第05讲 有理数的乘除运算（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学上册新教材北师大版

第05讲 有理数的乘除运算（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+4个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 有理数的乘除运算 甲水库的水位每天升高3 cm，乙水库的水位每天下降3 cm，预计经过4天甲、乙水库水位的总变化量各是多少? 如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么经过4天甲水库的水位变化量为： 3+3+3+3=3×4=12(cm) 乙水库的水位变化量为： (-3)+(-3)+(-3)+(-3)=(-3)×4=-12(cm) 你认为3×(-4)的结果应该是多少？(-3)×(-4)呢？你是怎么做的？ 【知识点1 有理数的乘法】 1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．0与任何数相乘都得0． 2. 符号法则：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负数；当负因数的个数是偶数时，积为正数． 【知识点2 有理数乘法运算律】 1. 交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 用字母表示： 2. 结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变． 用字母表示：． 乘法交换律和结合律可以推广为三个以上的数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中任意几个数相乘，积都不变． 3. 分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加． 用字母表示：． 乘法分配律对于两个以上的数相加的情形仍然成立，如． 【知识点3 倒数】 一般地，如果1，那么ɑ和b互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数． 【知识点4 有理数除法法则】 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 法则2：两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 【题型1 两个有理数的乘法运算】 【例1】计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【变式1-1】计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【变式1-2】计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1-3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 【例2】下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【变式2-1】不计算，说出下列各式积的符号： （1）； （2）． 【变式2-2】计算： （1）； （2）． 【变式2-3】计算： （1）； （2）． 【题型3 倒数】 【例3】的倒数是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】2026的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 【变式3-2】一个数的倒数等于它本身，则这个数是（ ） A．1 B． C． D．和0 【变式3-3】下列各组数中，互为倒数的两个数是（     ） A．和7 B．0.6和0.6 C．和 D．0和0 【题型4 有理数的除法运算】 【例4】计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【变式4-1】计算：（    ） A．10 B．6 C．4 D． 【变式4-2】计算： __________． 【变式4-3】小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 【题型5 有理数的乘除混合运算】 【例5】计算： 【变式5-1】( ) A．2 B． C．1 D．4 【变式5-2】计算：________． 【变式5-3】计算： (1)； (2)． 【题型6 简便运算】 【例6】用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式6-1】用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【变式6-2】用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【变式6-3】用运算律简便运算 (1) (2) 【题型7 有理数四则混合运算】 【例7】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【题型8 有理数四则混合运算的实际应用】 【例8】某公司4天内货品进出库的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，． (1)经过这4天，仓库里的货品是增加了还是减少了？请计算说明． (2)经过这4天，仓库管理员结算时发现库里还存217吨货物，那么4天前仓库里存货多少吨？ (3)如果进出库的货品装卸费都是每吨15元，那么这4天要支付多少元装卸费？ 【变式8-1】在旅游车行驶过程中，旅游车沿着东西方向的车道来回载客，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天旅游车行车路程记录如下（单位：）： ，，，，，，，． (1)地在地的什么位置? (2)若旅游车每千米耗油 ，出发前出旅游车油箱有油 ，途中至少需补充多少升油? 【变式8-2】近日市场上一种“果冻橙”比较畅销．现有8箱这种橙子，以每箱10千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数（单位：千克），称后的记录如图所示，回答下列问题． (1)第6箱橙子重8千克，应记为_____千克；最接近标准质量的是第_____箱；最重的一箱比最轻的一箱重多少？ (2)在（1）的条件下，求这8箱“果冻橙”的总质量是多少千克？ 【变式8-3】有20筐红萝卜，以每筐25千克为标准，超过记正不足记负来表示，记录如下： 与标准质量的差值（千克） 0 1 筐数 2 5 2 1 2 8 (1)20筐红萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐重 千克； (2)与标准质量比较，20筐红萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若该种红萝卜进价每千克为2元，售价每千克为3元．出售过程中，因天气炎热烂掉了，问这20筐红萝卜能否赚到钱？若能，可赚多少钱？ 【题型9 新定义问题】 【例9】借助有理数运算，定义一种新运算“☆”：规则为．例如∶．根据定义解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【变式9-1】a、b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”：定义；例如：． 请根据“⊕”的定义计算： (1)； (2)． 【变式9-2】小芳在学了《有理数的运算》后，对运算产生了浓厚兴趣．她借助所学知识，定义了一种新运算“”，其规则如下：．根据此定义，解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【变式9-3】a，b为有理数，若规定一种新的运算“”：定义．例如：．请根据“”的定义计算： (1)； (2)． 【题型10 根据点在数轴上的位置判断式子的正负】 【例10】有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 模块三 课后作业 1．计算的结果等于（     ） A． B．4 C． D．1 2．下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 4．如图，A、B、C、D四个点在数轴上表示的数分别为a、b、c、d，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 6．计算： (1) (2) 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 8．定义运算“”为：． (1)求； (2)求． 9．某班10名男同学参加100米达标测验，成绩小于或等于15秒才能达标，这10名男同学成绩记录如下（其中超过15秒记为“”，不足15秒记为“”）：，0，，，0，，，0，，． (1)此次参加比赛的达标率是多少？ (2)求这10名男同学的100米测验的平均成绩是多少？ 10．课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 有理数的乘除运算（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+4个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 有理数的乘除运算 甲水库的水位每天升高3 cm，乙水库的水位每天下降3 cm，预计经过4天甲、乙水库水位的总变化量各是多少? 如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么经过4天甲水库的水位变化量为： 3+3+3+3=3×4=12(cm) 乙水库的水位变化量为： (-3)+(-3)+(-3)+(-3)=(-3)×4=-12(cm) 你认为3×(-4)的结果应该是多少？(-3)×(-4)呢？你是怎么做的？ 【知识点1 有理数的乘法】 1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．0与任何数相乘都得0． 2. 符号法则：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负数；当负因数的个数是偶数时，积为正数． 【知识点2 有理数乘法运算律】 1. 交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 用字母表示： 2. 结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变． 用字母表示：． 乘法交换律和结合律可以推广为三个以上的数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中任意几个数相乘，积都不变． 3. 分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加． 用字母表示：． 乘法分配律对于两个以上的数相加的情形仍然成立，如． 【知识点3 倒数】 一般地，如果1，那么ɑ和b互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数． 【知识点4 有理数除法法则】 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 法则2：两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 【题型1 两个有理数的乘法运算】 【例1】计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，再将两个数的绝对值相乘. 与都是负数，符号相同， . 故选：D． 【变式1-1】计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法的运算法则，只需利用0乘任何数都得0的性质计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式1-2】计算： （1）； （2）； （3）． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式1-3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【题型2 多个有理数的乘法运算】 【例2】下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，需注意符号规则和零乘任何数得零的性质是解题的关键．有理数乘法中，负因数的个数为奇数时积为负，为偶数时积为正；任何数乘以0都得0．根据法则逐一进行判断即可． 【详解】解：选项A：，错误，此选项不符合题意； 选项B：，错误，此选项不符合题意； 选项C：，错误，此选项不符合题意； 选项D：，正确，此选项符合题意． 故选：D． 【变式2-1】不计算，说出下列各式积的符号： （1）； （2）． 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算．通过计数每个表达式中负因数的个数来确定乘积的符号．负因数个数为奇数时，积为负；为偶数时，积为正． （1）根据负因数个数为3即可判断． （2）根据负因数个数为2即可判断． 【详解】（1）解：式子中有三个负因数：、、， 负因数个数为3，是奇数， 所以积为负． （2）解：式子中有两个负因数：、， 负因数个数为2，是偶数， 所以积为正． 【变式2-2】计算： （1）； （2）． 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 （1）先确定乘积的符号，再计算后两个数相乘，最后再计算乘法即可； （2）先确定乘积的符号，按照从左到右的顺序计算即可 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2-3】计算： （1）； （2）． 【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”． （1）根据有理数乘法法则求解即可； （2）根据有理数乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． ． 【题型3 倒数】 【例3】的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， 的倒数是，即的倒数是． 故选：D． 【变式3-1】2026的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 【答案】D 【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的倒数为． 故选：D． 【变式3-2】一个数的倒数等于它本身，则这个数是（ ） A．1 B． C． D．和0 【答案】C 【分析】根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数，找出倒数等于自身的数即可． 【详解】解：∵， ∴1的倒数是1， ∵， ∴的倒数是， ∵0没有倒数， ∴选项D不符合题意， 综上：倒数等于本身的数是1和． 故选：C． 【变式3-3】下列各组数中，互为倒数的两个数是（     ） A．和7 B．0.6和0.6 C．和 D．0和0 【答案】A 【分析】本题考查倒数的定义，解题关键是掌握互为倒数的两个数乘积为，计算各选项两数的乘积即可判断． 【详解】解： ．∵ ，∴选项符合题意； ．∵ ，∴选项不符合题意； ．∵ ，∴选项不符合题意； ．∵ ，且没有倒数，∴选项不符合题意； 故选：A． 【题型4 有理数的除法运算】 【例4】计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除，即可计算出结果． 【详解】解：． 故选：A． 【变式4-1】计算：（    ） A．10 B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】利用除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可． 【详解】解：，即选项D符合题意． 故选：D． 【变式4-2】计算： __________． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式4-3】小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 【答案】 【分析】先根据错误的计算过程列出关于的等式，求出的值，再代入正确的算式，根据有理数除法法则计算即可得到结果． 【详解】根据题意，可得错误的计算算式为：， 解得 ， 将代入正确算式， 得． 故答案为：． 【题型5 有理数的乘除混合运算】 【例5】计算： 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，解题关键是先将带分数化为假分数，把除法转化为乘法，再通过约分简化计算，同时注意符号的运算规则. 【详解】解：原式 . 【变式5-1】( ) A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是掌握同级运算从左到右依次进行，或把除法转化为乘法后再计算，注意符号的处理． 【详解】解： ． 故选：D． 【变式5-2】计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法则，负负得正，最后计算数值． 【详解】解：原式 故答案为：． 【变式5-3】计算： (1)； (2)． 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【题型6 简便运算】 【例6】用简便方法计算： (1)； (2)． 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； 【变式6-1】用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【分析】本题主要考查有理数乘除中的简便运算； （1）先把除法变乘法，再根据有理数乘法运算律计算即可； （2）把2020变为，再根据有理数乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式6-2】用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将式子中写成，通过观察发现可以把公因数提出来，再算出括号里的数，最后与相乘得到最终答案． （2）先把式子中转化成，再提出公因数，再运算得出结果． （3）先把式子中转化成，把公因数提出，再运算得出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 【变式6-3】用运算律简便运算 (1) (2) 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型7 有理数四则混合运算】 【例7】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先计算括号的减法，再从左到右计算乘除法即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式7-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）利用有理数的加法运算律求解； （2）按照从左到右的顺序进行乘除运算； （3）先将带分数转换为假分数，然后利用乘法运算律求解； （4）首先将除法转换为乘法，然后利用乘法运算律求出的值，然后利用倒数的性质求出的值，进而求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式7-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 = ； （4）解：原式 ． 【变式7-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）直接根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）直接根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）先计算乘除，再计算减法即可； （4）先计算括号内的加减运算，再计算除法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型8 有理数四则混合运算的实际应用】 【例8】某公司4天内货品进出库的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，． (1)经过这4天，仓库里的货品是增加了还是减少了？请计算说明． (2)经过这4天，仓库管理员结算时发现库里还存217吨货物，那么4天前仓库里存货多少吨？ (3)如果进出库的货品装卸费都是每吨15元，那么这4天要支付多少元装卸费？ 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用． （1）将所给数据相加，判断正负即可； （2）结合（1）中结论，结算时库存的货物加上这4天减少的量即可求解； （3）所给数据的绝对值相加，乘以单价即可． 【详解】（1） ， ∵ ∴经过这4天，仓库里的货品是减少了； （2）（吨， 答：4天前仓库里存货258吨； （3） （元， 答：这4天要支付多少元装卸费4155元． 【变式8-1】在旅游车行驶过程中，旅游车沿着东西方向的车道来回载客，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天旅游车行车路程记录如下（单位：）： ，，，，，，，． (1)地在地的什么位置? (2)若旅游车每千米耗油 ，出发前出旅游车油箱有油 ，途中至少需补充多少升油? 【分析】本题考查了有理数的应用，掌握有理数的加法和乘法法则是解题关键，注意不论向哪个方向行驶都耗油． （1）根据有理数的加法，分别进行相加即可； （2）根据题意先算出行驶距离，再乘以旅游车每千米耗油0.5升，即可得出答案． 【详解】（1）解：（）． 答：地在地的东边处． （2） （）． 答：途中至少需补充升油． 【变式8-2】近日市场上一种“果冻橙”比较畅销．现有8箱这种橙子，以每箱10千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数（单位：千克），称后的记录如图所示，回答下列问题． (1)第6箱橙子重8千克，应记为_____千克；最接近标准质量的是第_____箱；最重的一箱比最轻的一箱重多少？ (2)在（1）的条件下，求这8箱“果冻橙”的总质量是多少千克？ 【分析】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用． （1）根据正数和负数及绝对值的实际意义即可求得答案； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：第6箱橙子重8千克，（千克） 所以，应记为千克； ∵表中各数的绝对值分别为1．5，3，2，0.5，1，2，2，2.5， ∴最接近标准质量的是第4箱； （千克）， 即最重的一箱比最轻的一箱重5千克； 故答案为：；4； 最重的是第1箱，重量为（千克），最轻的是第2箱，重量为（千克）， 所以，最重的一箱比最轻的一箱重（千克） （2）解： （千克）， 即这8箱“果冻橙”的总质量是74.5千克． 【变式8-3】有20筐红萝卜，以每筐25千克为标准，超过记正不足记负来表示，记录如下： 与标准质量的差值（千克） 0 1 筐数 2 5 2 1 2 8 (1)20筐红萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐重 千克； (2)与标准质量比较，20筐红萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若该种红萝卜进价每千克为2元，售价每千克为3元．出售过程中，因天气炎热烂掉了，问这20筐红萝卜能否赚到钱？若能，可赚多少钱？ 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用； （1）由表格可得最重的为超过标准千克，最轻的为低于标准千克，即可求解； （2）求出20筐红萝卜与标准质量的差值的和，即可求解； （3）实际卖出的重量总重量烂掉的重量，利润销售额成本，据此就可求解； 根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：20筐红萝卜中，最重的一筐比最轻的一筐重： （千克）， 故答案为：； （2）解：由题意得 （千克）， 答：20筐红萝卜总计超过3千克． （3）解：能赚钱； （元）， 答：能赚钱，可赚元． 【题型9 新定义问题】 【例9】借助有理数运算，定义一种新运算“☆”：规则为．例如∶．根据定义解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【分析】本题考查新运算，有理数的混合运算，理解规定的运算是关键． （1）按照规定的新运算进行计算即可； （2）按照规定的新运算先算括号里的新运算，再算括号外的新运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ． 【变式9-1】a、b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”：定义；例如：． 请根据“⊕”的定义计算： (1)； (2)． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题目中定义运算法则代入求解即可． （1）根据新定义的代入计算即可； （2）据新定义的代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ． 【变式9-2】小芳在学了《有理数的运算》后，对运算产生了浓厚兴趣．她借助所学知识，定义了一种新运算“”，其规则如下：．根据此定义，解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解新定义运算法则． （1）根据题意列出算式，然后计算乘法，最后计算加法即可求解； （2）首先计算出，然后代入计算即可． 【详解】（1） ； （2）因为 所以 ． 【变式9-3】a，b为有理数，若规定一种新的运算“”：定义．例如：．请根据“”的定义计算： (1)； (2)． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题目中定义运算法则代入求解即可． （1）根据新定义的代入计算即可； （2）据新定义的代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型10 根据点在数轴上的位置判断式子的正负】 【例10】有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴确定有理数a、b的取值范围，再依据有理数的加减法、乘除法运算法则判断各式的正负性． 【详解】由数轴可知：，， ∴，，，， 综上所述，结论正确的是D． 故选：D． 【变式10-1】如图，数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由数轴得到，进而根据相反数的几何意义和有理数乘除法的符号规则逐项判断即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴，，，， 故选项D符合题意． 故选：D． 【变式10-2】在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴的意义，结合乘法，有理数的加法，绝对值等求解即可． 【详解】解：，， 异号，且， ∵a在b的左侧， ∴， ，，． 故选：B． 【变式10-3】有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置确定、的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． 故选：B． 模块三 课后作业 1．计算的结果等于（     ） A． B．4 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数的法则计算，先确定符号再计算绝对值即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：选项A：， 两数不互为倒数； 选项B：， 两数不互为倒数； 选项C：， 两数互为倒数； 选项D：没有倒数， 两数不互为倒数． 故选：C． 3．如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可． 【详解】解：∵有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数相除所得的商一定是负数． 故选：A． 4．如图，A、B、C、D四个点在数轴上表示的数分别为a、b、c、d，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴，有理数的加减乘除运算．观察数轴得：，再根据有理数的加减乘除运算法则判定即可． 【详解】解：观察数轴得：， ∴；；；， 则正确的有3个． 故选：C 5．四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 【答案】A 【分析】先对81分解因数，根据四个互不相等整数的乘积为正，确定四个整数的取值，再计算和即可． 【详解】解：∵，且是互不相等的整数，将81分解为四个互不相等整数的乘积，可得： ， 或， 或， 或， 或， ∴， 或， 或 或， 或， 观察四个选项，只有0符合，故A正确． 故选：A． 6．计算： (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 8．定义运算“”为：． (1)求； (2)求． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，正确理解新定义法则、熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据新定义列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解； （）根据新定义列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴ ， ∴． 9．某班10名男同学参加100米达标测验，成绩小于或等于15秒才能达标，这10名男同学成绩记录如下（其中超过15秒记为“”，不足15秒记为“”）：，0，，，0，，，0，，． (1)此次参加比赛的达标率是多少？ (2)求这10名男同学的100米测验的平均成绩是多少？ 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）用这10名男同学记录的成绩小于或等于15秒的人数除以10，再乘，即可得到答案； （2）用这10名男同学记录的成绩的和除以10，再加上15，即可得到答案． 【详解】（1）解：，，，，，，，，，， ∴这10名男同学有7名达标，成绩记录为：0，，0，，，0，， ． 答：此次参加比赛的达标率是． （2）解： （秒）， 答：这10名男同学的100米测验的平均成绩是15.1秒． 10．课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算． （1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确． （2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算； ②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值． 【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解： ； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为， ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $