第11讲 线段、射线、直线 （知识清单+16大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（北师大版2024）

第11讲 线段、射线、直线 （知识清单+16大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 直线、线段、射线的数量问题 题型二 直线相交的交点个数问题 题型三 线段的应用 题型四 直线、射线、线段的联系与区别 题型五 画出直线、射线、线段 题型六 点与线的位置关系 题型七 两点确定一条直线 题型八 线段的和与差 题型九 线段中点的有关计算 题型十 线段n等分点的有关计算 题型十一 线段之间的数量关系 题型十二 与线段有关的动点问题 题型十三 两点之间线段最短 题型十四 两点间的距离 题型十五 最短路径问题 题型十六 作线段(尺规作图) 知识清单 知识点1．直线、射线、线段 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 知识点2．直线的性质：两点确定一条直线 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 知识点3．线段的性质：两点之间线段最短 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 知识点4．两点间的距离 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 知识点5．比较线段的长短 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，AC＝AB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DB＝CB＝AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 知识点6．线段的和差 线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成， 题型练习 【题型一】直线、线段、射线的数量问题 【例1】（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）一张纸上的5个点可以连成（    ）条线段 A．8 B．9 C．10 D．11 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山西朔州·期末）D5363的动车是从大同南出发到运城北，这辆动车途中有个停车点，若设任意两个站点的距离都不相等，则这趟动车设置的站点的不同票价最多有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（24-25七年级上·河南郑州·期中）小明从衡阳乘高铁到成都，发现这条火车路线上共有10个站(衡阳东，长沙南，武汉，汉口，宜昌东，荆州，恩施，丰都，重庆北站，成都东)，且任意两站之间的票价都不相同，则有 不同的票价，要准备 不同的车票． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，已知点、在线段上． (1)图中共有______条线段． (2)若． ①比较线段的长短：______（填“”“”或“”）； ②若，，求的长度． 【题型二】直线相交的交点个数问题 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）若两条相交直线与第三条直线（不与相交直线中的任何一条重合）在同一平面，则它们的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 2．（2024七年级上·山东·专题练习）在同一平面内，三条互不重合的直线把平面至少分成 部分． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 【题型三】线段的应用 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列线段表示正确的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【举一反三】 1．（22-23七年级上·浙江金华·期末）从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（　　） A．12种 B．10种 C．6种 D．4种 2．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图所示， ．    3．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知：C是线段的中点，，点D在上，    (1)写出以D为端点的线段． (2)求线段的长 (3)求线段的长 (4)请你写出一个与上述3个不同的数学问题． 【题型四】直线、射线、线段的联系与区别 【例4】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列语句中正确的是（    ） A．画直线 B．延长射线到 C．画射线厘米 D．延长线段到，使得 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．射线和射线不是同一条射线 C．点在线段上 D．点是直线的一个端点 2．（2023七年级上·全国·专题练习）①用一个小写字母表示．即表示为 ． ②用表示端点的两个大写字母表示．即表示为 或 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【题型五】画出直线、射线、线段 【例5】（24-25七年级上·四川成都·期末）已知不在同一直线上的三点、、，画直线、画射线、连结，按照要求画图正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，平面上有四个点，根据下列语句画图（1）画一条经过点和点的直线；（2）画线段与线段相交于点；（3）画一条以点为端点，并且经过点的射线．以下画出图形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·河北保定·期末）已知：线段a，b，按如下步骤完成尺规作图，则线段 ． ①作一条射线； ②在射线AE上依次截取线段； ③在线段AD上截取线段． 3．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D． ①画射线；②直线与直线相交于点O． 【题型六】点与线的位置关系 【例6】（24-25七年级上·重庆渝中·期末）如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列几何图形与相应语言描述相符的是（  ） A．如图1所示，点C在线段上 B．如图2所示，射线经过点A C．如图3所示，延长线段到点C D．如图4所示，图中共有4条射线 2．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系： ． 3．（21-22七年级上·广东肇庆·期末）作图题：已和直线m（如图）． (1)在直线m上任取三点A、B、C，且点C在点A、点B之间． (2)在直线m外任取一点D，作直线，射线，线段． 【题型七】两点确定一条直线 【例7】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【举一反三】 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）值日生每天打扫完卫生后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．直线没有端点 D．以上说法都不对 2．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）墨斗是木工用来打直线的重要工具．如图，经过刨平的木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．这一现象中，蕴含的数学知识是 ． 3．（七年级上·全国·课后作业）木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是为什么？ 【题型八】线段的和与差 【例8】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点、在线段上，，，如果，那么的长度为（   ） A． B． C． D．1 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东江门·期末）已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（　　） A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在直线上截取线段，，使，，则线段的长为 ． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知点是线段上的一点，是的中点．若，，求线段的长． 【题型九】线段中点的有关计算 【例9】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，，，点是线段的中点，则的长为（    ）   A．5 B．9 C．5或9 D．2或6 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，点M，N在线段上，N是的中点，，则线段的长为 ． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知点C是线段的中点，点D是线段上一点，若，    (1)求线段的长； 【题型十】线段n等分点的有关计算 【例10】（七年级上·全国·课后作业）七年级共有14个班，要组织篮球单循环赛，共需要安排（    ）场比赛． A．182 B．91 C．28 D．14 【举一反三】 1．（七年级·浙江·期末）定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作． 甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则． 乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则 关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 2．（23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习）已知M为线段的三等分点，且，则线段的长为 ． 3．（23-24七年级上·湖南永州·期末）如图，A、B、C、D四点在同一直线上，．    (1)比较大小： ______（填“”、“”或“”）； (2)若，，求的长． 【题型十一】线段之间的数量关系 【例11】（24-25七年级上·新疆伊犁·期末）如图，已知点是线段的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，已知线段，小军同学进行如下操作：用圆规在线段上截取．则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）定义：若射线上一点满足或时，则点是射线的平衡点．已知点是射线上的平衡点，若，则的长可能是 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，C，D是线段上的两点，是的中点，是的中点，若，，求的长． 【题型十二】与线段有关的动点问题 【例12】（七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（     ） A． B． C．或 D．不能确定 【举一反三】 1．（七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 2．（七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【题型十三】两点之间线段最短 【例13】（24-25七年级上·吉林·期末）如图，小李同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点之间，直线最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过两点有且仅有一条直线 【举一反三】 1．（24-25七年级上·云南临沧·期末）如图，从A地到B地有甲、乙、丙、丁4条路线，能判断丙路线最短的依据是（   ） A．过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段的长度就是A、B两点之间的距离 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）从A到B有多条道路，人们会走中间的直路，而不会走其他曲折的路，这是因为 ． 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，请在四边形内找一点（画出图形，标出的位置）使它与四边形四个顶点的距离之和：最小，并说出你的理由．举例说明它在实际生活中的应用． 【题型十四】两点间的距离 【例14】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） ①两点之间的距离是线段； ②两点之间的距离是线段的长度； ③两点之间的距离是线段的长度 A．② B．③ C．②③ D．①②③ 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广西贵港·期末）点在线段上，若三条线段、、中，有其中一条线段是另一条线段的2倍，则称点是线段的“巧点”．若，点是线段的巧点，则的长是（    ） A．1．5或3或4.5 B．3或4.5 C．3或4.5或6 D．4.5或6 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连接其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是 ． 3．（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从点M、B出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点C在线段上，点D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了时，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 （填空）； (4)在（3）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【题型十五】最短路径问题 【例15】（七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（    ） A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区 【举一反三】 1．（七年级上·河北秦皇岛·期末）如图所示，从A到B有三条路可以走，每条路长分别为L，M，N，则L，M，N的大小关系是． A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）一条笔直的公路上有A，B，C，D四个车站，张大爷要在公路上找到一个位置摆摊，要求摊位到这四个车站距离之和最小，这样的位置可以找到 个． 3．（七年级上·湖北随州·期末）如图（1）所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为，对角线为，长方形对角线为．一只蚂蚁从点爬行到点． (1)求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由． (2)如果把右边的正方形沿翻转得到如图（2）所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从点到点的最短路线长是多少？请在图（2）中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断） 【题型十六】作线段(尺规作图) 【例16】（22-23七年级上·河北石家庄·期末）如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【举一反三】 1．（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是(   ) A． B． C． D． 2．（2024·贵州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交于点D，连接．若，则的长为 ． 3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，已知线段a，b，利用尺规作图法求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 好题必刷 一、单选题 1．如图，，，E，F分别是，的中点，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．8.5 2．如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．点A在直线外 B．点C在直线上 C．射线与射线是同一条 D．直线和直线相交于点B 3．下列说法中正确的个数为（    ） ①射线OP和射线PO是同一条射线；②连接两点的线段叫两点间的距离；③两点确定一条直线；④若AC=BC，则C是线段AB的中点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列说法正确的是（   ） A．一条直线就是一个平角 B．射线比直线短 C．过三点可以作一条直线 D．两点间的线段的长度叫两点间的距离 5．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字： ①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有（　　） A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 6．如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．则MN的长为（    ） A．12cm B．11cm C．13cm D．10cm 7．点是线段上的三等分点，是线段的中点，是线段的中点，若，则的长为（ ） A． B． C．或 D．或 8．下列关于直线的表示方法正确的是（　　） A． B． C． D． 9．已知：线段a，b，求作：线段AB，使得AB＝2a＋b，小明给出了四个步骤（如图）：①作－条射线AE；②则线段AB＝ 2a＋b；③在射线AE上作线段AC＝a，再在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；你认为顺序正确的是（       ） A．②①③④ B．①③④② C．①④③② D．④①③② 10．如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．点是线段的中点，，那么 ． 12．射线、线段都是 的一部分，射线有 个端点，线段有 个端点． 13．如图，若，则 AD， AC， AE， CD． 14．如图，把一根绳子对折成线段，上有一点P，已知，则这根绳子的长为 ． 15．把一根木条钉牢在墙上，至少需要2颗钉子，这是因为 ． 16．在射线上截取线段，，点M，N分别是，的中点，则点M和点N之间的距离为 ． 17．已知在数轴上有A、B、C三点，表示的数分别是-3，7，x，若，点M、N分别是AB、AC的中点，则线段MN的长度为 ． 18．如图，①2条直线相交，最多1个交点；②3条直线相交最多有3个交点；③4条直线相交最多有6个交点，那么10条直线相交最多有 个交点． 三、解答题 19．如图所示，，，如果点D是线段AB的中点，求线段DC的长度． 20．延长线段是指按从端点A到B的方向延长；延长线段是指按从端点B到A的方向延长，这时也可以说反向延长线段．如图，分别画出线段的延长线和反向延长线． 21．已知线段，回答下面的问题： （1）是否存在点C，使它到A,B两点的距离之和等于？为什么？ （2）是否存在点C，使它到两点的距离之和等于？如果点C存在，点C的位置应该在哪里？为什么？这样的点C有多少个？ （3）是否存在点C，使它到A,B两点的距离之和大于？如果点C存在，点C的位置应该在哪里？为什么？这样的点C有多少个？ 22．如图，线段AB上有两点M，N，点M将线段AB分成两部分，点N将线段AB分成两部分，且MN＝8，求线段AM，NB的长分别是多少？ 23．已知线段cm，在直线上有一点C，并且满足，O是线段的中点，求线段的长．（要求画图说明并解答） 24．估计下列图中线段与线段的大小关系，再用刻度尺或用圆规来检验你的估计． 25．如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 26．【问题初探】 （1）如图，平面上有四个点T、Y、R、S，根据下列语句画图： ①作射线； ②作直线、交于点M； ③连接、交于点O． （2）我们还可以观察到，经过图中的不在同一直线上的4个点，最多能画出______条直线：经过不在同一直线上的5个点，最多能画出______直线； 【类比分析】 （3）如果在同一平面里，有不在同一条直线上的20个点，你能算出共有多少条线段吗？ 【学以致用】 （4）按照这个规律回答下列问题： ①2022年卡塔尔世界杯足球赛进入8强赛（即有8个队参加比赛）时，如果进行的是单循环赛（每两个队只比赛一次），则需要进行多少场比赛？ ②某球迷乘火车从A站出发，沿途经过3个站后到达B站，那么在A、B两站之间需要多少种不同的票价？需要多少种车票？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 线段、射线、直线 （知识清单+16大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 直线、线段、射线的数量问题 题型二 直线相交的交点个数问题 题型三 线段的应用 题型四 直线、射线、线段的联系与区别 题型五 画出直线、射线、线段 题型六 点与线的位置关系 题型七 两点确定一条直线 题型八 线段的和与差 题型九 线段中点的有关计算 题型十 线段n等分点的有关计算 题型十一 线段之间的数量关系 题型十二 与线段有关的动点问题 题型十三 两点之间线段最短 题型十四 两点间的距离 题型十五 最短路径问题 题型十六 作线段(尺规作图) 知识清单 知识点1．直线、射线、线段 （1）直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）． （2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 知识点2．直线的性质：两点确定一条直线 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 知识点3．线段的性质：两点之间线段最短 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 知识点4．两点间的距离 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 知识点5．比较线段的长短 （1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC＝BC，C为AB中点，AC＝AB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DB＝CB＝AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分． 知识点6．线段的和差 线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成， 题型练习 【题型一】直线、线段、射线的数量问题 【例1】（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）一张纸上的5个点可以连成（    ）条线段 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段数量问题，个点连成线段的条数：（条），据此解答即可． 【详解】解：如图 （条）， 个点可以连成条线段． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山西朔州·期末）D5363的动车是从大同南出发到运城北，这辆动车途中有个停车点，若设任意两个站点的距离都不相等，则这趟动车设置的站点的不同票价最多有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题主要考查了线段，根据题意得出共有个点，且两个站点的距离都不相等，共有种不同票价，故可得解． 【详解】解：∵个停车点，加上起始点和终点，一共有个点，且两个站点的距离都不相等， ∴共有种不同票价， 故选：C． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期中）小明从衡阳乘高铁到成都，发现这条火车路线上共有10个站(衡阳东，长沙南，武汉，汉口，宜昌东，荆州，恩施，丰都，重庆北站，成都东)，且任意两站之间的票价都不相同，则有 不同的票价，要准备 不同的车票． 【答案】 45种 90种 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段数量的问题，掌握线段的计数方法是解题的关键．先求出线段的条数，一条线段就是一种票价，车票是要考虑顺序，即可求解． 【详解】解：根据题意，相当于一条直线上有10个点，有多少种不同的票价即有多少条线段：(种)． 故答案为：45种； 有多少种车票是要考虑顺序的，则有(种)． 故答案为：90种． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，已知点、在线段上． (1)图中共有______条线段． (2)若． ①比较线段的长短：______（填“”“”或“”）； ②若，，求的长度． 【答案】(1)6 (2)①；②12 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的定义，线段的和差， 对于（1），根据线段的定义解答； 对于（2），①根据题意可得，即可解答； ②根据可得，再根据可得，进而根据得出答案． 【详解】（1）解：图中的线段有，共有6条． 故答案为：6； （2）解：①因为， 所以， 即； 故答案为：； ②因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 【题型二】直线相交的交点个数问题 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）若两条相交直线与第三条直线（不与相交直线中的任何一条重合）在同一平面，则它们的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3 【答案】D 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题涉及直线的相关知识，难度一般，考生需要全面考虑问题 本题中直线的位置关系不明确，应分情况讨论，包括两条相交直线是否是另一条直线平行、相交或交于同一点． 【详解】解：当另一条直线与两条相交直线交于同一点时，交点个数为1； 当另一条直线与两条相交直线中的一条平行时，交点个数为2； 当另一条直线分别与两条相交直线相交时，交点个数为3； 故选D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 【答案】C 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】此题考查了直线的交点问题，找到规律是解题关键． 根据题干总结规律即可解题． 【详解】解：由题意可得： 3条直线两两相交最多有3个交点，即， 4条直线两两相交最多有6个交点，即， 5条直线两两相交最多有10个交点，即， 6条直线两两相交最多有15个交点，即， … ∴10条直线两两相交最多能有． 故选：C． 2．（2024七年级上·山东·专题练习）在同一平面内，三条互不重合的直线把平面至少分成 部分． 【答案】 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题考查了平面内直线的位置关系，充分考虑平面内三条直线不同的位置关系并分类讨论是解题的关键． 根据平面内互不重合的三条直线的位置分析判断即可． 【详解】解：在同一平面内，当三条互不重合的直线相互平行时，把平面分成4部分，分成的部分最少． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 【答案】5050个交点，见解析 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题主要考查了直线的交点个数问题，解题的关键在于能够根据特例推出相应的规律． 根据两直线“两两相交”有1个交点，三直线“两两相交”有个交点，四条直线“两两相交”有个交点，由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，由此进行求解即可 【详解】解：当有2条直线“两两相交”时，有1个交点； 当有3条直线“两两相交”时，有个交点； 当有4条直线“两两相交”时，有个交点； ……， ∴一般地，n条直线“两两相交”有个交点 ∴当有101条直线“两两相交”时，有个交点． 所以有101条直线“两两相交”时，有5050个交点． 【题型三】线段的应用 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列线段表示正确的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【知识点】线段的应用 【分析】本题考查线段的表示方法，根据线段可以用一个小写字母表示，或者用表示线段两个端点的大写字母表示，逐项判断，即可解题． 【详解】解：因为线段可以用一个小写字母表示，或者用表示线段两个端点的大写字母表示， 所以线段可以表示为线段， 故选：B． 1．（22-23七年级上·浙江金华·期末）从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（　　） A．12种 B．10种 C．6种 D．4种 【答案】A 【知识点】线段的应用 【分析】一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票，由此可求出车票总数． 【详解】解：根据题意，一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票， ∴铁路部门供旅客购买的火车票要准备（种）， 故选：A． 【点睛】本题考查线段，解答的关键是理解题意，熟知两站之间有两种不同的车票，不能遗漏返程票． 2．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图所示， ．    【答案】 【知识点】线段的应用 【分析】根据图观察可知道点是线段上的一点即可推出答案. 【详解】解：由题图可知，线段是线段的一部分， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的长短问题．题目比较简单，如何比较线段大小是解题的关键． 3．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知：C是线段的中点，，点D在上，    (1)写出以D为端点的线段． (2)求线段的长 (3)求线段的长 (4)请你写出一个与上述3个不同的数学问题． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)求线段的长（答案不唯一） 【知识点】线段中点的有关计算、线段的应用、线段的和与差 【分析】（1）以点为端点，根据图形即可求解； （2）根据线段的中点的性质即可求得； （3）根据线段的和与差即可求得； （4）根据题意即可得到，注意答案不唯一． 【详解】（1）根据图形，以点为端点的线段有：，，． （2）∵C是线段的中点，， ∴． （3）根据图形可得：． （4）可提问：求线段的长（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了线段的性质，线段中点的性质，线段的和差倍分运算等，熟练掌握线段的相关性质是解题的关键． 【题型四】直线、射线、线段的联系与区别 【例4】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列语句中正确的是（    ） A．画直线 B．延长射线到 C．画射线厘米 D．延长线段到，使得 【答案】D 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查作图尺规作图的定义，根据各个选项中的语句，可以判断其是否正确，从而可以解答本题．解题的关键是明确尺规作图的方法，哪些图形可以测量，哪些不可以测量． 【详解】解：直线无法测量，故选项A错误； 射线本身是以点为端点，向着方向延伸，故选项B错误； 射线无法测量，故选项C错误； 延长线断到，使得是正确的，故选项D正确． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．射线和射线不是同一条射线 C．点在线段上 D．点是直线的一个端点 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了直线、射线、线段的概念，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的概念逐项判断即可 【详解】解：A． 直线和直线是同一条直线，故该选项错误，不符合题意； B． 射线和射线是同一条射线，故该选项错误，不符合题意； C． 点在线段上，故该选项正确，符合题意； D． 直线没有端点，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2023七年级上·全国·专题练习）①用一个小写字母表示．即表示为 ． ②用表示端点的两个大写字母表示．即表示为 或 ． 【答案】 线段a 线段 线段 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了线段的表示．由线段表示的方法有用一个小写字母表示或用两个大写字母表示即可得到答案． 【详解】根据线段的表示方法得： ①用一个小写字母表示．即表示为 线段a ． ②用表示端点的两个大写字母表示．即表示为 线段AB 或 线段BA ． 故答案为：线段a、线段、线段． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【答案】(1)是一条射线，表示为射线 (2)非正数 (3)线段，线段 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键． （1）观察数轴，利用射线定义判断，表示即可； （2）找出射线上的点表示的数即可； （3）由线段的定义可直接得出结论． 【详解】（1）解：数轴在原点O左边部分（包括原点）是一条射线，表示为射线； （2）解：射线上的点表示非正数； （3）解：线段，可表示为线段． 【题型五】画出直线、射线、线段 【例5】（24-25七年级上·四川成都·期末）已知不在同一直线上的三点、、，画直线、画射线、连结，按照要求画图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解题的关键．根据直线、射线、线段的概念即可得出答案． 【详解】解：画直线、画射线、连结，按照要求画图正确的是： 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，平面上有四个点，根据下列语句画图（1）画一条经过点和点的直线；（2）画线段与线段相交于点；（3）画一条以点为端点，并且经过点的射线．以下画出图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查了作图一复杂作图，直线、射线、线段的知识，掌握直线、射线、线段的特征是解题关键， 根据直线、射线、线段的特征进行画图即可． 【详解】解：（1）画一条经过点和点的直线，如图所示； （2）画线段与线段相交于点，如图所示； （3）画一条以点为端点，并且经过点的射线，如图所示； 故选：D． 2．（22-23七年级上·河北保定·期末）已知：线段a，b，按如下步骤完成尺规作图，则线段 ． ①作一条射线； ②在射线AE上依次截取线段； ③在线段AD上截取线段． 【答案】/ 【知识点】画出直线、射线、线段、两点间的距离、线段的和与差 【分析】根据题意画出几何图形即可，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】如图所示，. 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的和差计算，作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 3．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D． ①画射线；②直线与直线相交于点O． 【答案】①图见解析；②图见解析． 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查了作图-基本作图，射线，直线的定义，①直接利用射线的定义即可画出射线， ②直接利用直线的定义画出直线，两条直线交于点，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①直接利用射线的定义即可画出射线，则射线即为所求； ②直接利用直线的定义画出直线，两条直线交于点，则点即为所求，如图： 【题型六】点与线的位置关系 【例6】（24-25七年级上·重庆渝中·期末）如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 【答案】B 【知识点】点与线的位置关系 【分析】本题考查了线段，射线，直线的关系．根据线段，射线，直线的特点判断即可． 【详解】解：A、点在直线外，说法正确，本选项不符合题意； B、点在直线外，原说法不正确，本选项符合题意； C、点在线段的反向延长线上，说法正确，本选项不符合题意； D、直线与线段相交于点，说法正确，本选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列几何图形与相应语言描述相符的是（  ） A．如图1所示，点C在线段上 B．如图2所示，射线经过点A C．如图3所示，延长线段到点C D．如图4所示，图中共有4条射线 【答案】D 【知识点】点与线的位置关系 【分析】本题考查了直线、射线和线段的性质，关键是直线、射线和线段性质定理的应用．根据直线、射线和线段的性质逐项进行判定即可． 【详解】A．如图1，点C在射线上，故该选项不正确，不符合题意； B．如图2所示，射线不经过点A，故该选项不正确，不符合题意； C．如图3所示，延长线段到点C，故该选项不正确，不符合题意； D．如图4所示，图中共有4条射线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系： ． 【答案】点P在直线l外 【知识点】点与线的位置关系 【分析】本题考查点和直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．根据点与直线的位置关系可得答案． 【详解】解：由图知，点P在直线l外， 故答案为：点P在直线l外． 3．（21-22七年级上·广东肇庆·期末）作图题：已和直线m（如图）． (1)在直线m上任取三点A、B、C，且点C在点A、点B之间． (2)在直线m外任取一点D，作直线，射线，线段． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【知识点】点与线的位置关系、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查的是点与直线的位置关系，画直线，射线，线段，理解直线，射线，线段的含义是解本题的关键； （1）根据点C在点A、点B之间，再直线上确定A，B，C三点即可； （2）根据直线，射线，线段的含义画图即可． 【详解】（1）解：如图，A，C，B即为所求；   ． （2）如图，直线，射线，线段即为所求；    ． 【题型七】两点确定一条直线 【例7】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【答案】A 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的公理，熟知两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：要整齐地栽一行树，只要确定两端树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里面包含的数学事实是两点确定一条直线， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）值日生每天打扫完卫生后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．直线没有端点 D．以上说法都不对 【答案】A 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质．根据直线的性质“两点可以确定一条直线”进行解答． 【详解】解：值日生每天打扫完卫生后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是：两点确定一条直线． 故选：A． 2．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）墨斗是木工用来打直线的重要工具．如图，经过刨平的木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．这一现象中，蕴含的数学知识是 ． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查了两点确定一条直线的应用，理解两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：由题意得 蕴含的数学知识是两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线． 3．（七年级上·全国·课后作业）木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是为什么？ 【答案】两点确定一条直线． 【知识点】两点确定一条直线 【分析】根据确定一条直线的方法求解即可． 【详解】根据直线公理：两点确定一条直线， ∴答案为：两点确定一条直线． 【点睛】此题考查了确定一条直线的方法，解题的关键是熟练掌握确定一条直线的方法：两点确定一条直线． 【题型八】线段的和与差 【例8】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点、在线段上，，，如果，那么的长度为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，解题的关键是熟练表示出线段的组成； 观察图形可知，，，根据已知，即可得出，根据CD，可得，再根据已知即可得出答案. 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东江门·期末）已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查的是线段的中点、线段的和与差，解决本题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．根据点，分别是，的中点，分别求出和的长度，然后再根据点，的位置关系求解即可． 【详解】解：当点在线段上时， 如下图所示： 点是的中点， ， 又， ， 又点是的中点， ， 又， ， 又， ； 点在线段延长线上时， 如下图所示： 同理可求出，， 又， ； 综合所述：的长度为或． 故选：D ． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在直线上截取线段，，使，，则线段的长为 ． 【答案】4或2 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，根据题意，分两种情况：①当点在点的右侧时；②当点在点的左侧时．根据线段的和差计算即可得出答案．掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当点在点的右侧时， ，， ； ②如图所示，当点在点的左侧时， ，， ， 综上所述，线段的长为或． 故答案为：4或2． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知点是线段上的一点，是的中点．若，，求线段的长． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义，先求得线段，再结合线段的中点的含义解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴线段的长为． 【题型九】线段中点的有关计算 【例9】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，，，点是线段的中点，则的长为（    ）   A．5 B．9 C．5或9 D．2或6 【答案】A 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及和差关系是正确解答的关键．根据线段中点的定义以及和差关系进行计算即可． 【详解】解：，点是线段的中点， ， ， 故选： 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段的中点平分线段以及线段之间的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵为的中点，为的中点，为的中点， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵；故②错误； ∵，， ∴；故③正确； ∵；故④正确； 故选C． 2．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，点M，N在线段上，N是的中点，，则线段的长为 ． 【答案】18 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，先求出的长，再根据中点得到解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵N是的中点， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知点C是线段的中点，点D是线段上一点，若，    (1)求线段的长； (2)若点E是直线上一点，且，点F是的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为6或 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键． （1）根据题意，由点C是线段的中点，，可得，再结合，由计算即可； （2）分两种情况画图：①当点E在点B的右侧时；②当点E在点B的左侧时，由线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：点C是线段的中点，， ， ， ； （2）①如图，当点E在点B的右侧时，   ，， 点F是线段的中点， ， ②如图，当点E在点B的左侧时，   ，， 点F是线段的中点， ， 综上所述，线段CF的长为6或 【题型十】线段n等分点的有关计算 【例10】（七年级上·全国·课后作业）七年级共有14个班，要组织篮球单循环赛，共需要安排（    ）场比赛． A．182 B．91 C．28 D．14 【答案】B 【知识点】线段n等分点的有关计算 【分析】首先单循环制是指任何两个选手之间都要比赛一次,也就是如果有个选手,则共有场比赛，据此求解即可． 【详解】七年级共有14个班，要组织篮球单循环赛，共需要安排场比赛； 故选B 【点睛】本题考查了求两个队伍比赛之间关系，类比线段等分求线段的数量是解题的关键． 【举一反三】 1．（七年级·浙江·期末）定义：当点C在线段AB上，时，我们称为点C在线段AB上的点值，记作． 甲同学猜想：点C在线段AB上，若，则． 乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则 关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【知识点】线段n等分点的有关计算 【分析】本题根据题目所给的定义对两人的猜想分别进行验证即可得到答案，对于乙的猜想注意进行分类讨论． 【详解】解：甲同学： 点C在线段AB上，且， ， ， 甲同学正确． 乙同学： 点C在线段AB上，且点C是线段AB的三等分点， 有两种情况， ①当时，， ②当时，， 乙同学错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查对于新定义和线段的等分点的理解，对于线段的三等分点注意分类讨论即可． 2．（23-24七年级上·四川绵阳·阶段练习）已知M为线段的三等分点，且，则线段的长为 ． 【答案】9或/或9 【知识点】线段n等分点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的三等分点，线段之间的倍数关系.画出图形分类讨论时解题的关键. 分两种情况：①点靠近点；②点靠近点.画出图形分别计算即可. 【详解】解：如图1所示： 点是的三等分点， ． 如图2所示： 点是的三等分点， ． 的长度为9或， 故答案为：9或． 3．（23-24七年级上·湖南永州·期末）如图，A、B、C、D四点在同一直线上，．    (1)比较大小： ______（填“”、“”或“”）； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段n等分点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段之间的数量关系， （1）根据得出即可得出； （2）先根据，且，求出，再求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型十一】线段之间的数量关系 【例11】（24-25七年级上·新疆伊犁·期末）如图，已知点是线段的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】本题考查线段倍分关系，根据线段中点定义，数形结合即可得到，逐项判断即可确定答案，数形结合，准确表示出线段倍分关系是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 点是线段的中点， ， A、，说法正确，不符合题意； B、，说法正确，不符合题意； C、，说法正确，不符合题意； D、，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，已知线段，小军同学进行如下操作：用圆规在线段上截取．则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】本题考查比较线段的长短，直接根据图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：， 又， ∴； 无法判断的大小关系， 故选D． 2．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）定义：若射线上一点满足或时，则点是射线的平衡点．已知点是射线上的平衡点，若，则的长可能是 ． 【答案】2或4或12 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，有理数的乘法运算，分类思想的运用，掌握线段的和差倍分是解题的关键 分三种情况讨论，分别画出符合题意的图形，结合的位置得到的具体的数量关系，结合 从而可得答案． 【详解】解：如图，， 当时， 如图，，当时， 如图，，当时， 综上：或4或12． 故答案为：2或4或12． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，C，D是线段上的两点，是的中点，是的中点，若，，求的长． 【答案】14 【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题主要考查了线段上两点间的距离，解答此题时利用中点的性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键． 由题意，得，因为是的中点，是的中点，所以，， 所以，所以． 【详解】解：由题意得， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 【题型十二】与线段有关的动点问题 【例12】（七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）B是线段AD上一动点，沿A至D的方向以的速度运动．C是线段BD的中点．．在运动过程中，若线段AB的中点为E．则EC的长是（     ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】B 【知识点】与线段有关的动点问题 【分析】根据线段中点的性质，做出线段AD，按要求标出各点大致位置，列出EB，BC的表达式，即可求出线段EC． 【详解】设运动时间为t， 则AB=2t，BD=10-2t， ∵C是线段BD的中点，E为线段AB的中点， ∴EB= =t，BC= =5-t， ∴EC=EB+BC=t+5-t=5cm， 故选：B． 【点睛】此题考查对线段中点的理解和运用，涉及到关于动点的线段的表示方法，难度一般，理解题意是关键． 【举一反三】 1．（七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与线段有关的动点问题 【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为8×＝4， 点A2表示的数为8××＝2， 点A3表示的数为8××＝1， …， 点An表示的数为8×（）n， ∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6， ∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． 2．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 【答案】5 【知识点】与线段有关的动点问题 【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为：5 【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【知识点】线段的和与差、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）根据题意算出，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 【题型十三】两点之间线段最短 【例13】（24-25七年级上·吉林·期末）如图，小李同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点之间，直线最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过两点有且仅有一条直线 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案． 【详解】解：如图： 用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小， ∴线段的长小于点A绕点C到B的长度， ∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短， 故选C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·云南临沧·期末）如图，从A地到B地有甲、乙、丙、丁4条路线，能判断丙路线最短的依据是（   ） A．过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段的长度就是A、B两点之间的距离 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，根据两点之间，线段最短判断即可；熟知两点之间，线段最短是关键． 【详解】解：从A地到B地有甲、乙、丙、丁4条路线，能判断丙路线最短的依据是两点之间，线段最短， 故选：C． 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）从A到B有多条道路，人们会走中间的直路，而不会走其他曲折的路，这是因为 ． 【答案】两点之间线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的关键．根据线段的性质即可求解． 【详解】解：人们通常会走中间的直路，而不走其他的路，这其中的道理是：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，请在四边形内找一点（画出图形，标出的位置）使它与四边形四个顶点的距离之和：最小，并说出你的理由．举例说明它在实际生活中的应用． 【答案】当点是四边形对角线的交点时，数学结论：四边形对角线交点到四个顶点的距离之和最小，见解析 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 根据“两点的所有连线中，线段最短”的性质分析即可． 【详解】连接四边形的对角线，，其交点即为所求的点． 理由：在四边形内任取一点，根据三角形两边之和大于第三边，有（当且仅当在AC上时取等号），（当且仅当在BD上时取等号）． 因此，当为与的交点时，，此时距离之和最小． 数学结论：四边形对角线交点到四个顶点的距离之和最小． 应用举例：分别为四个村庄，在村庄附近修建一个车站，要求所选地点到每个村庄的距离和最小，则修建地点应该选在四边形对角线的交点位置． 【题型十四】两点间的距离 【例14】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） ①两点之间的距离是线段； ②两点之间的距离是线段的长度； ③两点之间的距离是线段的长度 A．② B．③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【知识点】两点间的距离 【分析】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是熟记概念连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．根据题意利用连接两点间的线段的长度叫两点间的距离进行分析判定即可． 【详解】解：①两点之间的距离是线段的长度，故原说法错误， ②两点之间的距离是线段的长度，故原说法错误， ③两点之间的距离是线段的长度，说法正确， 故正确的是③， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广西贵港·期末）点在线段上，若三条线段、、中，有其中一条线段是另一条线段的2倍，则称点是线段的“巧点”．若，点是线段的巧点，则的长是（    ） A．1．5或3或4.5 B．3或4.5 C．3或4.5或6 D．4.5或6 【答案】C 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．当点C是线段的“巧点”时，可能有三种情况，分类讨论计算即可． 【详解】解：当点C是线段的“巧点”时，可能有三种情况： ①时，； ②时，； ③时，． 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连接其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是 ． 【答案】12 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查了两点之间的距离．由题意得，，求得，，，，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 当，时，，， 符合题意，此时； 当，时，，， 不符合题意， 综上，k的值是12； 故答案为：12． 3．（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从点M、B出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点C在线段上，点D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了时，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 （填空）； (4)在（3）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或1 【知识点】线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题主要考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． （1）依据题意，根据运动速度和时间分别求得的长，根据线段的和差计算可得； （2）依据题意，当点C、D运动了时，有，从而由可得答案； （3）根据C、D的运动速度知，再由已知条件求得，所以； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上分别求解可得． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴，． 故答案为：，； （2）解：由题意，当点C、D运动了时，有， ∵， ∴； （3）解：由题意，根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （4）解：①当点N在线段上时，如图1， ， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2， ∵， 又∵， ∴， ∴． 综上所述或1． 【题型十五】最短路径问题 【例15】（七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（    ） A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区 【答案】B 【知识点】最短路径问题 【分析】根据题意分别计算停靠点分别在A、B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解． 【详解】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5×50+20×(200+50)+6(2×50+200)＝7050(m)， 当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×50+20×200+6(50+200)＝7000(m)， 当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30(50+200)+5×200+6×50＝8800(m)， 当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×(2×50+200)+5(50+200)+20×50＝11900(m)， 因为7000＜7050＜8800＜11900， 所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． 【举一反三】 1．（七年级上·河北秦皇岛·期末）如图所示，从A到B有三条路可以走，每条路长分别为L，M，N，则L，M，N的大小关系是． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最短路径问题 【分析】利用两点之间线段最短即可判断②和③的长度关系，利用长方形的性质即可判断台阶部分的①和②的长度关系即可求解． 【详解】解：根据两点之间线段最短可得第③条路比第②条路短；由于台阶的高度之和就是总体的高度，台阶的长度之和就是总体的长度，所以第①条路和第②条路一样长，所以； 故选B． 【点睛】本题主要考查，几何图形当中线段的长度关系，属于基础题型． 2．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）一条笔直的公路上有A，B，C，D四个车站，张大爷要在公路上找到一个位置摆摊，要求摊位到这四个车站距离之和最小，这样的位置可以找到 个． 【答案】无数 【知识点】最短路径问题、线段的和与差 【分析】根据题意，利用线段和差关系分情况讨论，确定出摆摊位置到四个车站的距离和，然后得出结论即可． 【详解】解：根据题意，在车站、之间找一点摆摊，可使摊位到这四个车站距离之和最小，设摊位为，距离和为， （1）当在间时，，当与M重合时等号成立； （2）当在间时， ，在这里和都是确定的，所以当在间任何位置时，距离的值均为； （3）当在间时，当与重合时取等号， 综上所述，在之间的任何一个位置 (包括两点)，都能使得它到四个车站的距离和最小，即摆摊位置有无数个， 故答案为：无数． 【点睛】本题考查线段的和与差，利用数形结合思想解决线段的和与差问题是解答的关键． 3．（七年级上·湖北随州·期末）如图（1）所示，长方形是由两个正方形拼成的，正方形的边长为，对角线为，长方形对角线为．一只蚂蚁从点爬行到点． (1)求蚂蚁爬行的最短路线长（只能按箭头所示的三条路线走），并说明理由． (2)如果把右边的正方形沿翻转得到如图（2）所示的正方体相邻的两个面（实线表示），则蚂蚁从点到点的最短路线长是多少？请在图（2）中画出路线图，若与图中的线段有交点，则要标明并说明交点的准确位置．（可测量猜想判断） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】最短路径问题 【分析】（1）根据两点之间线段最短求解； （2）把正方体相邻的两个面展开成平面，连接A，C即是最短路线． 【详解】（1）解：从路线长：， 从路线长：， 从路线长：， 根据两点之间，线段最短， 可得，即， 所以，即， 故从到的最短路线长为． （2）解：从到的最短路线长为， 图中的点为线段的中点， 位置如图． 【点睛】本题主要考查了平面展开中的最短路径问题，一般根据两点之间线段最短求解． 【题型十六】作线段(尺规作图) 【例16】（22-23七年级上·河北石家庄·期末）如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题考查利用圆规比较两条线段的大小，熟练掌握利用圆规比较两条线段的大小是解题的关键，根据圆规张口的大小即可判断，从而得到答案． 【详解】解：如图可知，用圆规的两个脚分别对准线段，的两个端点， ∵对准线段的圆规张口大于对准线段的圆规张口， ∴， 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了基本作图以及两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．结合图形，根据作图即可求解． 【详解】解：由作图知：， 故选：D． 2．（2024·贵州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交于点D，连接．若，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图，根据作一条线段等于已知线段的作法可得出，即可求解． 【详解】解∶由作图可知∶ ， ∵， ∴， 故答案为∶5． 3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，已知线段a，b，利用尺规作图法求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，先作射线，再以点A为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于C，接着以点C为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于D．最后以D为圆心，线段a的长为半径画弧交线段于B，则线段即为所求． 【详解】解：如图所示，线段即为所求； 好题必刷 一、单选题 1．如图，，，E，F分别是，的中点，则的长为（   ） A．10 B．8 C．6 D．8.5 【答案】B 【分析】根据已知条件可以求出，的长度，再根据中点的定义，可以求出，的值，再由即可求解． 本题考查的是线段和差定义，中点的性质，利用线段和差表示线段是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 故选：B． 2．如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．点A在直线外 B．点C在直线上 C．射线与射线是同一条 D．直线和直线相交于点B 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段．解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，要注意：直线没有端点．根据直线、射线与线段的定义，结合图形解答． 【详解】解：A、点A在直线外，原说法正确，故此选项不符合题意； B、点C在直线上，原说法正确，故此选项不符合题意； C、射线与射线是不是同一条，原说法错误，故此选项符合题意； D、直线和直线相交于点B，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C 3．下列说法中正确的个数为（    ） ①射线OP和射线PO是同一条射线；②连接两点的线段叫两点间的距离；③两点确定一条直线；④若AC=BC，则C是线段AB的中点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据射线的定义及其表示可判断①；根据两点间的距离定义可判断②；根据直线基本事实可判断③；根据线段中点定义可判断④，然后可得出结论． 【详解】解：①直线上一点和她一旁的部分，射线OP端点是O，从O向P无限延伸，射线PO端点是P，从P向O无限延伸，所以不是同一条射线，故①错误； ②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故②错误； ③经过两点有且只有一条直线，两点确定一条直线符合基本事实，故③正确； ④把一条线段分成两条相等的线段的点，若AC=BC，点C可以在线段AB上时，C是线段AB的中点，若AC=BC，点C在线段AB外时，点C不是线段AB的中点，故④错误 正确的个数是1． 故选择A． 【点睛】本题考查点与线的基本概念，掌握射线，两点间距离，直线基本事实，线段中点是解题关键． 4．下列说法正确的是（   ） A．一条直线就是一个平角 B．射线比直线短 C．过三点可以作一条直线 D．两点间的线段的长度叫两点间的距离 【答案】D 【分析】本题考查了直线，射线，平角的定义以及两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据直线，射线，平角的定义以及两点间的距离的定义分别判断即可． 【详解】解：A、平角是一条射线绕它的端点旋转180度组成的角，即平角是两条射线，不是直线，故原说法错误，本选项不符合题意； B、射线，直线都是可以无限延长的，无法测量长度，故原说法错误，本选项不符合题意； C、经过两点可以作一条直线，故原说法错误，本选项不符合题意； D、两点间的线段的长度叫两点间的距离，原说法正确，符合题意， 故选：D． 5．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字： ①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有（　　） A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律探究、直线的交点个数问题，根据题意，观察图形，得出直线交点个数最多的变化规律即可求解． 【详解】解：①两直线相交，最多1个交点； ②三条直线相交最多有个交点； ③四条直线相交最多有个交点； …… 由此可得10条直线相交交点个数最多为（个）， 故选：B． 6．如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．则MN的长为（    ） A．12cm B．11cm C．13cm D．10cm 【答案】A 【分析】根据线段中点的性质直接可得出BM的长，计算出BD，根据线段中点的性质推出BN=DN=BD，进而结合图形根据线段之间的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵点M是AB的中点， ∴BM=AM=AB=×6=3（cm）， ∵BC=10cm,CD=8cm, ∴BD=BC+CD=10+8=18（cm）， ∵点N是BD的中点， ∴BN=DN=BD=×18=9（cm）， ∴MN=MB+BN=3+9=12（cm）． 故选：A． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分，连接两点间的线段的长度叫两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度． 7．点是线段上的三等分点，是线段的中点，是线段的中点，若，则的长为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，根据点C是线段上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可． 【详解】解：如图1， ∵点C是线段上的三等分点， ∴， ∵E是线段的中点，， ∴， ∴； 如图2， ∵E是线段的中点， ∴， ∵点C是线段上的三等分点， ∴， ∴， 则的长为36或18． 故选：D． 8．下列关于直线的表示方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线的表示方法，解题的关键是掌握通常直线用两个大写字母或一个小写字母表示，据此即可解答． 【详解】解：通常直线用两个大写字母或一个小写字母表示，例直线，直线a． 故选C． 9．已知：线段a，b，求作：线段AB，使得AB＝2a＋b，小明给出了四个步骤（如图）：①作－条射线AE；②则线段AB＝ 2a＋b；③在射线AE上作线段AC＝a，再在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；你认为顺序正确的是（       ） A．②①③④ B．①③④② C．①④③② D．④①③② 【答案】B 【分析】先作射线AE，然后在射线AE上作线段AC=a，再在射线CE上作线段CD=a，最后在射线DE上作线段DB=b，则线段AB= 2a+b． 【详解】解：由题意知，正确的画图步骤为：①作一条射线AE；③在射线AE上作线段AC＝a，再在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；②则线段AB＝ 2a＋b； 故选：B． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 10．如图，点在线段的延长线上，，记线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为，；线段和的中点分别为和；，依次进行这样的标记，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，中点的性质，根据图形，找到线段之间的关系，即可求解，根据图形找到线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 故选：． 二、填空题 11．点是线段的中点，，那么 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查线段的中点定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据点C是线段的中点，由线段中点的定义计算解答． 【详解】解：∵ 点是线段的中点，， ∴， 故答案为：． 12．射线、线段都是 的一部分，射线有 个端点，线段有 个端点． 【答案】 直线 1/一 2/二/两 【分析】根据射线、线段的定义：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．理解定义，填空即可． 【详解】解：∵直线上的一点和它一旁的部分叫做射线；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段． ∴射线、线段都是直线的一部分，射线有1个端点，线段有2个端点． 故答案为：直线；1；2． 【点睛】本题考查了射线、线段的定义，理解射线、线段的定义是解题的关键． 13．如图，若，则 AD， AC， AE， CD． 【答案】 2 3 【分析】根据AB=BC=CD=DE得到线段之间的数量关系即可推出结论． 【详解】∵AB=BC=CD=DE， ∴AD=3AB，AE=4AB，AC=2AB，BE=3AB， ∴，，，． 故答案为：，2，，3． 【点睛】本题考查了线段，弄清线段之间的数量关系是解题的关键． 14．如图，把一根绳子对折成线段，上有一点P，已知，则这根绳子的长为 ． 【答案】120 【分析】设，则， ，绳长为，由得出方程求出方程的解，代入求出即可 【详解】解：设，则， ∵， ∴ 解得：， 即绳子的原长是； 故答案为：120． 【点睛】本题考查了两点间的距离，熟练掌握线段和和差倍分的计算是解题的关键． 15．把一根木条钉牢在墙上，至少需要2颗钉子，这是因为 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键．根据两点确定一条直线解答即可． 【详解】解：把一根木条钉牢在墙上，至少需要2颗钉子，这是因为经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 16．在射线上截取线段，，点M，N分别是，的中点，则点M和点N之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】可分两种情况：当点C在线段AB上时，当点C在AB延长线上时，根据两点间的距离和线段中点的定义可求解MN的长． 【详解】解：①点C在线段AB上时，如图所示：    ∵点M，N分别是AB，BC的中点， ∴AM=BM=AB， 又∵AB=8cm， ∴BM=4cm， 又∵点N是BC的中点， ∴CN=BN=BC， 又∵BC=3cm， ∴BN=1.5cm， 又∵MN=BM-BN， ∴MN=4-1.5=2.5cm； ②点C在线段AB延长线上时，如图所示：    同理可求出BM=4cm，BN=1.5cm， 又∵MN=BM+BN， ∴MN=4+1.5=5.5cm； 综合所述：MN的长度为2.5cm或5.5cm， 故答案为：5.5cm或2.5cm． 【点睛】本题主要考查两点间的距离，线段中点的定义，注意画出草图、分类讨论是解决本题的关键． 17．已知在数轴上有A、B、C三点，表示的数分别是-3，7，x，若，点M、N分别是AB、AC的中点，则线段MN的长度为 ． 【答案】7或3/3或 7 【分析】根据两点间的距离可得x=1或-7，当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，1时，得到点M表示的数为2，点N的坐标是-1；当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，-7时，则点M表示的数为2，点N的坐标是-5，然后分别计算MN的长． 【详解】解： AB=7-（-3）=10； ∵AC=4， ∴|x-（-3）|=4， ∴x-（-3）=4或（-3）-x=4， ∴x=1或-7； 当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，1时，如图1，    ∵点M、N分别是AB、AC的中点， ∴AM=BM=AB=5，AN=CN=AC=2， ∴MN=AM-AN=5-2=3； 当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，-7时，如图2，    ∵点M、N分别是AB、AC的中点， ∴AM=BM=AB=5，AN=CN=AC=2， ∴MN=AM+AN=5+2=7； ∴MN=7或3． 【点睛】本题考查了线段的中点，数轴上两点间的距离：两点间的连线段长叫这两点间的距离．数形结合是解答本题的关键． 18．如图，①2条直线相交，最多1个交点；②3条直线相交最多有3个交点；③4条直线相交最多有6个交点，那么10条直线相交最多有 个交点． 【答案】45 【详解】解：2条直线相交，最多有1个交点，3条直线相交，最多有3个交点，即条直线相交，最多有6个交点，即条直线相交，最多有10个交点，即条直线相交，最多有（个）交点． 三、解答题 19．如图所示，，，如果点D是线段AB的中点，求线段DC的长度． 【答案】 【分析】求出线段的长度，根据中点求得线段的长度，即可求解． 【详解】解：因为， ， 所以（）， 因为D是线段AB的中点， 所以（）， 所以（） 答：线段DC的长度为（） 【点睛】此题考查了线段中点的有关计算，根据题意找到线段的关系是解题的关键． 20．延长线段是指按从端点A到B的方向延长；延长线段是指按从端点B到A的方向延长，这时也可以说反向延长线段．如图，分别画出线段的延长线和反向延长线． 【答案】见解析． 【分析】根据线段的延长线和反向延长线，画出图形即可． 【详解】解：根据题意画出图形，如下图： 【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段，理解线段的延长线和反向延长线的画法是解题的关键． 21．已知线段，回答下面的问题： （1）是否存在点C，使它到A,B两点的距离之和等于？为什么？ （2）是否存在点C，使它到两点的距离之和等于？如果点C存在，点C的位置应该在哪里？为什么？这样的点C有多少个？ （3）是否存在点C，使它到A,B两点的距离之和大于？如果点C存在，点C的位置应该在哪里？为什么？这样的点C有多少个？ 【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）存在，线段AB上的任何一点到两点的距离之和都等于，无数个，理由见解析；（3）存在，线段AB外的任何一点到两点的距离之和都大于，无数个，理由见解析 【分析】两点之间线段最短逐个回答即可． 【详解】解：（1）不存在； 因为两点之间线段最短，AB之间最短距离为6cm，6cm＞5cm， 所以不可能存在； （2）存在；在线段AB上； 因为AB之间的距离为6cm，线段AB上任意一点到A和B的距离都等于6cm， 这样的点有无数个； （3）存在，点C的位置在线段AB的外部； 因为点C的位置在线段AB的外部时，根据两点之间线段最短，到A和B的距离都大于6cm， 这样的点C有无数个． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短、两点之间的距离；熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键． 22．如图，线段AB上有两点M，N，点M将线段AB分成两部分，点N将线段AB分成两部分，且MN＝8，求线段AM，NB的长分别是多少？ 【答案】线段，的长分别是8，4 【分析】点将分成两部分，即；点将分成两部分，即．然后根据列方程，求出的长度，进而得出，的长． 【详解】解：点将分成两部分， ； 点将分成两部分， ． 又， ， ， ． ． 故，． 答：线段，的长分别是8，4． 【点睛】本题考查了两点之间的距离问题，根据题意判断出点、是线段的几等分点是解题的关键． 23．已知线段cm，在直线上有一点C，并且满足，O是线段的中点，求线段的长．（要求画图说明并解答） 【答案】或 【详解】解：cm，； cm． 如图1，当点C在线段AB的延长线上时， 如图2，当点C在线段AB上时， 综上，线段AO的长为或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，正确的画出图形是解题的关键． 24．估计下列图中线段与线段的大小关系，再用刻度尺或用圆规来检验你的估计． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】先目测估计，再用叠合法检验即可． 【详解】解：（1）， 检验：如图， （2），如图 （3），如图 【点睛】本题主要考查了线段的比较，灵活运用叠合法是解答此题的关键． 25．如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 【答案】(1)①12；② (2) 【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得； ②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得； （2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：①依题意得：， ，点仍在线段上， ∴， 故答案为：； ②设运动时间为，则， ∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设运动时间为，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键． 26．【问题初探】 （1）如图，平面上有四个点T、Y、R、S，根据下列语句画图： ①作射线； ②作直线、交于点M； ③连接、交于点O． （2）我们还可以观察到，经过图中的不在同一直线上的4个点，最多能画出______条直线：经过不在同一直线上的5个点，最多能画出______直线； 【类比分析】 （3）如果在同一平面里，有不在同一条直线上的20个点，你能算出共有多少条线段吗？ 【学以致用】 （4）按照这个规律回答下列问题： ①2022年卡塔尔世界杯足球赛进入8强赛（即有8个队参加比赛）时，如果进行的是单循环赛（每两个队只比赛一次），则需要进行多少场比赛？ ②某球迷乘火车从A站出发，沿途经过3个站后到达B站，那么在A、B两站之间需要多少种不同的票价？需要多少种车票？ 【答案】（1）①图见解析②图见解析③图见解析（2）6，10（3）190条（4）①28②10种，20种 【分析】本题考查画直线，射线，线段，直线，线段的数量问题． （1）根据要求作图即可； （2）直接数出直线的条数即可； （3）根据每两个点确定一条线段，所以每一个点与剩下的19个点都能构成一条线段，重复计算2次，除以2，进行求解即可． （4）①根据每个队都要跟剩余的7个队踢一场比赛，重复计算2次，除以2即可； ②同①法，求出需要多少种不同的票价，再根据从到和从到需要2套票，乘以2即可． 理解直线，射线，线段的定义，是解题的关键． 【详解】解：（1）①作射线，如图所示； ②作直线、交于点M，如图所示； ③连接、交于点O，如图所示． （2）图中的不在同一直线上的4个点，最多能画出6条直线，图中的不在同一直线上的5个点，最多能画出10条直线； 故答案为：6，10； （3）∵每两个点确定一条线段， ∴每个点都能跟剩余的的点组成一条线段， ∴可以画出：条线段； （4）①∵每个队都要跟剩余的7个队踢一场比赛，且每两个队只比赛一次， ∴需要进行场比赛； ②由题意，得从到共有5个站点，每两个站点之间票价不同， ∴共有：种不同的票价； ∵从到和从到的票的种类不一样， ∴需要种车票． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$