1.1 集合的概念【重点•题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的概念这一核心知识点，系统梳理元素与集合的定义及∈/∉关系，明确元素确定性、互异性、无序性三大特征，详解常用数集（N、N+、Z、Q、R）及列举法、描述法、Venn图三种表示方法，构建从基础概念到应用题型的递进式学习支架。 该资料亮点在于重难点题型设计全面，涵盖概念判断、元素关系、表示方法等六大类，结合多地期中期末真题。通过“判断七大洲能否构成集合”培养数学眼光的抽象能力，借助“已知元素属于集合求参数值”提升数学思维的推理能力，课中辅助教师系统授课，课后分层练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

专题1.1 集合的概念 【知识点一、集合的概念】 1．集合与元素 一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示． 说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等． 2．元素与集合的关系 如果是集合的元素，就说属于集合，记作___________；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作___________． 注意：与取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，与这两种情况中必有一种且只有一种成立． 3．集合中元素的特征 （1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准． （2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． （3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系． 4．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 【知识点二、常用的数集及其记法】 1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； 2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作或； 3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z； 4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q； 5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R． 易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分． 【知识点三、集合的表示方法】 1．列举法 把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性． （2）“{}”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是． 2．描述法 用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________． 说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式． 3．Venn图的概念 我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图． 说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 重难点题型1 集合的概念-三要素 判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象． 集合中元素的三个特性： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一． （2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的． （3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变． 判断指定的对象能不能组成集合，关键是看作为集合的元素是否具有确定性，也就是能否找到一个明确的标准． 1．（26-27高一·全国·暑假作业）下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 2．（25-26高一上·山西大同·期中）下列命题中正确的是（   ） A．方程的解的集合为 B．很小的正整数可以构成集合 C．若，，则 D．不大于4的自然数组成的集合中的所有元素为1，2，3，4 3．（25-26高一上·广西柳州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素 4．请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________. ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 重难点题型2 元素与集合的关系 元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征． 若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解． 1．（26-27高一·全国·暑假作业）设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 2．（2026·河南南阳·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一上·全国·随堂练习）用符号“”或“”填空： （1）0______，______，3.14______，______， ______，______； （2）0______，1______． 5．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）用列举法表示集合______． 6．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，且，则___________ 重难点题型3 集合的表示方法-列举法、描述法与韦恩图 对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示． 但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式． 1．（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 2．（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 4．（26-27高一·全国·暑假作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 5．（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 6．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 重难点题型4 集合相等 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义。 1．下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（多选题）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 3．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选题）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一上·上海·专题练习）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 重难点题型5 与集合中的元素个数有关问题的 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 2．（25-26高一上·山西大同·期中）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数___________ 5．（24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 6．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 重难点题型6 集合的新定义问题 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知集合，用表示非空集合A中的元素个数，定义．若，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北保定·阶段检测）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·四川绵阳·开学考试）下列说法正确的是（　　） A．我校高个子的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 2．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 3．（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 4．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 二、填空题 5．下列命题正确的个数__ （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}是同一个集合； （3）1，，这些数组成的集合有5个元素； （4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集． 6．（25-26高一上·上海松江·期中）若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. 7．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________ 8．（25-26高三上·福建莆田·开学考试）若集合中只有一个元素，则满足条件的实数为____ 三、解答题 9．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 10．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合的概念 【知识点一、集合的概念】 1．集合与元素 一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示． 说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等． 2．元素与集合的关系 如果是集合的元素，就说属于集合，记作___________；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作___________． 注意：与取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，与这两种情况中必有一种且只有一种成立． 3．集合中元素的特征 （1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准． （2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． （3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系． 4．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 【知识点二、常用的数集及其记法】 1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； 2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作或； 3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z； 4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q； 5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R． 易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分． 【知识点三、集合的表示方法】 1．列举法 把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性． （2）“{}”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是． 2．描述法 用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________． 说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式． 3．Venn图的概念 我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图． 说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 重难点题型1 集合的概念-三要素 判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象． 集合中元素的三个特性： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一． （2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的． （3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变． 判断指定的对象能不能组成集合，关键是看作为集合的元素是否具有确定性，也就是能否找到一个明确的标准． 1．（26-27高一·全国·暑假作业）下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合、判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的确定性判断A，B，应用互异性判断C，列举法判断D. 【详解】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 2．（25-26高一上·山西大同·期中）下列命题中正确的是（   ） A．方程的解的集合为 B．很小的正整数可以构成集合 C．若，，则 D．不大于4的自然数组成的集合中的所有元素为1，2，3，4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】集合元素互异性的应用、列举法表示集合、判断元素能否构成集合 【分析】根据集合中的元素满足互异性、确定性，可判断A、B错误；自然数包括0，故D错误；根据集合中的元素运算，可得C正确. 【详解】对于选项A，，解得或，故方程的解的集合为，故A错误； 对于选项B，“很小”不是一个确定的范围，与集合中元素满足确定性相矛盾，故不能构成一个集合，故B错误； 对于选项C，，故，故C正确； 对于选项D，不大于4的自然数包括0，1，2，3，4，故D错误. 故选：C 3．（25-26高一上·广西柳州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合、利用集合中元素的性质求集合元素个数、判断元素能否构成集合 【分析】根据集合中元素的特性判断. 【详解】对于A：联合国安理会常任理事国包括中国、俄罗斯、英国、法国和美国，能组成一个集合，A正确； 对于B：“很喜欢”不是一个明确的标准，具有不确定性，B错误； 对于C：不大于3的自然数包括,C错误； 对于D：，不同的数有共5个，D错误； 故选：A. 4．请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________. ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 【答案】①②④ 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的概念即可判断. 【详解】解：对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合； 对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合. 故答案为：①②④. 重难点题型2 元素与集合的关系 元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征． 若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解． 1．（26-27高一·全国·暑假作业）设集合，若，则的取值为（    ） A．0 B．4 C．0或2 D．0或4 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】先求得集合，由此求得. 【详解】解方程，因式分解得， 解得或故. 由得或. 2．（2026·河南南阳·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据集合的定义，逐一分析集合中的元素是否满足条件. 【详解】集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 所以. 故选：A. 3．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B 4．（25-26高一上·全国·随堂练习）用符号“”或“”填空： （1）0______，______，3.14______，______， ______，______； （2）0______，1______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】利用特殊数集的定义以及元素与集合的关系即可求解. 【详解】（1）是正整数集，0不是正整数，； 是整数集，是整数，； 是有理数集，3.14是有理数，； 是有理数集，是无理数，； 是整数集，不是整数，； 是实数集，是实数，； （2）集合中含有元素，； 解方程得，，则， . 故答案为：（1）；；；；；；（2）；. 5．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）用列举法表示集合______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合、判断元素与集合的关系 【分析】由可列举出符合题意的的值，进而表示出集合． 【详解】集合 所以可以取的值为，1，2，3，所以． 故答案为：． 6．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，且，则___________ 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据属于的定义进行求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 重难点题型3 集合的表示方法-列举法、描述法与韦恩图 对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示． 但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式． 1．（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.94 【知识点】列举法表示集合 【分析】（1）根据语言描述，用列举法表示集合； （2）解方程求出，再利用列举法表示结合； （3）根据语言描述和偶数性质，用列举法表示集合； （4）根据质数的性质，用列举法表示集合． 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 2．（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据集合中元素的特点及个数分别选择用列举法、描述法表示即可. 【详解】（1）列举法表示为：； （2）由可得，， 列举法表示： （3）描述法表示为： （4）描述法表示为： 4．（26-27高一·全国·暑假作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【难度】0.88 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 5．（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】根据题意，采用列举法表示集合即可求解. 【详解】由题，可得， 所以集合含有6个元素. 故选：C. 6．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】利用列举法表示集合即可得解. 【详解】依题意，， 所以中元素的个数为5. 故选：C 重难点题型4 集合相等 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义。 1．下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 2．（多选题）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】判断是否为同一集合、描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 3．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选题）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． 4．（2025高一上·上海·专题练习）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断是否为同一集合、列举法表示集合 【分析】据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C 重难点题型5 与集合中的元素个数有关问题的 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 2．（25-26高一上·山西大同·期中）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】利用列举法写出集合的元素即可求解. 【详解】由题意知，所以中元素的个数为4. 故选：C. 3．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据集合的元素可求得的范围. 【详解】若集合中恰有5个元素，则， 所以. 故选：C. 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数___________ 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分别讨论和的情况，结合判别式可构造方程求得结果. 【详解】当，即时，，满足题意； 当，即时，，解得：； 综上所述：或. 故答案为：或. 5．（24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 6．（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.85 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）根据方程有两个不等实根可讨论得到结果； （2）根据方程有唯一解或两个相等实根可讨论得到结果. 【详解】（1）集合中恰有两个元素，有两个不等实根； 当时，，解得：，不合题意； 当时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为：或. （2）集合中只有一个元素，有唯一实根或两个相等实根； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，此时； 综上所述：实数的取值集合为. 重难点题型6 集合的新定义问题 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知集合，用表示非空集合A中的元素个数，定义．若，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等式的性质与方程的解集、集合新定义、根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据A中元素个数及新定义得或，分类讨论，根据元素个数研究方程的根即可求解a的取值集合． 【详解】由题意得，，所以，从而或． 方程的根由的根共同构成． 当时， 方程可化为， 因为恒成立，所以方程的根为，此时，满足条件． 当时， 方程的根为，方程的根为，方程的判别式， 当时，方程只有一个实根， 则必有，解得， 此时方程的判别式，方程无实根， 此时，满足条件． 当时，方程有3个不等的实根， 上面已经考虑了的情形，以下只需考虑的情形，此时， 所以方程有两个相等的实根且不为1和， 则，解得， 当时，方程即有两个相等的实根1， 此时，不符合题意； 当时，方程即有两个相等的实根， 此时方程有3个不等的实根：， 此时，符合题意， 综上，a的所有可能取值为，即所求集合为． 故选：D． 2．（24-25高一下·河北保定·阶段检测）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出. 【详解】对于，有，所以； 因为，则或， 而是方程的根， 当时，故，而不是方程的根， 故是方程的唯一根，则， 经检验，当时满足； 当时，则方程有三个不同根， 则当满足，即， 当，则满足；当，则满足； 当满足，即， 必有为方程的根，即，得， 当时，则满足； 当，则满足； 则，故. 故选：A. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·四川绵阳·开学考试）下列说法正确的是（　　） A．我校高个子的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合概念逐一判断即可. 【详解】对于A，高个子缺少判断的明确标准，不能构成集合，错误； 对于B，联合国安理会常任理事国指的是中、法、俄、英、美五国，能构成集合，正确； 对于C，因为，故数组成的集合中只有5个元素，错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的元素有0，1，2，3，4，错误. 故选：B 2．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 3．（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】由题意可知或，解得或． 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性 所以． 故选：A． 4．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据和中只有一个元素，即可结合二次方程和一次方程的根求解. 【详解】当时，则需满足且，解得， 当中只有一个元素时，则或，解得， 综上可知：集合中至多有一个元素，则或， 故选：D 二、填空题 5．下列命题正确的个数__ （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}是同一个集合； （3）1，，这些数组成的集合有5个元素； （4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集． 【答案】0 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、判断是否为同一集合、判断元素能否构成集合 【解析】利用集合元素的特征，集合中元素的含义逐一判断可得答案． 【详解】解：对于（1）很小的实数不满足集合中元素的确定性，所以（1）不正确． 对于（2）集合{y|y＝x2﹣1}表示的是函数y＝x2﹣1的值域，而集合{（x，y）|y＝x2﹣1}表示的是y＝x2﹣1图象上的点，故（2）不正确； 对于（3）：因为，，不满足集合中的元素是互异的，故（3）不正确； 对于（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集及两个坐标轴上的点，故（4）不正确， 故答案为：0. 6．（25-26高一上·上海松江·期中）若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. 【答案】7 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合的所有非空子集中， 为影子关系的集合有 . 故答案为：7 7．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： 8．（25-26高三上·福建莆田·开学考试）若集合中只有一个元素，则满足条件的实数为____ 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分与进行讨论即可得. 【详解】当时，，则，故，符合要求； 当时，，令，解得； 综上所述：满足条件的实数为或. 故答案为：或. 三、解答题 9．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 10．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由题意是方程的根，代入解方程即可. （2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解. 【详解】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $