精品解析：广东省汕头市潮南区2025～2026学年度第二学期八年级数学科期末考试试卷

2025～2026学年度第二学期 八年级数学科期末考试试卷（K） （内容：19.1～24.4） 说明：1．本卷满分120分；2．考试时间120分钟；3．答案请写在答题卷上． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若一组数据3，，5，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位后恰好经过原点，则的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 4. 下列命题中，真命题是（ ）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 5. 小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（ ）． A. 众数是6吨 B. 平均数是5吨 C. 中位数是5吨 D. 方差是 6. 如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，则CD的长是（　　） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，如果将该矩形沿对角 线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是（ ） A. 8cm2. B. 10 cm2. C. 12cm2. D. 20cm2. 8. 如图，直线与坐标轴交于点和，直线与坐标轴交于点和，不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 或 9. 如图在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、，将线段沿某个方向平移，点、对应的点、恰好在直线和直线上，则当四边形为菱形时点坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是菱形，，，于点H．点E是上一点，且，点F是的中点．点P是线段上一动点．点P在运动过程中，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 12. 如图，在中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为________ 13. 当时，一次函数的最大值为17，则（ ）． 14. 如图，在中，，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点，连接，若，则线段的长为___________． 15. 如图，在四边形中，，，，E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为______． 三、解答题（一）（本题有3个小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，点在上，．求的长． 18. 2月20日，北京冬奥会圆满落幕．在这届举世瞩目的冬奥会中，谷爱凌“一飞冲天”，苏翊鸣“一鸣惊人”，短道速滑梦之队“一往无前”…运动健儿们挑战极限、攀登顶峰的精神鼓舞着无数人．为弘扬奥运精神，培养学生对体育的热爱，某随机抽取20名学生，进行“奥运知识知多少”的测试，满分10分，并绘制如下统计图． （1）这20名学生成绩的中位数是_______，众数是_______，平均数是________； （2）若成绩在9分及以上为优秀，请估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有多少名？ 四、解答题（二）（本题有3个小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平行四边形中，． （1）作出 的平分线交 于点 E （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 20. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点E、F在对角线上，且． （1）四边形是什么样的特殊四边形？请说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 21. 受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售、专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售，设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）直接写出当和时，y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？ 五、解答题（三）（本题有1个小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 小欣同学学习勾股定理和平行四边形后，对其进行深入探索： 在平面直角坐标系中的位置如图所示，，已知点，点，点M为的中点． 发现一：，，，根据勾股定理得： 发现二：点M的坐标为 如图，在平面直角坐标系中，中，，轴，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）【问题解决】直接写出点C的坐标：______； （2）【知识迁移】根据“发现一”的信息，求线段的长度； （3）【拓展延伸】点D为平面内一点，以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，画出所有满足条件的平行四边形，并求的长． 23. 综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M． 操作发现 （1）点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案； 实践探究 （2）在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长； 探究拓广 （3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期 八年级数学科期末考试试卷（K） （内容：19.1～24.4） 说明：1．本卷满分120分；2．考试时间120分钟；3．答案请写在答题卷上． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式公式、积的乘方及算术平方根的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式公式、积的乘方以及算术平方根的定义，正确化简计算是解题关键． 2. 若一组数据3，，5，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据这组数据的众数是3，可得x=3，再根据中位数的定义即可求得． 【详解】解：这组数据的众数是3， x=3， 这组数据从小到大排列为：3，，5，6，7， 这组数据的中位数是5， 故选：C． 【点睛】本题考查了众数的定义及中位数的求法，熟练掌握和运用众数的定义及中位数的求法是解决本题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位后恰好经过原点，则的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将直线沿轴向下平移2个单位得到， ∵平移后的直线经过原点， ∴将原点坐标代入表达式得，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 4. 下列命题中，真命题是（ ）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误． 故选C． 5. 小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（ ）． A. 众数是6吨 B. 平均数是5吨 C. 中位数是5吨 D. 方差是 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据众数、平均数、中位数、方差：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．数据：3,4,5,6,6,6，中位数是5.5， 故选C 考点：1、方差；2、平均数；3、中位数；4、众数 6. 如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，则CD的长是（　　） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6， ∴AB= =10， ∵CD是Rt△ABC的中线， ∴CD=AB=×10=5． 故选D． 【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题关键在于求出AB 7. 如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，如果将该矩形沿对角 线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是（ ） A. 8cm2. B. 10 cm2. C. 12cm2. D. 20cm2. 【答案】B 【解析】 【分析】易得BE=DE，利用勾股定理求得DE的长，利用三角形的面积公式可得阴影部分的面积． 【详解】解：根据翻折的性质可知：∠EBD=∠DBC， 又∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∴∠ADB=∠EBD， ∴BE=DE， 设BE=DE=x， ∴AE=8-x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， ∴AE2+AB2=BE2， （8-x）2+42=x2， 解得x=5， ∴S△EDB=×5×4=10 cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应线段相等，对应角相等．解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 8. 如图，直线与坐标轴交于点和，直线与坐标轴交于点和，不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数与一元一次不等式的解集的关系，不等式组的解集的关系解答即可． 本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】解：直线与坐标轴交于点和，直线与坐标轴交于点和， ∴的解集为， 的解集为． ∴不等式组的解集是， 故选：C． 9. 如图在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、，将线段沿某个方向平移，点、对应的点、恰好在直线和直线上，则当四边形为菱形时点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出A (0，k)和B (-1，0)，B的对应点N的横坐标为2，由此知道往右平移了3个单位，得到A的对应点M的横坐标为3，将M点横坐标代入中即可求出M坐标，进而求解． 【详解】解：令中y=0，得到B(-1，0)，令x=0，得到A(0，k)， ∵B的对应点N在上， ∴N点横坐标为2，故AB往右平移了3个单位， ∴M点横坐标为3，将x=3代入中， 解得y=4， 故M点的坐标为(3，4)， 又四边形为菱形， ∴AB²=AM²， ∴1+k²=3²+(4-k)²，解得k=3， ∴A(0,3)， 即AB往右平移3个单位，往上平移了1个单位， 故N坐标为(2，1)， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的平移、菱形的性质等知识点，属于基础题，计算过程中细心即可． 10. 如图，四边形是菱形，，，于点H．点E是上一点，且，点F是的中点．点P是线段上一动点．点P在运动过程中，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，在上取，由菱形可推知,,，进一步由菱形面积求得，，中，,，所以，故最小值为． 【详解】如图，在上取， ∵四边形是菱形，为轴对称图形 ∴,, ， ∴ ∴ ∵ ∴，解得 ∴ ∵四边形是菱形， ∴ ∴ 中，, ∴ 最小值为． 故选：A 【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称，勾股定理，两点之间线段最短，添加辅助线，构造轴对称图形，从而运用两点之间线段最短是解题的关键． 二、填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故答案为：． 12. 如图，在中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为________ 【答案】21 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC=AC，BO=OD=BD，BC=AD=10, ∵AC+BD=22， ∴OC+BO=11， ∵BC=10， ∴△BOC的周长=OC+OB+BC=11+10=21． 故答案为：21． 【点睛】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分，属于中考基础题． 13. 当时，一次函数的最大值为17，则（ ）． 【答案】 【解析】 【分析】由一次函数的系数判断函数的增减性，可知当时，函数值最大，列出关于的等式，解之即可． 【详解】解：一次函数， ，即随的增大而减小， 当时，函数值最大， 由题意可知：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，根据系数得出函数的增减性是解题关键． 14. 如图，在中，，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点，连接，若，则线段的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，由此可解． 【详解】解：中，点D、E分别是边的中点， 是的中位线， ， ，点D是边的中点， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半；直角三角形斜边中线等于斜边的一半． 15. 如图，在四边形中，，，，E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为______． 【答案】2秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定方法、进行分类讨论是解题的关键． 由，则时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论：①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：，解方程即可；②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：，解方程即可． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t， 则，， ∴，， ∵， ∴，解得； ②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t， 则，， ∴，， ∵， ∴，解得； 综上，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：2秒或秒． 三、解答题（一）（本题有3个小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，化简二次根式，正确计算是解题的关键． 17. 如图，在中，，点在上，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的判定是解题的关键．根据勾股定理可得，根据，利用等角对等边，得，在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解： ， ， ， ， ， 在中， ， 故的长为． 18. 2月20日，北京冬奥会圆满落幕．在这届举世瞩目的冬奥会中，谷爱凌“一飞冲天”，苏翊鸣“一鸣惊人”，短道速滑梦之队“一往无前”…运动健儿们挑战极限、攀登顶峰的精神鼓舞着无数人．为弘扬奥运精神，培养学生对体育的热爱，某随机抽取20名学生，进行“奥运知识知多少”的测试，满分10分，并绘制如下统计图． （1）这20名学生成绩的中位数是_______，众数是_______，平均数是________； （2）若成绩在9分及以上为优秀，请估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有多少名？ 【答案】（1）8，9，8.2 （2）54名 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图以及中位数、众数、平均数的定义即可求解； （2）用9分和10分的人数之和的占比乘以120即可求解． 【小问1详解】 解：第10和第11名学生的成绩为8，8，则中位数为，9分的人数最多，则众数为9； 这名学生成绩的平均数为 故答案为：8，9，； 【小问2详解】 估计该校名学生中，成绩为优秀的学生人数为：（名）． 答：估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有54名 【点睛】本题考查了条形统计图，求中位数，众数，平均数，样本估计总体，从条形统计图获取信息是解题的关键． 四、解答题（二）（本题有3个小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平行四边形中，． （1）作出 的平分线交 于点 E （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点B和两弧的交点并延长，交 于点 E，即为 的平分线； （2）根据角平分线的定义可得，根据，得到，则，最后根据等角对等边即可求证． 【小问1详解】 解：如图所示：即为 的平分线； 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作角平分线，平行四边形的性质，等角对等边，解题的关键是掌握平行四边形对边互相平行，以及等角对等边． 20. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点E、F在对角线上，且． （1）四边形是什么样的特殊四边形？请说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再证明，即可证明四边形是菱形； （2）先根据正方形的性质得到，进而求出，再根据菱形面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是正方形，对角线与相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 21. 受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售、专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售，设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）直接写出当和时，y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？ 【答案】（1）当时，；当时，． （2）当购进甲种水果40千克，乙种水果60千克时，才能使经销商付款总金额（元）最少，最少是2700元 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）结合函数图象，利用待定系数法即可得； （2）设购进甲种水果千克，则购进乙种水果千克，分两种情况，根据经销商付款总金额等于购进甲种水果的付款金额与购进乙种水果的付款金额之和建立与之间的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入得：，解得， 则此时； 当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入得：， 解得， 则此时； 综上，当时，；当时，． 【小问2详解】 解：由题意，设购进甲种水果千克，则购进乙种水果千克， 当时，则， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为（元）， 此时，（千克） 当时， 则， 整理得：， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最小值，最小值为， 此时，（千克） ， 购进甲种水果40千克，乙种水果60千克时，才能使经销商付款总金额（元）最少， 答：当购进甲种水果40千克，乙种水果60千克时，才能使经销商付款总金额（元）最少，最少是2700元． 五、解答题（三）（本题有1个小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 小欣同学学习勾股定理和平行四边形后，对其进行深入探索： 在平面直角坐标系中的位置如图所示，，已知点，点，点M为的中点． 发现一：，，，根据勾股定理得： 发现二：点M的坐标为 如图，在平面直角坐标系中，中，，轴，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）【问题解决】直接写出点C的坐标：______； （2）【知识迁移】根据“发现一”的信息，求线段的长度； （3）【拓展延伸】点D为平面内一点，以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，画出所有满足条件的平行四边形，并求的长． 【答案】（1） （2） （3）作图见解析；或 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，两点间距离公式，平行四边形的特点，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标特点，是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系中点的坐标特点，画出图形，得出点C的坐标即可； （2）根据求出线段的长度即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵中，，轴， ∴点C的横坐标与点A的横坐标相同，点B的纵坐标与点C的纵坐标相同， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴； 【小问3详解】 解：设点， 当为对角线时，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴； 当为对角线时，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴； 当为对角线时，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：或． 23. 综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M． 操作发现 （1）点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案； 实践探究 （2）在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长； 探究拓广 （3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）①当时，；②当时，且点与点重合；③当时， 【解析】 【分析】（1）首先由正方形的性质得出，，，然后判定，进而得出，，又由正方形EFGH得出，再由四边形内角和得出，进而得出，； （2）首先过点作于点，作于点，得出，然后由对角线的性质得出，，进而判定四边形是正方形，即可判定，然后通过面积的等量代换得出，进而得出； （3）根据题意，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）． 理由如下：如图，连接， ∵是正方形的对角线， ∴，，， 在和中， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作于点，作于点， ∴， ∵点是正方形的对角线上的点， ∴，， ∴四边形是正方形， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵正方形与正方形重叠的面积是， ∴， 解得（负值舍去）， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴． ∴此时的长为； （3）分三种情况： ①如图所示，当时， 过点E作交于点P，交于点Q， ∴四边形是矩形，，是等腰直角三角形 由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②当时，且点与点重合； ③当时， 同理可证． 【点睛】此题主要考查三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，正方形的性质以及动点问题的综合运用，熟练掌握，即可解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $