第二十六章 二次函数全章综合检测卷（暑假预习举一反三单元自测）新九年级数学上册新教材人教版

**基本信息** 人教版初中数学二次函数全章综合检测卷，60分钟120分，24题覆盖定义、图像性质、平移及应用，结合奥运铅球、WTT赛事等热点情境，适配暑假复习，强化数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|二次函数定义、图像与x轴交点、对称轴|如第7题以奥运铅球轨迹考最值，体现数学眼光| |填空|6/18|平移、方程根、拱桥模型|第15题抛物线形拱桥，强化空间观念| |解答|8/72|综合应用与探究|第23题WTT徽章销售考利润最值，培养模型意识；第24题动态点探究，发展推理能力|

第二十六章 二次函数全章综合检测卷 【人教版新教材】 （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列函数中，属于二次函数的是（　　） A． B．y＝（x+2）2﹣x2 C．y＝﹣3x2+1 D． 2．（3分）二次函数y＝ax2﹣3x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（　　） x … ﹣1 0 2 3 4 … y … 5 0 ﹣4 ﹣3 0 … A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线x＝2 C．当0＜x＜4时，y＜0 D．若A（1，y1），B（4，y2）是图象上两点，则y1＞y2 4．（3分）已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y＝﹣x2+4x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 5．（3分）把二次函数y＝（x+2）2+m的图象先向右平移3个单位再向上平移1个单位，如果平移后所得抛物线上的点到x轴的距离为2的点有且只有2个，则m应满足的条件为（　　） A．﹣2＜m＜2 B．m＜1 C．﹣3＜m＜1 D．﹣3＜m 6．（3分）如图，二次函数y＝x2+x﹣m的图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣2，则关于x的一元二次方程（x+1）2+（x+1）﹣m＝0的解是（　　） A．x1＝0，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝﹣4 D．x1＝﹣3，x2＝0 7．（3分）我国女子铅球选手巩立妓夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷中，铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为，则巩立蛟在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是（　　） A．19m B．20m C．21m D．22m 8．（3分）在同一平面直角坐标系中二次函数与一次函数y2＝x﹣c的图象如图所示，则二次函数y＝﹣ax2+（1﹣b）x﹣c﹣2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+kx﹣2k+3（k为实数），点P（m，0）是该函数图象与x轴的一个交点，若，则k的取值范围是（　　） A． B． C．或k≥6 D．k≤2或k≥6 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③7a+5b+c＞0；④若点A（﹣5，y1），B（4，y2），C（6，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣2的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）二次函数y＝2x2﹣5x﹣1的对称轴为直线　　 ． 12．（3分）把函数y＝（x﹣1）2+2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为 　 　 ． 13．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过（﹣2，0），（4，0），（﹣1，﹣2.5），则一元二次方程ax2+bx+c+2.5＝0的根为 　 　 ． 14．（3分）抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝1只有一个交点，且过点A（m+2，n），B（m﹣6，n），则n等于 　 　 ． 15．（3分）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8米，AB＝24米，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，若点E到直线AB的距离为10米，则DE的长为 　 米． 16．（3分）当n≤x≤n+1时，二次函数y＝x2+2x+3的最大值与最小值的差为3，则n＝ 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象． 18．（6分）已知y关于x的二次函数为y＝ax2﹣2a2x（a≠0），其中为a常数． （1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标； （2）若M（2a﹣1，m）和N（a+4，m）是抛物线上的两点，求二次函数的表达式． 19．（8分）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？ 20．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣3（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且AB＝2，求m的值． 21．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根：　 　 ； （2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集：　 　 ； （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 　 　 ； （4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围： 　 ． 22．（10分）如图，二次函数y＝ax2﹣ax+c（a≠0）图象交坐标轴于点A（4，0），B（0，﹣2），点P为线段OA上一动点． （Ⅰ）求二次函数的解析式及顶点坐标； （Ⅱ）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB、抛物线于点Q和点C，求线段CQ的最大值及此时△ABC的面积． 23．（12分）WTT中国大满贯2024年9月26日在北京石景山首钢园区开赛，为了迎接这场乒乓球盛宴，某商店购入一批进价为10元/个的徽章进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为152个；当销售单价为16元时，日销售量为136个． （1）求y与x的函数表达式； （2）徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若商店决定每销售一个徽章向少儿乒乓球俱乐部赠送一件价值为m（0＜m＜4）元的礼品，赠送礼品后，为确保该种徽章日销售获得的最大利润为1444元，求m的值． 24．（12分）如图1，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c与y轴交于C，与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，作直线AC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，点D是直线AC上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交AC于点E，当线段DE的长度取最大时，求点D的坐标； （3）在（2）中DE取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数全章综合检测卷 【人教版新教材】 （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列函数中，属于二次函数的是（　　） A． B．y＝（x+2）2﹣x2 C．y＝﹣3x2+1 D． 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【解答】解：A． 不是整式函数，不符合二次函数的定义，不符合题意； B．y＝（x+2）2﹣x2＝x2+4x+4﹣x2＝4x+4，不是二次函数，不符合题意； C．y＝﹣3x2+1符合二次函数的形式，是二次函数，符合题意； D． ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，不符合题意． 故选：C． 2．（3分）二次函数y＝ax2﹣3x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据Δ＝b2﹣4ac＞0，二次函数与x轴有两个不同的交点即可求解． 【解答】解：根据题意，Δ＝（﹣3）2﹣4a×2＞0，且a≠0， 解得，且a≠0， 故选：B． 3．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（　　） x … ﹣1 0 2 3 4 … y … 5 0 ﹣4 ﹣3 0 … A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线x＝2 C．当0＜x＜4时，y＜0 D．若A（1，y1），B（4，y2）是图象上两点，则y1＞y2 【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可对B进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）可对C进行判断；根据二次函数的增减性可对D进行判断． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4）， 把（﹣1，5）代入得5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x，开口向上，所以A选项不符合题意； 抛物线的对称轴为直线x＝2，所以B选项不符合题意； ∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）， ∴当0＜x＜4时，y＜0，所以C选项不符合题意； 若A（1，y1），B（4，y2）是图象上两点，所以y1＜y2，选项符合题意． 故选：D． 4．（3分）已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y＝﹣x2+4x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口方向得到点到对称轴的距离与函数值的大小关系，比较三个点到对称轴的距离即可得出结论． 【解答】解：已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y＝﹣x2+4x+m上的点， ∵抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+m， ∴a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大． 分别计算三个点到对称轴的距离： 点（﹣1，y1）的距离：|﹣1﹣2|＝3， 点（2，y2）的距离：|2﹣2|＝0， 点（4，y3）的距离：|4﹣2|＝2． ∵0＜2＜3， ∴y1＜y3＜y2． 故选：C． 5．（3分）把二次函数y＝（x+2）2+m的图象先向右平移3个单位再向上平移1个单位，如果平移后所得抛物线上的点到x轴的距离为2的点有且只有2个，则m应满足的条件为（　　） A．﹣2＜m＜2 B．m＜1 C．﹣3＜m＜1 D．﹣3＜m 【分析】平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+m+1，根据题意可得﹣2＜m+1＜2，即可求解． 【解答】解：平移后的抛物线解析式为y＝（x+2﹣3）2+m+1，即y＝（x﹣1）2+m+1， ∴﹣2＜m+1＜2， 解得：﹣3＜m＜1， 故选：C． 6．（3分）如图，二次函数y＝x2+x﹣m的图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣2，则关于x的一元二次方程（x+1）2+（x+1）﹣m＝0的解是（　　） A．x1＝0，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝﹣4 D．x1＝﹣3，x2＝0 【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），则方程x2+x﹣m的解为x1＝﹣2，x2＝1，由于关于x的一元二次方程（x+1）2+（x+1）﹣m＝0可看作关于（x+1）的一元二次方程，所以x+1＝﹣2或x+1＝1，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+x﹣m的图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣2， 即抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）， 而抛物线解析式为y， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0）， 即方程x2+x﹣m的解为x1＝﹣2，x2＝1， ∵关于x的一元二次方程（x+1）2+（x+1）﹣m＝0可看作关于（x+1）的一元二次方程， ∴x+1＝﹣2或x+1＝1， 解得x1＝﹣3，x2＝0， 即关于x的一元二次方程（x+1）2+（x+1）﹣m＝0的解为x1＝﹣3，x2＝0． 故选：D． 7．（3分）我国女子铅球选手巩立妓夺得巴黎夏季奥运会第五名的成绩，她在最好一次成绩的投掷中，铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为，则巩立蛟在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是（　　） A．19m B．20m C．21m D．22m 【分析】令y＝0，解方程求出x，取最大的x的值． 【解答】解：令y＝0，则x2x0， 整理得：x2﹣19x﹣20＝0， 解得x1＝1，x2＝20， ∴巩立蛟在巴黎夏季奥运会铅球比赛中的最好成绩是20cm， 故选：B． 8．（3分）在同一平面直角坐标系中二次函数与一次函数y2＝x﹣c的图象如图所示，则二次函数y＝﹣ax2+（1﹣b）x﹣c﹣2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由已知二次函数的图象可知a、b的正负，由一次函数的图象可知c的正负，进而可得出答案． 【解答】解：由二次函数的图象可知a＞0，b＜0， 由一次函数y2＝x﹣c的图象可知﹣c＜0， ∴﹣a＜0，1﹣b＞0，﹣c﹣2＜0， ∴二次函数y＝﹣ax2+（1﹣b）x﹣c﹣2的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵二次函数与一次函数y2＝x﹣c的图象交点的横坐标为n和m， ∴方程ax2+bx+2＝x﹣c的解为x1＝n，x2＝m， ∴二次函数y＝﹣ax2+（1﹣b）x﹣c﹣2的图象与x轴交点的横坐标为n和m． 故选：B． 9．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+kx﹣2k+3（k为实数），点P（m，0）是该函数图象与x轴的一个交点，若，则k的取值范围是（　　） A． B． C．或k≥6 D．k≤2或k≥6 【分析】依据题意，由二次函数y＝﹣x2+kx﹣2k+3（k为实数），点P（m，0）是该函数图象与x轴的一个交点，且，从而（k﹣2k+3）（﹣9+3k﹣2k+3）≤0，则（2k﹣3）（k﹣6）≥0，最后计算即可得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝﹣x2+kx﹣2k+3（k为实数），点P（m，0）是该函数图象与x轴的一个交点，且， ∴（k﹣2k+3）（﹣9+3k﹣2k+3）≤0． ∴（2k﹣3）（k﹣6）≥0． ∴k或k≥6． 故选：C． 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③7a+5b+c＞0；④若点A（﹣5，y1），B（4，y2），C（6，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；⑤若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣2的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据函数图象可得二次函数的图象开口向下、与y轴的交点在y轴的正半轴，则a＜0、c＞0，再抛物线的对称轴为直线x＝2，则b＝﹣4a＞0，即abc＜0，可判定①②；由图象过点（﹣1，0）可得a﹣b+c＝0，从而可得c＝﹣5a，再结合4a+b＝0可得b＝﹣4a，然后代入7a+5b+c＞0即可判定③；先根据对称性可得A（﹣5，y1）在图象上的对称的点坐标为（9，y1），再利用二次函数的增减性即可得④；先求出二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），从而可得方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣2的两根是二次函数y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣2的两个交点的横坐标，结合函数图象即可判断⑤． 【解答】解：∵二次函数与y轴的交点在y轴的正半轴，图象开口向下， ∴a＜0，c＞0， ∵对称轴为直线， ∴b＝﹣4a＞0，即abc＜0，故①错误，不符合题意； ∴4a+b＝0，故②正确，符合题意； ∵图象过点（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， 又∵4a+b＝0， ∴b＝﹣4a， ∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a， ∴7a+5b+c＝7a+5×（﹣4a）﹣5a＝7a﹣20a﹣5a＝﹣18a＞0，故③正确，符合题意； ④若点A（﹣5，y1），B（4，y2），C（6，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2； ∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴A（﹣5，y1）在图象上的对称的点坐标为（9，y1）， ∵当x＞2时，y随x的增大而减小，且4＜6＜9， ∴y1＜y3＜y2，故④正确，符合题意； ∵y＝ax2+bx+c＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x2﹣4x﹣5）＝a（x+1）（x﹣5）， ∴二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为﹣1，5， ∵方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣2的两根是二次函数y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣2的两个交点的横坐标，如图： 由图象可知：x1＜﹣1＜5＜x2，故⑤正确，符合题意； 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）二次函数y＝2x2﹣5x﹣1的对称轴为直线　　 ． 【分析】根据对称轴的定义即可求得． 【解答】解：对称轴为直线． 故答案为：． 12．（3分）把函数y＝（x﹣1）2+2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为 　y＝（x﹣3）2+5　 ． 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：函数y＝（x﹣1）2+2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后图象的函数解析式为：y＝（x﹣1﹣2）2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5． 故答案为：y＝（x﹣3）2+5． 13．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过（﹣2，0），（4，0），（﹣1，﹣2.5），则一元二次方程ax2+bx+c+2.5＝0的根为 　x1＝﹣1，x2＝3　 ． 【分析】据二次函数的对称性求得抛物线的对称轴，然后求得点（﹣1，﹣2.5）关于对称轴的对称点，即可求得一元二次方程ax2+bx+c+2.5＝0的根． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过（﹣2，0），（4，0），（﹣1，﹣2.5）， ∴对称轴为直线x1， ∴点（﹣1，﹣2.5）关于对称轴的对称点为（3，﹣2.5）， ∴一元二次方程ax2+bx+c+2.5＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3， 故答案为：x1＝﹣1，x2＝3． 14．（3分）抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝1只有一个交点，且过点A（m+2，n），B（m﹣6，n），则n等于 　33　 ． 【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x＝m﹣2．故设抛物线解析式为y＝2（x﹣m+2）2+1，直接将A（m+2，n）代入，通过解方程来求n的值． 【解答】解：∵抛物线y＝2x2+bx+c过点A（m+2，n），B（m﹣6，n）， ∴对称轴是直线x＝m﹣2． 又∵抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝1只有一个交点， ∴设抛物线解析式为y＝2（x﹣m+2）2+1， 把A（m+2，n）代入，得 n＝2（m+2﹣m+2）2+1＝33，即n＝33． 故答案为：33． 15．（3分）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8米，AB＝24米，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，若点E到直线AB的距离为10米，则DE的长为 　36　 米． 【分析】首先建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C，设AB与y轴交于H，求出OC的长，然后设该抛物线的解析式为：y＝ax2+k，根据题干条件求出a和k的值，再令y＝0，求出x的值，即可求出D和E点的坐标，DE的长度即可求出． 【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C， 设AB与y轴交于点H， ∵AB＝24， ∴AH＝BH＝12， 由题可知： OH＝10，CH＝8， ∴OC＝10+8＝18， ∴B（12，10），C（0，18）， ∴设该抛物线的解析式为：y＝ax2+18， 把B（12，10）代入解析式得：10＝144a+18， 解得a， ∴抛物线：yx2+18， 当y＝0时，0x2+18， 解得x＝±18， ∴E（18，0），D（﹣18，0）， ∴DE＝OD+OE＝36． 故答案为：36． 16．（3分）当n≤x≤n+1时，二次函数y＝x2+2x+3的最大值与最小值的差为3，则n＝ 　﹣3或0　 ． 【分析】利用二次函数的性质解答即可，注意分类讨论． 【解答】解：已知二次函数y＝x2+2x+3，所以其对称轴是直线x＝﹣1， ①当n+1≤﹣1时，n≤﹣2，可得yn＞yn+1， 因为最大值与最小值的差为3， 可知yn﹣yn+1＝3， 得n2+2n+3﹣[（n+1）2+2（n+1）+3]＝3， 解得n＝﹣3； ②当n≥1时，可得yn＜yn+1， 因为最大值与最小值的差为3， 可知yn+1﹣yn＝3， 得（n+1）2+2（n+1）+3﹣（n2+2n+3）＝3， 解得n＝0； ③当n＜﹣1＜n+1，﹣2＜n＜﹣1，可得yn＞yn+1， 最小值为顶点纵坐标2，最大值为区间端点中距离对称轴较远点的函数值， 计算端点值：y（n）＝n2+2n+3，y（n+1）＝n2+4n+6，y（n）﹣y（n+1）＝﹣2n﹣3， 最值差y（n）﹣2＝n2+2n+1＝（n+1）2 ＝3， 解得n＝﹣1±（均不符合﹣2＜n＜﹣1，舍去）， 故答案为：﹣3或0． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象． 【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可． 【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3 ＝x2﹣4x+22﹣22+3＝（x﹣2）2﹣1； （2）∵y＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点坐标为（2，﹣1），对称轴方程为x＝2． ∵函数二次函数y＝x2﹣4x+3的开口向上，顶点坐标为（2，﹣1），与x轴的交点为（3，0），（1，0）， ∴其图象为： 18．（6分）已知y关于x的二次函数为y＝ax2﹣2a2x（a≠0），其中为a常数． （1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标； （2）若M（2a﹣1，m）和N（a+4，m）是抛物线上的两点，求二次函数的表达式． 【分析】（1）将a＝1代入，然后将抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可以得到，从而可以求得a的值，然后即可写出相应的函数解析式． 【解答】解：（1）当a＝1时， 二次函数为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴该函数的顶点坐标为（1，﹣1）； （2）M（2a﹣1，m）和N（a+4，m）是抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）上的两点， ∴， 解得a＝﹣3， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣3x2﹣18x． 19．（8分）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？ 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，根据待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）令x＝7，求出y的值，得出点的坐标，进而即可作出判断． 【解答】解：（1）根据题意结合图形可得，球出手时的坐标为（0，），抛物线的顶点坐标为（4，4）， 设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2+4， 将点（0，）代入y＝a（x﹣4）2+4可得： 16a+4， ∴a， 则抛物线的解析式为：y（x﹣4）2+4； （2）令x＝7，则y9+4＝3， 即点（7，3）在抛物线上， 所以此球能准确投中． 20．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣3（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且AB＝2，求m的值． 【分析】（1）令y＝0，可得关于x的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令y＝0，可得关于x的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到A、B两点的横坐标值，然后根据AB＝2，列方程求解即可． 【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣（m﹣2）x+m﹣3＝0， ∵Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（m﹣3）＝m2﹣4m+4﹣4m+12＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0， ∴一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+m﹣3＝0有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）当y＝0时，x2﹣（m﹣2）x+m﹣3＝0， 得， ∴x1＝m﹣3，x2＝1， ∴AB＝|（m﹣3）﹣1|＝|m﹣4|＝2， ∴m＝6或m＝2． 21．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根：　1和3　 ； （2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集：　x＜1或x＞3　 ； （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 　x＞2　 ； （4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围：　k＜2　 ． 【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根； （2）找出函数值小于0时x的取值范围即可； （3）首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； （4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围． 【解答】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点， 则方程ax2+bx+c＝0的两个根为x＝1和x＝3， 故答案为：1和3； （2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0； 故答案为：x＜1或x＞3； （3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝2，开口向下， 即当x＞2时，y随x的增大而减小； 故答案为：x＞2． （4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值， 故答案为：k＜2． 22．（10分）如图，二次函数y＝ax2﹣ax+c（a≠0）图象交坐标轴于点A（4，0），B（0，﹣2），点P为线段OA上一动点． （Ⅰ）求二次函数的解析式及顶点坐标； （Ⅱ）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB、抛物线于点Q和点C，求线段CQ的最大值及此时△ABC的面积． 【分析】（Ⅰ）点A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝ax2﹣ax+c（a≠0），解方程组即可得到结论； （Ⅱ）由点A、B的坐标得到直线AB的表达式为，设点，则点，根据二次函数的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得：， 解得 则抛物线的表达式为：， ∴顶点的坐标为：； （Ⅱ）由点A、B的坐标得到直线AB的表达式为， 设点，则点， ∴， 故CQ的最大值为：， 此时△ABC的面积． 23．（12分）WTT中国大满贯2024年9月26日在北京石景山首钢园区开赛，为了迎接这场乒乓球盛宴，某商店购入一批进价为10元/个的徽章进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为152个；当销售单价为16元时，日销售量为136个． （1）求y与x的函数表达式； （2）徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若商店决定每销售一个徽章向少儿乒乓球俱乐部赠送一件价值为m（0＜m＜4）元的礼品，赠送礼品后，为确保该种徽章日销售获得的最大利润为1444元，求m的值． 【分析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），结合当销售单价为12元时，日销售量为152个；当销售单价为16元时，日销售量为136个，运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意，可得每个徽章的利润为（x﹣10），且日销售量y（个），设最大利润为w元，由此列式为w＝（x﹣10）y＝﹣4（x﹣30）2+1600，再根据二次函数图象的性质即可求解； （3）根据题意，此时的利润为（x﹣10﹣m），且日销售量y（个），最大利润为w元，由此列式得，w＝﹣4x2+（240+4m）x﹣2000﹣200m，根据最大利润为1444元，运用二次函数最值的计算方法，一元二次方程求解的方法进行计算即可． 【解答】解：（1）日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如下的一次函数关系，设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵当销售单价为12元时，日销售量为152个；当销售单价为16元时，日销售量为136个， ∴， 解得，， ∴y与x的函数表达式为y＝﹣4x+200； （2）销售单价为x（元），进价为10元/个， ∴每个徽章的利润为（x﹣10），且日销售量y（个）， 设最大利润为w元， ∴w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣4x+200）＝﹣4x2+240x﹣2000＝﹣4（x﹣30）2+1600， ∵﹣4＜0， ∴当x＝30时，w有最大值，最大值为1600元， ∴徽章销售单价定为30元时，所获日销售利润最大，最大利润是1600元； （3）由（2）可得，每个徽章的利润为（x﹣10），赠送一件价值为m（0＜m＜4）元的礼品， ∴此时每个徽章的利润为（x﹣10﹣m），日销售量y（个），最大利润为w元， ∴w＝（x﹣10﹣m）（﹣4x+200），整理得，w＝﹣4x2+4（60+m）x﹣（2000+200m）， ∵﹣4＜0， ∴二次函数w有最大值， ∴当时，w取得最大值，且最大利润为1444元， ∴，整理得，m2﹣80m+156＝0，则（m﹣2）（m﹣78）＝0， 解得，m1＝2，m2＝78， ∵0＜m＜4， ∴m的值为2． 24．（12分）如图1，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c与y轴交于C，与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，作直线AC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，点D是直线AC上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交AC于点E，当线段DE的长度取最大时，求点D的坐标； （3）在（2）中DE取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求解直线AC为y＝x+3，设D（x，﹣x2﹣2x+3），则E（x，x+3），可得DE＝﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3＝﹣x2﹣3x，再进一步求解； （3）如图，当BM为对角线时，当BN为对角线时，当MN为对角线时，再利用平行四边形的性质求解即可． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c与y轴交于C，与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入得： ， 解得， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴C（0，3）， 设直线AC为y＝kx+n， ∴， 解得：， ∴直线AC为y＝x+3， 点D是直线AC上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交AC于点E，设D（x，﹣x2﹣2x+3），则E（x，x+3）， ∴DE＝﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3＝﹣x2﹣3x， ∵﹣1＜0， ∴当时，DE有最大值， 最大值为：； ∴； （3）点M的坐标为或M（﹣1，﹣6）或M（﹣1，2）；理由如下： ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∵点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 如图3，当BM为对角线时， ∵，B（1，0），设M（﹣1，t），N（x，﹣x2﹣2x+3）， ∴， 解得：， ∴； 当BN为对角线时，如图4， 同理可得：， 解得：， ∴M（﹣1，﹣6）； 如图5，当MN为对角线时， ∴， 解得：， ∴M（﹣1，2）； 综上：点M的坐标为或M（﹣1，﹣6）或M（﹣1，2）． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $