20.2 二次根式的乘除 讲义 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

本讲义聚焦二次根式的乘除核心知识点，系统梳理乘法法则（两个算术平方根的积等于被开方数积的算术平方根）、除法法则、积与商的算术平方根性质，以及最简二次根式的概念与化简步骤，形成从基础法则到性质应用再到化简技巧的递进学习支架。 该资料设计11类题型，涵盖成立条件、乘除运算、实际应用等，通过中考真题与变式题结合，培养学生抽象能力（符号意识）、运算能力（法则应用）和应用意识（如几何面积计算）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，强化知识掌握。

20.2 二次根式的乘除 【新华东师大版】 【题型1 二次根式乘除成立的条件】…………………………………………………………………………………………3 【题型2 二次根式的乘法法则】 ………………………………………………………………………………………………3 【题型3 二次根式的除法】………………………………………………………………………………………………………4 【题型4 最简二次根式】…………………………………………………………………………………………………………4 【题型5 实数范围内分解因式】………………………………………………………………………………………………5 【题型6 利用二次根式的性质化简】 ………………………………………………………………………………………5 【题型7 含隐含条件的参数范围化简二次根式】 ………………………………………………………………………5 【题型8 复合二次根式的化简】………………………………………………………………………………………………6 【题型9 利用分母有理化求值】………………………………………………………………………………………………7 【题型10 二次根式的规律探究】……………………………………………………………………………………………8 【题型11 二次根式的实际应用】……………………………………………………………………………………………9 知识点1 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 知识点2 积的算术平方根 1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式． 2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． 3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 知识点3 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 知识点4 商的算术平方根 商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 知识点5 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 【题型1 二次根式乘除成立的条件】 【例1】（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有，该运算法则成立的条件是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】（2026·四川·遂宁中学月考）如果成立，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D.且 【变式1-2】等式成立的条件是 【变式1-3】辰辰认为对任意，都成立，他化简的过程如下： . （1） 他的化简对吗？如果不对，请写出正确的化简过程； （2） 说明成立的条件. 【题型2 二次根式的乘法法则】 【例2】（2025·广东·中考真题）计算的结果是（ ） A．3 B．6 C． D． 【变式2-1】（2025·广西·中考真题） ． 【变式2-2】（）=_______ 【变式2-3】计算： 【题型3 二次根式的除法】 【例3】计算：=_________ 【变式3-1】（24-25八年级下·北京·期中）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级·全国·假期作业）计算的结果是（ ） A．1 B． C． D． 【变式3-3】若一个三角形的面积为，其一边长为，则该边上的高长为（ ） A. B. C. D. 【题型4 最简二次根式】 【例4】（24-25八年级下·湖北随州·期中）下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 【变式4-1】化为最简二次根式是（ ） A． B．6 C． D． 【变式4-2】（2026·福建漳州·三中期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·重庆黔江·月考）若二次根式是最简二次根式，则正整数的最小值是__________ 【题型5 实数范围内分解因式】 【例5】在实数范围内分解因式：． 【变式5-1】在实数范围内分解因式：= 【变式5-2】（2025·江苏泰州·三模）在实数范围内分解因式： ． 【变式5-3】（2025·江苏无锡·一模）在实数范围内分解因式： ． 【题型6 利用二次根式的性质化简】 【例6】若把根号外的因式移到根号内，得（ ） A． B. C． D． 【变式6-1】化简的结果是（ ） A． B. C. D． 【变式6-2】把分式，根号外的字母移进根号内的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若，则化简为（ ） A． B． C． D． 【题型7 含隐含条件的参数范围化简二次根式】 【例7】若为实数，且满足，则的值为 ． 【变式7-1】（24-25七年级下·天津和平·期中）若实数a，b，c满足关系式，则c＝ ． 【变式7-2】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【变式7-3】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知是两两不相等的实数，且满足，则的值为 【题型8 复合二次根式的化简】 【例8】（2025八年级下·全国·专题练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 【变式8-1】化简：=____________ 【变式8-2】（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）（ ） A． B． C．3 D．1 【变式8-3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【题型9 利用分母有理化求值】 【例9】（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下面计算过程： ； ； 试求： （1）的值为 （2）求的值． （3）若，求的值． 【变式9-1】（24-25八年级上·上海·期中）写出的一个有理化因式 ． 【变式9-2】（24-25遂宁市阶段性练习）计算：=________ 【变式9-3】通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化． 如这些运算都称为分母有理化． （1）将下列二次根式分母理化：=___________， =___________ （2）甲、乙两人化简时，写出两种不同的解答过程． 甲： 乙： 请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（ ） A．甲对乙错     B．甲错乙对     C．甲、乙全对     D．甲、乙全错 （3）已知有理数a、b满足求a、b的值． 【题型10 二次根式的规律探究】 【例10】（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（ ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25九年级下·山东烟台·期末）观察下列等式：①；②；③；…；请根据以上规律，写出第9个等式 ． 【变式10-2】（2025·云南曲靖·二模）在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（ ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2025·河北保定·一模）小明做数学题时，发现规律：；；；；… （1）第5个等式为 ； （2）若（，b为正整数），则=__________ 【题型11 二次根式的实际应用】 【例11】如图，有一张边长为 cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 cm．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积． 【变式11-1】一根彩色铁丝首尾相接可以围成一个长为cm、宽为cm的长方形相框边框。如果把这根铁丝展开拉直，重新首尾相接围成一个圆形挂饰边框，那么这个圆形挂饰的面积是（ ） A． cm² B． cm² C． cm² D． cm² 【变式11-2】（2026年黑龙江哈尔滨南岗期末）为了增强密码的安全性，有人发明了“二次根式化简法”来产生密码，例如，于是就得到一个六位数密码“500105”。按照这种产生密码的方法，对于二次根式产生的六位数密码是____________ 【变式11-3】手工课上，小敏在一张大正方形彩纸上放置了两个小正方形彩片，已知两个小正方形的面积分别为，，它们的重叠部分是一个小正方形，面积为2cm²。则大正方形彩纸上空白部分的面积为___________cm² 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2 二次根式的乘除 【新华东师大版】 【题型1 二次根式乘除成立的条件】…………………………………………………………………………………………2 【题型2 二次根式的乘法法则】 ………………………………………………………………………………………………4 【题型3 二次根式的除法】………………………………………………………………………………………………………5 【题型4 最简二次根式】…………………………………………………………………………………………………………6 【题型5 实数范围内分解因式】………………………………………………………………………………………………7 【题型6 利用二次根式的性质化简】 ………………………………………………………………………………………8 【题型7 含隐含条件的参数范围化简二次根式】 ………………………………………………………………………9 【题型8 复合二次根式的化简】……………………………………………………………………………………………10 【题型9 利用分母有理化求值】……………………………………………………………………………………………12 【题型10 二次根式的规律探究】…………………………………………………………………………………………14 【题型11 二次根式的实际应用】……………………………………………………………………………………………16 知识点1 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 知识点2 积的算术平方根 1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式． 2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． 3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 知识点3 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 知识点4 商的算术平方根 商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 知识点5 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 【题型1 二次根式乘除成立的条件】 【例1】（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有，该运算法则成立的条件是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【考点】二次根式乘法成立的条件：，必须 【解析】二次根式，根号内不能为负数，所以 【变式1-1】（2026·四川·遂宁中学月考）如果成立，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D.且 【答案】C 【考点】二次根式除法成立的条件：，要求 【解析】由二次根式除法成立的条件知：，则 【变式1-2】等式成立的条件是 【答案】 【考点】二次根式有意义的条件 【解析】由二次根式有意义的条件知：，即： 【变式1-3】辰辰认为对任意，都成立，他化简的过程如下： . （1） 他的化简对吗？如果不对，请写出正确的化简过程； （2） 说明成立的条件. 【答案】（1）不对，正确结果是3；（2） 【考点】二次根式除法成立的条件： 【解析】（1）用时，须满足，故； （2）次根式除法成立的条件： 【题型2 二次根式的乘法法则】 【例2】（2025·广东·中考真题）计算的结果是（ ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【考点】 【解析】= 【变式2-1】（2025·广西·中考真题） ． 【答案】 【考点】二次根式的乘法 【解析】 【变式2-2】（）=_______ 【答案】 【考点】二次根式的乘法 【解析】= 【变式2-3】计算： 【答案】39 【考点】二次根式的乘法 【解析】= 【题型3 二次根式的除法】 【例3】计算：=_________ 【答案】 【考点】 【解析】= 【变式3-1】（24-25八年级下·北京·期中）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【考点】二次根式的性质、二次根式成立的条件 【解析】A：，故A不符合题意； B：，故B不符合题意； C：，比如时，，而，故C不符合题意； D：，故D符合题意 【变式3-2】（23-24八年级·全国·假期作业）计算的结果是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【考点】二次根式的乘除混合运算 【解析】= 【变式3-3】若一个三角形的面积为，其一边长为，则该边上的高长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】三角形的面积S=（为三角形的一条边长，为该边上的高） 【解析】，解得 【题型4 最简二次根式】 【例4】（24-25八年级下·湖北随州·期中）下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 【答案】C 【考点】最简二次根次 【解析】最简二次根式应满足：被开方数中，不含开方开得尽的因数；被开方数中，不含分母，不含小数； ①=；②=；③=；④和⑤为最简二次根式。 【变式4-1】化为最简二次根式是（ ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【考点】最简二次根次 【解析】= 【变式4-2】（2026·福建漳州·三中期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【考点】最简二次根次 【解析】B：； C: D: 【变式4-3】（2026·重庆黔江·月考）若二次根式是最简二次根式，则正整数的最小值是__________ 【答案】2 【考点】最简二次根次 【解析】由正整数满足是最简二次根式，可从1，2，……，依次代入检验，知最小正整数=2 【题型5 实数范围内分解因式】 【例5】在实数范围内分解因式：． 【答案】 【考点】配方法、平方差 【解析】= 【变式5-1】在实数范围内分解因式：= 【答案】 【考点】平方差 【解析】== 【变式5-2】（2025·江苏泰州·三模）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【考点】提公因式法、公式法（平方差公式）分解因式 【解析】 【变式5-3】（2025·江苏无锡·一模）在实数范围内分解因式： 【答案】 【考点】提公因式法、公式法（平方差公式）分解因式 【解析】 【题型6 利用二次根式的性质化简】 【例6】若把根号外的因式移到根号内，得（ ） A． B. C． D． 【答案】B 【考点】时， 【解析】 【变式6-1】化简的结果是（ ） A． B. C. D． 【答案】A 【考点】隐含条件：，即 【解析】= 【变式6-2】把分式，根号外的字母移进根号内的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【考点】隐含条件：，即 【解析】= 【变式6-3】（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若，则化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【考点】隐含条件：，结合，知：， 由得 【解析】= 【题型7 含隐含条件的参数范围化简二次根式】 【例7】若为实数，且满足，则的值为 ． 【答案】 【考点】非负性配方 【解析】， ， ， 得：，，， = 【变式7-1】（24-25七年级下·天津和平·期中）若实数a，b，c满足关系式，则c＝ ． 【答案】404 【考点】二次根式被开方数的非负性 【解析】∵且，∴, ∴， ∴，， ∴ 【变式7-2】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【答案】3 【考点】二次根式被开方数的非负性 【解析】∵，∴， ∴原式等价于：， ∴①，②， ②×2-①得： ∴，即 【变式7-3】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知是两两不相等的实数，且满足，则的值为 【答案】1 【考点】二次根式被开方数的非负性 【解析】由二次根式有意义知：，则，即， ∴ 【题型8 复合二次根式的化简】 【例8】（2025八年级下·全国·专题练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【考点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【解析】（1）； （2）． 【变式8-1】化简：=____________ 【答案】 【考点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【解析】= 【变式8-2】（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）（ ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【考点】绝对值化简、复合二次根式配方、二次根式性质 【解析】∵2＞，∴=2-； ∴ 【变式8-3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】 【考点】多层复合二次根式化简、逐层配方 【解析】， 【题型9 利用分母有理化求值】 【例9】（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下面计算过程： ； ； 试求： （1）的值为 （2）求的值． （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【考点】平方差公式、分母有理化、裂项相消、代数式降次 【解析】（1）=； （2） = = （3）∵， ∴，∴ 【变式9-1】（24-25八年级上·上海·期中）写出的一个有理化因式 ． 【答案】 【考点】有理化因式的定义：两式相乘后不含二次根式 【解析】，结果为整式，故有理化因式为 【变式9-2】（24-25遂宁市阶段性练习）计算：=________ 【答案】 【考点】分母有理化 【解析】 【变式9-3】通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化． 如这些运算都称为分母有理化． （1）将下列二次根式分母理化：=___________， =___________ （2）甲、乙两人化简时，写出两种不同的解答过程． 甲： 乙： 请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（ ） A．甲对乙错     B．甲错乙对     C．甲、乙全对     D．甲、乙全错 （3）已知有理数a、b满足求a、b的值． 【答案】（1），；（2）B；（3） 【考点】分母有理化 【解析】（1）， （2）甲错乙对，甲将式子的分子分母同时乘以，忽略了时，变形不正确； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【题型10 二次根式的规律探究】 【例10】（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【考点】数字类规律探索 【解析】由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 【变式10-1】（24-25九年级下·山东烟台·期末）观察下列等式：①；②；③；…；请根据以上规律，写出第9个等式 ． 【答案】 【考点】找规律 【解析】规律为： 【变式10-2】（2025·云南曲靖·二模）在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【考点】单项式的规律探究 【解析】规律：系数为2n（n为项数）、根号内部n（）、字母指数n（n²） 【变式10-3】（2025·河北保定·一模）小明做数学题时，发现规律：；；；；… （1）第5个等式为 ； （2）若（，b为正整数），则=__________ 【答案】（1）；（2）520 【考点】找规律 【解析】（1）； （2）规律：（，为正整数）， ∵ ∴，， ∴ 【题型11 二次根式的实际应用】 【例11】如图，有一张边长为 cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 cm．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积． 【答案】 【考点】本题主要考查二次根式运算的应用，准确的计算是解题的关键．利用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可得出答案； 【解析】解：由题意，得 故剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积为 【变式11-1】一根彩色铁丝首尾相接可以围成一个长为cm、宽为cm的长方形相框边框。如果把这根铁丝展开拉直，重新首尾相接围成一个圆形挂饰边框，那么这个圆形挂饰的面积是（ ） A． cm² B． cm² C． cm² D． cm² 【答案】B 【考点】本题主要考查二次根式运算的应用 【解析】铁丝的长度为：，圆形的半径：，圆的面积： 【变式11-2】（2026年黑龙江哈尔滨南岗期末）为了增强密码的安全性，有人发明了“二次根式化简法”来产生密码，例如，于是就得到一个六位数密码“500105”。按照这种产生密码的方法，对于二次根式产生的六位数密码是____________ 【答案】800202 【考点】二次根式的化简及新定义规则的应用 【解析】 【变式11-3】手工课上，小敏在一张大正方形彩纸上放置了两个小正方形彩片，已知两个小正方形的面积分别为，，它们的重叠部分是一个小正方形，面积为2cm²。则大正方形彩纸上空白部分的面积为___________cm² 【答案】正方形的面积公式、二次根式的化简与运算 【考点】二次根式的化简及新定义规则的应用 【解析】 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $