第06讲 有理数的乘方（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学上册新教材北师大版

第06讲 有理数的乘方（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+2个知识归纳+9个题型+课后作业】 模块二 有理数的乘方 同学们，今天老师手里有一张普普通通的纸，厚度只有0.1毫米.如果我把它对折1次，它变成了几层？对折2次呢？对折3次呢？ 如果我连续对折30次，大家猜猜，它的厚度能有多高？是有一本书那么厚？还是有一层楼那么高？告诉大家一个惊人的秘密：如果这张纸足够大，对折30次后的厚度，能超过世界最高的珠穆朗玛峰！是不是觉得不可思议？面对“2×2×2……”这样一连串相同的数字相乘，写起来太麻烦了.今天我们就来认识一位数学界的“简写大师”——乘方！ 【知识点1 有理数的乘方】 求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂． 一般地，记作，读作a的n次方．例如2×2×2×2记作，读作“2的4次方”；（－2）×（－2）×（－2）记作，读作“－2的3次方”． 幂 底数 指数 表示幂，其中a叫作底数，n叫作指数． 【知识点2 乘方的性质】 1. 正数的任何次幂都是正数，即当时，． 2. 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数，即当时， 3. 0的任何次幂都是0，即当时，． 4. a的偶数次幂是非负数，如，>0， 【题型1 有理数幂的概念理解】 【例1】的底数是_______，指数是_______，读作_______________，它的含义是_______________；的底数是__，指数是_______，其结果是_____． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【分析】本题考查幂的底数和指数的概念，需注意负号的位置，区分整体底数与运算符号． 根据乘方的相关概念作答即可． 【详解】对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 【变式1-1】对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 故选：B． 【变式1-2】（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘法和乘方的意义，只需根据定义分别化简分子和分母，即可得到结果，选出正确选项． 【详解】解：根据乘法的意义，个相同加数相加，可得 根据乘方的意义，个相同因数相乘，可得 原式． 故选：A． 【变式1-3】计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 故选：D． 【题型2 有理数的乘方运算】 【例2】下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算题目中的结果，再根据有理数运算法则计算各选项结果，对比得到答案． 【详解】解： ， 选项A：，和结果相等，故A选项符合题意； 选项B：，结果不相等，故选项B不符合题意； 选项C：，结果不相等，故选项C不符合题意； 选项D：，结果不相等，故选项D不符合题意． 故选：A． 【变式2-1】计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2026 【答案】B 【分析】负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负． 【详解】∵是偶数，根据乘方运算规则，的偶次幂结果为， ∴． 故选：B． 【变式2-2】下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】互为相反数的两个数和为0，由此逐项判断即可． 【详解】解：，故和互为相反数，A选项符合题意； ，故和不互为相反数，B选项不合题意； ，故和不互为相反数，C选项不合题意； ，故和不互为相反数，D选项不合题意． 故选：A． 【变式2-3】计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ； （5）解：； （6）解：． 【题型3 有理数乘方的逆运算】 【例3】若，则________． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． 将27化为幂的形式，然后逆用有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 因为， 所以或， 故答案为：或3． 【变式3-1】若，则______． 【答案】 【分析】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 故答案为：81． 【变式3-2】如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 【变式3-3】一个数的平方等于64，那么这个数是___________；一个数的立方等于64，那么这个数是___________． 【答案】 4 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据，即可得． 【详解】解：∵，， ∴一个数的平方等于64，那么这个数是；一个数的立方等于64，那么这个数是4． 故答案为：；4． 【题型4 乘方运算的符合规律】 【例4】下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 【变式4-1】______． 【答案】 【分析】本题考查了指数幂的运算，解决本题的关键是正确计算正负号． 根据指数运算法则和有理数乘法法则，分别计算各部分的符号和指数，再合并相乘． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式4-2】当n为正整数时，的值是（ ） A．0 B．2 C． D．2或 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的乘方，乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．利用的幂次性质：偶次幂为1，奇次幂为． 【详解】解：∵ n为正整数， ∴为偶数，为奇数， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 【变式4-3】请判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】题目主要考查有理数的乘方运算，判断计算结果的正负，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）（2）（3）（4）分别根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （2）解：是的相反数， 因为是正数，所以其相反数为负数， 故的结果为负； （3）解：∵的指数是7，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （4）解：∵的指数是8，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正． 【题型5 乘方的应用】 【例5】某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推导得到个细菌经过分钟后的分裂数量，再乘以初始细菌个数即可得到结果． 【详解】解：∵个细菌每分钟由个分裂成个， ∴个细菌经过分钟分裂为个，经过分钟分裂为个， 依此类推，可得个细菌经过分钟分裂为个， 本题中，初始细菌个数为， ∴最终总个数为． 故选：B． 【变式5-1】将厚0.1毫米的一张纸对折，再对折，这样对折4次后，这张纸厚( )毫米． 【答案】1.6 【分析】每对折一次，纸的厚度扩大为原来的倍，对折次后，纸的厚度扩大为原来的倍，本题对折次，代入计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对折次后，纸的厚度为（毫米） 故答案为：． 【变式5-2】如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据每过30分钟便会由1个分裂成2个，由4小时求出分裂的次数，即可确定出分裂的个数． 【详解】解：4小时求出分裂的次数为（次）， 经过30分钟，这种细胞由1个能分裂成个 经过60分钟，这种细胞由1个能分裂成个， ...， ∴经过4小时，这种细胞由1个能分裂成个． 故选：D． 【变式5-3】《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【答案】 【分析】据题意，每天截取后剩余长度是前一天剩余长度的一半，逐天计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意， 第1天截取后剩余长度为：， 第2天截取后剩余长度为：， 第3天截取后剩余长度为：， 第4天截取后剩余长度为：， 第5天截取后剩余长度为：， 故第5天截取后木棍剩余长度为． 故答案为：． 【题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例6】近期上映的《疯狂动物城》备受观众喜爱，截至年月日《疯狂动物城》票房突破亿，亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需先将亿化为普通整数，再按规则改写即可得到结果． 【详解】解：∵亿， ∴将其改写为符合要求的科学记数法，可得． 故选：D． 【变式6-1】根据西安市文化和旅游局数据统计，某年春节假期，全市3A级以上景区共接待游客超1300万人次，数据“1300万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，比原整数位数少1． 【详解】1300万， ． 故选：B． 【变式6-2】据预测，到2026年，安徽省常住人口约6113万人，6113万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，比原整数位数少1，解答即可． 【详解】解： 万， ． 故选：A． 【变式6-3】作为中原粮仓，河南的耕地面积稳定在1.1亿亩以上，居全国第三位，则1.1亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的表示，解题思路为先将“亿”化为整数形式，再根据科学记数法的要求确定和的值，科学记数法的形式为，其中，为整数. 【详解】解：∵亿， ∴亿， 故选：A． 【题型7 将用科学记数法表示的数变为原数】 【例7】2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原为原数，根据科学记数法定义，将还原时，只需把的小数点向右移动位即可得到原数． 【详解】中， 将的小数点向右移动位，得到原数为， 故选：B． 【变式7-1】中国自主研发建造的“长益号”超大型集装箱船，该舰的最大载重量为吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（   ） A．24200吨 B．242000吨 C．2420吨 D．2420000吨 【答案】B 【分析】根据科学记数法的定义，将（n为正整数）还原时，把a的小数点向右移动n位即可得到原数． 【详解】解：∵给定数为，其中， ∴将2.42的小数点向右移动5位，可得原数为242000， 即原数为242000吨，对应选项为B． 【变式7-2】一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的概念，将科学记数法还原为原数，再数出原数中0的个数即可解题． 【详解】解：， 数原数可得，原数中0的个数为7． 故选：D． 【变式7-3】2026年厦门市文旅部门数据显示， “五一”期间鼓浪屿等热门景点累计接待市民游客约为人次，下列选项中与 相等的是（     ） A．67300 B．673000 C．6730000 D．67300000 【答案】C 【分析】根据科学记数法的定义，将所给科学记数法展开得到原数，即可选出正确选项． 【详解】∵ ， ∴ ． 故选：C． 【题型8 与乘方有关的规律问题】 【例8】与幂有关的规律探究，一般是研究幂的个位数字的规律探究问题．常用的方法是先求出前几个数的个位数字，从中发现循环的规律，然后判断需要探求的数的个位数字处于循环规律中的第几个，最终得到答案． (1)先观察，后计算： 观察算式：你能发现的个位数字是由 种数字组成，分别是 ；直接写出的个位数字是 ； (2)探究：的个位数字是多少？试着写出推导过程； (3)直接写出的结果的个位数字是 ． 【分析】本题考查了数字型规律，有理数的乘方，解题的关键是： （1）根据已知算式的结果，直接归纳即可，再根据所得规律，计算2023除以4的余数，得到结果； （2）仿照（1）中找到规律，再计算2023除以4的余数，得到结果； （3）分别求出，，，，，找到规律，同法求出结果． 【详解】（1）解：发现的个位数字是由4种数字组成， 分别是2，4，8，6，共4个为一循环， ， ∴的个位数字是8， 故答案为：4，2、4、8、6，8； （2） 可得：个位数字分别是3，9，7，1，共4个为一循环， 而， ∴的个位数字是7； （3），，，，，…， 个位数字分别是2，2，6，0，共4个为一循环， ， ∴的结果的个位数字是6． 故答案为：6． 【变式8-1】观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 【答案】7 【分析】此题主要考查了数字的变化类规律，尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键．通过观察7的幂的个位数字，发现其以7，9，3，1为周期循环，周期为4，计算2025除以4的余数，根据余数确定个位数字． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4， ∵， ∴的个位数字为7， 故答案为：7． 【变式8-2】按一定的规律排列的一列数依次为：1、4、9、、、…，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，数字类规律探索等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 观察数列，发现每个数都是其序号的平方，由此求解即可． 【详解】解：∵按一定的规律排列的一列数依次为：1、4、9、、、…， 依次可写为、、、、、、…， ∴第7个数为， 故选：B． 【变式8-3】观察下列各式： ；；；；…… (1)根据你发现的规律，计算算式的值：； (2)请用一个含的算式表示这个规律：； (3)根据发现的规律，请计算算式：的值（写出必要的解题过程）． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，熟练掌握有理数混合运算顺序是解题的关键． （1）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （2）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （3）用的值减去的值，再类比所给的4个算式进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 【题型9 新定义问题】 【例9】用“☆”、“★”定义新运算：对于任意有理数、，都有和，那么______． 【答案】512 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据新运算定义可计算出，再计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴ ， 故答案为：512． 【变式9-1】、为有理数，定义新运算符号：，则______． 【答案】7 【分析】本题考查新定义运算，内容是有理数乘方和减法运算，根据定义代值计算即可． 【详解】解：由题可得， 故答案为：7． 【变式9-2】在有理数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．则当时，的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，新定义运算，先理解新运算“⊕”的法则，再整理原式，最后进行计算，即可作答． 【详解】解：∵当时，；当时，． ∴当时， 故选：B 【变式9-3】对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方的应用；根据对方运算的定义，分别求和的值，再计算它们的和． 【详解】解：因为，所以； 因为，所以； 因此． 故答案为：6． 模块三 课后作业 1．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 故选：D． 2．据报道，年我国南方电网“西电东送”送电量超过亿千瓦时，其中亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，只需根据科学记数法的定义确定和的值即可，科学记数法的表示形式为，要求，为整数． 【详解】解：∵亿 ，根据科学记数法对的要求，可得， ∵等于原数的整数位数减，原数整数位数为， ∴， ∴亿用科学记数法表示为， 故选：B． 3．2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于（，为正整数），还原时只需将的小数点向右移动位即可得到原数。 【详解】解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． 故选：B． 4．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 5．若，均为正有理数，且，，则下列叙述正确的是（） A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法符号法则，通过计算表达式中负因数的个数判断符号：有四个负因数，乘积为正；有三个负因数，乘积为负． 【详解】，，，，． 对于a：，共有四个负因数， ∵偶数个负数相乘为正， ． 对于b：， ，再乘以， ． 为正数，为负数． 故选C． 6．根据乘方的定义：______． 【答案】 【分析】此题重点考查乘方的定义，正确理解乘方的定义是解题的关键． 根据有理数乘方的定义，，于是得到问题的答案． 【详解】解：表示四个相同因数的乘积， ． 故答案为：． 7．定义一种新运算“”，规定，则的值为______． 【答案】24 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是根据新运算的规则，将数值代入进行计算． 根据新运算“”的定义，把代入该式进行计算． 【详解】解： ． 故答案为：24 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：． 9．我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作Sn，那么有： ； ； ； … 观察上面式子的规律，完成下面各题． (1)猜想： （用含n的式子表示）； (2)依规律，直接写出的值为 ； (3)依规律，求的值． 【分析】本题主要考查数字规律，理解材料提示，找出规律是关键． （1）根据材料提示得到规律即可求解； （2）结合（1）中的规律，把代入计算即可求解； （3）根据题意，将变形为，结合（2）中计算即可求解． 【详解】（1）解：； ； ； … ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 10．我们知道，十进制是逢十进一，十进制数3742中的3表示3个千，7表示7个百，4表示4个十，2表示2个一，于是得到下面的式子：．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1． 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．将(1011)2转换为十进制数，如下：． 小明设计一种游戏：将十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”按顺序分别编号为1到12．四张卡片A，B，C，D上的数字为0或1（顺序为），如：A．1，B．1，C．0，D．0，记为，然后将二进制数转换为十进制数，就可能得到对应生肖的编号． （1）请将二进制数转换为十进制数； （2）若A，D卡片上的数字都为0，B，C卡片上的数字都为1，对应的生肖是什么？请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华设计一个“猜生日”的游戏，用5张卡片A，B，C，D，E组成的二进制数来表示1号到31号中的一天，五张卡片A，B，C，D，E上的数字为0或1（顺序为）．他的生日是八月的某天，若A，D卡片上的数字都为1，其他卡片上的数字都为0，他的生日是八月几号？请说明理由． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制、十进制数的定义以及计算方法是正确解答的关键． （1）根据二进制与十进制的计算方法进行计算即可； （2）根据二进制的定义以及与十进制的计算方法进行计算即可； （3）根据二进制的定义以及与十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）对应的生肖是蛇．理由如下： 因为    所以对应的生肖是蛇． （3）他的生日是八月18号．理由如下： 因为     所以他的生日是八月18号． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 有理数的乘方（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+2个知识归纳+9个题型+课后作业】 模块二 有理数的乘方 同学们，今天老师手里有一张普普通通的纸，厚度只有0.1毫米.如果我把它对折1次，它变成了几层？对折2次呢？对折3次呢？ 如果我连续对折30次，大家猜猜，它的厚度能有多高？是有一本书那么厚？还是有一层楼那么高？告诉大家一个惊人的秘密：如果这张纸足够大，对折30次后的厚度，能超过世界最高的珠穆朗玛峰！是不是觉得不可思议？面对“2×2×2……”这样一连串相同的数字相乘，写起来太麻烦了.今天我们就来认识一位数学界的“简写大师”——乘方！ 【知识点1 有理数的乘方】 求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂． 一般地，记作，读作a的n次方．例如2×2×2×2记作，读作“2的4次方”；（－2）×（－2）×（－2）记作，读作“－2的3次方”． 幂 底数 指数 表示幂，其中a叫作底数，n叫作指数． 【知识点2 乘方的性质】 1. 正数的任何次幂都是正数，即当时，． 2. 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数，即当时， 3. 0的任何次幂都是0，即当时，． 4. a的偶数次幂是非负数，如，>0， 【题型1 有理数幂的概念理解】 【例1】的底数是_______，指数是_______，读作_______________，它的含义是_______________；的底数是__，指数是_______，其结果是_____． 【变式1-1】对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】计算（    ） A． B． C． D． 【题型2 有理数的乘方运算】 【例2】下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2026 【变式2-2】下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-3】计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型3 有理数乘方的逆运算】 【例3】若，则________． 【变式3-1】若，则______． 【变式3-2】如果，则是（    ） A．8或 B． C．4 D．4或 【变式3-3】一个数的平方等于64，那么这个数是_______；一个数的立方等于64，那么这个数是_______． 【题型4 乘方运算的符合规律】 【例4】下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式4-1】______． 【变式4-2】当n为正整数时，的值是（ ） A．0 B．2 C． D．2或 【变式4-3】请判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型5 乘方的应用】 【例5】某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】将厚0.1毫米的一张纸对折，再对折，这样对折4次后，这张纸厚( )毫米． 【变式5-2】如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-3】《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例6】近期上映的《疯狂动物城》备受观众喜爱，截至年月日《疯狂动物城》票房突破亿，亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】根据西安市文化和旅游局数据统计，某年春节假期，全市3A级以上景区共接待游客超1300万人次，数据“1300万”用科学记数法表示为（      ） A． B． C． D． 【变式6-2】据预测，到2026年，安徽省常住人口约6113万人，6113万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】作为中原粮仓，河南的耕地面积稳定在1.1亿亩以上，居全国第三位，则1.1亿用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【题型7 将用科学记数法表示的数变为原数】 【例7】2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】中国自主研发建造的“长益号”超大型集装箱船，该舰的最大载重量为吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（   ） A．24200吨 B．242000吨 C．2420吨 D．2420000吨 【变式7-2】一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式7-3】2026年厦门市文旅部门数据显示， “五一”期间鼓浪屿等热门景点累计接待市民游客约为人次，下列选项中与 相等的是（     ） A．67300 B．673000 C．6730000 D．67300000 【题型8 与乘方有关的规律问题】 【例8】与幂有关的规律探究，一般是研究幂的个位数字的规律探究问题．常用的方法是先求出前几个数的个位数字，从中发现循环的规律，然后判断需要探求的数的个位数字处于循环规律中的第几个，最终得到答案． (1)先观察，后计算： 观察算式：你能发现的个位数字是由 种数字组成，分别是 ；直接写出的个位数字是 ； (2)探究：的个位数字是多少？试着写出推导过程； (3)直接写出的结果的个位数字是 ． 【变式8-1】观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 【变式8-2】按一定的规律排列的一列数依次为：1、4、9、、、…，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】观察下列各式： ；；；；…… (1)根据你发现的规律，计算算式的值：； (2)请用一个含的算式表示这个规律：； (3)根据发现的规律，请计算算式：的值（写出必要的解题过程）． 【题型9 新定义问题】 【例9】用“☆”、“★”定义新运算：对于任意有理数、，都有和，那么______． 【变式9-1】、为有理数，定义新运算符号：，则______． 【变式9-2】在有理数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．则当时，的值为（　　） A． B． C． D． 【变式9-3】对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 模块三 课后作业 1．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 2．据报道，年我国南方电网“西电东送”送电量超过亿千瓦时，其中亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 4．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 5．若，均为正有理数，且，，则下列叙述正确的是（） A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 6．根据乘方的定义：______． 7．定义一种新运算“”，规定，则的值为______． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作Sn，那么有： ； ； ； … 观察上面式子的规律，完成下面各题． (1)猜想： （用含n的式子表示）； (2)依规律，直接写出的值为 ； (3)依规律，求的值． 10．我们知道，十进制是逢十进一，十进制数3742中的3表示3个千，7表示7个百，4表示4个十，2表示2个一，于是得到下面的式子：．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1． 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．将(1011)2转换为十进制数，如下：． 小明设计一种游戏：将十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”按顺序分别编号为1到12．四张卡片A，B，C，D上的数字为0或1（顺序为），如：A．1，B．1，C．0，D．0，记为，然后将二进制数转换为十进制数，就可能得到对应生肖的编号． （1）请将二进制数转换为十进制数； （2）若A，D卡片上的数字都为0，B，C卡片上的数字都为1，对应的生肖是什么？请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华设计一个“猜生日”的游戏，用5张卡片A，B，C，D，E组成的二进制数来表示1号到31号中的一天，五张卡片A，B，C，D，E上的数字为0或1（顺序为）．他的生日是八月的某天，若A，D卡片上的数字都为1，其他卡片上的数字都为0，他的生日是八月几号？请说明理由． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $