1.2 集合间的基本关系【重点•题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合间的基本关系核心知识点，从子集的概念及性质入手，延伸至真子集的概念、性质及与子集的辨析，再通过子集角度定义集合相等，最后引入空集的概念、性质及注意事项，知识拓展补充有限集子集个数公式，构建递进式学习支架。 该资料特色在于结合Venn图直观呈现集合关系培养几何直观（数学眼光），通过辨析对比强化推理意识（数学思维），题型涵盖空集辨析、集合相等参数计算等训练数学语言表达。课中助教师针对性教学，课后助学生通过综合练习查漏补缺。

专题1.2 集合间的基本关系 【知识点一、子集】 1．子集 （1）子集的概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）． 用Venn图表示AB如图所示： （2）子集的性质 ①任何一个集合是它自身的子集，即． ②传递性，对于集合，，，如果，且，那么． 【知识点二、真子集】 1．真子集的概念 如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）． 如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示： 2．真子集的性质 对于集合，，，如果，，那么． 辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则． 【知识点三、从子集的角度看集合的相等】 如果集合是集合的___________（），且集合是集合的___________（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示． 【知识点四、空集】 1．空集的概念 我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集． 2．空集的性质 （1）空集是任何集合的___________，即； （2）空集是任何非空集合的___________，即． 注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解． 【知识拓展】 1． 若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2.奇数集：. 重难点题型1 空集 1．（25-26高一上·河北·期中）下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 2．（25-26高一上·北京大兴·期中）下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河南·阶段检测）下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（多选题）以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 重难点题型2 集合相等 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义。 1．（25-26高三上·河北衡水·期中）设，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 3．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 4．（24-25高一上·广西·开学考试）（多选题）已知集合，若，则的值可能是（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 5．（24-25高一上·安徽·期中）若，则_____. 重难点题型3 集合的子集 （1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析， 首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集； 其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B． （2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素； 对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断 1．（2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高一上·江苏·阶段检测）若集合有个子集，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．满足条件的所有集合A的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26高一上·云南·阶段检测）集合有___________个子集． 5．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知集合恰有两个子集，则a的可能取值集合为______． 重难点题型4 集合的真子集 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 3．（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 4．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 重难点题型5 集合子集与真子集的个数问题 1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点： （1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：和自身； （3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生． 如果有限非空集合中有n个元素，则： （1）集合的子集个数为； （2）集合的真子集个数为； （3）集合的非空子集个数为； （4）集合的非空真子集个数为． 1．（2026·广东·模拟预测）由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 2．（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 3．（25-26高一上·广西钦州·期末）设集合，则集合A的真子集个数为______． 4．（25-26高一上·江苏盐城·期中）设集合A满足，且是集合的真子集，则满足条件的A有__________个. 重难点题型6 根据子集或真子集求参数的取值范围 1．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 2．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 3．（25-26高一上·广东·期末）已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 4．（2025高一上·江苏·专题练习）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 3．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 4．（2025高二上·北京·学业考试）已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25高一上·广西南宁·阶段检测）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（   ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 6．（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）下列命题中不正确的是（    ） A．是空集 B．若，则 C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集 7．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 三、填空题 8．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 9．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知集合，则集合的子集有________个． 10．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，其子集个数为__________，真子集个数为__________． 11．（25-26高一上·上海·期中）集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________. 四、解答题 12．（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 13．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 集合间的基本关系 【知识点一、子集】 1．子集 （1）子集的概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）． 用Venn图表示AB如图所示： （2）子集的性质 ①任何一个集合是它自身的子集，即． ②传递性，对于集合，，，如果，且，那么． 【知识点二、真子集】 1．真子集的概念 如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）． 如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示： 2．真子集的性质 对于集合，，，如果，，那么． 辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则． 【知识点三、从子集的角度看集合的相等】 如果集合是集合的___________（），且集合是集合的___________（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示． 【知识点四、空集】 1．空集的概念 我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集． 2．空集的性质 （1）空集是任何集合的___________，即； （2）空集是任何非空集合的___________，即． 注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解． 【知识拓展】 1． 若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2.奇数集：. 重难点题型1 空集 1．（25-26高一上·河北·期中）下列各结论中，正确的是（   ） A．是空集 B．空集没有子集 C． D．与不是相同的集合 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合是否相等、空集的概念以及判断 【分析】根据定义逐项判断即可. 【详解】A：是含有一个元素的数集，故错误； B：因为空集是任何集合的子集，故错误； C：因为是自然数集，所以，故正确； D：由元素具有无序性可知，与是相同的集合，故错误； 故选：C. 2．（25-26高一上·北京大兴·期中）下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空集的概念以及判断、判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为中没有任何元素，故A错误； ，故B错误； 因为是任何集合的子集，故C正确； 由于，故D错误． 故选：C． 3．（25-26高一上·河南·阶段检测）下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空集的概念以及判断、判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】由几个数集的含义逐个判断即可. 【详解】对于A，表示实数集，所以，故A正确； 对于B，表示有理数集，为无理数，所以，故B正确； 对于C，表示有理数集，则，所以C正确； 对于D，表示空集，而表示该集合有一个元素，所以，故D错误； 故选：D 4．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（多选题）以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】空集的概念以及判断、判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定得到答案. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为空集是任何集合的子集，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以方程无解，故是空集，故D正确. 故选：BCD. 重难点题型2 集合相等 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义。 1．（25-26高三上·河北衡水·期中）设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系 【分析】根据已知有，进而分析集合间的包含关系. 【详解】由题设，其中表示奇数， 而中，故. 故选：A 2．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【详解】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 3．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】首先由知两集合元素完全相同，而，故必属于，从而、、中必有一个等于，结合互异性排除后，分与两类讨论，每一类下将表达为具体元素，并与逐项对照，利用元素相等关系及互异性消去变量、检验合理性，最终得出符合所有条件的实数对. 【详解】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B 4．（24-25高一上·广西·开学考试）（多选题）已知集合，若，则的值可能是（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】利用集合相等，解出对应参数的值，然后利用元素的性质判断即可. 【详解】因为，所以或解得或则或. 故选：BC 5．（24-25高一上·安徽·期中）若，则_____. 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】由集合相等，求出a，b的值，即可得答案. 【详解】由题意，则，解得， 则，解得（不满足互异性，舍去）， 所以， 故答案为：2 重难点题型3 集合的子集 （1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析， 首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集； 其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B． （2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素； 对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断 1．（2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】由题意得，元素个数为，子集个数为. 2．（25-26高一上·江苏·阶段检测）若集合有个子集，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、求集合的子集（真子集） 【分析】分析可知，集合有且只有个元素，对实数的取值进行分类讨论，当时，直接验证即可；当时，可得出，综合可得出实数的值. 【详解】因为集合有个子集，故集合有且只有个元素， 当时，，合乎题意； 当时，则关于的方程有两个相等的实根， 所以，解得. 综上所述，或. 故选：C. 3．满足条件的所有集合A的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求集合的子集（真子集） 【详解】试题分析：满足题意的集合A可以为，共4个 考点：集合的子集 4．（25-26高一上·云南·阶段检测）集合有___________个子集． 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先确定集合中元素的个数，再确定集合的子集个数. 【详解】因为，有3个元素， 所以集合有个子集. 故答案为：8 5．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知集合恰有两个子集，则a的可能取值集合为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、求集合的子集（真子集） 【分析】根据题意方程只有一个解，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】根据题意，方程只有一个解， 当时，方程为，则，解得或（舍去）； 当时，方程化为， 由，得，此时，满足题意. 综上所述，a的可能取值集合为． 故答案为：. 重难点题型4 集合的真子集 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，则集合A的所有真子集的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】因为集合A的元素的个数为，故集合A的所有真子集的个数为. 2．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 3．（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解. 【详解】方程可化为，解得或1， 则，故集合的真子集的个数为. 4．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 【答案】63 【难度】0.75 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． 重难点题型5 集合子集与真子集的个数问题 1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点： （1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：和自身； （3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生． 如果有限非空集合中有n个元素，则： （1）集合的子集个数为； （2）集合的真子集个数为； （3）集合的非空子集个数为； （4）集合的非空真子集个数为． 1．（2026·广东·模拟预测）由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】由已知， 其子集为，，，，，，，，共计8个. 2．（2026·贵州六盘水·一模）集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】确定集合，根据集合中元素的个数确定子集的个数. 【详解】由题意且，的值可以为：，所以有6个元素. 故集合的子集有：个. 3．（25-26高一上·广西钦州·期末）设集合，则集合A的真子集个数为______． 【答案】15 【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先将集合用列举法表示，再使用子集计算公式结合真子集的概念即可求解. 【详解】由题意得集合，共有4个元素，所以集合A的子集有个， 真子集需除去集合本身，故集合A的真子集个数为15个. 4．（25-26高一上·江苏盐城·期中）设集合A满足，且是集合的真子集，则满足条件的A有__________个. 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据给定条件，写出含有元素的集合的真子集即可. 【详解】由集合A满足，且是集合的真子集， 得含有元素的集合的真子集为：， 所以满足条件的A有3个. 故答案为：3 重难点题型6 根据子集或真子集求参数的取值范围 1．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 【答案】(1)，， (2)，或 【难度】0.74 【知识点】求集合的子集（真子集）、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）解方程得集合，再求真子集； （2）因为，所以，分和进行求解. 【详解】（1）解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或. 2．（25-26高一上·河南周口·期末）已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的概念即可求出； （2）分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，， 根据交集的概念可得 （2）当，即时，，满足； 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为. 3．（25-26高一上·广东·期末）已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、列举法表示集合、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）解一元二次方程即可求解； （2）由可得，解得，进而得到，再根据包含关系求解即可. 【详解】（1）当时，得，解得或， 所以． （2）因为，所以，解得， 所以． 因为，所以，解得， 所以b的取值范围是． 4．（2025高一上·江苏·专题练习）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的概念以及判断、空集的性质及应用 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 2．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系、描述法表示集合 【分析】根据集合的子集的定义即可求解. 【详解】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 3．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先求出集合中的元素，进而求得子集个数. 【详解】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 4．（2025高二上·北京·学业考试）已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】分析集合的子集的并集是的真子集，则这个集合中所含元素的个数确定的最大值. 【详解】集合的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集， 那么这个集合中至多含有3个元素，比如1、2、3. 那么这个集合可能是：，，，，，，. 故的最大值为7. 故选：C 5．（24-25高一上·广西南宁·阶段检测）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（   ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合的包含关系求参数 【分析】先解出集合，再由得到，最后根据包含关系求出实数即可； 【详解】， 因为，所以， 所以， 对应实数的值分别为， 其组成集合的子集个数为个. 故选：D. 二、多选题 6．（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）下列命题中不正确的是（    ） A．是空集 B．若，则 C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、空集的概念以及判断、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据表示集合的列举法的方法可判断A；当时可判断B；解C中方程即可判断C；时，可判断D． 【详解】A：是含有一个元素的集合，不是空集，故A错误； B：若，则，故B错误； C：，故C正确； D：时，均有且，故是无限集，故D错误． 故选：ABD． 7．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】分或或三种情况讨论的值即可求解. 【详解】若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，这不符合集合中元素的互异性，所以不符合题意； 若，则，此时，符合题意． 故选：AC 三、填空题 8．（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 【答案】0 【难度】0.7 【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 9．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知集合，则集合的子集有________个． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】求得集合，可求子集. 【详解】因为，所以集合的子集有共4个. 故答案为：4. 10．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，其子集个数为__________，真子集个数为__________． 【答案】 【难度】0.92 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】集合的元素个数为4， 集合的子集个数为：个； 集合的真子集个数为：个． 11．（25-26高一上·上海·期中）集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】将的所有非空子集进行分类，含0的，不含0却含，既不含0，也不含，只含的，进而求出答案. 【详解】的所有非空子集为分为以下几种情况， ①含0的子集个，这些子集均满足乘积为0， ②不含0，不含，但含有其他元素的子集，有（去掉空集）个， ③不含0，含有且含有其他元素的子集，有个， ④只含的子集一个，此时乘积为， 其中②③中的集合是一一对应的，且为相反数，其乘积之和为0， 综上，. 故答案为： 四、解答题 12．（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）根据一次方程以及二次方程的判别式即可求解， （2）对进行讨论，即可结合（1）的结论以及韦达定理求解. 【详解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 13．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求的所有子集中的元素之和； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)1536 (2)或 【难度】0.65 【知识点】求集合的子集（真子集）、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由题知，进而根据集合中的每个元素包含它的子集个数为计算求解即可； （2）分与两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， 对于集合中的每个元素，除该元素外还有个元素， 每个元素有选或不选两种可能，包含它的子集个数为， 故的所有子集中的元素之和为． （2）解：当，即时，满足． 当，即时，要使成立，需，可得， 综上，的取值范围是或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $