第十一章 不等式与不等式组 暑假巩固作业01 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 暑假巩固作业聚焦不等式与不等式组，分层设计从基础概念到综合应用，梯度合理，助力知识巩固与数学思维提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|不等式性质、解集表示、简单求解|选择1-5、填空11-13、解答17-18，夯实基础运算与概念理解| |能力提升|实际应用建模、不等式组参数问题|选择6-10、填空14-15、解答19-21，结合生活情境（如体质指数、图书摆放）培养应用意识| |综合拓展|新定义运算、跨知识综合|选择8/10、填空16、解答22-24，通过“相容/相斥不等式组”等创新题型发展推理能力与创新意识|

第十一章 不等式与不等式组（暑假巩固作业01） 一、选择题 1．若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．如图是小敏绘制的个表示不等式解集的数轴，其中表示的解集的是（     ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式变形不正确的是（     ） A． B． C． D． 4．估计的值应在（     ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 5．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（     ） A． B． C． D． 6．小明测量一种玻璃球的体积，他的方法是： ①将的水倒进一个容量为的杯子中； ②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； ③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积的范围是（     ） A． B． C． D． 7．已知一个不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则符合条件的不等式组为（     ） A． B． C． D． 8．设●、▲、■表示三种不同的物体，用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体的重量从小到大的顺序为（     ） A．■、●、▲ B．▲、●、■ C．■、▲、● D．▲、■、● 9．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若关于的取值范围如下图所示，用不等式表示为___________． 12．如果既满足又满足的x的值只有一个，那么___________． 13．如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 14．定义一种新运算，如，若，且m为整数，则m的所有可能值的和为______． 15．七年级（1）班要从五个候选人中选一名班长，全班50人每人写一张选票，要求每张选票最少写一个候选人，最多写三个不同的候选人．选要收齐后，开始唱票统计，下表为统计过程中的一个结果（未统计完），继续统计完剩余选票．若候选人A能被选为班长，则他至少还需得票_____张． 候选人 结果 A 28 B    17 C    24 D 23 E    21 16．定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 三、解答题 17．解不等式：． 18．请按题目要求解答下列问题：解不等式． 解：去分母，得 ，变形的依据是：___________ 去括号，得 ，变形的依据是：___________ 移项，得 ，移项一定要注意的是：___________ 合并同类项，得 ，合并同类项的方法是：___________ 两边都除以，得： ___________ 请将原不等式的解集在如下数轴上表示出来 19．目前世界公认的一种评定肥胖程度的分级方法为“体质指数法”，体重身高2（单位：），当一个人的“体质指数”为（包括，）时属正常，设某人的为． (1)用不等式表示为正常的指数范围，并把它表示在数轴上； (2)当一个人为下列值时，他的体质属于正常吗？用不等式和数轴给出解释； ①；②；③；④． (3)请判断一下你父亲（或母亲）的是否正常，并提出合理化建议． 20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 21．《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 22．阅读：我们可以用表示不大于的最大整数，例如 ， ， 等． 是大于的最小整数，对任意的实数 都满足不等式 ①． (1)填空： ________； (2)利用不等式①，求满足的所有解． 23．定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 24．当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为． (1)不等式组的“解集长度”是________； (2)已知关于的不等式组的“解集长度”为2，则________； (3)已知关于的不等式组的“解集长度”小于3，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第十一章 不等式与不等式组（暑假巩固作业01） 参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D A C C B D A 1．C 【分析】根据不等式的性质逐一判断选项即可. 【详解】解：∵ ∴，故A错误； ∵ ， ∴ ， 又， ∴，即，故B错误； ∵ ， ∴，故C正确； ∵ ， ∴，故D错误. 2．B 【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法进行判断：大于向右画，小于向左画；有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈． 【详解】解：∵不等式为， ∴解集方向应向左，且端点2处应为实心圆点， 观察各选项，只有B选项符合题意． 3．D 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项，找出变形不正确的选项即可． 【详解】解：∵不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变， ∴由可得，A变形正确，不符合要求； ∵不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变， ∴由可得，B变形正确，不符合要求； ∴由可得，C变形正确，不符合要求； ∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴由可得，因此D变形不正确，符合要求． 4．D 【分析】先估算出的取值范围，再根据不等式性质得到的范围，即可判断结果. 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴ ， 即 ∴ 的值在4到5之间. 5．A 【分析】根据“空心圆圈表示不包含该点，实心点表示包含该点；大于向右画，小于向左画，不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分”求解． 【详解】解： 从图中可得： 处是空心圆圈，折线向右，对应解集为 ； 处是实心点，折线向左，对应解集为 ； 两个解集的公共部分为 ． 6．C 【分析】设一个玻璃球的体积为，根据题意中放入4颗球水未满和放入5颗球水溢出的条件列出一元一次不等式组求解即可. 【详解】解：设一个玻璃球的体积为，由题意，得 ，解得. 故一个玻璃球的体积的范围是. 7．C 【详解】解：根据数轴可得不等式组为． 8．B 【分析】根据天平的倾斜和平衡情况，列出不等式和等式，利用不等式的性质比较三种物体的质量大小，结合选项进行判断即可． 【详解】解：由左图天平左低右高可知，左盘质量大于右盘质量，得， ，即的质量大于的质量， 由右图天平平衡可知，左盘质量等于右盘质量，得， ， ，即的质量大于的质量， ∴， 三种物体按质量从小到大的顺序为． 9．D 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再根据一元一次不等式组无解的解集规律，得到关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∵不等式组无解，两个解集没有公共部分， ∴， 解得． 10．A 【分析】先根据题意得到钢笔总数，再表示出最后一名同学分得的钢笔数量，结合数量范围列出不等式组即可. 【详解】解：班级共有名学生，每人分支剩余支， 钢笔总数为支， 若每人分支，只有最后一名同学分得的数量不足支，则前名同学共分得支， 最后一名同学分得的钢笔数量为支， 最后一名同学分到钢笔数量大于，且不足支， ． 11． 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式．观察数轴进行作答即可． 【详解】解：由数轴可知，不等式表示为， 故答案为：． 12．1 【分析】根据一元一次不等式组的解集的定义，即可确定的值． 【详解】解：当时，不等式组的解集为，包含无数个实数，不符合题意； 当时，不等式组无解，没有满足条件的，不符合题意； 当时，不等式组的解为，仅有一个满足条件的，符合题意． 13． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 14． 【分析】根据定义的新运算列得关于m的一元一次不等式组，解不等式组并确定整数m的值，然后相加并计算即可． 本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得：， 为整数， ，，，0，1，2， 则， 故答案为： 15．17 【分析】本题主要考查了不等式的应用， 先求出统计票数，即可得出最多的总票数，再根据最不利情况列出不等式，求出解集可得答案. 【详解】解：已统计的票数为（张）， 当每人写三个不同的候选人时，最多的票数为（张）， 此时剩余（张）， 与A最接近的是C，设A需要x张票，从最不利情况，得 ， 解得， x取整数17， 所以他至少需得票17张. 16． 【分析】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【详解】解：为正数，， 对于， ，即， ， 由得，解得， 对于， ，即， ， 由得，解得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有三个整数解，三个整数解为， ， 不等式两边同时加，得． 17． 【分析】此题考查了一元一次不等式的求解．按一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可求解，注意系数化为1时变号． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 18．见解析 【分析】题目主要考查解不等式的方法步骤，根据解不等式的步骤求解即可，熟练掌握解法是解题关键． 【详解】解：解：去分母，得 ，变形的依据是：不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变； 去括号，得 ，变形的依据是：乘法分配律； 移项，得 ，移项一定要注意的是：改变符号； 合并同类项，得 ，合并同类项的方法是：系数的和作为系数，字母连同它的指数不变； 两边都除以，得： ． 在数轴上表示如下： 19．(1)为正常的指数范围是，数轴表示见解析； (2)当一个人为时，他的体质不正常；当一个人为时，他的体质正常；不等式和数轴解释见解析； (3)我母亲的正常，建议继续保持． 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是熟练掌握用数轴表示不等式的解集． （1）根据题意即可得不等式，用数轴表示该不等式的解集即可； （2）根据正常的指数范围，分析每个序号对应的数据即可； （3）根据实际情况，将数据代入公式计算并分析结果． 【详解】（1）解：根据题意，为正常的指数范围是，在数轴上表示如下： （2）解：∵，，不在的范围内，在的范围内， ∴当一个人为时，他的体质不正常；当一个人为时，他的体质正常． 用数轴解释如下： （3）解：我的母亲身高，体重，， ∵在范围内， ∴我母亲的正常，建议继续保持． 20．；在数轴上表示不等式组的解集如下： 【分析】先分别解不等式①和②，然后求公共解，得到不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为．数轴略 21．(1)87本 (2)共有2种摆放方案，方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书；方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立不等式（组）求解． （1）设艺术类图书还可以摆放x本，根据文学类图书的厚度艺术类图书的厚度小于等于建立不等式求解； （2）设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本，根据题意建立不等式组求解整数解即可． 【详解】（1）解：设艺术类图书还可以摆放x本，根据题意得：， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴． ∴艺术类图书最多还可以摆放87本 （2）解：设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35， ∴共有2种摆放方案， 方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书； 方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书． 22．(1) (2)或 【分析】（1）根据定义，表示不大于x的最大整数，不大于的最大整数是． （2）将代入题干给出的不等式，得到关于x的一元一次不等式组，求出x的取值范围后，结合是整数的性质，即可求出所有满足条件的解． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴， 解不等式，解得， 解不等式，解得， ∴， ∴， ∴， ∵表示不大于的最大整数， ∴或， 解得或． 23．(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解； （2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解； （3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：． （2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， 或． 或． （3）由题意，是的“相容不等式组”， ． ． 的整数解为，且和的整数解相同， ． ． ． 综上所述：． 24．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）求出不等式解集，利用题目所给定义求出“解集长度”； （2）求出不等式解集，表示出其“解集长度”，结合题目条件即可求出的值； （3）求出不等式解集，表示出其“解集长度”，结合题目条件即可求的取值范围，这里注意这个条件． 【详解】（1）解：， ①移项得，解得， ②移项得，解得， 故原不等式组的解集为， 故其“解集长度”为； （2）解：， 解①得， ②移项得， 解得， 故原不等式组的解集为， 其“解集长度”为2， ， 解得； （3）解：， ①化简得，移项得，解得， 解②得， 故原不等式组的解集为， 其“解集长度”小于3， ， ①化简得，解得， ②化简得，解得， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $