期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦线面垂直与面面垂直性质应用，通过分层例题与变式构建立体几何推理体系，强化空间观念与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面垂直的性质|3例+3变式|证明线线垂直、线面平行，求线面角、体积|以线面垂直性质为核心，连接线线垂直与线面平行的转化，体现从线面垂直到空间角与体积计算的应用逻辑| |面面垂直的性质|3例+3变式|证明线面垂直，求线面角、二面角、体积及存在性问题|以面面垂直性质为桥梁，实现面面垂直向线面垂直的转化，构建空间角计算与体积求解的推理链条|

期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 考点目录 线面垂直的性质 面面垂直的性质 例1.(25-26高二下·湖南长沙阶段检测)在如图所示的四棱锥F-ABCD中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面 A隽食一AD=3,线辅垂值的牲质P为DF的中点. (1)求证：AD⊥BF; (2)点Q是线段BF上一个动点，求三棱锥Q-APC的体积. 例2.(2026湖南长沙模拟预测)如图，底面是正方形的直棱柱 MBCD-ABG0中，B=3,M=4 C B DB AC (1)求直线 与 所成角的正弦值： AC⊥DB (2)求证： 1 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 ABCD-ABCD 例3.(2026湖南株洲模拟预测)在直四棱柱 中，底面BC 是菱形，边长为1，∠ADC=120 DD=2,0为4C 的中点. D C B D,C与面 DOD (1)求 所成角的余弦值： D,O⊥AC (2)证明： 变式1.(2526高一下福建龙岩·月考)如图，在正三棱 BC-ABG中，D为AB的中点， AA=AB=4 BE=3EB A1 .B1 E D B CD⊥AE (1)证明： (2)证明： 平面CDE AD⊥ 2 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 变式2.(25-26高三上安徽阶段检测)如图，在三棱台 BC-ABC中，M上平面48C,B=AC,M,N 分别为楼BCA4 的中点 A B A M (I)证明：MN⊥BC: ②若4B=248=4,B8=25,MN=5,求三楼台1BC-4BC的体积 变式3.(2425高二上·贵州遵义阶段检测)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面 ABCD,AFI1DE,∠BAD=60°，DE=DC=2AF E D… C B (I)求证：AC⊥BE: (2)求证：ACI/平面BEF. 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 考点二 面面垂直的性质 例1. (25-26高一下·江苏南京月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,平面PAC⊥平面 ABCD,底面ABCD是平行四边形，且PA=2,AB=4,AC⊥BC. (I)求证：PA⊥平面ABCD: (2)当4C=25 ，求直线PD与平面PAB所成角的正弦值： ≤AC≤2V5 (3)当 时，求二面角A-PB-C 的正弦值的取值范围. (注：本题用空间向量作答不给分) ABCD-ABC D 例2.(25-26高一下江苏苏州月考)如图，已知四棱台 的底面是平行四边形， AB=2AB E 为AB △ABB b的中点， 为钝角三角形. D 6 A D DEI∥ ABC (1)求证： 平面 A,BC⊥ M8B4,4G1B8,求证：1C上平面 BBA (2)若平面 平面 4 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 例3.(2026：江苏无锡三模)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,CB=CD,O为BD的中点 (1)证明：AD⊥OC: (2)若△OAD是边长为1的等边三角形，点E在棱CD上，DE=2EC,且二面角D-AB-E的大小为45°，求三棱锥 A-BCD的体积 变式1.(2425高一下福建厦门期中)在三棱 ABC-ABC中，四边形 ACCA 是菱形， AM=AC=2,M是 AC ACCA 的中点，平面 平面ABC A C 6 B AM⊥BC (1)证明： (Q若MB=BC=3,求直线BA与平面 BA ACCA 所成角的正切值. 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 变式2.(25-26高一下重庆期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2, PA=PD=5 且平面PAD⊥平面4BCD,E,F分别是PC,AD的中点 B (I)证明：AD⊥PB (2)求三棱锥E-BCF的体积 变式3.(2425高一下北京朝阳期中)如图，在直角梯形ABCD中，AB11DC,∠BAD=90°，AB=4, AD=2,DC=3,点E在CD上，且DE=2,将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE,G为AE中点. D (1)求证：DG⊥平面ABCE: (2)求三棱锥G-ABD的体积； BP (3)在线段BD上是否存在点P,使得CPII平面ADE？若存在，求BD的值；若不存在，请说明理由. 6期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 考点目录 线面垂直的性质 面面垂直的性质 考点一 线面垂直的性质 例1．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）在如图所示的四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，点为的中点． (1)求证：； (2)点是线段上一个动点，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：由于平面，平面，所以. 由于四边形是矩形，所以. 由于平面，所以平面， 由于平面，所以. (2) 【分析】（1）通过证明平面，证得. （2）先证得平面，然后由求得正确答案. 【详解】（1）略 （2）连接，交于，连接， 由于分别是的中点， 所以，由于平面平面， 所以平面， 所以 . 例2．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，底面是正方形的直棱柱中，，． (1)求直线与所成角的正弦值； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明见解析. 【分析】（1）利用余弦定理求即可； （2）利用直棱柱性质及正方形性质证明线面垂直，进而证得线线垂直. 【详解】（1）设与的交点为， 直线与所成角为， 由已知，同理可得， 所以， 所以， 因为 ， 所以 . 即直线 与 所成角的正弦值为 . （2）证明：因为 是直棱柱， 所以 平面 . 又因为 平面 ， 所以 . 因为底面 是正方形， 所以 . 又因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面 ， 所以 . 例3．（2026·湖南株洲·模拟预测）在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． (1)求与面所成角的余弦值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据直棱柱和菱形对角线垂直，易证面，可得为与面所成的角，求出相应三角形的边长，即可求出的余弦值； （2）由（1）知面，即可得到线线垂直. 【详解】（1）解：由直四棱柱可知平面， 因为平面，所以， 四边形为菱形，则，又，所以， 又因为，平面，所以平面， 则为与平面所成的角， 由，， 由余弦定理可得， 所以，则， 在中，，所以， 在中，， 在中，， 所以在中，， 即与平面所成角的余弦值为； （2）由（1）知平面，又平面，所以. 变式1．（25-26高一下·福建龙岩·月考）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得，再由正三棱柱的性质证明，进而由线面垂直的判定定理证得平面，即得； （2）由（1）的结论可得，通过计算边长，利用勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得平面． 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面，且平面，所以 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，则由，可得， 因平面，故平面. 变式2．（25-26高三上·安徽·阶段检测）如图，在三棱台中，平面，，，分别为棱，的中点. (1)证明：； (2)若，，，求三棱台的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，即可证明. （2）分别求得三棱台的上、下底面面积，利用棱台的体积公式求得三棱台的体积. 【详解】（1）如图，连接. 因为平面，平面，所以.     因为，是的中点，所以，     又平面，所以平面.     因为平面，所以. （2）由勾股定理得， ，.     于是下底面面积， 由，得上底面面积.     故三棱台的体积. 变式3．（24-25高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，交于点，由题意，通过证明平面可完成证明； （2）取的中点，连接，，通过证明可完成证明. 【详解】（1）证明：连接，交于点，因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面； 又因为平面，所以 （2）证明：取的中点，连接，， 又为的中点，有，， 已知，， 则有，，四边形为平行四边形， 有，即有， 平面，平面，所以平面． 考点二 面面垂直的性质 例1．（25-26高一下·江苏南京·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面是平行四边形，且，，． (1)求证：平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当时，求二面角的正弦值的取值范围． （注：本题用空间向量作答不给分） 【答案】(1)因为平面平面，平面平面，且平面平面， 所以平面. (2) (3) 【分析】（1）运用面面垂直的性质定理； （2）找到直线与平面所成的角再找到角的相关几何关系； （3）找到二面角，再将二面角关系往已知条件方面进行变式 【详解】（1）略 （2）过点作于点，因为平面， 所以，又因，所以平面， 则为直线与平面所成的角. 面为平行四边形，，， 所以， 在中，，所以，而, 又因三点共线，所以，，， 因为平面，所以， 故， 因为，所以为直角三角形， 在中，. （3）过作于，过作于，连接， 则， 故，， 由小问（1）得，又，平面， 所以平面，平面，所以为直角三角形， 所以，且，， 平面，所以平面，故， 因此为二面角的平面角. 由题可得， 由等面积可得， 在中，， 则，令，则 在中， ， 令，，当时， 越大，分母就越小，故在上单调递增， 所以，， 故二面角的正弦值的取值范围为. 例2．（25-26高一下·江苏苏州·月考）如图，已知四棱台的底面是平行四边形，，为的中点，为钝角三角形． (1)求证：平面； (2)若平面平面，，求证：平面． 【答案】(1)由四棱台的结构可知， 因为为的中点，， 则， 又四边形是平行四边形，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； (2)作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 由棱台的性质可知，侧棱相交于一点，即共面， 因为棱台的底面底面， 底面平面，底面平面， 所以，所以， 又，所以， 又平面， 所以平面． 【分析】（1）通过判断四边形为平行四边形，得到，即可求证； （2）作，垂足为，通过面面垂直的性质定理得到，再结合，即可求证. 【详解】（1）略 （2）略 例3．（2026·江苏无锡·三模）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. (1)证明：； (2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)由，为的中点，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面，又平面， 所以. (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）作出二面角的平面角，利用给定角的大小及平行线分线段成比例定理求出，进而求出体积. 【详解】（1）略 （2）由是边长为1的等边三角形，得，则， 作交于点，由平面，得平面，而平面， 则，过作于，连接，平面， 因此平面，又平面，则，为二面角的平面角， 即，由，得， 而，则，，， ，， 所以三棱锥的体积. 变式1．（24-25高一下·福建厦门·期中）在三棱柱中，四边形是菱形，，是的中点，平面平面．    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)由题目可知，四边形是菱形，，故为等腰三角形， 是的中点，根据等腰三角形三线合一性质，有， 又平面平面，交线为，且平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面， 又因为平面，则. (2) 【详解】（1）略 （2）由菱形性质及 ，得，故 . 在中，， ，由勾股定理得：， 在 中， ， ，由勾股定理得：. 根据线面垂直的判定定理：若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则称该直线与平面垂直. 因 平面，在平面上，故 ， 且，交于点，故 平面. 因此， 即为直线与平面所成的角， 在直角三角形 中：， 即直线与平面所成角的正切值为. 变式2．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，且平面平面，分别是，的中点. (1)证明：. (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)如图，连接，，作出符合题意的图形， 底面是菱形，，是等边三角形， 又是的中点，， 又 ，面，平面 而面，. (2) 【分析】（1）结合菱形的性质得到线面垂直，再证明线线垂直即可. （2）结合题意并利用转换法求解体积即可. 【详解】（1）略 （2）为的中点，， 又是的中点，，， 由（1）可知，平面平面， 且面，平面， . 变式3．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用等腰三角形性质可得，再由面面垂直性质定理可得结论； （2）由锥体体积公式直接计算可得结果； （3）利用面面平行判定定理可证明平面平面，再由其性质可证明当时，满足题意. 【详解】（1）因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2）在直角三角形中， ∵，∴，∴． 又三角形的面积 由（1）知，平面， 所以三棱锥的高为． 所以. （3）过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示：    因为平面，平面， 所以平面． 又因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． 2 学科网（北京）股份有限公司 $