专题03 勾股定理期末常考知识点题型基础练（高效培优期末专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 聚焦勾股定理期末核心考点，以10类题型系统覆盖概念应用、证明推理及综合实践，构建“基础计算-几何直观-逻辑推理”三阶知识链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求边长|4题|直角边与斜边互求|勾股定理直接应用，强化运算能力| |表示无理数|3题|数轴与几何图形结合|体现数形结合，发展几何直观| |与图形面积|4题|正方形面积关系转化|面积法与定理结合，培养模型意识| |与几何图形|4题|垂直平分线等综合应用|定理与几何性质融合，提升推理能力| |网格问题|4题|格点距离与圆弧交点|空间观念与计算结合，发展数学眼光| |证明图形|3题|图形验证定理|理解定理推导过程，强化推理意识| |证明图形计算|4题|赵爽弦图等面积计算|证明与计算结合，深化逻辑思维| |勾股数判断|2题|整数组判定|概念辨析，夯实基础认知| |直角三角形判定|4题|边与角关系判断|逆定理应用，培养理性精神| |逆定理应用|6题|四边形面积等综合题|实际问题建模，提升应用意识|

专题03 勾股定理期末常考知识点题型 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 题型01 勾股定理求直角三角形的边长 题型02 勾股定理表示无理数 题型03 勾股定理与图形面积 题型04 勾股定理与几何图形 题型05 网格中的直角三角形 题型06 勾股定理的证明图形 题型07 在勾股定理的证明图形中计算 题型08 勾股数的判断 题型09 直角三角形的判定 题型10 勾股定理逆定理的应用 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 题型01 勾股定理求直角三角形的边长 1．已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（　　） A．5 B．4 C．3 D． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝1，则AB的长是（　　） A． B． C．2 D． 3．劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．12cm2 题型02 勾股定理表示无理数 5．如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，面积为1的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，则数轴上点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 题型03 勾股定理与图形面积 8．如图，中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成，则图中三个正方形的面积可能取值为（　　） A．4，5，6 B．5，7，12 C．5，9，16 D．6，12，15 9．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（　　） A．9 B．8 C．27 D．45 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．若AB＝13，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为（　　） A．25 B．144 C．169 D．以上都不对 11．如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三条边为边向外作正方形，正方形面积分别记为S1，S2，S3，已知10S1﹣3S2＝S3，则的值为（　　） A． B．2 C． D．3 题型04 勾股定理与几何图形 12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，BC＝5，BC的垂直平分线交AB于点D．则AD的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（　　） A． B． C．3cm D． 14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，AD的垂直平分线交AC于点F，已知BD＝5，BE＝4，AB＝10，则CF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，D是AB的中点，P是BC边上的点，连结PD．若PD＝1，则PC•PB的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 题型05 网格中的直角三角形 16．如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 17．如图，在3×3网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则边AC的长是（　　） A． B． C． D． 18．如图，在3×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线的交点，则下列线段长度最长的是（　　） A．AB B．AC C．AD D．AE 19．如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于点P，Q．点P表示的数记为m，点Q表示的数记为n，则m2﹣mn+n2的值为　 　 ． 题型06 勾股定理的证明图形 20．勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 21．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 22．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 题型07 在勾股定理的证明图形中计算 23．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中c＝15，b﹣a＝3，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．54 C．108 D．48 24．四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（　　） A．a2﹣b2 B．2ab C．a2+b2 D．4ab 25．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的边长是（　　） A． B．2 C．4 D．8 26．意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（　　） A． B． C． D．S1＝S2 题型08 勾股数的判断 27．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2 28．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．8，15，17 C． D．4，5，6 题型09 直角三角形的判定 29．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　） A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13 30．△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．c2﹣a2＝b2 31．下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝5 B．∠A＝35°，∠B＝55° C．∠A+∠B＝∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C 32．在△ABC中a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a：b：c＝5：12：13 B． C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A+∠B＝∠C 题型10 勾股定理逆定理的应用 33．如图，一块四边形地ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积为（　　） A．30m2 B．24m2 C．18m2 D．12m2 34．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝1，，则四边形ABCD的面积是　 　 ． 35．如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 36．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，，，DA＝1．连接AC． （1）求AC的长度； （2）求∠DAB的度数． 37．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求BC的长； （2）求证：△BCD是直角三角形． 38．已知直角三角形的三边长分别是a，b，c，其中c为斜边． （1）长分别为3a，3b，3c的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由； （2）小明为了证明“长分别为a2，b2，c2的三条线段不能组成一个直角三角形．”是真命题．给出了部分思考如下，请补全他的证明过程． 假设长分别为a2，b2，c2的三条线段能组成直角三角形，则（a2）2+（b2）2＝（c2）2，又…． 39．如图，△ABC的顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c． （1）若，试说明△ABC是直角三角形； （2）在（1）的条件下，BC边所在的直线上是否存在一点D，使得△ABD是等腰三角形？若存在，请直接写出CD的值；若不存在，请说明理由． $专题03 勾股定理期末常考知识点题型 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 题型01 勾股定理求直角三角形的边长 题型02 勾股定理表示无理数 题型03 勾股定理与图形面积 题型04 勾股定理与几何图形 题型05 网格中的直角三角形 题型06 勾股定理的证明图形 题型07 在勾股定理的证明图形中计算 题型08 勾股数的判断 题型09 直角三角形的判定 题型10 勾股定理逆定理的应用 题型01 勾股定理求直角三角形的边长 1．已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（　　） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【解答】解：由直角三角形两直角边长分别为3和4， 则它的斜边长5． 故选：A． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝1，则AB的长是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解答】解：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝1， 由勾股定理得：AB， 故选：D． 3．劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：∵两条直角边分别用了3根和4根小木棒， ∴搭建斜边用的小木棒数量， 故选：C． 4．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．12cm2 【答案】B 【解答】解：由勾股定理得：5（cm）， ∴阴影部分的面积＝5×1＝5（cm2）； 故选：B． 题型02 勾股定理表示无理数 5．如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得：BC， 则BA＝BC， ∴a的值是1， 故选：D． 6．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，AB＝2﹣1＝1， 则AC， 根据题意得AD＝AC， ∴点D表示的数为﹣（1）＝1， 故选：D． 7．如图，面积为1的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，则数轴上点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵面积为1的正方形ABCD的顶点A在数轴上， ∴AD＝DC＝1， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC， ∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，（点E在点A的左侧）， ∴， ∵点A表示的数是1， ∴点E所表示的数为． 故选：D． 题型03 勾股定理与图形面积 8．如图，中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成，则图中三个正方形的面积可能取值为（　　） A．4，5，6 B．5，7，12 C．5，9，16 D．6，12，15 【答案】B 【解答】解：由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积， ∵4+5＝9≠6， ∴选项A不满足要求，不符合题意； ∵5+7＝12， ∴选项B满足要求，符合题意； ∵5+9＝14≠16， ∴选项C不满足要求，不符合题意； ∵6+12＝18≠12， ∴选项D不满足要求，不符合题意． 故选：B． 9．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（　　） A．9 B．8 C．27 D．45 【答案】A 【解答】解：设正方形D的面积为x， ∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3， ∴根据图形得：2+4＝x﹣3， 解得：x＝9， 故选：A． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．若AB＝13，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为（　　） A．25 B．144 C．169 D．以上都不对 【答案】C 【解答】解：如图所示，正方形ADEC的面积为AC2；正方形BCFG的面积为BC2； 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理可得AB2＝AC2+BC2， ∵AB＝13， ∴AC2+BC2＝132＝169，即正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为169， 故选：C． 11．如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三条边为边向外作正方形，正方形面积分别记为S1，S2，S3，已知10S1﹣3S2＝S3，则的值为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解答】解：由题意知S1+S2＝S3， ∴10S1﹣3S2＝S3， ∴10S1﹣3S2＝S1+S2， 整理得9S1＝4S2， ∴， 故选：C． 题型04 勾股定理与几何图形 12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，BC＝5，BC的垂直平分线交AB于点D．则AD的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，BC＝5， 由勾股定理得：AB4， 则DB＝4﹣AD， ∵BC的垂直平分线交AB于点D， ∴DB＝DC， ∴DC＝4﹣AD， 在Rt△ADC中，DC2＝AC2+AD2，即（4﹣AD）2＝32+AD2， 解得：AD， 故选：B． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（　　） A． B． C．3cm D． 【答案】B 【解答】解：连接BH，如图所示： 根据作图可知，EF垂直平分AB， ∴BH＝AH，AD＝BD， ∵△ABC为直角三角形， ∴， ∴CG＝CD＝5cm， 根据勾股定理得：， ∴AG＝AC﹣CG＝8﹣5＝3（cm）， 设AH＝BH＝xcm，则CH＝（8﹣x）cm， 根据勾股定理得：BC2+CH2＝BH2， 即62+（8﹣x）2＝x2， 解得：， ∴， 故选：B． 14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，AD的垂直平分线交AC于点F，已知BD＝5，BE＝4，AB＝10，则CF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解答】解：如图，连接DF， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴DE3， ∵∠C＝90°， ∴CD⊥AC， ∵AD平分∠BAC， ∴CD＝ED＝3， ∴BC＝BD+CD＝5+3＝8， ∴AC6， ∵OF垂直平分AD， ∴AF＝DF， 设AF＝DF＝x，则CF＝6﹣x， ∵DF2＝CF2+CD2， ∴x2＝（6﹣x）2+32， 解得：， ∴， 故选：B． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，D是AB的中点，P是BC边上的点，连结PD．若PD＝1，则PC•PB的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，取BC的中点E，连接DE， ∵D是AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAC，DE∥AC， ∵∠C＝90°， ∴∠DEP＝90°， 设BC＝2a，AC＝2b， 则DE＝b，BE＝EC＝a， 由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2，即（2a）2+（2b）2＝（2）2， ∴a2+b2＝3， 在Rt△DEP中，PE， 则PC•PB＝（a）（a）＝a2﹣1+b2＝2， 故选：B． 题型05 网格中的直角三角形 16．如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题可知AE＝AB＝3， 在Rt△ADE中，AD＝2，AE＝3， ∴， ∴， 故选：C． 17．如图，在3×3网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则边AC的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由勾股定理得：AC， 故选：C． 18．如图，在3×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线的交点，则下列线段长度最长的是（　　） A．AB B．AC C．AD D．AE 【答案】B 【解答】解：由图可知AB， AC， AD， AE． ∵． ∴AC最长， 故选：B． 19．如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于点P，Q．点P表示的数记为m，点Q表示的数记为n，则m2﹣mn+n2的值为　31　 ． 【答案】31． 【解答】解：观察图象可得， ∴， 故，， ∵m2﹣mn+n2＝（m﹣n）2+mn， ∵， ， ∴， 故答案为：31． 题型06 勾股定理的证明图形 20．勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、梯形的面积为：（a+b）（a+b）（a2+b2）+ab， 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2c2＝abc2， ∴（a2+b2）+ab＝abc2， ∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理； B、大正方形的面积为：（a+b）2； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2， ∴（a+b）2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：（a+b）2， 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴C选项不能证明勾股定理； D、大正方形的面积为：c2， 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2， ∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理； 故选：C． 21．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为， 所以， 所以， 所以a2+b2﹣c2＝0， 即a2+b2＝c2， 故A不符合； ， 所以a2+2ab+b2﹣2ab﹣c2＝0， 即a2+b2＝c2， 故B不符合； ， 所以c2﹣2ab﹣（a2﹣2ab+b2）＝0， 即a2+b2＝c2， 故C不符合； 图D不能推导出勾股定理， 故D符合， 故选：D． 22．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意知，3+4＝7≠5，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 题型07 在勾股定理的证明图形中计算 23．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中c＝15，b﹣a＝3，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．54 C．108 D．48 【答案】B 【解答】解：由勾股定理，得a2+b2＝152＝225， ∵b﹣a＝3， ∴b2﹣2ab+a2＝9， ∴225﹣2ab＝9， ∴ab＝108， ∴每个直角三角形的面积为， 故选：B． 24．四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（　　） A．a2﹣b2 B．2ab C．a2+b2 D．4ab 【答案】C 【解答】解：阴影部分面积为（a+b）2﹣4a2+b2， 故选：C． 25．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的边长是（　　） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解答】解：∵勾a＝6，弦c＝10， ∴股， ∴小正方形ABCD的面积：， ∴小正方形ABCD的边长为：， 故选：B． 26．意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（　　） A． B． C． D．S1＝S2 【答案】A 【解答】解：由勾股定理可得a2+b2＝c2， 由题意，可得， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 题型08 勾股数的判断 27．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2 【答案】C 【解答】解：A、∵42+52≠62， ∴4，5，6不是勾股数，不符合题意； B、1.5，2，2.5不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵62+82＝102， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、1，，2这三个数不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 28．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．8，15，17 C． D．4，5，6 【答案】B 【解答】解：A：0.6，0.8均非正整数，故不是勾股数，不符合题意； B：8，15，17均为正整数，且82+152＝64+225＝289，172＝289，则82+152＝172，是勾股数，符合题意； C：非整数，故不是勾股数，不符合题意； D：4，5，6均为正整数，但42+52＝16+25＝41，62＝36，41≠36，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 题型09 直角三角形的判定 29．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　） A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13 【答案】A 【解答】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故正确； B、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故错误； C、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故错误； D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故错误． 故选：A． 30．△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．c2﹣a2＝b2 【答案】B 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 故A不符合题意； B、设∠A＝3α，∠B＝4α，∠C＝5α， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3α+4α+5α＝180°， 解得：α＝15°， ∴∠C＝5α＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故B符合题意； C、∵a＝3，b＝4，c＝5， ∴c2＝a2+b2， ∴△ABC为直角三角形， 故C不合题意； D、∵c2﹣a2＝b2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形， 故D不合题意； 故选：B． 31．下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝5 B．∠A＝35°，∠B＝55° C．∠A+∠B＝∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C 【答案】D 【解答】解：A、∵32+42＝25，52＝25， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； B、∵∠A＝35°，∠B＝55°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； C、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， 则∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A∠A∠A＝180°， ∴∠A， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意， 故选：D． 32．在△ABC中a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a：b：c＝5：12：13 B． C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A+∠B＝∠C 【答案】C 【解答】解：A．设a＝5k，b＝12k，c＝13k， ∵（5k）2+（12k）2＝（13k）2， ∴a2+b2＝c2， 故△ABC是直角三角形； B．设a＝k，bk，ck， ∵k2+（k）2＝（k）2， ∴a2+b2＝c2， 故△ABC是直角三角形； C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴∠C＝75°， ∴△ABC不是直角三角形； B．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形； 故选：C． 题型10 勾股定理逆定理的应用 33．如图，一块四边形地ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积为（　　） A．30m2 B．24m2 C．18m2 D．12m2 【答案】B 【解答】解：连接AC， ∵∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m， ∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25， ∴AC＝5m， ∵AB＝13m，BC＝12m， ∴BC2＝122＝144，AB2＝132＝169， ∴AB2＝BC2+AC2，则△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴这块地的面积为． 故选：B． 34．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝1，，则四边形ABCD的面积是　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：连接AC， ∵∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝1， ∴AC2＝AD2+CD2＝32+12＝10， ∵， ∴AB2+BC2＝（）2+（）2＝10， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝△ACD的面积+△ABC的面积 AD•CDAB•BC 3×1 ＝4， 故答案为：4． 35．如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：∵∠BDC＝90°，BD＝2，CD＝1， ∴BC， ∵AB＝3，AC＝2， ∴AC2+BC2＝22+（）2＝4+5＝9＝32＝AB2， ∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴S阴影＝S△ACB﹣S△BDC1， 故答案为：1． 36．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，，，DA＝1．连接AC． （1）求AC的长度； （2）求∠DAB的度数． 【答案】（1）2； （2）135°． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，， ∴， 则AC的长度为2； （2）∵，DA＝1， ∵AC＝2， ∴根据勾股定理，DA2+AC2＝DC2， ∴△DAC为直角三角形，即∠DAC＝90°， ∵∠B＝90°，， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， ∴∠DAB＝90°+45°＝135°． 37．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求BC的长； （2）求证：△BCD是直角三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13， ∴BC5； （2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5， ∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2， ∴△BCD是直角三角形． 38．已知直角三角形的三边长分别是a，b，c，其中c为斜边． （1）长分别为3a，3b，3c的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由； （2）小明为了证明“长分别为a2，b2，c2的三条线段不能组成一个直角三角形．”是真命题．给出了部分思考如下，请补全他的证明过程． 假设长分别为a2，b2，c2的三条线段能组成直角三角形，则（a2）2+（b2）2＝（c2）2，又…． 【答案】（1）能；（2）不能． 【解答】解：∵a，b，c分别是直角三角形的三边长（假设c是斜边）， ∴a2+b2＝c2， （1）能， ∵a2+b2＝c2， ∴9a2+9b2＝9c2， 即（3a）2+（3b）2＝（3c）2， ∴长为3a，3b，3c的三条线段能组成直角三角形； （2）假设长分别为a2，b2，c2的三条线段能组成直角三角形，则（a2）2+（b2）2＝（c2）2，即a4+b4＝c4， 又∵a2+b2＝c2， （a2+b2）2＝a4+2a2b2+b4＝c4， ∵a＞0，b＞0， ∴2a2b2＞0， ∴a4+b4＜a4+2a2b2+b4，即a4+b4＜c4， 这与假设的a4+b4＝c4矛盾， ∴长分别为a2，b2，c2的三条线段不能组成一个直角三角形． 39．如图，△ABC的顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c． （1）若，试说明△ABC是直角三角形； （2）在（1）的条件下，BC边所在的直线上是否存在一点D，使得△ABD是等腰三角形？若存在，请直接写出CD的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∵， ∴根据非负数的性质得，a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0， ∴a＝5，b＝12，c＝13， ∵52+122＝132， ∴a2+b2＝c2， ∴根据勾股定理的逆定理得，∠C＝90° ∴△ABC是直角三角形； （2）存在，5或8或18或． 【解答】（1）证明：∵， ∴根据非负数的性质得，a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0， ∴a＝5，b＝12，c＝13， ∵52+122＝132， ∴a2+b2＝c2， ∴根据勾股定理的逆定理得，∠C＝90° ∴△ABC是直角三角形； （2）解：存在， ①AB＝AD时，以A为圆心，AB长为半径画弧，交直线CB于点D1， ∵AC⊥BD1 ∴CD1＝BC＝5； ②BA＝BD＝13时，以B为圆心，BA长为半径画弧，交直线CB于点D2、D3， ∴CD3＝BD3+BC＝13+5＝18；CD2＝BD2﹣BC＝13﹣5＝8； ③DA＝DB时，作AB的垂直平分线交直线CB于点D4，设CD4＝x，则D4A＝D4B＝CD4+BC＝x+5， ∵AC⊥CD4， ∴， ∴122+x2＝（x+5）2， 整理得，10x＝119， 解得，即， 综上所述，CD的值为5或8或18或． $