第04讲 有理数的加减运算（知识清单+11大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版2024）

第04讲 有理数的加减运算（知识清单+11大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 有理数加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法在生活中的应用 题型四 有理数加法运算律 题型五 有理数的减法运算 题型六 有理数减法的实际应用 题型七 有理数的加减混合运算 题型八 有理数加减中的简便运算 题型九 有理数加减混合运算的应用 题型十 省略加法和括号的形式 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 知识清单 知识点1．有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点2．有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点3．有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 题型方法 【题型一】有理数加法运算 【例1】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）下列不能表示3与的和的式子是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）算筹我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，可推算图②中的算式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算：（1） ； （2） ． 3．（24-25七年级上·广东河源·阶段练习）探究规律，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的法则进行运算的算式： ；；； ；；． 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的法则了．” 聪明的你看明白了吗？ (1)归纳※（加乘）的运算法则： ①非零两数进行※（加乘）运算时，______； ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，______； (2)计算：______（括号的作用同在有理数运算中的作用）； (3)我们知道加法有交换律，请你判断加法交换律在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证（举一个例子即可）． 【题型二】有理数加法中的符号问题 【例2】（24-25七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【举一反三】 1．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东中山·阶段练习）将改写成省略加号的和的形式应为 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)，； (2)，． (3)___________． 【题型三】有理数加法在生活中的应用 【例3】（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）点A的海拔是，点比点A高，则点的海拔是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）以明明家为起点，向东走为正，向西走为负．如果明明从家出发先走了米，又走了米，这时明明在（    ） A．家东方80米处 B．家西方80米处 C．家东方20米处 D．家西方20米处 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（数字与数位）一个三位数与它的反序数的和等于888，这样的三位数有 个． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）一只小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：）：，，，，，，． (1)此时小虫在A点左边还是右边？距A点多远？ (2)在爬行的过程中，若每爬行，奖励3粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？ 【题型四】有理数加法运算律 【例4】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河北唐山·期末）以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 2．（2024七年级上·全国·专题练习）运用加法交换律和加法结合律填空：（ ）+（ ）． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型五】有理数的减法运算 【例5】（24-25七年级上·广东·期中）比小1的数是（    ） A． B． C．4 D．2 【举一反三】 1．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，老师让四位同学用字母表示法则，则四位同学中表示完全正确的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 2．（23-24七年级上·重庆江津·期中）计算的结果是 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型六】有理数减法的实际应用 【例6】（24-25七年级上·四川绵阳·期中）比低的温度是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山西运城·期末）“春节冷不冷，就看冬月初一”这句谚语，是古人对天气变化的一种独特观察和预测．如图是运城市盐湖区冬月初一当天气温图，那么这一天的温差是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）某天的最高气温是，最低气温是，该天的温差是 ． 3．（24-25七年级上·福建漳州·期中）小明用下图直观解释，请你用类似的方法直观解释． 【题型七】有理数的加减混合运算 【例7】（24-25七年级上·重庆·期中）把式子写成省略括号和加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）算式“”的正确读法是（   ） A．5､6､7､2的和 B．减5加6减7减2 C．负5､正6､减7､减2的和 D．负5､正6､负7､负2的和 2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）把算式写成省略括号和加号的形式为 ． 3．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）定义一种新运算：规定，例如．计算以下式子 (1) (2) 【题型八】有理数加减中的简便运算 【例8】（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）计算时，画线的步骤中使用了（   ）． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．加法结合律 2．（2024七年级上·北京·专题练习）利用公式计算： （1） ；（直接写答案） （2） ．（直接写答案） 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）以下计算题需要有计算过程． (1) (2) (3) (4) 【题型九】有理数加减混合运算的应用 【例9】（24-25七年级上·河北沧州·期末）某地一天早晨的气温是，中午上升了，午夜下降了，则午夜的气温是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）一次测试共有两道题，全班有45名同学参加测试，答对第1题的有32人，答对第2题的有27人，两道题都答对的有20人，那么两道题都答错的有（    ）人． A．14 B．2 C．6 D．7 2．（24-25七年级上·山西晋中·阶段练习）小红今年在银行办理了7笔储蓄业务：取出9.5万元，存进5万元，取出8万元，存进12万元，存进25万元，取出12.5万元，取出3万元，这时小红在银行的存款增加了 ． 3．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）某食品店一星期中每天的盈亏情况如下（记盈余为正数）： 430元，元，元，370元，元，546元，688元．食品店这一星期总的盈亏情况如何？ 【题型十】省略加法和括号的形式 【例10】（24-25七年级上·海南海口·期中）把写成省略加号和的形式为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）把写成省略加号和括号的代数和形式为 ． 3．（七年级上·全国·课后作业）将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 【题型十一】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例11】（24-25七年级上·新疆哈密·期末）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ．（填序号） 3．（2024七年级上·全国·专题练习）若有理数、、在数轴上的位置如图所示，其中是原点，． (1)用“”号把、、、连接起来； (2)的值是多少？ (3)判断与的符号． 好题必刷 一、单选题 1．将式子改写成省略括号的形式为(   ) A． B． C． D． 2．一个班有名学生，在一次身体素质测试中，测试结果达到优秀的有人，合格（但没达到优秀）的有人，则在这次测试中，测试结果不合格的有（   ） A．人 B．人 C．人 D．人 3．下列计算中，正确的是（  ） A． B． C． D． 4．已知且，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．两数之和比每个加数都小，那么这两个数是（    ） A．同为负 B．两数异号 C．同为正 D．非负数 6．如果，且，那么一定正确的是（    ） A．a为正数，且 B．a为正数，且 C．b为负数，且 D．b为负数，且 7．若，在数轴上表示如图所示，则（  ） A． B． C． D． 8．观察下面两行数： 第一行数：1、、9、、25、… 第二行数：0、、8、、24、… 根据第一行数的排列规律，以及这两行数字之间的关系，确定第二行第10个数是（    ） A． B．99 C． D．80 9．在数轴上，一个点从开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度后到达终点，这个终点表示的数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 二、填空题 11．若，则 ． 12．一个数是，另一个数比的相反数大2，则这两个数的和为 ． 13．用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 14．数轴上，表示、、的点分别为A、B、C，则点A与点C的距离为 ，点C到点B的距离为 ，到点A的距离为3的点表示的数为 ． 15．计算： 16．已知飞机的飞行高度为，上升后，飞机的飞行高度是 ． 17．计算：（1） ；    （2） ． 18．幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方-九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则图中“☆”代表的数字是 ． 三、解答题 19．某商店去年四个季度盈亏情况如下（盈余为正）：128．5万元、万元、万元、280万元．这个商店去年总的盈亏情况如何？ 20．计算： （1）；     （2）；     （3）；     （4）；     （5）； （6）；     （7）；     （8）；     （9）；     （10）． 21．计算： (1)（﹣5）﹣（﹣6） (2)（﹣5）﹣（+6） (3)（﹣11）﹣0 (4)0﹣3 22．小明和小梅做摸球游戏，每人摸5个球，摸到红球记为，摸到白球记为0，摸到黄球记为2．摸完球后，他们将摸到的5个球所代表的数相加，和较大的获胜． 小明摸到的球分别为：红球、黄球、红球、白球、红球． 小梅摸到的球分别为：黄球、黄球、白球、红球、红球． （1）小明和小梅谁获胜？ （2）若将题干中“和较大的获胜”改为“和的绝对值较大的获胜”，求小明和小梅谁获胜？ 23．计算 (1) (2) 24．计算： （1）；    （2） 25．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6＋7|＝6＋7；|6－7|＝7－6；|7－6|＝7－6；|－6－7|＝6＋7； (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7－21|＝ ； ②|－12＋0.8|＝ ； ③ ； ④|3.2－2.8－|＝ ； (2)用合理的方法计算： (3)用简便的方法计算： 26．综合探究 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图①，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为b－a．请用上面材料中的知识解答下面的问题： 【问题情境】如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C． (1)【问题探究】请在图②中表示出A、B、C三点的位置； (2)【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒(t＞0)． ①A，B两点间的距离AB= ，AC= ； ②若点D、E分别是线段AB，BC的中点，求线段DE的长； ③用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为 ，点M表示的数为 ，点N表示的数为 ； ④试探究在移动的过程中，3PN－4PM的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的加减运算（知识清单+11大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 有理数加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法在生活中的应用 题型四 有理数加法运算律 题型五 有理数的减法运算 题型六 有理数减法的实际应用 题型七 有理数的加减混合运算 题型八 有理数加减中的简便运算 题型九 有理数加减混合运算的应用 题型十 省略加法和括号的形式 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 知识清单 知识点1．有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 知识点2．有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 知识点3．有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 题型方法 【题型一】有理数加法运算 【例1】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）下列不能表示3与的和的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数加法运算．根据题意列出算式并结合有理数加法运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，能表示3与的和，故本选项不符合题意； B、，能表示3与的和，故本选项不符合题意； C、，能表示3与的和，故本选项不符合题意； D、，只表示的是4和的和，不能表示3与的和，故本选项符合题意． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）算筹我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，可推算图②中的算式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意列式计算得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算：（1） ； （2） ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：，． 3．（24-25七年级上·广东河源·阶段练习）探究规律，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的法则进行运算的算式： ；；； ；；． 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的法则了．” 聪明的你看明白了吗？ (1)归纳※（加乘）的运算法则： ①非零两数进行※（加乘）运算时，______； ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，______； (2)计算：______（括号的作用同在有理数运算中的作用）； (3)我们知道加法有交换律，请你判断加法交换律在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证（举一个例子即可）． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)适用，举例见解析（答案不唯一） 【知识点】有理数加法运算 【分析】此题考查了新定义运算，以及有理数的加法运算． （1）根据所给算式，归纳出※（加乘）运算的运算法则即可． （2）根据新定义，先算中括号里，再算中括号外即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳※（加乘）运算的运算法则： ①两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果等于这个数的绝对值． （2） ． 故答案为：； （3）加法交换律和加法结合律在有理数的※（加乘）运算中还适用． 由※（加乘）运算的运算法则可知： ， ， 所以， 即加法交换律在有理数的※（加乘）运算中还适用． 【题型二】有理数加法中的符号问题 【例2】（24-25七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键． 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，根据题目条件分析出a是正数，且a的绝对值大于b的绝对值，即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，且， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级上·广东中山·阶段练习）将改写成省略加号的和的形式应为 ． 【答案】 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)，； (2)，． (3)___________． 【答案】(1)，5，， (2)，1，， (3)0 【知识点】有理数加法运算、有理数加法中的符号问题、求一个数的绝对值 【分析】根据有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加的零． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题关键． 【题型三】有理数加法在生活中的应用 【例3】（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）点A的海拔是，点比点A高，则点的海拔是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据点比点A高，列式，即可作答． 【详解】解：∵点A的海拔是，点比点A高， ∴， ∴点的海拔是， 故选：C 【举一反三】 1．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）以明明家为起点，向东走为正，向西走为负．如果明明从家出发先走了米，又走了米，这时明明在（    ） A．家东方80米处 B．家西方80米处 C．家东方20米处 D．家西方20米处 【答案】D 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可，本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：依题意，（米）， 这时明明在家西方20米处， 故选：D． 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（数字与数位）一个三位数与它的反序数的和等于888，这样的三位数有 个． 【答案】7 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】此题属于数字和问题，考查了学生分析与推理能力．由题意可知可能出现的情况，再求解即可． 【详解】解：因为，， 所以．的情况有， 所以这样的三位数有7个． 故答案为：7 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）一只小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：）：，，，，，，． (1)此时小虫在A点左边还是右边？距A点多远？ (2)在爬行的过程中，若每爬行，奖励3粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)爬行结束后蚂蚁在点A的右边，与点A的距离是 (2)小虫可得到96粒芝麻 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正负数，绝对值． （1）由题意知，计算，根据计算结果的正负作答即可； （2）小虫一共得到的芝麻数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把绝对值相加，再求得到的芝麻粒数． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴爬行结束后蚂蚁在点A的右边，与点A的距离是； （2）解：由题意知，， ∵每爬行，奖励3粒芝麻， ∴（粒）， 答：小虫可得到96粒芝麻． 【题型四】有理数加法运算律 【例4】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用加法的结合律简化计算是解题的关键．先利用加法的结合律得，再进行计算即可． 【详解】 ， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河北唐山·期末）以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【答案】A 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查了加法运算律，掌握加法交换律、结合律成为解题的关键． 根据加法运算律的定义即可解答． 【详解】解：由题意可得：①加法交换律②加法结合律． 故选A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）运用加法交换律和加法结合律填空：（ ）+（ ）． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法交换律和结合律，解题的关键是掌握常见简便计算的方法与技巧．根据有理数的加法交换律和结合律求解即可． 【详解】解：， 故答案为：，． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【题型五】有理数的减法运算 【例5】（24-25七年级上·广东·期中）比小1的数是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法，根据题意结合有理数的减法法则列式计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，即比小1的数是， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，老师让四位同学用字母表示法则，则四位同学中表示完全正确的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】A 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法法则，相反数，熟练掌握用字母表示法则是解题的关键． 根据减法法则以及相反数的定义判断即可． 【详解】解：有理数的减法法则是：减去一个数等于加上这个数的相反数， 用字母表示为， 所以甲同学表示正确． 故选：A． 2．（23-24七年级上·重庆江津·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据有理数减法法则，先将减法转化为加法，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法运算，直接利用有理数的减法运算法则进行计算即可，能够正确计算是解题的关键． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【题型六】有理数减法的实际应用 【例6】（24-25七年级上·四川绵阳·期中）比低的温度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数减法的应用，用减去即可求解． 【详解】解：由题意，得 ． 故选D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山西运城·期末）“春节冷不冷，就看冬月初一”这句谚语，是古人对天气变化的一种独特观察和预测．如图是运城市盐湖区冬月初一当天气温图，那么这一天的温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数减法的应用，根据温差最高温度最低温度列式计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 故选：D． 2．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）某天的最高气温是，最低气温是，该天的温差是 ． 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数的减法运算在温差计算中的应用，解题的关键是理解温差的计算方法，即温差＝最高气温－最低气温，同时掌握有理数减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）． 根据温差的计算公式，用最高气温减去最低气温，再依据有理数减法法则进行计算． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·福建漳州·期中）小明用下图直观解释，请你用类似的方法直观解释． 【答案】见详解 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数减法运算的直观解释，理解题中图形解释是解题的关键．根据已知和有理数减法运算法则先画图，然后即可求解． 【详解】 解：小明第一步根据正负相抵消得到，仍然为4， 再根据减去就去掉3个负号，最后剩下7个正号，得到； 故由题可知，可以解释如下： ． 【题型七】有理数的加减混合运算 【例7】（24-25七年级上·重庆·期中）把式子写成省略括号和加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是熟练运用有理数的加减运算法则，本题属于基础题型．根据有理数的加减运算即可求出答案． 【详解】解：， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）算式“”的正确读法是（   ） A．5､6､7､2的和 B．减5加6减7减2 C．负5､正6､减7､减2的和 D．负5､正6､负7､负2的和 【答案】D 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 根据减去一个数等于加上这个数的相反数，将其转化为加法，也就是各个数的和，即可得出结论. 【详解】解： 算式正确读法为负5，正6，负7，负2的和． 故选：D． 2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）把算式写成省略括号和加号的形式为 ． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，根据加减运算中的符号法则，进行化简即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 3．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）定义一种新运算：规定，例如．计算以下式子 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算求解即可； （2）先根据新定义计算出，再计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ∴． 【题型八】有理数加减中的简便运算 【例8】（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数加减法中的简便运算，把小数转化成分数，然后根据同分母相加减计算即可． 【详解】解： 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）计算时，画线的步骤中使用了（   ）． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．加法结合律 【答案】D 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据算式的特点解答即可． 【详解】解： ， ∴画线的步骤中使用了加法结合律． 故选D． 2．（2024七年级上·北京·专题练习）利用公式计算： （1） ；（直接写答案） （2） ．（直接写答案） 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，变形套用公式是解题的关键： （1）利用公式拆项进行计算即可； （2）拆项，套用公式进行计算即可． 【详解】解：（1）原式1； 故答案为：． （2）原式 ； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）以下计算题需要有计算过程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2)8 (3) (4) 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律求解即可； （2）先把减法统一成加法，再按加法法则计算； （3）利用加法交换律和结合律求解即可； （4）先把减法统一成加法，再利用加法交换律和结合律求解即可； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【题型九】有理数加减混合运算的应用 【例9】（24-25七年级上·河北沧州·期末）某地一天早晨的气温是，中午上升了，午夜下降了，则午夜的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，理解题意，正确列出算式是解题的关键．根据题意，用早晨的气温加上上升的温度，再减去下降的温度，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，午夜的气温． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）一次测试共有两道题，全班有45名同学参加测试，答对第1题的有32人，答对第2题的有27人，两道题都答对的有20人，那么两道题都答错的有（    ）人． A．14 B．2 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意正确列出算式是解题的关键．将所有同学分成A（第1题对而第2题错），B（第2题对而第一题错），C（两题都答对），D（两题都答错）四部分,根据题意列出算式，正确计算即可得到答案． 【详解】解：将所有同学分成A（第1题对而第2题错），B（第2题对而第一题错），C（两题都答对），D（两题都答错）四部分， ∵答对第1题的有32人， ∴； ∵答对第二题的有27人， ∴； ∵两题都答对的有20人， ∴， ∴， ∴， 因此，两题都答错的有6人． 故选：C． 2．（24-25七年级上·山西晋中·阶段练习）小红今年在银行办理了7笔储蓄业务：取出9.5万元，存进5万元，取出8万元，存进12万元，存进25万元，取出12.5万元，取出3万元，这时小红在银行的存款增加了 ． 【答案】9万元 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．设取出的为负，存进的为正，根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：设取出的为负，存进的为正， （万元） 故答案为：9万元 3．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）某食品店一星期中每天的盈亏情况如下（记盈余为正数）： 430元，元，元，370元，元，546元，688元．食品店这一星期总的盈亏情况如何？ 【答案】食品店这一星期盈利1930元 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查有理数加减的应用，解题的关键是理解题意；根据题意可得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得： （元）； 答：食品店这一星期盈利1930元． 【题型十】省略加法和括号的形式 【例10】（24-25七年级上·海南海口·期中）把写成省略加号和的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题主要考查了有理数的加法，先将原式整理为，再写出省略加号的形式即可． 【详解】原式 ． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题主要考查了有理数的加法，括号前是“”，可以直接去掉，不变号，括号前是“”，去掉“”和括号，括号内变号，即可解答． 【详解】原式． 故选：A． 2．（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）把写成省略加号和括号的代数和形式为 ． 【答案】 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 原式利用减法法则变形即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（七年级上·全国·课后作业）将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 【答案】（1），读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 ；（2），负，负，负，正，正，正4的和；负减减加加； 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】（1）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可； （2）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可． 【详解】解：（1）原式； 读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 （2）原式． 读作：负，负，负，正，正，正4的和； 负减减加加； 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型十一】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例11】（24-25七年级上·新疆哈密·期末）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查数轴上的点表示的数的大小关系；熟练掌握数轴上的点表示的数的大小关系、是解决本题的关键．根据数轴得，，然后依次进行判断即可． 【详解】解：根据数轴得， A、由图可知，，，得，故此选项不符合题意； B、由图可知，，故选项不符合题意； C、由图可知，，，得，故选项不符合题题意； D、由图可知，，，，得，故选项符合题意； 故选：D． 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查数轴与有理数运算，熟练掌握数轴上点的特点，结合有理数的运算法则进行判定是解题的关键．由数轴可知，且，再结合有理数的运算法则，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，且， ，，，， 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②④⑤ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算、利用数轴比较有理数的大小、有理数加法运算 【分析】本题考查根据点在数轴上的位置比较代数式大小，以及有理数的减法、加法法则，熟练掌握利用数轴比较数的大小是解决问题的关键．由在数轴上的位置可直接判断①②；根据有理数的加法和减法运算法则可判断③④⑤． 【详解】解：由 在数轴上的位置可知，，故①错误，②正确； ，故③错误，④⑤正确； 综上所述，正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）若有理数、、在数轴上的位置如图所示，其中是原点，． (1)用“”号把、、、连接起来； (2)的值是多少？ (3)判断与的符号． 【答案】(1) (2) (3)与的符号都为负 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的大小比较和数轴，有理数加法，熟知数轴的特点及绝对值的性质是解答此题的关键． （1）根据数轴可得：，，，，，然后用“”号把、、、连接起来即可； （2）根据，，，可得，继而可得； （3）根据、、在数轴上的位置，判断和的符号 【详解】（1）解：由数轴可得∶，且 则有∶ ； （2）解：因为，分别位于原点两侧，且， 所以． 所以； （3）由数轴可得∶，且， 所以，， 即与的符号都为负． 好题必刷 一、单选题 1．将式子改写成省略括号的形式为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用有理数的加减运算法则化简得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握去括号法则及正确去括号是解题关键． 2．一个班有名学生，在一次身体素质测试中，测试结果达到优秀的有人，合格（但没达到优秀）的有人，则在这次测试中，测试结果不合格的有（   ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】本题考查有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法运算法则是解题的关键； 根据题意，列式计算即可求解； 【详解】解：根据题意可得，测试结果不合格的有：（人）； 故选：A 3．下列计算中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则分别计算出对应选项中的式子的值即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4．已知且，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法运算法则是解题的关键．根据，得出，根据得出，． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，，故A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 5．两数之和比每个加数都小，那么这两个数是（    ） A．同为负 B．两数异号 C．同为正 D．非负数 【答案】A 【分析】根据题意及有理数的加法特点一个数加上一个正数后其值变大，加上一个负数后其值变小可得出答案． 【详解】解：根据分析可得：这两个数都为负． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加法，解题的关键是掌握加法的特点． 6．如果，且，那么一定正确的是（    ） A．a为正数，且 B．a为正数，且 C．b为负数，且 D．b为负数，且 【答案】C 【分析】根据可知然后两种情况：或分别讨论． 【详解】解：∵， ∴ 则a一定是正数，此时，与已知矛盾， ∴， ∵， 当时， ①若a、b同号， ∵ ∴， ②若a、b异号， ∴， 综上所述时，，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的减法、绝对值、有理数的加法、正数和负数，掌握加法、减法运算法则，分情况讨论是解题关键． 7．若，在数轴上表示如图所示，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数与数轴上的点之间的对应关系求解． 【详解】解：由数轴得：， ，故选项A错误； ，故选项B错误； ， ，故选项C错误； ， ，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，有理数的减法及绝对值的性质，解题的关键是利用好数轴． 8．观察下面两行数： 第一行数：1、、9、、25、… 第二行数：0、、8、、24、… 根据第一行数的排列规律，以及这两行数字之间的关系，确定第二行第10个数是（    ） A． B．99 C． D．80 【答案】C 【分析】第一行数第10个数是，第二行数第10个数是比第一行数第10个数少1，即可得答案． 【详解】解：由题意得：第一行数第10个数是，第二行数第10个数是比第一行数第10个数少1，所以第二行数第10个数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是根据数列得出规律，第一行的第n个数是，偶数为负，奇数为正，第二行数比第一行数对应的数少1． 9．在数轴上，一个点从开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度后到达终点，这个终点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据数轴上的点的移动，左减右加，列出算式，然后计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 故选：． 10．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这 个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， 所以这一行最后一个圆圈数字应填， 则所在的横着的一行最后一个圈为， 这一行第二个圆圈数字应填， 目前数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填， 所以这一行第三个圆圈数字应为， 则所在的横行，剩余3个圆圈里分别为，要使和为2，则为 故选： 【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键． 二、填空题 11．若，则 ． 【答案】或 【分析】根据绝对值的代数意义分别求出x与y的值，再代入所求的式子中计算即可． 【详解】解：∵|x|＝5，|y|＝3， ∴x＝±5，y＝±3， ∴x+y＝5+3＝8或x+y=5−3＝2或x+y＝−5+3＝−2或x+y＝−3−5＝−8． 故答案为：±2或±8． 【点睛】本题考查了绝对值的意义以及有理数的加法，根据题意求出x与y的值是解题的关键． 12．一个数是，另一个数比的相反数大2，则这两个数的和为 ． 【答案】2 【分析】先求出另一个数，然后相加求和即可解题． 【详解】解：， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查有理数的加法，掌握有理数加法法则是解题的关键． 13．用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 14．数轴上，表示、、的点分别为A、B、C，则点A与点C的距离为 ，点C到点B的距离为 ，到点A的距离为3的点表示的数为 ． 【答案】 或 【分析】数轴上两点间的距离表示为：，距离与方向无关，据此解题． 【详解】解：点A与点C的距离为：，点C到点B的距离为，到点A的距离为3的点表示的数为：或 故答案为：；；或． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离、有理数的加减法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 15．计算： 【答案】/ 【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数运算，解题关键是熟记有理数运算法则． 16．已知飞机的飞行高度为，上升后，飞机的飞行高度是 ． 【答案】5000 【分析】根据题意列式10000+（-5000）计算即可． 【详解】根据题意，得飞机的飞行高度是10000+（-5000）=5000（m）， 故答案为：5000． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法的运算法则是解题的关键． 17．计算：（1） ；    （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则成为解题的关键． （1）先算出等式的右边，然后再利用加数与和的关系即可解答； （2）先算出等式的左边，然后再利用加数与和的关系即可解答． 【详解】解：（1）等式的右边：，则所求的加数为：； 故答案为：． （2）等式的右边：，则所求的加数为：； 故答案为：． 18．幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方-九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则图中“☆”代表的数字是 ． 【答案】-3 【分析】先计算和：-7+1+9=3；再计算-5+9+□=3，-5+1+□=3，最后根据☆+□+□=3计算即可． 【详解】解：根据题意，得这个和为：-7+1+9=3； ∴-5+9+□=3，-5+1+□=3， ∴-5+9+□-5+1+□=6， ∴-5+9+□-5+1+□=6， ∴□+□=6， ∵☆+□+□=3， ∴☆=-3， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了有理数加减的混合运算，正确理解题意，列式计算是解题的关键． 三、解答题 19．某商店去年四个季度盈亏情况如下（盈余为正）：128．5万元、万元、万元、280万元．这个商店去年总的盈亏情况如何？ 【答案】盈余173万元． 【分析】把所有数据连同符号加起来求出结果即可，结果为正说明盈利，结果为0说明不盈不亏，结果为负说明亏损． 【详解】　128.5+（-140）+（-95.5）+280=173（万元） 故去年盈余173万元． 【点睛】本题考查有理数的加减在实际中的应用，掌握计算方法注意符号是本题关键． 20．计算： （1）；     （2）；     （3）；     （4）；     （5）； （6）；     （7）；     （8）；     （9）；     （10）． 【答案】（1）；（2）0；（3）16；（4）0；（5）；（6）6；（7）；（8）102；（9）；（10）0.2 【分析】分别根据减去一个数，等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法进行计算 【详解】解：（1）原式＝−8＋（−8）＝−16； （2）原式＝−8＋8＝0； （3）原式＝8＋8＝16； （4）原式＝8＋（−8）＝0； （5）原式＝0＋（−6）＝−6； （6）原式＝0＋6＝6； （7）原式＝16＋（−47）＝−31； （8）原式＝28＋74＝102； （9）原式＝−3.8＋（−7）＝−10.8； （10）原式＝−5.9＋6.1＝6.1−5.9＝0.2 【点睛】本题考查了有理数的减法，掌握减法法则是解决本题的关键． 21．计算： (1)（﹣5）﹣（﹣6） (2)（﹣5）﹣（+6） (3)（﹣11）﹣0 (4)0﹣3 【答案】(1)1 (2)﹣11 (3)﹣11 (4)﹣3 【分析】（1）根据有理数的减法法则求解即可； （2）根据有理数的减法法则求解即可； （3）根据有理数的减法法则求解即可； （4）根据有理数的减法法则求解即可． 【详解】（1）解：（﹣5）﹣（﹣6）＝﹣5+6＝1； （2）解：（﹣5）﹣（+6）＝﹣5+（﹣6）＝﹣11； （3）解：（﹣11）﹣0＝﹣11； （4）解：0﹣3＝0+（﹣3）＝﹣3． 【点睛】本题是考查有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键． 22．小明和小梅做摸球游戏，每人摸5个球，摸到红球记为，摸到白球记为0，摸到黄球记为2．摸完球后，他们将摸到的5个球所代表的数相加，和较大的获胜． 小明摸到的球分别为：红球、黄球、红球、白球、红球． 小梅摸到的球分别为：黄球、黄球、白球、红球、红球． （1）小明和小梅谁获胜？ （2）若将题干中“和较大的获胜”改为“和的绝对值较大的获胜”，求小明和小梅谁获胜？ 【答案】（1）小梅获胜；（2）小明获胜． 【分析】（1）摸到红球记为−3，摸到白球记为0，摸到黄球记为2，利用有理数的加法算出各自的得分，然后比较即可； （2）根据（1）得计算结果，求出两人分数的绝对值，再进行比较即可． 【详解】（1）小明摸到的5个球代表的数分别为， 所以它们的和为， 小梅摸到的5个球代表的数分别为， 所以它们的和为， 因为，所以小梅获胜； （2）由（1）知，小明摸到的球所代表的数的和为， 小梅摸到的球所代表的数的和为， 因为，所以小明获胜． 【点睛】本题主要考查了有理数加法的应用，绝对值的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 23．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算． （1）首先将分数转化为小数形式，然后观察数据运用运算律简便运算； （2）先去掉括号，然后观察数据运用运算律简便运算． 【详解】（1） ； （2） ． 24．计算： （1）；    （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】(1)将带分数分解为整数部分和分数部分，然后整数部分相加减，分数部分相加减； (2)先去中括号，然后将整数-5和-7组合，小数3.75和组合，剩余的两数组合，再根据有理数运算法则运算即可． 【详解】解：(1)原式 ； (2)原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，第(1)题中解题的关键是将带分数拆分成整数部分与分数部分之和的形式，然后再运算能简化；本题属于基础题，计算过程中细心即可． 25．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6＋7|＝6＋7；|6－7|＝7－6；|7－6|＝7－6；|－6－7|＝6＋7； (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7－21|＝ ； ②|－12＋0.8|＝ ； ③ ； ④|3.2－2.8－|＝ ； (2)用合理的方法计算： (3)用简便的方法计算： 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0进行化简即可； （2）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简，最后进行计算即可得出结果． （3）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简，最后进行计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； 故答案为：①；②；③；④ （2） （3） 【点睛】此题考查了绝对值的化简及有理数的加减混合运算，掌握绝对值的性质及计算时把互为相反的两个数相加，使运算简便，做题时，要注意多观察各项之间的关系． 26．综合探究 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图①，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为b－a．请用上面材料中的知识解答下面的问题： 【问题情境】如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C． (1)【问题探究】请在图②中表示出A、B、C三点的位置； (2)【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒(t＞0)． ①A，B两点间的距离AB= ，AC= ； ②若点D、E分别是线段AB，BC的中点，求线段DE的长； ③用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为 ，点M表示的数为 ，点N表示的数为 ； ④试探究在移动的过程中，3PN－4PM的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)见解析 (2)①3；8；②4；③-t-2；2t+1；3t+6；④3PN－4PM的值不变，为12． 【分析】（1）根据题意作图可得； （2）①根据两点间距离公式求解即可；②先求出点D，E对应的数，再求出DE的长即可；③先求出各点运动的距离，再求出对应的数即可；④由移动时间为t秒知P点表示的数为-t-2，M点表示的数为2t+1，N点表示的数为3t+6，据此得出PN和PM的长，再代入3PN-4PM化简可得． 【详解】（1） A，B，C三点的位置如图所示： （2）①AB=1-(-2)=1+2=3； AC=6-(-2)=6+2=8； 故答案为：3；8； ②∵点A、B、C对应的数为-2，1，6，且点D、E分别是线段AB，BC的中点， ∴点D对应的数为：； 点E对应的数为：； ∴DE=3.5-(-0.5)=3.5+0.5=4， ③t秒时，点P移动的距离为t， ∴点P对应的数为：-t-2； 点M移动的距离为2t， ∴点M对应的数为：2t+1； 点N移动的距离为3t， 对应的数为3t+6； 故答案为：-t-2；2t+1；3t+6； ④3PN－4PM的值不变． 当移动时间为t秒时，P点表示的数为-t-2，M点表示的数为2t+1，N点表示的数为3t+6， 则PN=（3t+6）-（-t-2）=4t+8，PM=（2t+1）-（-t-2）=3t+3， ∴3PN－4PM =3（4t+8）-4（3t+3） =12t+24-12t-12 =12 即3PN－4PM的值为定值12． ∴在移动过程中，3PN－4PM的值不变． 【点睛】本题主要考查有理数的减法，解题的关键是掌握数轴上点的表示及两点间的距离公式和整式的化简等知识点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$