第十章 概率期末复习卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦概率核心概念与综合应用，通过分层题型构建从基础到复杂情境的知识逻辑链，培养数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|选择1-4、9-11|考查随机事件、互斥/对立/独立事件关系判断|从事件定义到关系辨析，构建概念生成逻辑| |古典概型应用|选择1、6、7，填空12|结合摸球、抽卡等情境计算概率|基于等可能事件，应用计数原理推导概率公式| |复杂情境综合|选择5、8，解答15-19|涉及多事件概率、比赛赛制等实际问题|整合加法/乘法公式，体现概率模型在现实中的应用拓展|

2025-2026年高一数学人教A版必修第二册期末复习 第十章概率 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．同时抛掷两颗骰子，向上的点数之和小于4的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型概率公式，先计算抛掷两颗骰子的总基本事件数，再统计点数之和小于的基本事件数，二者的比值即为所求概率. 【详解】根据题意得，同时抛掷两颗骰子，每颗骰子向上的点数有种可能，因此总基本事件数为， 满足“向上点数之和小于”的点数之和为或，对应的基本事件为，共个； 所以同时抛掷两颗骰子，向上的点数之和小于4的概率. 2．设，是一个随机实验中的两个互斥事件，若，，则（   ） A．0.05 B．0.144 C．0.75 D．0.25 【答案】C 【详解】，是互斥事件，，， . 3．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件：出现偶数点，事件：出现2点或3点，则事件与事件的关系为（    ） A．相互独立事件 B．相互互斥事件 C．既相互独立又相互互斥事件 D．既不相互互斥又不相互独立事件 【答案】A 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义，计算对应概率判断事件关系即可. 【详解】抛掷骰子的样本空间为，共6个等可能样本点. 事件，因此，事件，因此. 事件，不为空集，故不是互斥事件. 则，且，满足，故是相互独立事件. 所以事件与不是互斥事件，但满足，故关系为相互独立事件. 4．已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和事件概率计算公式即可求解. 【详解】要求事件至少有一个发生的概率，即求和事件， 根据容斥原理： ， 因为 ，且， 所以 ，概率非负，故， 代入已知条件：， 所以. 5．全国乒乓球选拔公开赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛.已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，则甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出单人晋级决赛的独立事件概率，拆分“恰两人晋级”为三组互斥组合，分别计算概率后求和得到结果. 【详解】选手进入决赛需预赛、半决赛两阶段均取胜， 独立事件同时发生概率为两阶段获胜概率乘积， 记甲、乙、丙能晋级决赛的事件依次为， ，； ，； ，. 三人恰两人晋级包含、、三类互斥情形，总概率为三类概率之和， . 6．已知甲箱内放有形状、大小、质地都相同的6张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，从甲箱内有放回地依次抽出两张卡片，记录卡片上的数字，记“两张卡片上数字都是奇数”为事件，“两张卡片上数字都是偶数”为事件，“两张卡片上数字之积为偶数”为事件，“两张卡片上数字之和为奇数”为事件，则（   ） A．事件与是对立事件 B．事件与互斥 C．事件与是对立事件 D．事件与互斥但不对立 【答案】C 【详解】选项A：事件A（两奇）和事件B（两偶）之外还有一奇一偶的情况， 故事件与不是对立事件，A错误； 选项B：当两张卡片上数字为一奇一偶时，事件D发生， 此时两张卡片上数字乘积一定是偶数，即C也会发生，二者不互斥，B错误； 选项C：事件A：两张卡片上数字都是奇数就是两张卡片上数字乘积为奇数， 其对立面为两张卡片上数字乘积不为奇数，即为偶数， 即为事件C，两个事件覆盖所有可能情况，且不可能同时发生，是对立事件，C正确。 选项D：当两张卡片上数字都是偶数时，事件B发生， 此时两张卡片上数字之积一定为偶数，即C也会发生，二者不互斥，D错误. 7．一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【分析】围绕有放回抽样中的互斥事件、独立事件、概率加法公式三个核心概念，通过对样本空间的枚举和概率计算，逐一验证选项的正确性． 【详解】选项A：事件是第一次取出编号1，事件是两次编号之和为5， 二者存在公共样本点（第一次取1，第二次取4，同时满足E和G），即，因此事件E与事件G不互斥，A错误． 选项B：（第二次取1的样本点共6个）， （两次和为5的样本点为 ，共4个）， （同时满足第二次取1、两次和为5的样本点仅，共1个）， 验证得，因此事件与事件不相互独立，B错误． 选项C：， （两次和为奇数等价于两次取出的数一奇一偶，总样本数为）， （第一次取1为奇数，第二次需要取偶数才能让和为奇数，第二次可取，共3个样本点）， 验证得， 满足独立事件定义，因此事件与事件相互独立，C正确． 选项D：根据概率的加法公式， 其中（两次都取1的样本点仅1个）， 代入计算：，因此D错误． 8．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对．其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”．在不超过的素数中，任选两个不同的素数、，令事件，，，记事件、、发生的概率分别为、、，则下列关系式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由古典概型公式求出、、的值，进而分析选项，综合可得答案． 【详解】根据题意，不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个， 从中任意取两个不同的素数、，有种取法，即， ，，，，， ，，，， ，，，，，，，，，， ，，，故C正确，B错误； 则有，， 选项A，D错误． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设随机事件，的对立事件分别为，，且，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：； 选项B：; 选项C：； 选项D：. 10．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（    ） A．事件与事件的概率相等 B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件互为对立 【答案】AC 【分析】分别求出事件和事件的概率，以及事件和事件同时发生的概率，即可判断选项和选项；根据相互独立事件的概率满足，即可判断选项；根据对立事件满足且，即可判断选项. 【详解】由题可知，样本空间{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，包含4个基本事件， 则，，所以选项正确； 因为{（正，反）}，事件和事件可以同时发生，因此与不互斥，选项错误； 因为，，，则，所以事件与事件相互独立，选项正确； 因为且，所以事件与事件不对立，选项错误. 11．下列说法正确的有（   ） A．若事件两两独立，则 B．若，则事件两两独立 C．若，则事件两两互斥 D．若事件两两互斥，则 【答案】CD 【分析】利用前提举反例，结合独立事件的判定判断A、B；由概率的性质及事件的运算、互斥事件定义判断C、D． 【详解】A：若事件两两独立，则， ，， 抛两次硬币，第一次正面，第二次正面，两次结果相同， 所以，，显然满足前提， 而，此时，不满足，即A错； B：对于样本空间，若，，，则， 所以，且，此时满足， 但，即，显然，显然不相互独立，即B错； C：若， 而， 所以， 必有，即事件两两互斥，即C对； D：若事件两两互斥，则， ，即D对． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校主持人队有男生2名，女生3名，现从中任选2名学生去参加某项活动，则参加活动的学生中至少有1名男生的概率为________． 【答案】/0.7 【分析】利用组合数的知识计算出所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果. 【详解】从5名学生中任选2名学生，共有： (男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)10种选法， 至少有一名男生的情况有种选法， 所以至少有一名男生的概率. 13．相互独立事件，满足，，则________． 【答案】/ 【详解】由对立事件的性质得， 则，解得， 已知事件，相互独立，则 ，解得． 14．某传媒机构举办闯关答题比赛，比赛分两轮，每轮共有4道题，参赛者必须从前往后逐道题回答．在第一轮中，若中途回答错误，立马淘汰，若四道题全部回答正确，就能获得一枚复活币并进入下一轮答题，这枚复活币在下一轮答题中最多只能使用一次；在第二轮中，若首次遇到某一道题回答错误时，系统会自动使用第一轮获得的一枚复活币复活一次，即视为答对该道题，其后若回答错误，和第一轮一样，立马淘汰；两轮都通过就可以获得优胜者纪念奖章．对于每轮的4道题，若某参赛者从前往后每道题回答正确的概率均依次为，，，，且每道题回答正确与否不受其它题的影响，则该参赛者能进入第二轮答题的概率为______；该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率为______． 【答案】 【分析】由相互独立事件的概率乘法公式先求出第一轮4个人问题全答对的概率；然后第二轮去全对或恰好有一个问题答错，由互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式可得出答案. 【详解】该参赛者能进入第二轮答题的概率为 该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率： 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．一个袋子里有5个红球，3个白球，2个黑球，每次从袋子里取出一个球. (1)若每次取球后都放回，连续取3次，求3次都取到红球的概率; (2)若每次取球后都放回，连续取3次，求至少有一次取到白球的概率; (3)若每次取球后不放回，连续取3次，求第一次取到红球，第二次取到白球，第三次取到黑球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式结合古典概率的计算公式求解； （2）根据独立事件的乘法公式结合对立事件的概率求解； （3）先按照“第一次红 → 第二次白 → 第三次黑”的顺序，依据取球后不放回的规则求出相应的概率，再根据乘法原理求解. 【详解】（1）每次取到红球的概率均为，因为每次取球相互独立，所以3次都取到红球的概率为. （2）每次取不到白球的概率均为， 因为每次取球相互独立，所以连续3次都取不到白球的概率为××=， 所以至少有一次取到白球的概率为. （3）第一次取到红球的概率为， 第一次取完红球后，袋子里还有4个红球，3个白球，2个黑球，共9个球. 第二次取到白球的概率为， 第二次取完白球后，袋子里还有4个红球，2个白球，2个黑球，共8个球. 第三次取到黑球的概率为. 所以第一次取到红球，第二次取到白球，第三次取到黑球的概率为. 16．2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)该规则不公平，理由见解析. 【分析】（1）确定不放回抽样，通过列举所有等可能样本点，找出 “类型不同” 的样本点，利用古典概型概率公式计算，即目标事件数除以总样本数. （2）采用 “正难则反” 策略，先求两次都没抽到航空航天券的对立事件概率，再用 1 减去该概率得到至少抽到一次的概率.   （3）类比第一问的不放回抽样，分别可以得到两张券类型相同、不同的概率，比较概率大小判断规则是否公平. 【详解】（1）记“两人抽到的体验券类型恰好不同”为事件A. 设4张“具身智能券”为，，，，2张“航空航天券”为，. 两人从中各随机抽取1张体验券，应用枚举法，可知样本空间为 ， 共有15个样本点， ，有8个样本点， 故. （2）记小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”为事件B，则小华两次都没有抽到“航空航天券”为. 小华抽取一次没有抽到“航空航天券”的概率为， 则， 所以. （3）该规则不公平. 理由如下： 一次性抽取2张相当于不放回抽样，由（1）知，“智能社”优先的概率为，“空天社”优先的概率为， 因为，所以该规则不公平. 【点睛】古典概型需明确抽样方式（放回 / 不放回），用列举法或组合数算样本点；遇 “至少” 问题用对立事件简化. 17．为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对40名青年选手进行专项成绩考核（满分100分），考核成绩的频率分布直方图： (1)估计这40名选手专项考核成绩的70百分位数（结果精确到）； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级（高于，高于）.若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，甲、乙两人在每项考核中取得等级的概率分别都是，求甲、乙两人至少1人获得参赛资格的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得，结合百分位数的计算方法，即可求解； （2）设甲、乙获得参赛资格为事件和，得到，结合对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得， 解得， 则的频率为，的频率为， 的频率为，的频率为， 的频率为， 其中前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 设考核成绩的70百分位数为，则， 则满足，即考核成绩的70百分位数为分. （2）解：设“获得参赛资格”为事件， 根据题意，获得参赛资格的情况包括：， 则一人获得资格的概率为， 设甲获得参赛资格为事件，乙获得参赛资格为事件，则， 设“甲、乙两人至少1人获得参赛资格”为事件， 则其对立事件为“甲、乙两人都未获得参赛资格”， ， 所以“甲、乙两人至少1人获得参赛资格”的概率为. 18．甲、乙两人参加射击比赛，规定两人各射击目标一次为一轮，击中目标者得1分，未击中者得0分．甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设每人每次射击的结果互不影响． (1)第一轮比赛结束，求两人得分和不为0分的概率； (2)在前20轮的比赛中，恰好两人得分相同．现决定进行加赛，规则如下：加赛中某一轮结束后，有人得分高于另一人，则得分高的人获胜，加赛结束，否则继续下一轮．加赛不超过三轮，若三轮结束后得分相同，则为平局． （ⅰ）求加赛满三轮的概率； （ⅱ）求甲获胜的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ） （ⅱ） 【分析】（1）通过分析事件“两人得分和不为0”的对立事件“两人得分和为0”，得出答案； （2）（ⅰ）通过加赛规则可知，要想加赛满三轮，则前两轮两人的得分应该相同，则第三轮一定会进行； （ⅱ）分别求出甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率，按照分类加法原理求和即可得甲获胜的概率. 【详解】（1）设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B， 所以，，，， 第一轮比赛结束后，两人得分为0分的概率为， 所以第一轮比赛结束后，两人得分不为0分的概率为. （2）（ⅰ）设表示事件“加赛中第轮平局”，所以， 要使加赛满三场，则前两场必须平局， 所以加赛满三场的概率为. （ⅱ）若甲第一轮加赛胜出，则甲中乙不中概率为：， 若甲第二轮加赛胜出，则第一轮平局，第二轮甲中乙不中概率为：， 若甲第三轮加赛胜出，则前两轮平局，第三轮甲中乙不中概率为：， 所以甲获胜的概率为：. 19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛互不影响． (1)若，甲、乙首先比赛，恰好比赛四场结束，求： （ⅰ）甲最终获胜的概率； （ⅱ）丙最终获胜的概率； (2)若，甲、丙首先比赛，求丙最终获胜的概率． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2) 【分析】（1）（ⅰ）若甲最终获胜，则四场中乙输两场，丙输两场，将所有比赛情况列出并利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得；（ⅱ）若丙最终获胜，则四场中甲输两场，乙输两场，将所有比赛情况列出并利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得； （2）枚举出所有情况，并利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得. 【详解】（1）（ⅰ）由于恰好比赛四场结束，若甲最终获胜，则四场中乙输两场，丙输两场， 则第一场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第二场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为， 第三场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第四场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为，最终甲获胜； 故甲最终获胜的概率为； （ⅱ）由于恰好比赛四场结束，若丙最终获胜，则四场中甲输两场，乙输两场， 若第一场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 则第二场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 第三场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第四场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为，最终丙获胜； 若第一场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为， 则第二场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为，最终丙获胜； 故丙最终获胜的概率为； （2）若第一场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为， 则有情况一：第二场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第三场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第五场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况二： 第二场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为， 第三场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 第四场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第五场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 若第一场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 则有情况三：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为 最终丙获胜，概率为； 情况四：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为， 第四场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况五：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中甲胜丙负，概率为， 第四场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为， 第五场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况六：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为， 第三场丙、甲比赛中甲胜丙负，概率为， 第四场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况七：第二场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为， 第三场乙、甲比赛中乙胜甲负，概率为， 第四场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 情况八：第二场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为， 第三场乙、甲比赛中甲胜乙负，概率为， 第四场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为， 第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为， 最终丙获胜，概率为； 故最终丙获胜的概率为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学人教A版必修第二册期末复习 第十章概率 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．同时抛掷两颗骰子，向上的点数之和小于4的概率为（    ） A． B． C． D． 2．设，是一个随机实验中的两个互斥事件，若，，则（   ） A．0.05 B．0.144 C．0.75 D．0.25 3．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件：出现偶数点，事件：出现2点或3点，则事件与事件的关系为（    ） A．相互独立事件 B．相互互斥事件 C．既相互独立又相互互斥事件 D．既不相互互斥又不相互独立事件 4．已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 5．全国乒乓球选拔公开赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛.已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，则甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知甲箱内放有形状、大小、质地都相同的6张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，从甲箱内有放回地依次抽出两张卡片，记录卡片上的数字，记“两张卡片上数字都是奇数”为事件，“两张卡片上数字都是偶数”为事件，“两张卡片上数字之积为偶数”为事件，“两张卡片上数字之和为奇数”为事件，则（   ） A．事件与是对立事件 B．事件与互斥 C．事件与是对立事件 D．事件与互斥但不对立 7．一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 8．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对．其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”．在不超过的素数中，任选两个不同的素数、，令事件，，，记事件、、发生的概率分别为、、，则下列关系式成立的是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设随机事件，的对立事件分别为，，且，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 10．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（    ） A．事件与事件的概率相等 B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件互为对立 11．下列说法正确的有（   ） A．若事件两两独立，则 B．若，则事件两两独立 C．若，则事件两两互斥 D．若事件两两互斥，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校主持人队有男生2名，女生3名，现从中任选2名学生去参加某项活动，则参加活动的学生中至少有1名男生的概率为________． 13．相互独立事件，满足，，则________． 14．某传媒机构举办闯关答题比赛，比赛分两轮，每轮共有4道题，参赛者必须从前往后逐道题回答．在第一轮中，若中途回答错误，立马淘汰，若四道题全部回答正确，就能获得一枚复活币并进入下一轮答题，这枚复活币在下一轮答题中最多只能使用一次；在第二轮中，若首次遇到某一道题回答错误时，系统会自动使用第一轮获得的一枚复活币复活一次，即视为答对该道题，其后若回答错误，和第一轮一样，立马淘汰；两轮都通过就可以获得优胜者纪念奖章．对于每轮的4道题，若某参赛者从前往后每道题回答正确的概率均依次为，，，，且每道题回答正确与否不受其它题的影响，则该参赛者能进入第二轮答题的概率为______；该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．一个袋子里有5个红球，3个白球，2个黑球，每次从袋子里取出一个球. (1)若每次取球后都放回，连续取3次，求3次都取到红球的概率; (2)若每次取球后都放回，连续取3次，求至少有一次取到白球的概率; (3)若每次取球后不放回，连续取3次，求第一次取到红球，第二次取到白球，第三次取到黑球的概率. 16．2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 17．为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对40名青年选手进行专项成绩考核（满分100分），考核成绩的频率分布直方图： (1)估计这40名选手专项考核成绩的70百分位数（结果精确到）； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级（高于，高于）.若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，甲、乙两人在每项考核中取得等级的概率分别都是，求甲、乙两人至少1人获得参赛资格的概率. 18．甲、乙两人参加射击比赛，规定两人各射击目标一次为一轮，击中目标者得1分，未击中者得0分．甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设每人每次射击的结果互不影响． (1)第一轮比赛结束，求两人得分和不为0分的概率； (2)在前20轮的比赛中，恰好两人得分相同．现决定进行加赛，规则如下：加赛中某一轮结束后，有人得分高于另一人，则得分高的人获胜，加赛结束，否则继续下一轮．加赛不超过三轮，若三轮结束后得分相同，则为平局． （ⅰ）求加赛满三轮的概率； （ⅱ）求甲获胜的概率． 19．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛互不影响． (1)若，甲、乙首先比赛，恰好比赛四场结束，求： （ⅰ）甲最终获胜的概率； （ⅱ）丙最终获胜的概率； (2)若，甲、丙首先比赛，求丙最终获胜的概率． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $