专题1.1 线段的比（举一反三讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦线段的比这一核心知识点，系统梳理比例线段（定义、外项内项）、比例性质（基本、合比、等比）及黄金分割（定义、黄金数0.618），构建从基础概念到性质应用的递进知识链，为学生搭建系统学习支架。 资料通过7类题型（如成比例线段判断、比例性质求值、黄金分割应用），结合生活实例（汽车行程、投屏比例、人体黄金比），培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维解决问题的能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习巩固知识，查漏补缺。

专题1.1 线段的比（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 成比例线段】 2 【题型2 由比例的性质判断正误】 4 【题型3 由比例的性质求值】 5 【题型4 比例性质的应用】 7 【题型5 】 10 【题型6 】 11 【题型7 黄金分割的应用】 13 考点1 线段的比 知识点1 比例线段 1.定义：如果（或），那就说成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段是比例外项，线段是比例内项. 2. 性质： 基本性质： 合比性质：, 等比性质：=k=k 知识点2 黄金分割 如果点把线分割成和（）两段，其中是和的比例中项，即这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点. 与的比值称为黄金分割数（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618. 【题型1 成比例线段】 【例1】（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 【变式1-1】（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例中项的概念可得，由此即可求得答案． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∴． 【变式1-2】已知线段，，则a，b的比例中项线段等于______． 【答案】2 【分析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积求解即可得出答案． 【详解】解：设线段x是线段a，b的比例中项， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴舍去， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的比例中项的含义，理解“若，则是的比例中项”是解本题的关键． 【变式1-3】（24-25六年级下·上海·期中）在3、4、12中添加一个数x，使得这四个数成比例，则x的值不能为（　　） A．1 B．9 C．16 D．25 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，四个数成比例时两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算x的所有可能值，即可得到x不可能的值． 【详解】解：四个数成比例符合比例基本性质，两内项积等于两外项积，分三种情况计算x： 情况1：若3和4为外项，则，解得，对应选项A，因此A不符合题意； 情况2：若3和12为外项，则，解得，对应选项B，因此B不符合题意； 情况3：若4和12为外项，则，解得，对应选项C，因此C不符合题意； ∴x的值不能为25，只有D符合要求． 【题型2 由比例的性质判断正误】 【例2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如果，那么下列各式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，利用比例的基本性质，或设参数代入验证各选项是否成立． 【详解】解：∵ ∴根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得，故选项D正确． 设，（）验证其他选项： A. ，故A错误； B. ，故B错误； C. ，，显然不相等，故C错误； 故选：D． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·期末）已知，则下列各式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的基本性质，已知比例式，利用比例的基本性质分析各选项即可． 【详解】解：∵， ∴设比值为k，则，． A项：，，成立； B项：，，当时，不一定相等； C项：，成立； D项：，，成立， ∴不一定成立的是B． 故选：B． 【变式2-2】若，则下列各式错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例的性质即可求解． 【详解】A.∵k，∴ad=bc，∴，故本选项正确； B.根据合比性质，可知本选项正确； C.根据等比性质，可知 (b+d≠0)，故本选项错误； D.由A可知，则c−2=−2，，故本选项正确, 故选：C. 【点睛】此题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解此题的关键. 【变式2-3】若a、b、c、d是互不相等的正数，且，则下列式子错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由a、b、c、d是互不相等的正数，且，根据比例的性质，即可求得∴， ，正确，利用排除法，即可求得答案． 解：∵，∴，故A正确； ，故B正确；故C正确； 故选D． 【题型3 由比例的性质求值】 【例3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知，若，，则（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【详解】本题考查了比例的性质，由题意得即可求解． 【分析】解：∵， ∴，，， ∴， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 【变式3-1】（25-26九年级上·四川达州·期末）已知，，则b的值为（　　） A．2 B．8 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题可利用设参数法表示出a，b，c，再代入已知等式求出参数值，即可得到b的值，用到比例的基本性质． 【详解】∵ ， ∴设（）， 可得，，， ∵， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， ∴ ． 【变式3-2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）若，则_______． 【答案】 【分析】根据比例的性质得到，进而代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴． 【变式3-3】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若实数x、y、z满足，则k的值为________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了比例的性质，由题意可得，从而得出，进而得出，即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4 比例性质的应用】 【例4】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）小明坐汽车，小刚骑自行车，同时从甲地匀速驶往乙地．已知汽车经过两地中点时，自行车行驶了全程的；当汽车到达终点时，自行车行驶了．甲、乙两地相距多少千米？（用比例解） 【答案】甲乙两地相距30千米 【分析】本题考查了比例的应用，理解题意是解题关键．根据行驶时间列比例，再解比例即可． 【详解】解：设甲、乙两地相距千米， 则， ， ， ， 答：甲、乙两地相距千米． 【变式4-1】（2026·北京海淀·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长． 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东深圳·期末）鸡兔同笼，鸡有x只，兔有y只．如果其中鸡脚总数与兔脚总数正好一样多，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质的应用，根据鸡和兔的脚数关系建立等式，然后根据比例的性质变形即可． 【详解】解：∵鸡有x只，兔有y只， ∴鸡脚总数为，兔脚总数为， ∵鸡脚总数等于兔脚总数， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【变式4-3】（24-25六年级下·上海·期中）如图，复合轮系由42齿的齿轮和18齿的齿轮叠接而成．齿轮（30齿）与齿轮啮合，齿轮与齿轮（60齿）啮合．已知齿轮的转速为5600圈/分．求 (1)齿轮的转速； (2)整个系统的降速率．（精确到1%） 【答案】(1)圈/分 (2) 【分析】本题考查齿轮传动中转速与齿数的反比例关系及降速率计算，解题关键是依据啮合齿轮相同时间转过齿数相同，利用叠接齿轮转速相等过渡求解，准确用降速率公式计算． （1）根据齿轮传动原理，相互啮合的齿轮，其转速与齿数成反比例关系，即齿数越多，转速越慢，且转速与齿数的乘积是一个定值，列出比例解答即可； （2）根据降速率即可解答． 【详解】（1）解：设齿轮的转速为圈/分． 因为，齿轮与齿轮啮合，所以，的转速与的齿数的乘积等于的转速与的齿数的乘积， 即： （圈/分） 因为齿轮和齿轮叠接，它们的转速相同，所以齿轮的转速也是4000圈/分． 设齿轮的转速为圈/分．齿轮与齿轮啮合， 的转速与的齿数的乘积等于的转速与的齿数的乘积， 即： （圈/分） 答：齿轮的转速为圈/分． （2）解：因为齿轮转速为5600圈/分，D转速为1200圈/分， 根据题意得：． 答：整个系统的降速率为． 【题型5 】 【例5】在比例尺是的无锡交通图上，某校两校区之间距离为厘米，则两校区之间的实际距离为_____________千米． 【答案】 【分析】主要考查了对比例尺的应用，根据实际距离图上距离比例尺，即可求解，注意单位的统一． 【详解】解：设它们之间的实际距离约为x千米，，，则 ， 解得：， 故答案为：． 【变式5-1】在一张比例尺为的地图上，的面积表示实际面积是_________． 【答案】100 【分析】利用面积之比等于相似比的平方计算，后转化单位即可． 【详解】解：设实际面积为S， ∵比例尺为， ∴面积之比为：， ∴S==100， 故答案为：100． 【点睛】本题考查了相似的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【变式5-2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）A市建设规划图上，城区南北长约，而A市城区南北实际长，规划图采用的比例尺是______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例尺图上距离实际距离是解题的关键．根据比例尺的公式计算即可． 【详解】解：由题意得，比例尺． 故答案为：． 【变式5-3】（2024·山东·模拟预测）如图所示是一个球形工件的主视图（比例尺已在图中标出）．工人师傅用刻度尺测量得到图中圆的半径为．现需要制作三个这样的球形工件，材料为铁，则工厂需要供应铁的质量为（    ） （取3，球的体积计算公式：；） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际问题，几何体的三视图，比例的性质，先根据比例求出球体的实际半径，再根据题意列式计算即可． 【详解】解：比例尺为：， 这样的球形工件实际半径为：， 根据题意得：球的体积计算公式：；，， 工厂需要供应铁的质量为：， 故选：C． 【题型6 】 【例6】（2026·辽宁抚顺·一模）古希腊数学家毕达哥拉斯发现的黄金分割被誉为“最优美的比例”，C是线段的黄金分割点，，则的长为______． 【答案】或 【分析】点C是线段的黄金分割点，需分两种情况讨论：即为较长线段或为较短线段，根据黄金分割的定义计算即可得到结果． 【详解】解：由黄金分割的定义可知，黄金分割比为， ∵， ∴分两种情况讨论： ①当为较长线段时.； ②当为较短线段时，此时为较长线段：， 则， 综上可得：的长为或． 【变式6-1】（25-26九年级上·广东清远·期末）把长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割的定义，根据黄金分割中较长线段与原线段的比例关系计算即可. 【详解】解：∵黄金分割中，较长线段与原线段的比值为， 又∵原线段长为， ∴较长线段的长为 . 【变式6-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）据有关试验测定，当气温与人体正常体温（37）的比值为黄金比时，人体感到最舒适，则这个气温约为（    ） A．26.8 B．22.9 C．21.2 D．18.5 【答案】B 【分析】本题考查黄金比的实际应用，先明确黄金比的近似值，再根据题目中的比例关系计算出舒适气温即可． 【详解】解：∵黄金比约为， 又∵舒适气温与人体正常体温（37）的比值为黄金比， ∴舒适气温， 故选：B． 【变式6-3】如图1，已知直线．      (1)请用圆规和无刻度直尺，根据以下步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： ①过点作的垂线； ②在的垂线上截取（点在上方）； ③连接； ④以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ⑤以点为圆心，长为半径作弧，交于点； (2)如图2，点在线段上，且，若，则称点是线段的一个黄金分割点．在（1）的条件下，证明：点是线段的一个黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作图的方法求解即可； （2）设线段，则，根据勾股定理表示出，，，然后代入和证明即可． 【详解】（1）如图所示，    （2）设线段，则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴点是线段的一个黄金分割点． 【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理，二次根式的运算，黄金分割点等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键． 【题型7 黄金分割的应用】 【例7】人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    【答案】这双高跟鞋的高度偏高 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，设出人体上半身长和下半身长成黄金比例时，高跟鞋的高，利用黄金比例求出此时高跟鞋的高是解题的关键. 【详解】解：设这双高跟鞋的高度为时，人体上半身长和下半身长成黄金比例， 由题意得：， 解得：， ， 这双高跟鞋的高度偏高． 【变式7-1】（2026·山西·三模）摄影三分法是一种广泛应用于摄影、绘画及设计等艺术领域的构图方法，其构图源于黄金分割．已知黄金分割比为，某张风景照竖版尺寸的总高度为，画面主体的高度与竖版尺寸总高度的比值恰好为黄金分割比，则该风景照画面主体的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到主体高度和总高度的比例关系，代入黄金分割比的近似值计算即可解答． 【详解】解：设该风景照画面主体的高度为， ∵ 画面主体的高度与竖版尺寸总高度的比值为黄金分割比，总高度为，黄金分割比， ∴，即该风景照画面主体的高度约为． 【变式7-2】（2026·陕西西安·模拟预测）在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．据了解，摩托车通过弯道时，理想的路线通常遵循“外—内—外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为，则弯道入口A到出口B的路线总长为______m． 【答案】 【分析】根据题意列式为，由此即可求解． 【详解】解：车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：50 ． 【变式7-3】（25-26八年级下·广东东莞·期中）我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图是意大利著名画家达•芬奇（，1452～1519年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内（），图中四边形为正方形，矩形为黄金矩形．若．则_____． 【答案】 【分析】、是矩形，是正方形，设的边长为，矩形为黄金矩形，根据宽与长之比为，列出分式方程，解方程即可求解答案． 【详解】解：设正方形的边长为， ∴， ∵四边形，是矩形， ∴， 而， ∴， ∵矩形为黄金矩形， ∴， 即， 解得， 检验，当时，，有意义， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 线段的比（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 成比例线段】 2 【题型2 由比例的性质判断正误】 2 【题型3 由比例的性质求值】 2 【题型4 比例性质的应用】 3 【题型5 】 4 【题型6 】 4 【题型7 黄金分割的应用】 5 考点1 线段的比 知识点1 比例线段 1.定义：如果（或），那就说成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段是比例外项，线段是比例内项. 2. 性质： 基本性质： 合比性质：, 等比性质：=k=k 知识点2 黄金分割 如果点把线分割成和（）两段，其中是和的比例中项，即这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点. 与的比值称为黄金分割数（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618. 【题型1 成比例线段】 【例1】（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知线段，，则a，b的比例中项线段等于______． 【变式1-3】（24-25六年级下·上海·期中）在3、4、12中添加一个数x，使得这四个数成比例，则x的值不能为（　　） A．1 B．9 C．16 D．25 【题型2 由比例的性质判断正误】 【例2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如果，那么下列各式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·期末）已知，则下列各式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若，则下列各式错误的是（      ） A． B． C． D． 【变式2-3】若a、b、c、d是互不相等的正数，且，则下列式子错误的是（  ） A． B． C． D． 【题型3 由比例的性质求值】 【例3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知，若，，则（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 【变式3-1】（25-26九年级上·四川达州·期末）已知，，则b的值为（　　） A．2 B．8 C．10 D． 【变式3-2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）若，则_______． 【变式3-3】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若实数x、y、z满足，则k的值为________． 【题型4 比例性质的应用】 【例4】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）小明坐汽车，小刚骑自行车，同时从甲地匀速驶往乙地．已知汽车经过两地中点时，自行车行驶了全程的；当汽车到达终点时，自行车行驶了．甲、乙两地相距多少千米？（用比例解） 【变式4-1】（2026·北京海淀·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东深圳·期末）鸡兔同笼，鸡有x只，兔有y只．如果其中鸡脚总数与兔脚总数正好一样多，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式4-3】（24-25六年级下·上海·期中）如图，复合轮系由42齿的齿轮和18齿的齿轮叠接而成．齿轮（30齿）与齿轮啮合，齿轮与齿轮（60齿）啮合．已知齿轮的转速为5600圈/分．求 (1)齿轮的转速； (2)整个系统的降速率．（精确到1%） 【题型5 】 【例5】在比例尺是的无锡交通图上，某校两校区之间距离为厘米，则两校区之间的实际距离为_____________千米． 【变式5-1】在一张比例尺为的地图上，的面积表示实际面积是_________． 【变式5-2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）A市建设规划图上，城区南北长约，而A市城区南北实际长，规划图采用的比例尺是______． 【变式5-3】（2024·山东·模拟预测）如图所示是一个球形工件的主视图（比例尺已在图中标出）．工人师傅用刻度尺测量得到图中圆的半径为．现需要制作三个这样的球形工件，材料为铁，则工厂需要供应铁的质量为（    ） （取3，球的体积计算公式：；） A． B． C． D． 【题型6 】 【例6】（2026·辽宁抚顺·一模）古希腊数学家毕达哥拉斯发现的黄金分割被誉为“最优美的比例”，C是线段的黄金分割点，，则的长为______． 【变式6-1】（25-26九年级上·广东清远·期末）把长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）据有关试验测定，当气温与人体正常体温（37）的比值为黄金比时，人体感到最舒适，则这个气温约为（    ） A．26.8 B．22.9 C．21.2 D．18.5 【变式6-3】如图1，已知直线．      (1)请用圆规和无刻度直尺，根据以下步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： ①过点作的垂线； ②在的垂线上截取（点在上方）； ③连接； ④以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ⑤以点为圆心，长为半径作弧，交于点； (2)如图2，点在线段上，且，若，则称点是线段的一个黄金分割点．在（1）的条件下，证明：点是线段的一个黄金分割点． 【题型7 黄金分割的应用】 【例7】人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    【变式7-1】（2026·山西·三模）摄影三分法是一种广泛应用于摄影、绘画及设计等艺术领域的构图方法，其构图源于黄金分割．已知黄金分割比为，某张风景照竖版尺寸的总高度为，画面主体的高度与竖版尺寸总高度的比值恰好为黄金分割比，则该风景照画面主体的高度约为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·陕西西安·模拟预测）在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．据了解，摩托车通过弯道时，理想的路线通常遵循“外—内—外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为，则弯道入口A到出口B的路线总长为______m． 【变式7-3】（25-26八年级下·广东东莞·期中）我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图是意大利著名画家达•芬奇（，1452～1519年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内（），图中四边形为正方形，矩形为黄金矩形．若．则_____． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $