第十一章《二元一次方程组不等式与不等式组》暑假巩固复习练习 2024—2025学年人教版数学七年级下册

人教版数学七年级下册暑假巩固复习 第十一章《不等式与不等式组》 综合练习 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．如果a＜b，那么下列结论一定正确的是（　　） A．a﹣3＞b﹣3 B．3﹣a＞3﹣b C．ac2＜bc2 D．2a2＜2b2 【解答】解：∵a＜b， A．根据不等式的两边同时加上或减去一个数不等式仍然成立，∴a﹣3＜b﹣3，故此选项错误； B．根据不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变， ∴﹣a＞﹣b，再利用不等式的两边同时加上或减去一个数不等式仍然成立， ∴3﹣a＞3﹣b，故此选项正确； C．根据不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不改变，∵c 2可能等于0，∴ac2＜bc2，不一定成立，故此选项错误； D．根据不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变，当a，b都小于0时，2a2＞2b2，故此选项错误． 故选：B． 2．下列数是不等式5x﹣3＜7的一个解的是（　　） A． B．2 C． D．3 【解答】解：由题可知， 5x﹣3＜7， 5x＜10， x＜2． 则只有A符合题意； 故选：A． 3．下列不等式组的解集表示在数轴上如图所示的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从数轴可知：不等式组的解集是﹣1＜x≤1，即． 故选：B． 4．若不等式组的解集是x＜2，则m的取值范围是（　　） A．m＝2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2 【解答】解：∵不等式2x﹣1＞3（x﹣1）的解集为x＜2， 又∵不等式组的解集为x＜2， ∴m≥2， 故选：B． 5．若不等式组的解集为2＜x＜3，则（a+b）2025的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2025 【解答】解：由x﹣a＞0得：x＞a， 由3x+b＜6得：x， 因为不等式组的解集为2＜x＜3， 所以a＝2，3， 解得b＝﹣3， 所以（a+b）2025＝（2﹣3）2025＝﹣1， 故选：C． 6．若实数m满足﹣1＜m≤2，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（　　） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 【解答】解：∵， ∴， ∴m≤x＜5， ∵﹣1＜m≤2， ∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4， ∴.0+1+2+3+4＝10或1+2+3+4＝10或2+3+4＝9， 故选：B． 7．某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元，为了尽快减少库存，商店准备打折出售，但要使利润率不低于10%，则该商品至多可以打（　　） A．8折 B．7折 C．6折 D．5折 【解答】解：设该商品打x折销售， 根据题意得：， 解得x≥8， ∴该商品最多打8折销售， 综上所述，只有选项A正确，符合题意． 故选：A． 8．周末，小舞到社区附近体育馆去游泳，在咨询收费情况时，负责值班的两名同学有了下面这段对话． 小舞大致计算了一下自己的游泳情况，试判断下列说法正确的是（　　） A．如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适 B．如果一年使用次数超过10，那么采用办会员卡的方式比较合适 C．不管自己一年使用多少次，这两种收费方式都一样 D．无法判断这两种收费方式哪种比较合适 【解答】解：设小舞一年游泳x次，则班会员卡一年的费用为（400+10x）元，不办会员卡一年的费用为30x元， 当400+10x＞30x时，x＜20； 当400+10x＝30x时，x＝20； 当400+10x＜30x时，x＞20； ∴如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适； 如果一年使用次数不超过20，那么采用不办会员卡的方式比较合适； 如果一年使用次数为20，那么两种方式费用一样； 故选：A． 9．某电梯乘载的质量超过300千克时会响起警示音，已知小华、小欧的体重分别为45千克、70千克．小华进入电梯，警示音没响，小欧在小华之后进入电梯，警示音响起．设电梯在两人进入前已乘载的质量为x千克，则x满足（　　） A．185＜x≤255 B．185≤x＜255 C．230＜x≤255 D．230≤x＜255 【解答】解：由题意得：， 解得：185＜x≤255， 故选：A． 10．已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的一个解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④是方程组的解．其中说法错误的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．②③ 【解答】解：当a＝1时，，解得，，∴x+y＝0≠2﹣1，故①错误， 当a＝﹣2时，，解得，，则x+y＝6，此时x与y不是互为相反数，故②错误， ∵，解得，， ∵x≤1，则1，得a≥0， ∴0≤a≤1，则1，即1≤y，故③错误， ∵，解得，，当x4时，得a，y，故④错误， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．根据图示，写出关于x的不等式的解集为　x＜2　 ． 【解答】解：由所给数轴可知，该不等式的解集为x＜2． 故答案为：x＜2． 12．用适当的不等号填空：如果a≤b，b≤c，那么a 　≤　 c． 【解答】解：∵a≤b，b≤c， ∴a≤c， 故答案为：≤． 13．已知y﹣2x＝1，当x满足　x＞0　 时，y＞1． 【解答】解：∵y﹣2x＝1， ∴y＝2x+1， ∵y＞1， ∴2x+1＞1， ∴x＞0， 故答案为：x＞0． 14．若6a＝3b+12＝2c，且b≥﹣2，c≤9，设t＝2a+b﹣c，则t的取值范围为　﹣3≤t≤﹣1　 ． 【解答】解：∵6a＝3b+12＝2c， ∴c＝3a，b＝2a﹣4， ∴t＝2a+b﹣c＝2a+2a﹣4﹣3a＝a﹣4， 即tc﹣4或tb﹣2， 又∵b≥﹣2，c≤9， ∴﹣3≤t≤﹣1． 故答案为：﹣3≤t≤﹣1． 15．已知关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是 　a＞﹣2　 ． 【解答】解：， 由①得：3x＞6， x＞2， 由②得：5x≤12+a， ， ∵关于x的不等式组有解， ∴， 12+a＞10， a＞﹣2， 故答案为：a＞﹣2． 16．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于y的方程﹣5﹣2（y﹣1）＝a的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为　﹣8　 ． 【解答】解：由题意，解不等式组， ∴． 又∵此时不等式组有且只有4个整数解， ∴满足题意的整数为2，3，4，5． ∴56． ∴﹣6＜a≤﹣3． ∵﹣5﹣2（y﹣1）＝a， ∴y． 又∵此方程的解为非负整数， ∴3+a是2的非正整数倍． ∵﹣6＜a≤﹣3， ∴﹣3＜3+a≤0． ∴3+a＝0或﹣2． ∴a＝﹣3或﹣5． ∴符合条件的所有整数a的和﹣8． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． （1）5x≤3x+2； （2）． 【解答】解：（1）5x≤3x+2， 5x﹣3x≤2， 2x≤2， x≤1， 解集在数轴上表示为： ； （2）， 由①得：3x+4≥5x﹣10， 3x﹣5x≥﹣4﹣10， ﹣2x≥﹣14， x≤7， 由②得：6﹣3（x﹣2）＜2（1+x）， 6﹣3x+6＜2+2x， ﹣3x﹣2x＜2﹣6﹣6， ﹣5x＜﹣10， x＞2， 解集在数轴上表示为： ， ∴不等式组的解集为：2＜x≤7． 18．下面是小年同学解不等式的过程，请认真阅读并帮助小年完成相应任务． 解不等式． 解：6﹣3（x+6）＜2（2x+1），…第一步 6﹣3x﹣18＜4x+2，…第二步 ﹣3x﹣4x＜2+18﹣6，…第三步 ﹣7x＜14，…第四步 x＜﹣2．…第五步 任务一： ①以上解题过程中，第一步是依据　不等式的基本性质　 进行变形的； ②该题第　五　 步出现错误，错误的原因是　不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号　 ； 任务二：请你根据平时的学习经验，就解不等式给其他同学提一条建议． 【解答】解：任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质进行变形的； ②该题第五步出现错误，错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号， 故答案为：①依据：不等式的基本性质； ②五，不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号； 任务二：解一元一次不等式时严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 19．已知方程组的解满足不等式4x﹣5y＜9．求a的取值范围． 【解答】解：两个方程相加得，x＝5a， 两个方程相减得，y＝﹣a+5， ∵4x﹣5y＜9，∴20a﹣5（﹣a+5）＜9 ∴a 20．已知，整式的值为P． （1）当m＝1时，求P的值； （2）若P的取值范围如图所示，求m的取值范围． 【解答】解：（1）当m＝1时， P＝3（m） ＝3×（1） ＝4， ∴P的值是4． （2）根据题意，得3（m）≤7， 解得m≤2， ∴m的取值范围是m≤2． 21．已知关于x、y的方程组的解是非负数． （1）求k的取值范围； （2）化简：|3k﹣1|+|k﹣3|． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∵关于x，y的方程组的解是非负数， ∴， 解得：； （2）由（1）可知：， ∴k﹣3＜0，3k﹣1≥0， ∴|3k﹣1|+|k﹣3| ＝3k﹣1+（3﹣k） ＝3k﹣1+3﹣k ＝2k+2． 22．在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： |x|＜a（a＞0）|x|＞a（a＞0）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．为求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求|x|＞2和|x|＜2和的解集．确定|x|＞2的解集过程如下： （1）请将小明的探究过程补充完整； ①先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于2的所有点所表示|x|＞2的数，在数轴上确定范围如图1：所以，|x|＞2的解集是x＞2或 　x＜﹣2　 ． ②再来确定|x|＜2的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于2的所有点所表示|x|＜2的数，在数轴上确定范围如图2：所以，|x|＜2的解集为：　﹣2＜x＜2　 ． ③经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式|x|＞a（a＞0）的解集为 　x＞a或x＜﹣a　 ，|x|＜a（a＞0）的解集为 　﹣a＜x＜a　 ． （2）请你根据小明的探究过程及得出的结论，求绝对值不等式2|x+1|﹣3＜5的解集． 【解答】解：（1）①先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如图1所示：所以|x|＞2的解集是x＞2或x＜﹣2， 故答案为：x＜﹣2； ②再来确定|x|＜2的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于2的所有点所表示|x|＜2的数，在数轴上确定范围如图2：所以，|x|＜2的解集为：﹣2＜x＜2， 故答案为：﹣2＜x＜2； ③经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式|x|＞a（a＞0）的解集为x＞a或x＜﹣a，|x|＜a（a＞0）的解集为﹣a＜x＜a． 故答案为：x＞a或x＜﹣a，﹣a＜x＜a； （2）∵2|x+1|﹣3＜5， ∴2|x+1|＜8， ∴|x+1|＜4， ∴﹣4＜x+1＜4， ∴﹣5＜x＜3， 即原绝对值不等式的解集是﹣5＜x＜3． 23．为进一步提升摩托车和电动自行车骑乘人员的安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价如表所示． A种头盔 B种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 （1）该商店第一次批发两种头盔共120个，用去5600元，求A，B两种头盔各批发了多少个？ （2）该商店第二次仍然批发这两种头盔共200个进行销售（批发价和零售价不变），若将两次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于3960元，求A种头盔第二次最少采购多少个？ 【解答】解：（1）设A种头盔批发了x个，则B种头盔批发了（120﹣x）个， 由题意得：60x+40（120﹣x）＝5600， 解得：x＝40， ∴120﹣x＝120﹣40＝80， 答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个； （2）设该商店第二次采购了m个A种头盔，则采购了（200﹣m）个B种头盔， 由题意得：（80﹣60）（40+m）+（50﹣40）（80+200﹣m）≥3960， 解得：m≥36， 答：A种头盔第二次最少采购36个． 24．已知关于x、y的方程组求：（1）若3x+3y＝18，求a值；（2）若﹣5x﹣y＝16，求a值． 问题解决： （1）王题解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将①+②可得3x+3y＝3a+3，又因为3x+3y＝18，则a值为 　5　 ； （2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减已经不能解决问题，经过思考，王磊将①×m，②×n得，再将③+④得：（m+2n）x+（2m+n）y＝（﹣m+4n）a+3m，又因为﹣5x﹣y＝16，⋯⋯请根据王磊的解题思路求出m、n及a的值． 问题拓展： （3）已知关于x，y的不等式组，若x+5y＝2，求a的取值范围． 【解答】解：（1）①+②得：3x+3y＝3a+3， ∵3x+3y＝18， ∴3a+3＝18， ∴a＝5． 故答案为：5． （2）∵（m+2n）x+（2m+n）y＝（﹣m+4n）a+3m，又因为﹣5x﹣y＝16， ∴， ∴m＝1，n＝﹣3，a＝﹣1． （3）已知关于x，y的不等式组， ①×3得：3x+6y＞﹣3a+9④， ②×（﹣1）得：﹣2x﹣y＞﹣4a⑤， ④+⑤得：x+5y＞﹣7a+9， ∵x+5y＝2， ∴2＞﹣7a+9． ∴a＞1． 25．对于x的不等式ax+b＞0（其中ab≠0），我们称不等式“bx+a＞0”是它的“逆不等式”，不等式“ax+b＜0”是它的“否不等式”． （1）对于不等式2x+1＞0，它的“逆不等式”是 　x+2＞0　 ；它的“逆不等式”和“否不等式”解集的公共部分是 　﹣2＜x　 ； （2）对于x的不等式ax+b＞0（其中ab≠0）， ①若它的“逆不等式”和“否不等式”有相同的解集，求a，b的数量关系；（用等式表示） ②若存在唯一的负整数，使得它的“逆不等式”和“否不等式”同时成立，直接写出的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，∵不等式为2x+1＞0， ∴它的“逆不等式”是 x+2＞0，它的“否不等式”是2x+1＜0． ∴它的“逆不等式”和“否不等式”解集的公共部分满足，即． ∴﹣2＜x． 故答案为：x+2＞0；﹣2＜x． （2）①由题意，∵不等式为ax+b＞0， ∴其的“逆不等式”为bx+a＞0和“否不等式”为ax+b＜0． 又∵它们有相同的解集， ∴当b＞0，a＜0时，x，x；当b＜0，a＞0时，x，x，两种情况符合题意． ∴，即a2＝b2． ∴|a|＝|b|． 又∵a，b异号，ab≠0， ∴a＝﹣b且ab≠0． ②由题意，设k， ∵存在唯一的负整数，使得它的“逆不等式”bx+a＞0和“否不等式”ax+b＜0同时成立， ∴当b＞0，a＞0时，x，xk；当b＜0，a＜0时，x，xk，符合题意． ∴x＜﹣k或﹣k＜x． ∵存在唯一的负整数， ∴﹣2≤﹣k＜﹣1或﹣21． ∴1＜k≤2或k＜1． ∴12或1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学七年级下册暑假巩固复习 第十一章《不等式与不等式组》 综合练习 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．如果a＜b，那么下列结论一定正确的是（　　） A．a﹣3＞b﹣3 B．3﹣a＞3﹣b C．ac2＜bc2 D．2a2＜2b2 2．下列数是不等式5x﹣3＜7的一个解的是（　　） A． B．2 C． D．3 3．下列不等式组的解集表示在数轴上如图所示的是（　　） A． B． C． D． 4．若不等式组的解集是x＜2，则m的取值范围是（　　） A．m＝2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2 5．若不等式组的解集为2＜x＜3，则（a+b）2025的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2025 6．若实数m满足﹣1＜m≤2，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（　　） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 7．某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元，为了尽快减少库存，商店准备打折出售，但要使利润率不低于10%，则该商品至多可以打（　　） A．8折 B．7折 C．6折 D．5折 8．周末，小舞到社区附近体育馆去游泳，在咨询收费情况时，负责值班的两名同学有了下面这段对话． 小舞大致计算了一下自己的游泳情况，试判断下列说法正确的是（　　） A．如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适 B．如果一年使用次数超过10，那么采用办会员卡的方式比较合适 C．不管自己一年使用多少次，这两种收费方式都一样 D．无法判断这两种收费方式哪种比较合适 9．某电梯乘载的质量超过300千克时会响起警示音，已知小华、小欧的体重分别为45千克、70千克．小华进入电梯，警示音没响，小欧在小华之后进入电梯，警示音响起．设电梯在两人进入前已乘载的质量为x千克，则x满足（　　） A．185＜x≤255 B．185≤x＜255 C．230＜x≤255 D．230≤x＜255 10．已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的一个解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④是方程组的解．其中说法错误的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．②③ 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．根据图示，写出关于x的不等式的解集为　 　 ． 12．用适当的不等号填空：如果a≤b，b≤c，那么a 　 　 c． 13．已知y﹣2x＝1，当x满足　 　 时，y＞1． 14．若6a＝3b+12＝2c，且b≥﹣2，c≤9，设t＝2a+b﹣c，则t的取值范围为　 　 ． 15．已知关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是 　 　 ． 16．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于y的方程﹣5﹣2（y﹣1）＝a的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． （1）5x≤3x+2； （2）． 18．下面是小年同学解不等式的过程，请认真阅读并帮助小年完成相应任务． 解不等式． 解：6﹣3（x+6）＜2（2x+1），…第一步 6﹣3x﹣18＜4x+2，…第二步 ﹣3x﹣4x＜2+18﹣6，…第三步 ﹣7x＜14，…第四步 x＜﹣2．…第五步 任务一： ①以上解题过程中，第一步是依据　 　 进行变形的； ②该题第　 　 步出现错误，错误的原因是　 　 ； 任务二：请你根据平时的学习经验，就解不等式给其他同学提一条建议． 19．已知方程组的解满足不等式4x﹣5y＜9．求a的取值范围． 20．已知，整式的值为P． （1）当m＝1时，求P的值； （2）若P的取值范围如图所示，求m的取值范围． 21．已知关于x、y的方程组的解是非负数． （1）求k的取值范围； （2）化简：|3k﹣1|+|k﹣3|． 22．在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： |x|＜a（a＞0）|x|＞a（a＞0）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．为求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求|x|＞2和|x|＜2和的解集．确定|x|＞2的解集过程如下： （1）请将小明的探究过程补充完整； ①先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于2的所有点所表示|x|＞2的数，在数轴上确定范围如图1：所以，|x|＞2的解集是x＞2或 　 　 ． ②再来确定|x|＜2的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于2的所有点所表示|x|＜2的数，在数轴上确定范围如图2：所以，|x|＜2的解集为：　 　 ． ③经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式|x|＞a（a＞0）的解集为 　 　 ，|x|＜a（a＞0）的解集为 　 　 ． （2）请你根据小明的探究过程及得出的结论，求绝对值不等式2|x+1|﹣3＜5的解集． 23．为进一步提升摩托车和电动自行车骑乘人员的安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动，某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价如表所示． A种头盔 B种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 （1）该商店第一次批发两种头盔共120个，用去5600元，求A，B两种头盔各批发了多少个？ （2）该商店第二次仍然批发这两种头盔共200个进行销售（批发价和零售价不变），若将两次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于3960元，求A种头盔第二次最少采购多少个？ 24．已知关于x、y的方程组求：（1）若3x+3y＝18，求a值；（2）若﹣5x﹣y＝16，求a值． 问题解决： （1）王题解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将①+②可得3x+3y＝3a+3，又因为3x+3y＝18，则a值为 　 　 ； （2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减已经不能解决问题，经过思考，王磊将①×m，②×n得，再将③+④得：（m+2n）x+（2m+n）y＝（﹣m+4n）a+3m，又因为﹣5x﹣y＝16，⋯⋯请根据王磊的解题思路求出m、n及a的值． 问题拓展： （3）已知关于x，y的不等式组，若x+5y＝2，求a的取值范围． 25．对于x的不等式ax+b＞0（其中ab≠0），我们称不等式“bx+a＞0”是它的“逆不等式”，不等式“ax+b＜0”是它的“否不等式”． （1）对于不等式2x+1＞0，它的“逆不等式”是 　 　 ；它的“逆不等式”和“否不等式”解集的公共部分是 　 　 ； （2）对于x的不等式ax+b＞0（其中ab≠0）， ①若它的“逆不等式”和“否不等式”有相同的解集，求a，b的数量关系；（用等式表示） ②若存在唯一的负整数，使得它的“逆不等式”和“否不等式”同时成立，直接写出的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$