120元，边框的价格是30元，加工费为45元． (1)求总费用（元）与镜面宽之间的函数关系式； (2)如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽． 【答案】(1) (2)这面镜子的长是，宽是 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题，准确找到等量关系是解题的关键． （1）根据题意设这面镜子的宽为x米，则长为米，由边框的钱数加上玻璃的钱数加上加工费等于总费用求解即可； （2）令，得到，进而求解即可． 【详解】（1）设这面镜子的宽为x米，则长为米， 根据题意得，； （2）当时， 整理得， 解得：，（舍去）， ∴（m）， 答：这面镜子的长是，宽是． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）设合适未知数（边长/线段长），用含x式子表示图形长、宽、高； （2）套用面积公式列二次函数 ； （3）根据正负求最大/最小面积； （4）结合实际：边长＞0，写出自变量取值范围。 【变式1-1】如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 【答案】(1) (2)当米时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，正确理解题意是解题关键． （1）由题意得，，再利用矩形的面积公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 则， 由题意得，， ∴； （2）解：， 当米时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米． 【变式1-2】如图，一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】． 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路，表示出剩余面积的长和宽，结合面积关系列出式子，即可作答 【详解】解：∵一块矩形田地长，宽，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为的小路， ∴剩余面积的长和宽分别为 ∴ 题型2 动态几何问题 【例3】如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先理解题意，算出以及点在，，线段上的时间，然后分别讨论点在上运动的情况，然后根据面积公式列式，即可求解． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止 ∴ ∵设点P的运动时间是时，的面积是， ∴①当点在上运动时，即： ， 这是开口方向向上的二次函数； ∴②当点在上运动时，即： ； 这是一次函数； ∴③当点在上运动时，即： ， 这是开口方向向下的二次函数； 综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意． 【例4】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【答案】(1) (2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）设运动时间，用速度表示动点移动距离； （2）分阶段讨论：动点在不同边上解析式不同； （3）结合勾股、相似、面积建立函数； （4）区间分段求对应最值。 【变式2-1】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 【答案】(1)； (2)或； (3)当时，面积最大，最大值为． 【分析】（1）根据题意得出，，则即可； （2）当时，列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可； 本题考查了列函数关系式，解一元二次方程，二次函数的最值等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：，，则， ∴； （2）当时， ∴，解得，， ∴的值为或； （3）， ∴当时，面积最大，最大值为． 【变式2-2】如图，在矩形中，，点P在线段上，点P从点A开始沿边以的速度向点B移动；E是的中点，点Q从点E开始，沿以的速度向点C移动，如果点分别从点A、E同时出发． (1)请探究的面积与运动时间之间的函数关系式，并求出t的取值范围； (2)画出此函数的图像． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）的面积，把相关数值代入即可求解，注意得到的相关线段为非负数即可． （2）根据五点作图法，先列表再描点连线，即可作答． 本题考查了二次函数与几何运动内容，画二次函数的图象，解决本题的关键是找到所求的三角形的面积的等量关系，注意求自变量的取值应从线段长度为非负数考虑． 【详解】（1）解：由题意，得 ∴． ∵，点P、Q运动的速度均为， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴列表如下： 0 1 2 3 6 18 16 0 画出函数 的图象，如图 题型3 拱桥问题 【例5】位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨沁水河上．它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升2米后水面宽度为_____米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线表达式为，将点代入，求出a的值，可得到抛物线的解析式，再求出当时x的值，即可求解． 【详解】解：当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， 设抛物线表达式为， 将点代入得：， 解得， 抛物线表达式为， 当时，， 解得， 当水面上升2米后水面宽度为（米）， 故答案为：． 【例6】如图为一座大桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意，得出顶点的坐标是关键； 根据题意可得，然后设，再把代入求出a即可． 【详解】解：∵以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系，水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m， ∴， 设抛物线的函数解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式是． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）建平面直角坐标系（优先顶点放y轴/原点，简化计算）； （2）代入已知宽度、高度求抛物线解析式； （3）求某高度对应的水平宽度，或某位置高度； （4）比较车辆高度/宽度判断能否通行。 【变式3-1】如图是一座抛物线形石拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面． (1)如图平面直角坐标系中，求该抛物线的解析式； (2)在（1）条件下，点在图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求二次函数的应用； （1）由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把代入求出的值即可； （2）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式是，由图象知，在抛物线上， ∴， 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：∵点在图象上， ∴， 解得：． 【变式3-2】如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），抛物线满足表达式．为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离，求货车的限高应是多少米？ 【答案】3.15米 【分析】根据货车的宽度可求出当时的值，用其减去即可求出结论．本题考查了二次函数的应用，代入求出值是解题的关键． 【详解】解：∵一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过）， ∴当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离， （米）． 答：货车的限高应是3.15米． 【变式3-3】一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a的值即可； （2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题知，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，． ∴， ∴水面所在直线为． 在中，令得：， 解得：或， ∵， ∴此时水面的宽度为． 题型4 销售问题 【例7】某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件．已知商品的进价为每件30元，设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则每件的利润为元，销售数量为件，再根据总利润等于每件的利润与销售数量的乘积即可求解． 【详解】解：设每件降价元，每星期售出商品的利润为元， 根据题意，得， 故选：B． 【例8】第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日--14日在哈尔滨举行，本届赛会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，其中亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚冬会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价，现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天销售量为y个． (1)写出y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W关于x的函数表达式； (3)零售店定价为多少时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)，（，x为整数） (2) (3)定价56元，最大利润2112元 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数关系式，求一次函数关系式，求二次函数的最大值． （1）根据原来每天的销售量加上增加的个数可得关系式，并写出自变量的取值范围； （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量可得关系式； （3）将二次函数关系式配方得出顶点式，再结合二次函数图象的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：，且； （2）解：， 所以函数关系式为； （3）解：， ∵，且x为整数， ∴当时，最大值为2112， 此时定价为. 所以当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润为2112元． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）单件利润=售价−进价；总利润=单件利润×销售量； （2）涨价/降价设，写出变化后售价、销量； （3）列出利润二次函数，开口向下求最大值； （4）限制条件：售价、销量为正数，常有限价。 【变式4-1】某服装店销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果一件衣服每降价1元，商店平均每天可多售出2件，则每件衣服降价___________元时，服装店每天盈利最多． 【答案】15 【分析】根据总利润=单价利润×销售数量，列出二次函数，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设每件衣服降价元，获得的总利润为元， 由题意得：， 整理得：， ∴当时，取得最大值； 故答案为：15． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用：销售问题．根据总利润=单价利润×销售数量准确的列出函数解析式是解题的关键． 【变式4-2】排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． (1)直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） (2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? (3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 【答案】(1) (2)53元 (3)900元 【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，根据已知条件列出函数表达式是解题的关键． （1）根据销售数量与销售单价之间的关系建立等式，得到y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出方程，解方程，从而确定当天的售价； （3）先根据单价确定的取值范围，再列出利润的二次函数表达式，根据二次函数的单调性求解最大值即可． 【详解】（1）解：设每罐降价x元，则平均每天多销售罐， 因此每天的销售量y与x之间的关系式为：， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得或， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 为了让消费者获得更多实惠， 则每罐排骨藕汤的定价为元； （3）解：根据题意得：， 解得， 设商店销售排骨藕汤的总利润为w元， 则， 由于， 则抛物线开口向下， 由于对称轴为直线，且x为整数， 当或时，w取最大，w的最大值为元， 则该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润为900元． 【变式4-3】综合与实践 【问题情境】随着家居收纳需求不断增加，某家居生活馆销售一款环保折叠收纳箱，每个进价为25元．市场规定：销售单价不低于进价，且单个利润不超过进价的．一段时间后，该商家发现这款环保折叠收纳箱的每周销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元/个）之间的关系满足一次函数，其对应关系如下表：    销售单价x/（元／个） 30 32 34 36 38 销售量y/个 200 180 160 140 120 【问题解决】 (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)设每周销售这款环保折叠收纳箱获得的利润为w（单位：元）． ①求w与x的函数关系式． ②若该家居生活馆希望每周销售这款环保折叠收纳箱的利润达到1500元，求这款环保折叠收纳箱的销售单价． (3)当销售单价定为多少元时，该家居生活馆每周销售这款环保折叠收纳箱的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)， (2)①；②这款环保折叠收纳箱的销售单价为35元/个； (3)当销售单价为37元/个时，该家居生活馆每周销售这款环保折叠收纳箱的利润最大，最大利润是1560元． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，并结合题意确定自变量x的取值范围； （2）①根据“利润单个利润 销售量”列出二次函数关系式； ②令利润函数等于，解一元二次方程，并结合自变量取值范围确定解； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，求出利润的最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：根据题意，设y与x的函数关系式为, 将，分别代入中， 得解得 ∴y与x的函数关系式为． ∵，且， ∴； （2）解：①根据题意，得； ②当时， ， 解得，， ∵， ∴， 答：这款环保折叠收纳箱的销售单价为35元/个； （3）解：， ∵， ∴抛物线开口向下． ∵对称轴为直线 ， ∴当时，w随x的增大而增大． ∴当时，w有最大值，最大值为1560． 答：当销售单价为37元/个时，该家居生活馆每周销售这款环保折叠收纳箱的利润最大，最大利润是1560元． 题型5 投球问题 【例9】在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为（    ） A．6米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 令，即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为和， 即小童此次实心球训练的成绩为9米． 故选：D 【例10】足球作为一项重要的体育运动，越来越受到广大体育爱好者的喜欢，校园足球更是同学们的最爱．在一次足球训练中，小明从球门正前方8米的处射门，已知球门高为米，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3米，现以为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的解析式； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】(1) (2)球不能射进球门 【分析】本题考查了待定系数法进行求解二次函数的解析式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出顶点坐标为．设抛物线为，然后把代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，结合球门高为米，则算出当时，，即可作答． 【详解】（1）解：小明从球门正前方8米的处射门，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3米， 则， 顶点坐标为． 可设抛物线为， ∵小明从球门正前方8米的处射门， ∴抛物线过， ． ． ． （2）解：由（1）得， 由题意，当时，， 球不能射进球门． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）抛出点设坐标，落地/最高点对应特殊点； （2）顶点对应最大高度，落地时； （3）代入两点求抛物线，求解水平距离、最大高度； （4）判断是否过篮筐、是否超过拦截高度。 【变式5-1】掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，水平距离x（单位：）近似满足函数关系，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/ 0 2 m 6 8 竖直距离y/ 1.67 2.63 2.95 2.63 n (1)填空：______，______； (2)填空：实心球竖直高度的最大值为______； (3)求出满足的函数关系． 【答案】(1)4，1.67 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据表格数据的特点，可求出抛物线的对称轴为直线，即，然后把，；，代入，可求出a、k的值，然后把，分别代入即可求出m、n的值； （2）根据（1）中函数解析式并结合二次函数的性质求解即可； （3）根据（1）中结论即可求解． 【详解】（1）解：∵当和时，y的值都为2.63， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把，；，代入， 得， 解得， ∴， ∴当时，， 解得， ∴， 当时，， 故答案为：4，1.67； （2）解：由（1）知：当时，y有最大值为2.95， ∴实心球竖直高度的最大值为； （3）解：由（1）知：． 【变式5-2】为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 【答案】(1) (2)​米． 【分析】（1）根据题意可知、，设抛物线顶点式为，将代入计算即可； （2）根据平移的性质得到，令，求解后根据在正半轴取合适的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：出手点的坐标为， 最高点距水平距离3米，距地面3.8米，因此坐标为． 设抛物线顶点式为， 将代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵将篮球从点A正上方1米的点B处投出， ∴新抛物线表达式为：， 令，得：， 解得， ∵在正半轴， ∴​， ∴​米． 【变式5-3】小聪与小明在家属院打羽毛球时，不慎将羽毛球挂在了一棵树枝处（记为点），为取下羽毛球，小明准备用石子沿抛物线轨迹投掷，他把石子举到头顶上方，出手位置距地面1.8m，石子在距小明水平距离处达到最高点，最高点距水平地面约；以小明脚站立点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，其中是石子距原点的水平距离，是石子距水平地面的高度． (1)求石子运动轨迹的二次函数解析式． (2)测得羽毛球到小明的水平距离是，羽毛球距地面的高度约为，（1）中的二次函数图象与点在同一平面内． ①小明此次投掷的石子能击中羽毛球吗？ ②若小明想让石子击中羽毛球，且保持抛物线形状和最大高度不变，他应如何水平调整位置？ 【答案】(1) (2)①不能；②小明应该后退米或前进米 【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法进行求解即可； （2）①求出时的函数值，进行判断即可；②设出新的解析式，待定系数法求出函数解析式，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点坐标为，经过点， 设抛物线的解析式为，把点，代入，得， 解得， ∴； （2）解：①∵， ∴当时，， ∵， ∴小明此次投掷的石子不能击中羽毛球； ②设新的抛物线的解析式为，把代入，得：， 解得或， ∵，， ∴小明应该后退米或前进米． 题型6 喷水问题 【例11】太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名．图1中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图2所示，喷口为点O，水柱的高度与距喷口的水平距离之间满足（），则该水柱的最大高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握抛物线的图象和性质，是解题的关键． 把抛物线解析式化成顶点式，即得水柱的最大高度． 【详解】解：抛物线形水柱，其解析式为， ， 水柱的最大高度是． 故答案为：． 【例12】2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)水流不会碰到这棵景观树，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的解析式，再与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：水流运行轨迹的最高点的坐标为，过点， 设水流运行轨迹的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流运行轨迹的函数解析式为； （2）解：水流不会碰到这棵景观树，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵景观树． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）喷水口为起点，水流轨迹为抛物线，顶点是最远/最高处； （2）已知喷射高度、落地距离求解析式； （3）求特定水平位置的喷水高度，判断遮挡物是否阻挡水流。 【变式6-1】2023年5月8日，国产大飞机C919商业首航完成。12时31分在北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）．如图1，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点距地面多少米？ 【答案】消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米 【分析】本题考查二次函数与实际问题，根据题干的平面直角坐标系，给出点、的坐标，设设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式求出解析式，再利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题． 【详解】解：设经过点A，B，H的抛物线的解析式为， 根据题意得，，将其代入得： 解得，， ， 经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的， 经过点，的抛物线的顶点为， 经过点，的抛物线的解析式为， 将代入得，， 消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米． 【变式6-2】根据以下素材，完成探究任务 项目主题 合理设置智慧洒水车喷头 问题背景 洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化，如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 素材1 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口米； 素材2 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 素材3 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为d米． 问题解决 任务1 测量建模：（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务2 推理分析：（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； 任务3 实践探究：（3）若洒水车到绿化带距离调整为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由如下： ∵矩形， 米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【分析】（1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入即可求解； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移6米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）略 题型7 增长率问题 【例13】据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度总值约为千亿元，第三季度总值为千亿元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数表达式是：， 故选：C． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）公式：，为基数，为月/年增长率； （2）增长用“+”，减少、降价用“−”； （3）已知两年后总量列方程求增长率。 【变式7-1】为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．该药品的原价是元，第一次降价后是元，第二次降价后是元，据此解答即可． 【详解】解：根据题意， 故答案为：． 【变式7-2】某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 题型8 其他问题 【例14】滑雪运动员苏翊鸣一次滑雪过程中，第秒时的高度为米，且高度与时间的关系为，若苏翊鸣在第2秒与第5秒时的高度相等，则下列时间苏翊鸣所在高度最高的是（    ） A．第1秒 B．第5秒 C．第6秒 D．第4秒 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性，此时的值相等，故在等于对称轴直线时，苏翊鸣所在高度最高的，根据的值越靠近对称轴时，所对应的函数值越大，即可作答． 【详解】解：∵ ∴开口向下， ∵苏翊鸣在第2秒与第5秒时的高度相等， ∴在等于对称轴直线时，苏翊鸣所在高度最高 观察四个选项，最靠近对称轴直线 ∴则下列时间苏翊鸣所在高度最高的是第4秒． 故选：D． 【例15】汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离与刹车时的车速有以下关系式： (a，b为常数，且)，对某辆车测试如下：当车速为时，刹车距离为；当车速为时，刹车距离为．该车在限速的高速公路上行驶时出了事故，事后测得它的刹车距离为．问该车是否超速行驶？ 【答案】超速了 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用待定系数法进行求解二次函数的解析式，再把代入，把求出的与进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将代入 得 解得 ∴函数关系式为 将代入，则 整理得， 解得 (负值已舍去)， ∵， ∴超速． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）梳理等量关系，将成本、容积、用料转化为二次函数； （2）自变量受现实约束（长度、重量、数量均大于0）； （3）利用顶点求最低成本、最大容积。 【变式8-1】为了让初三学子以更好的状态迎接体考，川大附中在3.20号安排了针对性模拟．小明参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化(如图)，若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当时，所对应的重心高度分别记为，则的大小关系为__________．(用“”连接) 【答案】 【分析】分别将代入二次函数表达式计算出对应的值，利用有理数大小比较法则即可得出结论． 【详解】解：当时，． 当时，． 当时，． 【变式8-2】如图是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第2行有2个点，……，第n行有n个点……；设前n行点数的和为y．请聪明的你解决以下问题 (1)求当时； ； (2)求y与n的函数关系式； (3)三角点阵中前n行的点数和能否是400吗？如果能，求出n；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)55 (2)y与n的函数关系式是 (3)不存在前n行的点数和是400，理由见详解 【分析】本题主要考查数字类规律问题及二次函数的应用，解题的关键是得到数字类的一般规律； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意列出函数关系式，然后化简即可 （3）把代入（2）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为55； （2）解：由题意得： ； ∴y与n的函数关系式是； （3）解：不存在，理由如下： 把代入（2）中函数解析式得：， 化简得：， 解得：， ∵n是正整数， ∴不存在前n行的点数和是400． 【变式8-3】兰州牛肉面以其独特的风味火遍全围，是行走的兰州历史文化代表，如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽28cm，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，求碗中汤面的水平宽度为多少？（碗的厚度不计）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意，求出抛物线表达式为，进而根据题得出，代入进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意得抛物线经过点， 设抛物线表达式为，代入得， 解得： ∴抛物线表达式为， ∵当满碗汤面的竖直高度下降时， ∴碗中汤面高度为， 当时， 解得：， ∴碗中汤面的水平宽度为， 1．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】(1)()； (2)() 【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可； （2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为 ． 时，， 时，， ， 解得， ， 根据部门规定，得． （2） 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 2．某商场以每件50元的价格购进某款玩具，若以每件80元的价格出售，每日可售出200件．现商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该玩具每件的售价每降价1元，日销售量就会增加20件．设该款玩具每件的售价为元，日销售量为y件． (1)日销售量y关于每件售价x的函数解析式为__________． (2)该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)该商场应将每件售价定为70元，才能使日销售利润最大，最大利润为8000元 【分析】本题考査一次函数在销售问题的应用，二次函数在销售问题中的应用，找出等量关系式是解题的关键． （1）销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，据此即可求解； （2）设日销售利润为元，日销售利润每件所获利润日销售量，据此即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：设日销售利润为W元． 由题意，得． ∵， ∴当时，(元)． 答：该商场应将每件售价定为70元，才能使日销售利润最大，最大利润为8000元． 3．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 4．某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，其余边用周长为的篱笆围成，已知墙a长为，设这个种植园垂直于墙的一边长为x（），种植园面积为y（）． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)根据实际需要，要求这个种植园的面积为，求篱笆的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可知，则，再利用长方形的面积公式求出与的函数关系式，再结合题意可得，即可求出自变量的取值范围； （2）根据题意，代入到（1）中的函数关系式，求出的值，再结合的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 则， ∴， 由题意得，， 解得：， ∴； （2）解：令，则， 解得：，， 由（1）得，， ∴， 答：篱笆的长为． 5．一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 【答案】(1) (2)球不能射进球门 (3)1 【分析】本题考查的是二次函数的应用， （1）用待定系数法求出表达式即可； （2）计算当时，y的值与比较即可得出答案； （3）由题意得出移动后的抛物线为，把点代入求出结论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，        设抛物线表示的二次函数的表达式为， 把点代入，得， 解得，         ∴抛物线的表达式为； （2）当时，，   ∴球不能射进球门； （3）由题意，移动后的抛物线为， 把点代入，得， 解得（舍去），， ∴n的值为1． 6．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 【答案】(1) (2)6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：当时，， 解得，， ∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞． 7．在一次高尔夫训练中，某球员从山坡下的点打出一球，该球的飞行高度与飞行时间满足二次函数关系，其函数图象如图所示．如果不考虑空气阻力，球的落点距离点的水平距离为12米时，垂直距离为米． (1)求关于的函数关系式． (2)求该球飞行过程中的最大垂直高度． 【答案】(1) (2)12米 【分析】本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识． （1）根据已知条件得到，把A点代入得到，于是得到结论； （2）把配方得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：点A距离点O的水平距离为12米时，垂直距离为米， ∴， 把A点代入得， 解得， ∴y关于x的函数关系式为：； （2）解：∵， ∴当时，， ∴该球飞行过程中的最大垂直高度是12米． 8．综合与实践：某次课外实践活动中，数学兴趣小组的同学研究如图1所示的某种简约型装饰吊灯的灯罩，它的垂直截面图形状近似抛物线，灯罩的口径（底面直径）为，高为． 【数学视角】经查阅相关资料，兴趣小组的同学认为：若灯罩的口径是高的倍，则口径与高的比更接近黄金分割数的近似值，将会给人带来更美的视觉效果． 【方案设计】为了检验视觉效果的真实性，需设计一个新的灯罩模型：灯罩的抛物线形状不变，高度为，它的口径等于高的倍． 【问题解决】 (1)请用含有h的式子表示新灯罩的口径； (2)把原灯罩的垂直截面图抽象为如图2所示的抛物线，并建立平面直角坐标系，抛物线顶点为原点，由题知，，请求出点的坐标，并求出抛物线的解析式； (3)在（1）和（2）的条件下，求新灯罩的模型高度的值． 【答案】(1)灯罩的口径为 (2)， (3)灯罩的高度的值为25 【分析】本题考查列代数式，求二次函数的解析式，二次函数的应用． （1）根据“灯罩的高度为，它的口径等于高的倍”，即可求解； （2）设抛物线的解析式为 ，根据题意得点的坐标，代入，可得，即可得抛物线的解析式； （3）根据题意可得，为上一点，代入计算，即可得新灯罩的模型高度的值． 【详解】（1）解：根据题意可知，灯罩的口径为. （2）解：设抛物线的解析式为（）. ∵，， ∴， ∴， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （3）解：∵灯罩的抛物线形状不变，则. 由题意知，，. ∴. ∴， 代入得， 解得（舍去）或， ∴灯罩的高度h的值为25． 9．【综合与实践】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据： （米） 0 1 2 3 4 （米） (1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______，并求与函数表达式； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)米，见解析 【分析】本题属于二次函数的应用，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型． （1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可； （2）根据函数图象可知水柱最高点距离湖面的高度为米，即，设函数表达式为，先由图1得到函数顶点为，再将代入计算即可； （3）根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可. 【详解】（1）解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示： （2）解：由图1，可得函数顶点为， 水柱最高点距离湖面的高度为米， ， 根据图象可设二次函数的解析式为：， 将代入， 解得， 抛物线的解析式为：； 故答案为：，； （3）解：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， ∵已知游船顶棚宽度为3米，抛物线对称轴为直线， ∴顶棚交抛物线轴于， ∵顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米， ∴此时纵坐标的值不小于， ， 解得， 水管高度至少向上调节米， （米）， 公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约米才能符合要求． 10．综合与实践． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； (3)若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1) (2)72m (3) 不会，理由如下： ， 当时，汽车停下，行驶了， ， 该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． 利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； 将代入中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； 求出中函数的最大值，与比较，即可解决问题． 【详解】（1）设，将，，代入， 得，解得， 关于t的函数解析式为：； （2）当时，， 答：汽车刹车后，行驶了； （3）略 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $