期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦线面、面面平行判定定理应用，通过正方体、四棱锥等多几何体典例，系统覆盖辅助线构造与判定逻辑的期末专项训练，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面平行的判定|3例+3变式|涉及中点中位线、平行四边形构造，含存在性探究|以线线平行为基础，通过构造辅助线实现线面平行判定| |面面平行的判定|3例+3变式|需证明双交线平行，结合折叠、台体等复杂情境|以线面平行为基础，通过两相交直线平行推证面面平行|

期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定专项训练 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定专项训练 考点目录 线面平行的判定 面面平行的判定 BCD-4BCD中，M,N,P分别是44， AA 例1.(25-26高一下广东广州期中)如图，在棱长为2的正方体 考点一 线面平行的判定 CC CD 的中点： 6 D C ,B,N,P四点共面 (1)求证：， @点P为40的中点，求证： 平面MBV PQI∥ 例2.(25-26高一下河北沧州阶段检测)如图，正方 ABCD-ABCD中，E,F分别是 BD BC 的中点 D E B D B (1)求证： EFW平面 ABB 1 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定专项训练 2)若4B=2,求三棱 B-EFC 的体积. 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定专项训练 例3.(25-26高一下·重庆九龙坡阶段检测)如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形，AD=2, △PAD为正三角形，PB=PC=3,点E在PB上. D B C (I)求异面直线PB与AC所成角的余弦值； (2)若PEEB=21,在棱PC上是否存在一点F,使DFII平面AEC?并证明你的结论 变式1.(25-26高一下陕西西安·月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD, PA=AD=2,E为PB的中点，F为AC与BD的交点 (I)证明：EF∥平面PCD: (2)求四棱锥P-ABCD的体积 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定专项训练 ABC-ABC 变式2.(25-26高一下·天津滨海新区·期中)(1)已知正三棱台 的上、下底面的边长分别为2和4， 侧棱长为V2,求此三棱台的体积。 ABC-ABC ABBA (2)如图，直三棱柱 中，D是BC的中点，四边形 为正方形 《1)若△MBC为等边三角形， BC=4,求直三棱 ABC-AB,C的体积： AC//ABD (ⅱ)求证： 平面 B B D C 变式3.(25-26高一下北京平谷期中)如图，正方体 BCD-4BCD的按长为4.E为B中点， A B C D A D C A-EAD (1)求三棱锥 的体积： BC/ ADE (2)求证： 平面 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定专项训练 考点二 面面平行的判定 创1.(20高=下上海青浦期末)知图，梯形4CD是圆台O0的轴面，B,F分别在底面四0,0的题 00 周上， EF为圆台的母线， ∠D0E=60 ,已知CD=4,B=8,G,H分别为O,B,F的中点 B ()i证明：平面CGH/ OOFE 平面 55 (2)若三棱锥C-GBH的体积为3，求圆台OO的体积. 例2.(25-26高一下·福建泉州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M,N,分 别为BC,PA,PB的中点， B M (I)求证：点，N,C,D四点共面 (2)求证：平面MNO/平面PCD. 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定专项训练 PE (B)在线段pPD上是否存在一点E,使得MNI/平面ACE?若存在，求出PD的值；若不存在，请说明理由. 6 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定专项训练 例3.(25-26高一下山西阶段检测)如图，在矩形BCEF中，A,D分别为BF,CE上的点，AD/EF,将矩形 ADEF沿AD折起，使点E落在气的位置，F落在5的位置，得到四边形40E5,已知5不在平面BCD上. D B,C,E F (1)证明： 四点共面； ABEI∥CDE (2)证明：平面 ”平面 变式1.(2425高一下浙江宁波期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，E,F,G分别是 PC,PD,BC 的中点. (1)求证：直线AB/1平面EFG. (2)求证：平面PABI/平面EFG. 个 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定专项训练 变式2.(2425高一下·浙江杭州期中)如图，三棱锥P-ABC各棱长均为1，侧棱上的D、E、F满足PD=DA, BE PF B那PC=元，线段BC上的点G满足4G/平面DEF: D G 、QPC,AQIIDF AGQ (1)在上， EF ,求证：平面 平面 1 ②)若GC=2BG,且2≠2，求的值： (3)求三棱锥G-DEF体积的最大值， 变式3.(2425高二上贵州遵义：阶段检测)在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，H,E,F分别为PA, AH,HO的中点，点M在棱PD上，且PM=3MD. H E ===- F D (1)证明：HO∥平面PCD (2)证明：平面EFM∥平面ABCD期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定专项训练 期末复习：线面平行的判定、面面平行的判定专项训练 考点目录 线面平行的判定 面面平行的判定 考点一 线面平行的判定 例1．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点； (1)求证：，，，四点共面 (2)点为的中点，求证：平面 【答案】(1)取的中点，连接，连接， 因为是的中点，是的中点， 所以， 因为，所以， 所以，，，四点共面. (2)连接 因为是的中点，点为的中点，所以, 因为，分别是，的中点，所以， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【分析】（1）利用三角形中位线平行底边和平行的传递性求解. （2）利用三角形的中位线平行底边，平行的传递性，线面平行的判定定理求解. 【详解】（1）略 （2）略 例2．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，正方体中，，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)如图，连接，，则既是的中点，也是的中点 .因为是的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理进行证明； （2）由进行求解． 【详解】（1）略 （2）正方体的棱长为2，到平面的距离为， ， 所以 例3．（25-26高一下·重庆九龙坡·阶段检测）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论． 【答案】(1) (2)存在，当是棱中点时，平面，证明如下： 取中点，连接，，则， 因为平面，平面，所以平面， 在中，为中点，为中点，， 平面，平面，所以平面；， 所以平面平面，因为平面，所以平面. 【分析】（1）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （2）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【详解】（1）取的中点，因为为中点，所以在 中， 为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角，所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）略. 变式1．（25-26高一下·陕西西安·月考）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PB的中点，F为AC与BD的交点. (1)证明：平面PCD； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明：∵ 底面为正方形，对角线与交于点， ∴ 是的中点， 又∵ 为的中点， ∴ 在中，是中位线，可得 ， ∵ 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，得 平面. (2) 【分析】（1）利用正方形对角线交点是中点、是中点，得到是的中位线从而推得，再结合线面平行的判定定理证明平面； （2）由平面得是四棱锥的高，先计算底面正方形的面积，再代入四棱锥体积公式计算体积. 【详解】（1）略 （2）由平面，得四棱锥的高； 底面是边长为2的正方形，底面积， 因此体积. 变式2．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）（1）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，求此三棱台的体积． （2）如图，直三棱柱中，D是BC的中点，四边形为正方形． （ⅰ）若为等边三角形，，求直三棱柱的体积； （ⅱ）求证：平面． 【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）分别求出正三棱台的上、下底面积及高，利用棱台的体积公式可得； （2）（ⅰ）分别求得直三棱柱的底面积和高（即侧棱长），根据棱柱的体积公式可得；（ⅱ）连接，交于点，利用中位线定理得，再利用线面平行的判定定理即可得证． 【详解】（1）如图，点分别是的中心， 易知. 所以. 又，， 所以正三棱台的体积为. （2）（ⅰ）若为等边三角形，，则， 因为四边形为正方形，所以， 所以直三棱柱的体积为； （ⅱ）连接，交于点，则点为的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． 变式3．（25-26高一下·北京平谷·期中）如图，正方体的棱长为4，为中点， (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等体积法计算即可. （2）由四边形为平行四边形证得，根据线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）正方体中，平面平面， 所以棱长即为点到平面的距离. 所以. （2）证明：正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. 考点二 面面平行的判定 例1．（25-26高二下·上海青浦·期末）如图，梯形是圆台的轴截面，，分别在底面圆，的圆周上，为圆台的母线，，已知，，，分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)若三棱锥的体积为，求圆台的体积． 【答案】(1)∵在梯形中，，， ∴，， 又G为的中点，∴，∴， 故四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面. ∵分别是，的中点， ∴. 又平面，平面， ∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. (2) 【分析】（1）由题意可证得平面，平面，进而可证得结论； （2）由三棱锥体积以及的面积，可得圆台的高，利用圆台的体积公式可得答案. 【详解】（1）略 （2）设由（1）可知，则为三棱锥的高h. 故， 由，可得， ∴. 又∵，， ∴. 故， ∴. 故圆台的体积. 例2．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明； （2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可； （3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果. 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. （3）线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． 例3．（25-26高一下·山西·阶段检测）如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由结合基本事实证明即可； （2）由面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）由得， 由两平行直线确定一个平面，可知四点共面． （2）由平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面平面． 变式1．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在四棱锥中，是正方形，分别是的中点． (1)求证：直线平面． (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线定理和正方形性质得到，再由线线平行证明线面平行即可； （2）先证明直线平面，结合（1）已证直线平面，利用线面平行即可证明面面平行. 【详解】（1）因分别是的中点，则， 又是正方形，则，故， 因平面，平面，故直线平面. （2）因分别是的中点，则， 又平面，平面，故直线平面， 由（1）已证直线平面， 因平面，故平面平面. 变式2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，三棱锥各棱长均为，侧棱上的、、满足，，线段上的点满足平面. (1)在上，，求证：平面平面； (2)若，且，求的值； (3)求三棱锥体积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理可证得平面，再结合已知条件与面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）过点在平面内作交于点，连接，证明出平面平面，利用面面平行的性质可得出，然后在平面内，利用平面向量的基本定理和共线向量的基本定理可求得的值； （3）分析可得，求出的面积以及点到平面的距离，利用锥体的体积公式结合基本不等式可求得三棱锥体积的最大值. 【详解】（1）如下图所示： 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，，、平面， 所以平面平面. （2）过点在平面内作交于点，连接， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，，、平面， 所以平面平面. 因为平面平面，平面平面，所以， 因为为的中点，，则为的中点， 因为，且正三棱锥的棱长均为， 则，，， 所以，， ， 因为，所以，，则存在，使得， 即， 因为、不共线，则，解得. 综上所述，. （3）因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以， 设点在平面上的射影为点，则为等边的中心， 由正弦定理可得，则， 所以， 因为，所以，点到平面的距离， 点到直线的距离为， 所以，， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故三棱锥体积的最大值为. 变式3．（24-25高二上·贵州遵义·阶段检测）在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明：连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点， 又为的中点，则有， 平面，平面，所以平面. (2)证明：，分别为，的中点，则有， 平面，平面，则有平面， ，分别为，的中点，有， 又，则有， 平面，平面，则有平面， 平面，， 所以平面平面. 【分析】（1）利用三角形中位线证明，可证平面. （2）证明，，可证得平面，平面，所以平面平面. 【详解】（1）略 （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $