第10讲 探索与表达规律 （知识清单+4大题型+好题必刷） 数学核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（北师大版2024）

第10讲 探索与表达规律 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 数字类规律探索 题型二 图形类规律探索 知识清单 知识点1．规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 知识点2．规律型：图形的变化类 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 题型练习 【题型一】数字类规律探索 【例1】（24-25七年级上·北京·期中）找规律填数字是一个很有趣的活动，特别锻炼观察和思考能力．下列选项中，填入数列“1，，，，（　　），，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字变化的规律，能通过计算发现相邻两数的差依次增加20是解题的关键．根据所给数字，发现其中的规律即可解决问题． 【详解】解：观察所给数列可知， ∵， ， ， …， 由此可见，相邻两数的差依次增加， ∴，且， ∴空缺处的数字为． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是2，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，依次继续下去，第1000次输出的结果是（   ） A．4 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据流程图计算出前6次的输出结果可知从第2次输出开始，每三次输出为一个循环，输出的结果依次为，据此规律求解即可． 【详解】解：第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为1， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， ……， 由此可知，从第2次输出开始，每三次输出为一个循环，输出的结果依次为， ∵， ∴第1000次输出的结果为4， 故选：A． 2．（23-24七年级上·广西河池·期中）若a是不为1的有理数，我们把上称为a的差倒数，已知，是的差倒数，是的差倒数…以此类推，的差倒数 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类的规律探究．解题的关键在于根据题意推导一般性规律． 由题意知，，，，……，即每3个数循环一次，由，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，…… ∴每3个数循环一次， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东珠海·期中）请观察下列算式，找出规律并填空 ， ， ，． （1）则第10个算式是 ， （2）第n个算式是 ， 根据以上规律解答下题： （3） ． （4）． 【答案】（1），；（2），；（3）；（4） 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查有理数的运算，数字类规律探究．解题的关键是掌握裂项法． （1）根据已有算式，写出第10个算式即可； （2）根据已有算式，推出第n个算式； （3）根据规律，利用裂项法计算即可; （4）根据规律，利用裂项法计算即可． 【详解】解：（1）由规律得：第10个算式为=； （2）第n个算式为=； （3）原式=1+…=1=． （4）原式= 【题型二】图形类规律探索 【例2】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图，用五角星按一定的规律摆成下列图形，依照此规律，第个图形中五角星的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了规律型—图形的变化类，解题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律． 根据第个图形有五角星：（个）；第个图形有五角星：（个）；第个图形有五角星：（个）；第个图形有五角星：（个）；然后找出规律即可求解． 【详解】解：第个图形有五角星：（个）； 第个图形有五角星：（个）； 第个图形有五角星：（个）； 第个图形有五角星：（个）； ； 第个图形有五角星：（个）； 当时，（个）； 故选：． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有2个空心菱形，第②个图形中一共有5个空心菱形，第③个图形中一共有11个空心菱形，…，按此规律排列下去，第⑧个图形中空心菱形的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化类-规律型，根据各图形中空心菱形各数的变化，找出变化规律是解题的关键． 设第个图形中有个空心菱形（为正整数），得到，，，，，，，当，时，，即可得到答案． 【详解】解∶ 设第个图形中有个空心菱形（为正整数）， ，，，，， ，， 当，时，， 故选：C． 2．（24-25七年级上·青海西宁·期中）将长度相同的木棒按如图所示的方式摆放，图1中有5根木棒，图2中有9根木棒，图3中有13根木棒，…，按此规律摆放下去，则图8中木棒的根数是 ． 【答案】33 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形的变化类．熟练掌握图形变化规律，列代数式，是解决问题的关键． 根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得， 图案①有：根小木棒； 图案②有：根小木棒； 图案③有：根小木棒；…； ∴第n个图案有：根小木棒． ∴当时，． ∴第⑧个图案有：33根小木棒． 故答案为：33． 3．（24-25七年级上·广东珠海·期中）综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． (1)实践操作：如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (2)数学探究：如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (3)应用数学：若图形中含有2024个三角形，并且每根火柴棍的长度为，则图形中所有火柴棍的长度和为多少？ 【答案】(1)9 (2) (3) 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意数出图形中含有4个三角形时需要的火柴棒数量即可； （2）观察图形可知，每多一个三角形，则要多两根火柴棒，据此规律求解即可； （3）根据（2）所求求出所需要的火柴棒数量即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要9根火柴棒； （2）解：图形中含有1个三角形，需要3根火柴棒， 图形中含有2个三角形，需要根火柴棒， 图形中含有3个三角形，需要根火柴棒， 图形中含有4个三角形，需要根火柴棒， ……， 以此类推，可知，图形中含有n个三角形，需要根火柴棒， （3）解：当图形中含有2024个三角形时，火柴棍的根数为（根）， ∴图形中所有火柴棍的长度和为． 好题必刷 一、单选题 1．与偶数相邻的两个偶数分别是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】相邻偶数间相差2，所以与偶数相邻的两个偶数分别是和． 【详解】解：由题意得： 与偶数相邻的两个偶数分别是和． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式中数字类规律探索，相邻偶数间相差2是解题的关键，把未知的偶数用字母表示出来，即可得出答案． 2．如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子（    ）枚 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律即可求解． 【详解】解：由图可知：第个图形需棋子：（枚）； 第个图形需棋子：（枚）； 第个图形需棋子：（枚）； …… ∴第个图形需棋子：（枚）； 故选：C． 3．同学们做操，排成一个正方形的队伍，从前、后、左、右数，小红都是第5个，问一共有（   ）人． A．81 B．25 C．32 D．120 【答案】A 【分析】此题考查了方阵问题中总点数每边点数每边点数的灵活应用，关键是根据行、列排列特点求出每边人数． 因为从前、后、左、右数，小红都是第5个，所以每行都有：人，由此利用方阵问题中：总人数每边人数每边人数，即可解答． 【详解】解：每边人数是：(人)， 共有：(人)， 答：一共有81人． 故选：A． 4．某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（   ） A．253 B．256 C．257 D．259 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用，数字类的规律探究，根据前几个的情况得出一般规律是解决问题的关键．从特殊出发，归纳得到一般规律：n个小时后细胞存活的个数是，再进一步解答即可完成． 【详解】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，； 2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，； 3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，； …… n个小时后细胞存活的个数是， 当时，存活个数是． 故选：C． 5．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，…，若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2020 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴，找规律，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按A，B，C的顺序 排列： ，所以此时点A正好落在数轴上； ，所以此时点B正好落在数轴上； ，所以此时点C正好落在数轴上； ，所以此时点A正好落在数轴上． 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 6．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数．例如，是一个“可拆分”整数．下列说法： ①最小的“可拆分”整数是3； ②27是“可拆分”整数； ③一个“可拆分”整数的拆分方式可以不止有一种； ④最大的“不可拆分”的两位整数是96． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查数字类规律探索；根据题目中的定义逐一分析各式即可求出． 【详解】解：设M为一个“可拆分”整数，A、B为两个不相等的正整数，且， ∴， 即， ∵A、B为两个不相等的正整数， ∴A、B的最小值为1和2， 此时， ∴最小的“可拆分”整数是5，①错误； ∵27是“不可拆分”整数，∴②错误； ∵， ∴一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种，③正确； 由上可得， 当或99时，，它们都可以化成两个不相等的正整数的积， ∴97、98或99都是“可拆分”整数， 当时，， ∵97是质数， ∴不存在不相等的正整数A和B使成立， ∴最大的“不可拆分”的两位整数是96，④正确； ∴正确的有2个； 故选：B． 7．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示： 则第4个方框中最下面一行的数可能是（   ） A．1369 B．4489 C．4909 D．5729 【答案】A 【分析】本题考查数字找规律，根据题意可知两位数的平方，第二行为，进而得到，再结合有理数的乘方运算求解，即可解题． 【详解】解：根据题意可知两位数的平方， 第一行为， 第二行为， 第三行为， ，则， 或（不合题意，舍去）， 又，， 最下面一行的数可能是1369， 故选：A． 8．找出以下图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的规律型变化类，仔细观察图形并从中找到规律，然后利用找到的规律即可得到答案，解题的关键是找到图形的变化规律． 【详解】解：观察图形可知， 第（）个图形中黑色正方形的数量是， 第（）个图形中黑色正方形的数量是， 第（）个图形中黑色正方形的数量是，   第（）个图形中黑色正方形的数量是， 第（）个图形中黑色正方形的数量是， ， 由此可得，当为偶数时，第个图形中黑色正方形的数量是()个；当为奇数时，第个图形中黑色正方形的数量是()个， ∴第 个图形中黑色正方形的数量是， 故选：． 9．如图中每个图形都是由口、O、△中的两个（可以相同）构成．观察各图形与它下面的数之间的关系，可知最右面图形下面的“？”表示（　　） A．23 B．32 C．13 D．31 【答案】D 【分析】本题为图形规律题，合理分析变化规律是解题的关键． 观察图形找出规律求解即可． 【详解】 解：观察可得：两个三角形，一内一外，即三角形代表； 观察可得：一内一外，即正方形代表，圆型代表； 观察可得：一内一外，即三角形代表，正方形代表； 观察可得：一内一外，即圆型代表； 综上一内一外，内部圆形为，外部正方形为，则此图为； 故选：D． 10．下面是按一定规律排列的一列数； 第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第n个数：． 那么，在第9个数，第10个数，第11个数，第12个数中，最小的数是（　　） A．第9个数 B．第10个数 C．第11个数 D．第12个数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算、代数式表示和规律探求，属于常考题型，由前3个数的计算结果找到规律是解本题的关键． 根据题意分别计算第1个数、第2个数、第3个数后找出规律，然后进行比较即得答案． 【详解】解：第1个数：， 第2个数：， 第3个数：， ， 第n个数：， 所以第9个数，第10个数、第11个数、第12个数分别为，，，，其中最小的数为第12个数， 故选：D． 二、填空题 11．观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第6个“星阵”中的★的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，从所给图形中发现并总结出一般规律是解题的关键． 从所给图形中可发现并总结出一般规律：图（）中★的个数是，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： 图（1）一共有个★， 图（2）一共有个★， 图（3）一共有个★， 图（4）一共有个★， 图（）中★的个数是：， 第个“星阵”中的★的个数是：， 故答案为：． 12．一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是 ；在前16个图案中有 个；第2008个图案是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的排列总结出图形的排列规律是解题的关键． ①根据图形的排列可知个图案一组，依次循环，故答案为：第个图案与第个相同，是； ②因为，所以在前16个图案中有个； ③因为，所以第2008个图案与第个相同是． 【详解】解：本题考查了图形的变化规律，根据图形的排列总结出图形的排列规律是解题的关键． ①根据图形的排列可知个图案一组，依次循环， 第个图案与第个相同，是， 故答案为： ②， 在前16个图案中有个， 故答案为：； ③， 第2008个图案与第个相同是， 故答案为：． 13．用表示（n个7相乘）结果的个位数字，如：，，，则 ． 【答案】10067 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，由题意可得：每个周期数字之和为，共503个周期多一个7，再列式计算即可． 【详解】解：，，，，，，…， 的个位数以7，9，3，1四个数为一个周期， 而， ， 故答案为：10067 14．将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，如果对折次，可以得到 ．条折痕（用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键．对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，得出第次对折，把纸分成部分，得到条折痕，即可求解． 【详解】由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，得到1条折痕， 第2次对折，把纸分成4部分，得到3条折痕， 第3次对折，把纸分成8部分，得到7条折痕， 第4次对折，把纸分成16部分，得到15条折痕， …… 以此类推，第次对折，把纸分成部分，得到条折痕， 故答案为： 15．一组按规律排列的代数式为：，，，，，…，则第7个代数式为 ，第n个代数式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律、单项式规律题，能根据题意发现所给单项式系数及次数的变化规律是解题的关键．根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意知， 所给代数式的系数依次为：，，，，，…， 所以第个代数式的系数为； 所给代数式的次数依次为：，，，，，…， 所以第个代数式的次数为， 所以第个代数式可表示为：． 当时， 第个代数式为． 故答案为：，． 16．观察等式：，，，，，，，．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的乘方规律型题．解决本题的关键是熟练掌握以2为底的幂的末位数字的循环规律． 可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循的，根据，得到的个位数字是2． 【详解】∵，，，， ，，，， ，， ∴以2为底的幂的末位数字是以2，4，8，6依次循环， ∴， ∴的个位数字是2， 故答案为：2． 17．观察下面点阵图的规律，根据规律填一填． （1）按照规律在第四幅图中应该画( )个圆点． （2）按照这个规律还可以知道第个图形的点阵中，一共应画( )个圆点． 【答案】 15 / 【分析】本题主要考查了图形规律探索，结合题意确定图形变化规律是解题关键． （1）根据题意，确定图形变化规律，可确定图4中圆点个数为个； （2）结合图形变化规律，可知第个图形的点阵中，一共应画个圆点，即可获得答案． 【详解】解：（1）根据题意，可知 图1中圆点个数为个， 图2中圆点个数为个， 图3中圆点个数为个， 则图4中圆点个数为个， （2）由（1）可知第个图形的点阵中，一共应画个圆点． 故答案为：15；． 18．如图，淘气用大小相同的磁力球搭建了一个7层金字塔模型，基座由个磁力球组成，第二层由个磁力球组成，第三层由个磁力球组成，…，顶部由一个磁力球组成，已知每相邻两个磁力球之间有且只有一个接触点，则这个金字塔模型共有 个接触点． 【答案】588 【分析】该题主要考查了图形规律类题型，解题的关键是掌握图形规律． 根据图形规律解答即可； 【详解】解：∵基座由个磁力球组成，第二层由个磁力球组成，第三层由个磁力球组成，…，顶部由一个磁力球组成， ∴第六层内接触点有个， 第五层内接触点有个， 第四层内接触点有个， 第三层内接触点有个， 第二层内接触点有个， 第一层内接触点有个， ∴第七层和第六层之间接触点有个， 第六层和第五层之间接触点有个， 第五层和第四层之间接触点有个， 第四层和第三层之间接触点有个， 第三层和第二层之间接触点有个， 第二层和第一层之间接触点有个， 综上，这个金字塔模型共有接触点个． 故答案为：588． 三、解答题 19．如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)3节链条长_____，10节链条长_____； (2)节链条长是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了图形的变化类，解题的关键是根据题意得出节链条的长度与每节长度之间的关系． （1）根据图形找出规律计算第3节、10节链条的长度即可； （2））从特殊到一般，找到规律，得到节链条拉直后长度为． 【详解】（1）解：根据图形可得出： 2节链条的长度为：， 3节链条的长度为：， 4节链条的长度为：， 5节链条的长度为：， 6节链条的长度为：， 7节链条的长度为：， 8节链条的长度为：， 9节链条的长度为：， 10节链条的长度为：， 故答案为：，； （2）解：节链条的长度为： 20．观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察各个等式并从中找到规律． （1）根据提供的等式写出第5个等式即可； （2）观察前4个等式，找出规律即可得到第n个等式． 【详解】（1）解：第5个等式：． 故答案为：． （2）解：第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， …… 第n个等式：， 猜想第n个等式为． 21．定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数称之为互为“友好数”；如的“友好数”是． (1)填空：、的“友好数”分别是___________； (2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“友好数”之和一定能被整除． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】本题考查了合并同类项、理解“友好数”的定义，按照定义分析是解题的关键。 （1）由“友好数”的定义可得答案； （2）由题意得这个两位数是，它“友好数”是，计算两个数的和，即可得证． 【详解】（1）解：由“友好数”的定义可得，、的“友好数”分别是：，， 故答案为：，； （2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为， 则这个两位数为：， 它的“友好数”为：， 这两个数的和为：， 因为，为正整数， 所以，对于任意一个两位数，这个数与它的“友好数”之和一定能被整除． 22．如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角． (1)观察操作：当从点O引出6条射线共形成有___________个角． (2)探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成____________个角．（用含n的式子表示） 【答案】(1)15； (2) 【分析】本题考查了角的概念，列代数式，规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键． （1）依次列出即可从数字找规律即可解答； （2）利用第（1）找到的规律即可解答； 【详解】（1）从点O引出3条射线共形成3个角，， 从点O引出4条射线共形成6个角，， 从点O引出5条射线共形成10个角，， 从点O引出6条射线共形成的角的个数有：， 故答案为：15； （2）由（1）得：从点O引出n条射线共形成的角的个数为： 故答案为． 23．先阅读，再答题 根据你发现的规律，试写出： (1)； (2)________________； (3)计算： 【答案】(1)9；11 (2) (3) 【分析】本题考查数字规律的探索，结合题意分析规律是解题的关键． （1）根据题中规律得出第5个等式即可得出结果； （2）根据题意总结出规律即可； （3）结合（2）中规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，第5个等式为， 故答案为：9；11； （2）由题意可得，第n个等式：， 故答案为： （3） ， ． 24．用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10；4 (2)第个图案中有正三角形个．六边形有个 (3)三角形的个数为个；六边形的个数为个 (4)没有，理由见详解 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）将代入（2）中所得的一般式即可求解； （4）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第个就有正三角形个．这类题型在中考中经常出现． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； 故答案为：10；4； （2）解：由图可知： 第一个图案有正三角形4个为． 第二图案比第一个图案多2个为（个． 第三个图案比第二个多2个为（个． 那么第个图案中有正三角形个．六边形有个． （3）解：由（2）知第个图案中有正三角形个．六边形有个 ∴第2024个图案中，三角形与六边形各有：（个， ∴三角形的个数为个；六边形的个数为个 （4）解：没有，理由如下： ∵， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 25．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． …． (1)请写出第5个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键． （1）根据规律计算即可求解； （2）根据规律即可求解； （3）先将乘法化为加法，再加减即可求解； 【详解】（1）解：第5个等式：， 故答案为：； （2）解：第n个等式：， 故答案为：； （3）解：原式． ． 26．探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． （2）利用规律解决问题即可． （3）用转化的思想解决问题即可． 本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】（1）解：第4次分割后空白部分的面积为 故答案为：； （2）解：第1次分割后空白部分的面积为 第2次分割后空白部分的面积为 第3次分割后空白部分的面积为 第4次分割后空白部分的面积为 ∴ 故答案为： （3）解：由（2）得出 第n次分割后空白部分的面积为 ∴ ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 探索与表达规律 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 数字类规律探索 题型二 图形类规律探索 知识清单 知识点1．规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 知识点2．规律型：图形的变化类 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 题型练习 【题型一】数字类规律探索 【例1】（24-25七年级上·北京·期中）找规律填数字是一个很有趣的活动，特别锻炼观察和思考能力．下列选项中，填入数列“1，，，，（　　），，正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是2，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，依次继续下去，第1000次输出的结果是（   ） A．4 B． C．1 D． 2．（23-24七年级上·广西河池·期中）若a是不为1的有理数，我们把上称为a的差倒数，已知，是的差倒数，是的差倒数…以此类推，的差倒数 ． 3．（24-25七年级上·广东珠海·期中）请观察下列算式，找出规律并填空 ， ， ，． （1）则第10个算式是 ， （2）第n个算式是 ， 根据以上规律解答下题： （3） ． （4）． 【题型二】图形类规律探索 【例2】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图，用五角星按一定的规律摆成下列图形，依照此规律，第个图形中五角星的个数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有2个空心菱形，第②个图形中一共有5个空心菱形，第③个图形中一共有11个空心菱形，…，按此规律排列下去，第⑧个图形中空心菱形的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·青海西宁·期中）将长度相同的木棒按如图所示的方式摆放，图1中有5根木棒，图2中有9根木棒，图3中有13根木棒，…，按此规律摆放下去，则图8中木棒的根数是 ． 3．（24-25七年级上·广东珠海·期中）综合与实践． 在一个创新教育中心，学生们正在参与一个名为“火柴棍工程”的综合实践活动．这个活动旨在通过动手实践来培养学生的空间想象力、逻辑思维和数学计算能力．如图所示，学生们需要使用火柴棍来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律． (1)实践操作：如果图形中含有4个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (2)数学探究：如果图形中含有n个三角形，那么拼成这个图形需要 根火柴棍． (3)应用数学：若图形中含有2024个三角形，并且每根火柴棍的长度为，则图形中所有火柴棍的长度和为多少？ 好题必刷 一、单选题 1．与偶数相邻的两个偶数分别是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 2．如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子（    ）枚 A． B． C． D． 3．同学们做操，排成一个正方形的队伍，从前、后、左、右数，小红都是第5个，问一共有（   ）人． A．81 B．25 C．32 D．120 4．某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（   ） A．253 B．256 C．257 D．259 5．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，…，若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2020 6．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数．例如，是一个“可拆分”整数．下列说法： ①最小的“可拆分”整数是3； ②27是“可拆分”整数； ③一个“可拆分”整数的拆分方式可以不止有一种； ④最大的“不可拆分”的两位整数是96． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示： 则第4个方框中最下面一行的数可能是（   ） A．1369 B．4489 C．4909 D．5729 8．找出以下图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是（    ）． A． B． C． D． 9．如图中每个图形都是由口、O、△中的两个（可以相同）构成．观察各图形与它下面的数之间的关系，可知最右面图形下面的“？”表示（　　） A．23 B．32 C．13 D．31 10．下面是按一定规律排列的一列数； 第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第n个数：． 那么，在第9个数，第10个数，第11个数，第12个数中，最小的数是（　　） A．第9个数 B．第10个数 C．第11个数 D．第12个数 二、填空题 11．观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第6个“星阵”中的★的个数是 ． 12．一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是 ；在前16个图案中有 个；第2008个图案是 ． 13．用表示（n个7相乘）结果的个位数字，如：，，，则 ． 14．将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，如果对折次，可以得到 ．条折痕（用含的代数式表示）． 15．一组按规律排列的代数式为：，，，，，…，则第7个代数式为 ，第n个代数式为 ． 16．观察等式：，，，，，，，．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 17．观察下面点阵图的规律，根据规律填一填． （1）按照规律在第四幅图中应该画( )个圆点． （2）按照这个规律还可以知道第个图形的点阵中，一共应画( )个圆点． 18．如图，淘气用大小相同的磁力球搭建了一个7层金字塔模型，基座由个磁力球组成，第二层由个磁力球组成，第三层由个磁力球组成，…，顶部由一个磁力球组成，已知每相邻两个磁力球之间有且只有一个接触点，则这个金字塔模型共有 个接触点． 三、解答题 19．如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)3节链条长_____，10节链条长_____； (2)节链条长是多少？ 20．观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)． 21．定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数称之为互为“友好数”；如的“友好数”是． (1)填空：、的“友好数”分别是___________； (2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“友好数”之和一定能被整除． 22．如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角． (1)观察操作：当从点O引出6条射线共形成有___________个角． (2)探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成____________个角．（用含n的式子表示） 23．先阅读，再答题 根据你发现的规律，试写出： (1)； (2)________________； (3)计算： 24．用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 25．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． …． (1)请写出第5个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 26．探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$