专题1.2 平行线分线段成比例（举一反三讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“平行线分线段成比例”核心知识点，系统梳理基本事实及推论，前承平行线性质与判定，后启相似三角形知识，构建从基础判断到综合应用的11类题型学习支架。 资料以“#”“A”“8”“X”等字型模型为载体，结合中位线、重心综合应用及辅助线构造，培养几何直观与推理能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，提升应用意识。

专题1.2 平行线分线段成比例（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 判断比例式正误】 2 【题型2 “#”字型求值】 3 【题型3 “A”字型求值】 4 【题型4 “8”字型求值】 5 【题型5 “X”字型求值】 6 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 7 【题型7 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】 8 【题型8 多次利用平行线分线段成比例求解】 9 【题型9 作垂线构造平行线分线段成比例】 10 【题型10 作平行线构造平行线分线段成比例】 11 【题型11 连接两点构造平行线分线段成比例】 12 考点1 平行线分线段成比例 知识点 平行线分线段成比例 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2. 数学语言描述：如图，已知直线∥∥，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，则，，，． 3. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例． 如图（1）、图（2）所示，∥，则有，，． 【题型1 判断比例式正误】 【例1】（2026·上海闵行·一模）如图，已知，直线与边分别相交于点，直线与边分别相交于点，，那么下列比例式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，，则下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 “#”字型求值】 【例2】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，，若，，，则的长为（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·期末）八年级某班级在一次班级文化评比中，制作了一个如图所示的简易花架摆放班级里的绿植，已知，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图1是一个花架图，图2是其侧面简化示意图，若，，，则的长为________cm． 8．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，直线，直线依次交，，于点，，，直线依次交，，于点，，，若，，则的长为______． 【题型3 “A”字型求值】 【例3】（2026·江苏盐城·三模）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点、、都在竖格线上．若线段，则线段的长为_____． 【变式3-1】（2026·陕西·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【变式3-2】（2026·河南信阳·一模）郑州中牟贾鲁河大桥，斜拉索都互相平行且距离相等．如图，小丽测得有两根拉索之间距离米，米，米，，则的长为________． 【变式3-3】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图是一架梯子的示意图，其中，且，为使其更稳固，在A，间加绑一条安全绳（线段），量得，则的长为（   ） A． B． C． D． 【题型4 “8”字型求值】 【例4】如图，的两条中线和相交于点，过点作交于点，那么的值是______． 【变式4-1】如图，平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F,当AB=6,BC=8时，的值为(    ) A．3:4 B．4:3 C．3:7 D．3:14 【变式4-2】如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在平行四边形中，E为的中点，F为上一点，与交于点H，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【题型5 “X”字型求值】 【例5】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点和点．已知，，则的长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式5-2】（25-26九年级上·山西临汾·期末）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（   ） A．20 B．7.2 C．7.5 D．19.2 【变式5-3】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 【例6】如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么__________． 【变式6-1】（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，已知、相交于点，，，是的中位线，且，，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，是中位线，M是中点，连结并延长，与相交于点N，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图， 是的中位线， 是的中点，射线与交于点，与的延长线交于点．下列结论：①；②； ③；④，正确的有___________．(填序号．)    【题型7 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】 【例7】如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______． 【变式7-1】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，是边上的中线，点F是边上的一点，且，过点F作，那么______． 【变式7-2】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，点为的重心，，若，则________． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，为的重心，过点作的垂线，垂足为，交于点，则____________． 【题型8 多次利用平行线分线段成比例求解】 【例8】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【变式8-1】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，点D，E分别为，边上的点，连接并延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式8-2】（2026·山西朔州·一模）如图，在中，，，延长至点E，使得，点F是上一点，，连接并延长与交于点G．则的长为________． 【变式8-3】如图，梯形中，过对角线的交点，且，则长为______． 【题型9 作垂线构造平行线分线段成比例】 【例9】（2026·山西临汾·三模）如图，在中，，，点D是上一点，且，过点B作的垂线分别交，于点E和点F，则的长为______． 【变式9-1】（2025·浙江宁波·三模）如图，在中，是的中线，延长至点，使，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·广东清远·二模）如图1，将边长为4的等边沿其边上的高剪开，再把向左平移得到，当是的中点时，如图2，两个三角形重叠部分面积为___________． 【变式9-3】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，，相交于点O，E为延长线上一点，连接交于点F，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【题型10 作平行线构造平行线分线段成比例】 【例10】（2025·广东汕头·一模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 【变式10-1】如图，是的中线，点在线段上，延长交于点，若，则的值为________． 【变式10-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点在边上，，，连结，在上取一点，使，连结，若，则的长为______． 【变式10-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，点、、、分别是边、、、的中点，分别连接、、、得到新的四边形，则四边形的面积为（   ） A． B．3 C． D．2 【题型11 连接两点构造平行线分线段成比例】 【例11】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；作直线交于点，交于点，依据以上作图，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，点M，N分别是边，的中点，连接，交于点F，则的值为______． 【变式11-2】（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，点D是直角边上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．在点D运动过程中，线段的最小值为________． 【变式11-3】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交射线于点，连接．根据以上作图，若，，则线段的长为____． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 平行线分线段成比例（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 判断比例式正误】 2 【题型2 “#”字型求值】 5 【题型3 “A”字型求值】 7 【题型4 “8”字型求值】 9 【题型5 “X”字型求值】 13 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 15 【题型7 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】 19 【题型8 多次利用平行线分线段成比例求解】 23 【题型9 作垂线构造平行线分线段成比例】 28 【题型10 作平行线构造平行线分线段成比例】 33 【题型11 连接两点构造平行线分线段成比例】 38 考点1 平行线分线段成比例 知识点 平行线分线段成比例 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2. 数学语言描述：如图，已知直线∥∥，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，则，，，． 3. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例． 如图（1）、图（2）所示，∥，则有，，． 【题型1 判断比例式正误】 【例1】（2026·上海闵行·一模）如图，已知，直线与边分别相交于点，直线与边分别相交于点，，那么下列比例式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，先结合，得出，，，，再进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，则，故该选项不符合题意； B、∵，由平行线分线段成比例定理，设，， 则，，， ，， ，， ∴， ∴， ∴，故该选项符合题意； C、∵，由平行线分线段成比例定理，设，， 则，，， ，， ，， ，， 则不一定相等， 则不一定相等，故该选项不符合题意； D、∵，则，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理； 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：根据平行线分线段成比例可得：，即，B，C不正确；A正确； 根据平行线分线段成比例可得：，D不正确； 故选：A． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，，则下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案． 根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴A错误； 故选：A． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握该性质． 根据平行线分线段成比例逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项正确； B. ∵，， ∴， ∴； 该选项正确； C. ∵，， ∴， ∴， 该选项正确； D.根据给出条件无法得出， 该选项不一定正确； 故选：D． 【题型2 “#”字型求值】 【例2】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，，若，，，则的长为（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，即， 解得． 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·期末）八年级某班级在一次班级文化评比中，制作了一个如图所示的简易花架摆放班级里的绿植，已知，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例这一性质，由左侧已知相等的线段推导出右侧对应的线段相等，即，进而求出的长度． 【详解】解：， （平行线分线段成比例定理）， ， ， ，即， ， ， ． 【变式2-2】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图1是一个花架图，图2是其侧面简化示意图，若，，，则的长为________cm． 【答案】30 【分析】根据三条线段平行，可得对应的比例关系，进而可求解． 本题考查了平行线分线段成比例定理． 【详解】解：, , ， , ． 故答案为：30． 8．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，直线，直线依次交，，于点，，，直线依次交，，于点，，，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得：，把代入即可求出的长度． 【详解】解：直线， ， ， ， ， ， ． 【题型3 “A”字型求值】 【例3】（2026·江苏盐城·三模）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点、、都在竖格线上．若线段，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 【变式3-1】（2026·陕西·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】先根据线段中点定义得到，再利用平行线分线段成比例和平行线的性质得到，然后利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-2】（2026·河南信阳·一模）郑州中牟贾鲁河大桥，斜拉索都互相平行且距离相等．如图，小丽测得有两根拉索之间距离米，米，米，，则的长为________． 【答案】72米/ 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算得出米，从而即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴． ∵米，米，米， ∴． ∴米， ∴米． 【变式3-3】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图是一架梯子的示意图，其中，且，为使其更稳固，在A，间加绑一条安全绳（线段），量得，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，且，， ∴， ∴， 故选：B ． 【题型4 “8”字型求值】 【例4】如图，的两条中线和相交于点，过点作交于点，那么的值是______． 【答案】/0.25 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 根据重心的性质得到，根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：∵的两条中线和相交于点G， ∴点G是的重心， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为： 【变式4-1】如图，平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F,当AB=6,BC=8时，的值为(    ) A．3:4 B．4:3 C．3:7 D．3:14 【答案】C 【分析】由在▱ABCD中，AD∥BC，利用平行线的性质，可求得∠FBC=∠AFB，又由BF是∠ABC的平分线，易证得∠ABF=∠AFB，利用等角对等边的知识，即可证得AB=AF，再证得△AEF∽△CEB，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的值． 【详解】解：∵BF平分∠ABC， ∴∠CBF=∠AFB， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠ABF=∠AFB， ∵平行四边形ABCD， ∴AB=AF， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠ABF=∠AFB， ∵平行四边形ABCD， ∴AB=AF， ∵AB=6， ∴AF=6， ∵AF∥BC， ∴△AEF∽△CEB， ∴ === ∴=. 故选C. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意有平行线与角平分线易得等腰三角形． 【变式4-2】如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例，可证得，，两式相加即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键． 【变式4-3】如图，在平行四边形中，E为的中点，F为上一点，与交于点H，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，构造辅助线证明两个三角形全等是关键；延长交的延长线于点G，由平行四边形的性质及中点条件可证明，得；再由平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【详解】解：延长交的延长线于点G，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 故选：B．    【题型5 “X”字型求值】 【例5】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 【详解】解：∵， ∴． 【变式5-1】如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点和点．已知，，则的长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 【变式5-2】（25-26九年级上·山西临汾·期末）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（   ） A．20 B．7.2 C．7.5 D．19.2 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理的内容以及图形的结构特征是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行求解即可得答案． 【详解】， ， ， ∴， 即，解得． 故选：C． 【变式5-3】（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． 【答案】3 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 【例6】如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么__________． 【答案】/3.5 【分析】根据梯形中位线的性质得到，因为，，则，在根据平行线分线段成比例得到是的中点，从而利用三角形中位线的性质即可得到即可确定答案． 【详解】解：梯形中，，梯形的中位线为， ，， ，， ， ，是的中点， 由平行线分线段成比例得到， ， 为的中位线，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及梯形中位线的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线的判定与性质，熟练掌握中位线的性质及平行线分线段成比例是解决问题的关键． 【变式6-1】（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，已知、相交于点，，，是的中位线，且，，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中位线的性质，平行线分线段成比例，根据中位线的性质得出，，则，则，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴，， 则； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式6-2】如图，是中位线，M是中点，连结并延长，与相交于点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，平行线的性质，取的中点F，连接，则是中位线，根据中位线的性质得，再根据平行线的性质得，则，，，进而可得答案． 【详解】解：如图，取的中点F，连接， ∵是中位线， ∴、分别是、的中点， ∴是中位线， ∴，即， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式6-3】如图， 是的中位线， 是的中点，射线与交于点，与的延长线交于点．下列结论：①；②； ③；④，正确的有___________．(填序号．)    【答案】②③ 【分析】由题意可知，，根据平行截线求相关线段的长或比值可判断①；由题意得出与联立可得，由此可判断②；由平行截线求相关线段的长或比值及等量代换可判断③；连接．设，根据面积可判断④． 【详解】解： 是的中位线， 是的中点， 又 , ① ， ∴． ∴①错误 ② 又， 由两式相减，得 ∴． ∴． ∴②正确 ③ ∴ ∴③正确 ④连接．设，可得其他三角形面积如图 ∴，∴④错误    故答案为：②③． 【点睛】本题考查了平行截线求相关线段的长或比值、全等三角形的判定及性质、三角形中位线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【题型7 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】 【例7】如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线、平行线分线段成比例，解题关键是通过构造中位线得到平行线，利用相似三角形或平行线分线段成比例定理，将已知的线段比转化为所求的的比值． 【详解】解：取中点，连接， 因为是的中线， 所以是的中点， 又是的中点，根据三角形中位线定理，， 已知，即， 因为， 所以，即， 因为， 所以． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，是边上的中线，点F是边上的一点，且，过点F作，那么______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，即，根据中线的定义得到，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是边上的中线， ∴， ∴． 【变式7-2】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，点为的重心，，若，则________． 【答案】 【分析】先利用重心性质得出线段比例关系，再依据平行线分线段成比例定理求出的长度，最后通过线段和求出．本题主要考查了三角形重心的性质和平行线分线段成比例定理，熟练掌握三角形重心将中线分为的两段以及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】∵点为的重心， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，为的重心，过点作的垂线，垂足为，交于点，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，三角形重心的性质，平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 先通过勾股定理求出斜边的长度，再利用重心的性质得到相关线段的比例关系，接着通过面积法求出的长度，进而求出的长度，然后根据平行线分线段成比例定理求出的长度，从而得到的长度，最后再次利用平行线分线段成比例定理求出的长度． 【详解】解：延长交于点，过点作，为垂足， 为的重心， ，， ，，， ，， ，解得， ， 为的重心， 是斜边的中线， ， ， ，, ， ， ， ， ， ，即， ，即， 解得， ． 故答案为：． 【题型8 多次利用平行线分线段成比例求解】 【例8】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ． (2) 【分析】（1）由 可得，再结合已知比例，可得，证明，即可解答； （2）由图可知与等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由，得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ； 与同高， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 【变式8-1】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，点D，E分别为，边上的点，连接并延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)20． 【分析】（1）过点A作交BC于点M，根据平行线分线段成比例得到，，根据可知； （2）根据得到，由（1）得，根据得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：过点A作交BC于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴． 【变式8-2】（2026·山西朔州·一模）如图，在中，，，延长至点E，使得，点F是上一点，，连接并延长与交于点G．则的长为________． 【答案】 【分析】连接，过点A作，可得，由，可得，再可证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点A作交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，． 【变式8-3】如图，梯形中，过对角线的交点，且，则长为______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，，得到，根据，，得到，，最后证明即可得到答案． 【详解】解：如图，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案是． 【题型9 作垂线构造平行线分线段成比例】 【例9】（2026·山西临汾·三模）如图，在中，，，点D是上一点，且，过点B作的垂线分别交，于点E和点F，则的长为______． 【答案】 【分析】过点A作交于点H，过点D作交于点G，由题意可得，，，，，由勾股定理得，，，在中，利用等面积法得，由勾股定理得，，则，故是的中点，由可推得是的中点，因此是的中位线，故，由得，故，从而，设，则，，故，解得，，即． 【详解】解：如图，过点A作交于点H，过点D作交于点G， ，，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 是的中点， 又， ， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 化简得，， 解得，，即． 【变式9-1】（2025·浙江宁波·三模）如图，在中，是的中线，延长至点，使，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，解直角三角形等，延长交于点，过点作于点，可得，，，即得，然后解直角三角形求得，，再由平行线等分线段定理和可得，最后利用勾股定理求得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作于点， 则， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∵是的中线，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故选：． 【变式9-2】（2025·广东清远·二模）如图1，将边长为4的等边沿其边上的高剪开，再把向左平移得到，当是的中点时，如图2，两个三角形重叠部分面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形，掌握平移的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 过点作，交于点，由等边三角形的性质和含角的直角三角形，可得，，继而可求出，即，再由判定是等边三角形，进而求出，再根据中线的性质得出，进而根据两个三角形重叠部分面积为得出结果． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ∵是边长为4的等边上的高， ∴，，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边上的高， ∴，， ∴， , 又∵点是的中点， ∴点是的中点， ∴，同理， ∴两个三角形重叠部分面积为， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，，相交于点O，E为延长线上一点，连接交于点F，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了矩形的性质，平行线线段成比例定理，三角形中位线定理，理解矩形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，勾股定理是解决问题的关键． 过点O作于点H，由平行线线段成比例定理证明是的中位线得，，进而得，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点O作于点H，如图所示： 四边形是矩形，，， ，， ， ， ， ∴ 又， ∴， ∴， 是的中位线， ，， 点E为延长线上一点，且， ， 在中，由勾股定理得： 故选：A． 【题型10 作平行线构造平行线分线段成比例】 【例10】（2025·广东汕头·一模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理推出，计算即可． 【详解】解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 【变式10-1】如图，是的中线，点在线段上，延长交于点，若，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作交于点，利用平行线分线段成比例可得，即可解答． 【详解】如图，过点作交于点， 是的中线， ， ， ，, 设， ，， ， 【变式10-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点在边上，，，连结，在上取一点，使，连结，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质等知识，构造平行线是解题的关键． 延长交于点G，过点D作交于点H，则，设，则，再由平行线分线段成比例定理得，得，从而，再证明，得，由此求得x的值，进而求得． 【详解】解：如图，延长交于点G，过点D作交于点H， 则， 设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式10-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，点、、、分别是边、、、的中点，分别连接、、、得到新的四边形，则四边形的面积为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意，采取割补法，将图中梯形补成与中间的平行四边形一样大小的平行四边形，并找到矩形的面积与个小平行四边形面积的关系，即可得出结论． 【详解】解：如图所示，过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，过作，交的延长线于，过作，交的延长线于， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 同理可得，四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的中点，， ∴， ∴是的中点， ∴， ∴， 同理可得，，，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例，解决本题的关键是要利用矩形的性质，作出图形中的辅助线构造全等三角形，并找出矩形和平行四边形的面积之间的关系． 【题型11 连接两点构造平行线分线段成比例】 【例11】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；作直线交于点，交于点，依据以上作图，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，由垂直平分线的性质以及角平分线的定义可得出，，等量代换可得出，即可得出，再由平行线分线段成比例即可得出，代入计算即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式11-1】（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，点M，N分别是边，的中点，连接，交于点F，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确构造平行线解决比例线段问题． 连接交于点，由平行四边形得到，然后可得为的中位线，则，再由平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：连接交于点， ∵平行四边形， ∴， ∵点M，N分别是边，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式11-2】（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，点D是直角边上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．在点D运动过程中，线段的最小值为________． 【答案】2 【分析】取的中点，连接，利用含角的直角三角形的性质，得出边的关系，证明，得出，确定当时，的值最小，即的值最小，然后利用平行线分线段成比例进行求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为2． 【变式11-3】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交射线于点，连接．根据以上作图，若，，则线段的长为____． 【答案】 【分析】延长交于点H，设分别交于点J，K，根据勾股定理可得 ，由作法得：平分，垂直平分，再由，可得，，从而得到，进而得到，证明，可得，，从而得到，再由勾股定理可得 ，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H，设分别交于点J，K， 在中，，，， ∴， 由作法得：平分，垂直平分， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $