专题20.1 认识二次根式（举一反三讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

本讲义聚焦二次根式的核心知识点，系统梳理二次根式的概念、有意义的条件及双重非负性等性质，通过定义辨析、条件判断、求值、参数求解、规律探究、化简等题型，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料以“举一反三”为设计亮点，例题与变式题结合，培养学生抽象能力（数学眼光）和推理意识（数学思维），如双重非负性应用、规律探究题（例8的式子规律）提升创新意识。课中辅助教师分层教学，课后学生可通过变式练习查漏补缺，强化知识应用。

专题20.1 认识二次根式（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 二次根式的定义】 2 【题型2 二次根式有意义的条件】 3 【题型3 求二次根式的值】 5 【题型4 二次根式的双重非负性】 6 【题型5 】 7 【题型6 】 10 【题型7 求二次根式中的参数】 11 【题型8 二次根式的规律探究】 13 【题型9 二次根式的化简】 15 考点1 认识二次根式 知识点1 二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数． 2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 知识点2 二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 知识点3 二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 【题型1 二次根式的定义】 【例1】下列是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义形如的式子叫做二次根式，逐一判断选项是否满足二次根式的条件即可． 【详解】解：选项A：是带二次根号的形式，且被开方数，符合二次根式的定义； 选项B：是分数，不满足的形式，不是二次根式； 选项C：的被开方数，二次根式无意义，不是二次根式； 选项D：是整数，不满足的条件，不是二次根式． 【变式1-1】（25-26八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）下列式子一定是二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义，形如的式子，当时是二次根式，据此判断即可． 【详解】解：A.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误； B.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误； C.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误； D.中的被开方数，故一定是二次根式，故此选项正确． 【变式1-2】下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，对各式子逐个判断． 【详解】解：，被开方数，满足，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，被开方数，不满足定义，不是二次根式； ，由得，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，根据平方的非负性，可得，被开方数满足非负要求，是二次根式； 综上所述，二次根式的个数是3个． 【变式1-3】（25-26九年级下·山东淄博·阶段检测）下列式子①：②；③；④：⑤中，二次根式的个数为（        ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义逐个判断每个式子，统计符合条件的个数即可得到答案． 【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式； ②：被开方数，在实数范围内无意义，不是二次根式； ③：根指数为2，，，满足被开方数非负，是二次根式； ④：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式； ⑤：根指数为2，被开方数，是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个，故选B． 【题型2 二次根式有意义的条件】 【例2】（25-26八年级下·广东惠州·期末）若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）函数中自变量的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列不等式求解自变量的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知，二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不能为零，因此可得 ， 移项得， 系数化为得． 【变式2-2】（24-25八年级下·河北邢台·期末）当时，下列各式无意义的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）以及分式分母不为，将代入各选项，判断哪个式子无意义即可． 【详解】解：当时，，故A选项有意义； ，故B选项有意义； ，故C选项有意义； ，的分母为，故D选项无意义． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）当x满足______时，分式有意义． 【答案】 且 【分析】分式有意义需要满足分母不为零，同时二次根式的被开方数为非负数，据此列出不等式组求解即可得到的取值范围． 【详解】解：要使分式有意义，需满足， 解不等式，得， 解不等式，得， 因此的取值范围是且． 【题型3 求二次根式的值】 【例3】（25-26八年级下·广西河池·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将给定的x值代入二次根式，化简计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【变式3-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 【变式3-3】（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型4 二次根式的双重非负性】 【例4】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）若，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级下·甘肃定西·期中）已知，则_____． 【答案】/ 【分析】根据非负数的性质求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， 解得， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）若，，则的值是________． 【答案】 【分析】结合，化简，即可作答． 【详解】解：∵，， ， 【变式4-3】已知，均为实数，，则的值为________． 【答案】8 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：8 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 【题型5 】 【例5】（25-26八年级下·江苏南京·期末）计算的结果是______（结果保留）． 【答案】 【分析】先比较出，再结合二次根式的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】（25-26八年级下·山东临沂·期中）若，则化简的结果是_______． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式5-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求的取值范围． 解：原式． 当时，原式， 解得（舍去）； 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式，解得． 综上所述，的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：； (2)若，求的值； (3)请直接写出满足的a的取值范围为_____． 【答案】(1)4 (2)或4 (3) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、解绝对值方程，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）先计算算术平方根，再根据a的取值范围去绝对值即可求解． （2）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． （3）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）∵， ∴， 当时，， 解得， 当时，，此时方程无解； 当时，， 解得； 综上所述，的值为或4． （3）解：∵， ， 当时，原式， 解得， 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式， 解得（舍去）， 综上所述：a的取值范围为． 【变式5-3】若化简|1-x|-的结果为2x﹣5，则x的取值范围是（　　） A． x为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D． x≤4 【答案】B 【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可． 【详解】原式可化简为|1-x|-|x-4|， 当1-x≥0，x-4≥0时，可得x无解，不符合题意； 当1-x≥0，x-4≤0时，可得x≤1时，原式=1-x-4+x=-3； 当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3； 当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5， 据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5， 故选B． 【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论． 【题型6 】 【例6】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）的值为___________． 【答案】2026 【详解】解：． 【变式6-1】（25-26八年级下·山东·课后作业）______． 【答案】/ 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用绝对值的性质和二次根式的性质化简原式，合并同类项得到结果． 【详解】解：要使二次根式有意义，被开方数需满足，即 当时，， ， 原式 ． 【变式6-2】若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是______． 【答案】1 【分析】根据数轴得，化简计算即可，本题考查了数轴上数的大小小，二次根式的化简，熟练掌握化简的基本原则是解题的关键． 【详解】根据题意，得， ∴ ． 故答案为：． 【变式6-3】挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b是实数，且，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及利用二次根式的性质化简，解题关键是掌握二次根式有意义的条件，挖掘出隐含条件． （1）由根号内的数据大于等于0，得，解得，再根据，去根号，化简求解即可； （2）由根号内的数据大于等于0，得，且，解得，将的值代入式子，得的取值范围，再对进行去根号，化简即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ， ， ， 解得． （2）解：由题意，得 ，且， 且， ， ，， ，， ． 【题型7 求二次根式中的参数】 【例7】（25-26八年级下·山西大同·期中）已知是整数，正整数的值可以是______． 【答案】2（答案不唯一） 【详解】解：是整数，为正整数， 是完全平方数， 取， 解得． 【变式7-1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）当__________时，二次根式的值是0． 【答案】 【分析】根据二次根式的值为0，可知被开方数为0，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， 两边平方，得． 移项，得， 系数化为1，得， 故答案为：． 【变式7-2】已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2． 【详解】∵是整数，且， ∴是完全平方数， 设（m是正整数）， 则， ∵与同奇同偶， ∴，或， ∴，或， ∴， ∴n的最小正整数值是2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组． 【变式7-3】已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 【答案】或或 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． 【题型8 二次根式的规律探究】 【例8】（24-25八年级下·山东济宁·期中）观察下列各式： ，，，…… 按照以上的规律，写出第10个式子为________________． 【答案】 【分析】本题考查的是数字的变化规律和二次根式的性质，根据上述等式找出一般规律是解题的关键． 根据上述等式，得出一般规律：第个等式为，即可得出第10个等式． 【详解】解：根据上述等式，得出一般规律：第个等式为， 第10个等式：， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为，即可求解． 【详解】解：各单项式的系数依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的系数为． 各单项式的字母部分依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的字母部分为． 综上，第个单项式为． 故选：D 【变式8-2】（24-25七年级下·内蒙古兴安·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行                       1   第二行                   2     第三行               3       第四行          4         …… 根据数阵规律，第八行倒数第四个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察数阵规律，每行被开方数为连续自然数，第n行最后一个数的被开方数为，第八行最后一个数为，倒数第四个数即第13个数，对应被开方数为，解答即可． 本题考查了规律问题，正确发现被开方数的规律是解题的关键． 【详解】解：1. 确定每行最后一个数的规律： 第1行：； 第2行：； 第3行：； 第8行：； 2. 计算第八行的被开方数范围： 第八行最后一个数为，共有16个数（每行有个数），被开方数从上一行最后一个数+1开始，即57到72． 3. 定位倒数第四个数： 倒数第一个数为第16个（），倒数第四个数为第13个．被开方数为，故该数为． 因此，第八行倒数第四个数为， 故选：D． 【变式8-3】（25-26八年级上·江苏南通·期末）小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（为正整数），则________． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，数字类规律探索，利用二次根式的性质化简等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令，求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：由规律可得：， 当时，式子为， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型9 二次根式的化简】 【例9】（25-26八年级下·北京朝阳·阶段检测）若，，化简____________________． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质，结合，的条件去掉绝对值，化简后合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式9-1】（25-26八年级下·山东聊城·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 【答案】 【分析】先根据数轴判断与的符号，再根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴． 【变式9-2】（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及运用完全平方公式进行计算，将根号内的被开方数配成完全平方形式，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 【变式9-3】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.1 认识二次根式（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 二次根式的定义】 2 【题型2 二次根式有意义的条件】 2 【题型3 求二次根式的值】 3 【题型4 二次根式的双重非负性】 3 【题型5 】 3 【题型6 】 4 【题型7 求二次根式中的参数】 4 【题型8 二次根式的规律探究】 4 【题型9 二次根式的化简】 5 考点1 认识二次根式 知识点1 二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数． 2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 知识点2 二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 知识点3 二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 【题型1 二次根式的定义】 【例1】下列是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）下列式子一定是二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【变式1-3】（25-26九年级下·山东淄博·阶段检测）下列式子①：②；③；④：⑤中，二次根式的个数为（        ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2 二次根式有意义的条件】 【例2】（25-26八年级下·广东惠州·期末）若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）函数中自变量的取值范围是________． 【变式2-2】（24-25八年级下·河北邢台·期末）当时，下列各式无意义的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）当x满足______时，分式有意义． 【题型3 求二次根式的值】 【例3】（25-26八年级下·广西河池·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【变式3-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3-3】（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型4 二次根式的双重非负性】 【例4】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）若，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级下·甘肃定西·期中）已知，则_____． 【变式4-2】（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）若，，则的值是________． 【变式4-3】已知，均为实数，，则的值为________． 【题型5 】 【例5】（25-26八年级下·江苏南京·期末）计算的结果是______（结果保留）． 【变式5-1】（25-26八年级下·山东临沂·期中）若，则化简的结果是_______． 【变式5-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求的取值范围． 解：原式． 当时，原式， 解得（舍去）； 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式，解得． 综上所述，的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：； (2)若，求的值； (3)请直接写出满足的a的取值范围为_____． 【变式5-3】若化简|1-x|-的结果为2x﹣5，则x的取值范围是（　　） A． x为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D． x≤4 【题型6 】 【例6】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）的值为___________． 【变式6-1】（25-26八年级下·山东·课后作业）______． 【变式6-2】若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是______． 【变式6-3】挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b是实数，且，化简． 【题型7 求二次根式中的参数】 【例7】（25-26八年级下·山西大同·期中）已知是整数，正整数的值可以是______． 【变式7-1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）当__________时，二次根式的值是0． 【变式7-2】已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-3】已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 【题型8 二次根式的规律探究】 【例8】（24-25八年级下·山东济宁·期中）观察下列各式： ，，，…… 按照以上的规律，写出第10个式子为________________． 【变式8-1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25七年级下·内蒙古兴安·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行                       1   第二行                   2     第三行               3       第四行          4         …… 根据数阵规律，第八行倒数第四个数是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26八年级上·江苏南通·期末）小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（为正整数），则________． 【题型9 二次根式的化简】 【例9】（25-26八年级下·北京朝阳·阶段检测）若，，化简____________________． 【变式9-1】（25-26八年级下·山东聊城·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 【变式9-2】（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）_____． 【变式9-3】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $