第12讲 实际问题与二次函数（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材人教版

第12讲 实际问题与二次函数（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+1个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 二次函数与一元二次方程 如图，用10.8 m长的木料，做一个有一条横档的矩形窗框，为了使窗户透进的光线最多，窗框的长、宽应各是多少？ 【知识点1 利用二次函数解决实际问题】 1. 一般步骤 (1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证结果是否符合实际． 2. 求二次函数最值 将解析式写成的形式，当时，y有最大（小）值k；若对二次函数 使用配方法，则当时，y有最大（小）值． 3. 实际问题与二次函数的联系转化 【题型1 利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题】 【例1】现有6m长的铝合金钢窗材料，做成“日”字形窗框（不考虑材料加工时的损耗），如图所示，则做成的窗框的最大采光面积是　　 m2． 【变式1-1】如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长13m，另外三面用29m长的建筑材料围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形猪舍的AB边为　 　 m时，猪舍面积最大（AB为整数）． 【变式1-2】为优化迪荡湖公园的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形区域，且要求这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2． （1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【变式1-3】在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，矩形ABCD的面积为S． （1）写出S与x的函数关系式（不需写出x的取值范围）； （2）若花园的面积为192m2，求x的值； （3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值． 【题型2 利用二次函数的性质解决线段与周长的最值问题】 【例2】如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 【变式2-1】如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为__________． 【变式2-2】如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为______． 【变式2-3】如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为______． 【题型3 利用二次函数的性质解决几何图形上点的运动问题】 【例3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别到达点B，C后停止运动，那么当△PBQ的面积S取得最大值时，出发时间t的值是 　 　 s． 【变式3-1】如图在四边形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，AB＝2CD＝8，，点M和点N分是边AD与边BC上的动点，当AM＝CN时，则MN的最小值为　 ． 【变式3-2】如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE、CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．连接AF，则△AEF面积的最大值为　 　 ． 【变式3-3】如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝7cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF的面积最小值为　　 ． 【题型4 利用二次函数的性质解决最大利润问题】 【例4】某体育用品商店购进一批同型号的足球，这批足球每只进价为20元，出于营销考虑，要求每只足球的售价(销售单价)不低于20元且不高于28元．在销售过程中发现，这种型号足球每周的销售量(只)与该足球的销售单价(元)之间满足一次函数关系，当销售单价为22元时，每周的销售量为36只；当销售单价为24元时，每周的销售量为32只． (1)请求出与之间的函数表达式； (2)当该体育用品商店销售这种足球每周获得的利润为150元时，问该型号足球的销售单价是多少元？ (3)当该足球销售单价定为多少元时，才能使得销售该足球每周所获利润最大？每周获得的最大利润是多少？ 【变式4-1】近几年，文旅文创产品凭借创意与文化内涵的结合，深受广大消费者的喜爱．某文创门店计划分两次购进A、B两款冰箱贴，具体数量及花费如下表： A款（个） B款（个） 总花费（元） 第一次 10 20 850 第二次 8 10 560 (1)A款冰箱贴每个进价_____________元，B款冰箱贴每个进价_____________元； (2)若A、B两款冰箱贴共购进30个，其中A款冰箱贴的数量不少于B款的一半，则需要怎样进货，才能最省钱？ (3)在实际销售过程中，该店发现当每个B款冰箱贴售价为30元时，月销售量为160个，每涨价1元，月销售量减少10个．请直接写出当B款冰箱贴售价定为多少元时，这款冰箱贴的月销售利润最大，最大利润为多少元？ 【变式4-2】某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． (1)该商品的售价和进价分别是多少元？ (2)设每天的销售利润为w元，每件商品涨价x元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ (3)为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案，方案一：每件商品涨价不超过a元；方案二：每件商品的利润至少为24元，请比较哪种方案的销售最大利润更高，并说明理由． 【变式4-3】某古镇名店用传统手艺制作一种特色食品．根据每天产量采取浮动价格，成品均能售完．每千克生产成本（元）与日产量（）之间的关系为．每千克售价（元）与日产量（）之间的关系可用如图中的线段表示． (1)求线段的函数解析式． (2)要获得日销售最大利润，求销售单价和日产量． (3)求日销售利润和日销售额的范围． 【题型5 利用二次函数的性质解决拱桥与隧道问题】 【例5】如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水位下降1米时，水面宽度为______米（结果保留根号） 【变式5-1】如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 【变式5-2】如图①为某公园的景观桥，它的拱形桥洞轮廓可近似看作抛物线的一部分，为营造节日气氛，工作人员计划在桥拱悬挂红灯笼．已知桥拱与水面的交界点A，B之间的距离为6米，桥拱最高点C到水面的距离为米，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米，工作人员计划在桥拱悬挂红灯笼增加节日气氛．已知灯笼自身高度为米，且灯笼底部距离水面的距离为米，工作人员可以挂几盏这样的灯笼？并计算出所挂的灯笼与桥拱最高点C的水平距离． 【变式5-3】河南某高速公路隧道截面轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽米，高米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔米（中心线宽度不计）．若宽米，高米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【题型6 利用二次函数的性质解决投球与喷水问题】 【例6】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系式为：．有下列结论： ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离时，达到最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的序号是____________． 【变式6-1】景区喷泉以出水口为原点建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 【变式6-2】公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②．喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m．现要使水柱落点距O点8m，则喷头高应调整为______m． 【变式6-3】2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 模块三 课后作业 1．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．小球被发射后________时离地面的高度最大（用含的代数式表示）． 2．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是4米，跨度是8米，在线段上离中心M处1米的地方，桥的高度是____米． 3．如图，利用一面墙（墙最长可利用10m，且两端无法砌墙）围成一个矩形花园，与围墙平行的一边上要预留2m宽的人口，入口处不用砌墙．若用46m长的墙的材料砌围墙，则这个花园的最大面积是______． 4．某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 5．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，两点同时停止运动．则的最大面积是______． 6．某公园的圆形喷水池中心有一个高的喷水管，向四周喷水时，水柱从喷水管喷出路径形状可以看作是抛物线的一部分，如图所示，以喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，喷泉的落水点距喷水管的水平距离为，则喷水管喷水的最大高度为______． 7．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．点F是抛物线上的一动点，设，对应的点F有且只有两个，则m的取值范围是____． 8．如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 9．某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．设该商品线下的销售量为件，线下销售的每件利润为元，线上销售的每件利润为元如图中折线ABC、线段DE分别表示，与x之间的函数关系． (1)分别求出当和时，与x之间的函数表达式； (2)当线下的销售量为多少件时，售完这100件商品所获得的总利润最大？最大利润是多少元？ 10．为弘扬伟大抗战精神，在抗日阅兵主题实践活动中，某兴趣小组模拟抗战时期的武器原理，设计了“水流导弹”演示装置（图1）．该装置发射的水流导弹运动轨迹呈抛物线形状，象征着中华民族抵御外敌的坚定轨迹．经过精准测量，水流导弹发射后，距离发射点水平距离40米时达到最大高度20米．活动场地模拟抗战时期山地战场，将“水流导弹”发射装置稳固安置在山坡底部的点处（模拟我军阵地），山坡上点处模拟敌军碉堡遗址，碉堡底部点与点的水平距离为50米，与地面的竖直距离为12米；为还原战场标识场景，在碉堡顶端设置了模拟敌军信号旗，旗帜顶端比碉堡底部高出3米．以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求水流导弹运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)判断水流导弹能否越过旗帜顶端，以此检验装置模拟打击的有效性？请说明理由； (3)若要使水流导弹恰好击中旗帜顶端（模拟精准打击目标），在抛物线形状不变的情况下，“水流导弹”发射装置应该向后移动多少米？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 实际问题与二次函数（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+1个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 二次函数与一元二次方程 如图，用10.8 m长的木料，做一个有一条横档的矩形窗框，为了使窗户透进的光线最多，窗框的长、宽应各是多少？ 【知识点1 利用二次函数解决实际问题】 1. 一般步骤 (1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证结果是否符合实际． 2. 求二次函数最值 将解析式写成的形式，当时，y有最大（小）值k；若对二次函数 使用配方法，则当时，y有最大（小）值． 3. 实际问题与二次函数的联系转化 【题型1 利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题】 【例1】现有6m长的铝合金钢窗材料，做成“日”字形窗框（不考虑材料加工时的损耗），如图所示，则做成的窗框的最大采光面积是　　 m2． 【分析】设窗框的长为x米，窗框的宽为，则窗框的面积为Sx，再求得面积的最大值即可． 【解答】解：设长为x，则宽为， Sx， 即Sx2+2x， 要使做成的窗框的透光面积最大， ∴Sx2+2x（x2﹣3x）（x2﹣3x）（x）2， ∴要做成的窗框的透光面积最大是， 故答案为：． 【变式1-1】如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长13m，另外三面用29m长的建筑材料围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括建筑材料）．所围矩形猪舍的AB边为　 　 m时，猪舍面积最大（AB为整数）． 【分析】设AB＝xm，猪舍的面积为ym2，则BC＝（30﹣2x）m，根据矩形面积计算公式可得y＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：设AB＝xm，猪舍的面积为ym2，则BC＝（30﹣2x）m， 由题意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5， ∵， ∴8.5≤x＜15， ∵y＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5， ∴当8.5≤x＜15时，y随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴当x＝9时，y有最大值， ∴当AB＝9m时，猪舍面积最大， 故答案为：9． 【变式1-2】为优化迪荡湖公园的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形区域，且要求这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2． （1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝a，则有AE＝2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可； （2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可． 【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍， ∴AE＝2BE， 设BE＝FC＝am，则AE＝HG＝DF＝2am， ∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80， ∴ax+10，3ax+30， ∴y＝（x+30）xx2+30x， ∵ax+10＞0， ∴x＜40， 则yx2+30x（0＜x＜40）； （2）∵yx2+30x（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为0， ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米． 【变式1-3】在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，矩形ABCD的面积为S． （1）写出S与x的函数关系式（不需写出x的取值范围）； （2）若花园的面积为192m2，求x的值； （3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值． 【分析】（1）根据长方形的面积公式进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：x（28﹣x）＝192，然后进行计算即可解答； （3）根据题意可得：，从而可得：6≤x≤13，然后利用二次函数的最值进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：S＝AB•BC ＝x（28﹣x） ＝﹣x2+28x； （2）由题意得：x（28﹣x）＝192， 整理得：x2﹣28x+192＝0， 解得：x1＝12，x2＝16， ∴x的值为12或16； （3）由题意得：， 解得：6≤x≤13， S＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＜14时，S随x的增大而增大， ∴当x＝13时，S最大＝195m2， ∴花园面积S的最大值为195m2． 【题型2 利用二次函数的性质解决线段与周长的最值问题】 【例2】如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 【变式2-1】如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， 当时，C有最大值． 故答案为：． 【变式2-2】如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】过作轴交直线于，由等腰三角形的判定及性质、勾股定理得，设，则，则有，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：过作轴交直线于， 轴， ， 对于， 当时，， 当时，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 当时，， ． 故答案为． 【变式2-3】如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称轴为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴解方程组得， ∴． 故答案为：． 【题型3 利用二次函数的性质解决几何图形上点的运动问题】 【例3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别到达点B，C后停止运动，那么当△PBQ的面积S取得最大值时，出发时间t的值是 　 　 s． 【分析】依据题意，先表示出BQ，BP，进而结合三角形的面积公式可得S，然后将结果配成顶点式，即可作答． 【解答】解：由题意得，AP＝2tmm，BQ＝4tmm，且AB＝12mm，BC＝24mm， ∴BP＝（12﹣2t）mm， ∴SBP×BQ（12﹣2t）×4t＝24t﹣4t2，即S＝24t﹣4t2（0＜t＜6）． ∵BQ＝4t＞0，BP＝12﹣2t， ∴0＜t＜6， ∵S＝24t﹣4t2＝﹣4（t﹣3）2+36， ∵﹣4＜0， ∴当t＝3s时，△PBQ的面积S有最大值36平方毫米． 故答案为：3． 【变式3-1】如图在四边形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，AB＝2CD＝8，，点M和点N分是边AD与边BC上的动点，当AM＝CN时，则MN的最小值为　 ． 【分析】建立坐标系，设参数表示坐标，化简距离表达式，用二次函数求最小值． 【解答】解：设A（0，0），则B（8，0），D（0，4），C（4，4）， BC的长度： 8， 设AM＝CN＝t（0≤t≤4）， 则M（0，t）， N在BC上，坐标为（4+4•，4t）＝（4，4t）， MN， 当t＝4时，MN取得最小值，MNmin4， 故答案为：4． 【变式3-2】如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE、CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．连接AF，则△AEF面积的最大值为　 　 ． 【分析】设正方形 ABCD 的边长为 4，以A为原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，设E点坐标为（t，0），其中（0＜t＜4），则ED＝4﹣t，作FH⊥x轴于H，通过证得△EHF≌△CDE（AAS），即可证得FH＝ED＝4﹣t，得到F点的纵坐标为4﹣t，利用三角形面积公式即可得到S△AEFAE•（4﹣t）（t﹣2）2+2，利用二次函数的性质可知当t＝2时，S△AEF的值最大，最大值为2． 【解答】解：设正方形 ABCD 的边长为 4，以A为原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系， 则A（0，0），B（0，﹣4），C（4，﹣4），D（4，0）， 设E点坐标为（t，0），其中（0＜t＜4），则ED＝4﹣t，作FH⊥x轴于H， ∵∠CED+∠ECD＝∠CED+∠FEH＝90°， ∴∠ECD＝∠FEH， ∵∠EDD＝∠FHE＝90°，EC＝EF， ∴△EHF≌△CDE（AAS），∴ ∴FH＝ED＝4﹣t， ∴F点的纵坐标为4﹣t， ∴S△AEFAE•（4﹣t）（t﹣2）2+2， ∴当t＝2时，S△AEF的值最大，最大值为2． 故答案为：2． 【变式3-3】如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝7cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF的面积最小值为　　 ． 【分析】由题意得：AP＝tcm，PD＝（7﹣t）cm，根据三角形面积公式可得△PCD的面积y与t的关系式，由图得：，代入可得结论． 【解答】解：设△PCD的面积为ycm2， 由题意得：AP＝tcm，PD＝（7﹣t）cm， ∴， ∴， 由勾股定理可知PC2＝22+（7﹣t）2＝t2﹣14t+53， ∴， 当t为6s时，△DEF的面积最小，且最小值为． 故答案为：． 【题型4 利用二次函数的性质解决最大利润问题】 【例4】某体育用品商店购进一批同型号的足球，这批足球每只进价为20元，出于营销考虑，要求每只足球的售价(销售单价)不低于20元且不高于28元．在销售过程中发现，这种型号足球每周的销售量(只)与该足球的销售单价(元)之间满足一次函数关系，当销售单价为22元时，每周的销售量为36只；当销售单价为24元时，每周的销售量为32只． (1)请求出与之间的函数表达式； (2)当该体育用品商店销售这种足球每周获得的利润为150元时，问该型号足球的销售单价是多少元？ (3)当该足球销售单价定为多少元时，才能使得销售该足球每周所获利润最大？每周获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)25 (3)当该足球销售单价定为28元时，才能使得销售该足球每周所获利润最大，每周获得的最大利润是192元 【分析】（1）用待定系数法列方程组求一次函数解析式． （2）根据（1）中解析式，列一元二次方程求解． （3）总利润=单件利润销售量，得到二次函数，先配方，求出最值即可解答． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为． 把与代入，得 解得， ∴． （2）设当体育用品商店每周销售这种足球获得150元的利润时，每个足球的销售单价是x元，根据题意，得： ． 解得． ∵， ∴， 答：每个足球的销售单价是25元． （3）解：设销售足球每周的利润是w元，由题意得 ． ∵售价不低于20元且不高于28元，当时，随x的增大而增大， ∴当时，(元)． 答：该足球销售单价定为28元时，才能使得销售该足球每周所获利润最大，最大利润是192元． 【变式4-1】近几年，文旅文创产品凭借创意与文化内涵的结合，深受广大消费者的喜爱．某文创门店计划分两次购进A、B两款冰箱贴，具体数量及花费如下表： A款（个） B款（个） 总花费（元） 第一次 10 20 850 第二次 8 10 560 (1)A款冰箱贴每个进价_____________元，B款冰箱贴每个进价_____________元； (2)若A、B两款冰箱贴共购进30个，其中A款冰箱贴的数量不少于B款的一半，则需要怎样进货，才能最省钱？ (3)在实际销售过程中，该店发现当每个B款冰箱贴售价为30元时，月销售量为160个，每涨价1元，月销售量减少10个．请直接写出当B款冰箱贴售价定为多少元时，这款冰箱贴的月销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1)， (2)购进A款冰箱贴个，B款冰箱贴个时最省钱 (3)售价定为元时，月销售利润最大，最大利润为元 【分析】（1）设A款冰箱贴每个进价元，B款冰箱贴每个进价元，由题意得，进而求解即可； （2）设购进A款冰箱贴的数量为个，则购进B款冰箱贴为个，由题意得，然后可设购进A、B两款冰箱贴所需元，则有，最后根据一次函数的性质进行求解即可； （3）设B款冰箱贴售价定为元，这款冰箱贴的月销售利润为元，由题意得：，然后根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设A款冰箱贴每个进价元，B款冰箱贴每个进价元，由题意得： ， 解得：； 答：A款冰箱贴每个进价元，B款冰箱贴每个进价元． （2）解：设购进A款冰箱贴的数量为个，则购进B款冰箱贴为个，由题意得： ，解得：， 设购进A、B两款冰箱贴所需元，则有：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，所需费用最低， 答：购进A款冰箱贴个，B款冰箱贴个时最省钱． （3）解：设B款冰箱贴售价定为元，这款冰箱贴的月销售利润为元，由题意得： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 答：售价定为元时，月销售利润最大，最大利润为元． 【变式4-2】某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． (1)该商品的售价和进价分别是多少元？ (2)设每天的销售利润为w元，每件商品涨价x元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ (3)为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案，方案一：每件商品涨价不超过a元；方案二：每件商品的利润至少为24元，请比较哪种方案的销售最大利润更高，并说明理由． 【答案】(1)售价为30元，进价为24元 (2)售价为47元时，商品的销售利润最大，最大为2645元 (3)解：当时，方案二最大利润更高；当时两种方案最大利润一样；当时，方案一最大利润更高； 理由：方案二：每件商品的利润至少为24元，则有 解得， ∴， ∵，且对称轴为， ∴当时，利润最大，最大利润为（元）； 方案一：每件商品涨价不超过a元，即， 当时，∵，且对称轴为， ∴在的范围内，w随x的增大而增大，最大值在处， ∴， 当时，w在处取得最大值，元， 当时，， ∴方案二利润更高； 当时，，与方案二利润相等， 当时，， ∴方案一利润更高； 当时，， ∴方案一利润更高， ∴当时，方案二最大利润更高；当时两种方案最大利润一样；当时，方案一最大利润更高． 【分析】（1）设售价为元，进价为元，根据“售价比进价多6元”和“5件进价4件售价”列方程组，进行求解即可； （2）由题意得，单件利润为元，销量为件，利润函数为（，由销量非负得），再根据二次函数的性质求解即可； （3）方案二：利润元得，即；在内，随增大而减小，故时利润为2640元；方案一：，分（最大值在处，）和（最大值为2645元），将两种方案进行分类对比即可得到解答． 【详解】（1）解：设该商品的售价m元，进价为n元， 由题意得， 解得， 答：商品的售价为30元，进价为24元； （2）解：∵每天最少卖出0件商品， ∴ 解得， 由题意得， ， ∵， ∴当每件商品涨价17元，即售价为元时，商品的销售利润最大，最大为2645元； （3）略 【变式4-3】某古镇名店用传统手艺制作一种特色食品．根据每天产量采取浮动价格，成品均能售完．每千克生产成本（元）与日产量（）之间的关系为．每千克售价（元）与日产量（）之间的关系可用如图中的线段表示． (1)求线段的函数解析式． (2)要获得日销售最大利润，求销售单价和日产量． (3)求日销售利润和日销售额的范围． 【答案】(1) (2)销售单价为元/，日产量为 (3)日销售利润的范围为；日销售额的范围为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）日销售利润等于每千克售价与成本的差乘以日产数量，据此列出算式并求出最大值即可； （3）根据日产数量的范围及（2）中所得函数式可求得日销售利润的范围；根据日销售额及日产数量的范围，可求得日销售额的范围． 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为． 将，代入，得， 解得． ∴线段的函数解析式为． （2）解：日销售利润 ． 当时，日销售最大利润． 销售单价（元）． 即要获得日销售最大利润，销售单价为元/，日产量为． （3）解：由（2），当时，． 当时，． 即日销售利润的范围为． 日销售额 ． 当时， 当时， 即日销售额的范围为． 【题型5 利用二次函数的性质解决拱桥与隧道问题】 【例5】如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水位下降1米时，水面宽度为______米（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键．建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意当水位下降1米时，求解时对应的x的值，然后即可得到的长，即水面宽度． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图：则抛物线顶点C坐标为， 设抛物线解析式， 将A点坐标代入得：， 解得：， 故抛物线解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴， 即水面宽度为米． 故答案为：． 【变式5-1】如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：4． 【变式5-2】如图①为某公园的景观桥，它的拱形桥洞轮廓可近似看作抛物线的一部分，为营造节日气氛，工作人员计划在桥拱悬挂红灯笼．已知桥拱与水面的交界点A，B之间的距离为6米，桥拱最高点C到水面的距离为米，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米，工作人员计划在桥拱悬挂红灯笼增加节日气氛．已知灯笼自身高度为米，且灯笼底部距离水面的距离为米，工作人员可以挂几盏这样的灯笼？并计算出所挂的灯笼与桥拱最高点C的水平距离． 【答案】(1) (2)工作人员可以悬挂2盏这样的灯笼，所挂的2盏灯笼与桥拱最高点C的水平距离均为米 【分析】（1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可． （2）求灯笼与桥拱最高点C的水平距离，即要求出所挂灯笼对应的x值，因此需求出灯笼的高度（y值），代入抛物线函数解析式中求解即可． 【详解】（1）∵y轴垂直平分，， ∴，， 由题意得， 设该抛物线的函数解析式为， 将代入，解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）∵米，由抛物线的对称性得， ∴当时，， ∴灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 求出灯笼悬挂点到的距离，实际是抛物线上一点（悬挂点）对应的y值． 令，解得，， 将y值代入解析式中．求出对应的x值，有几个满足要求，就有几个悬挂点． ∴工作人员可以悬挂2盏这样的灯笼，所挂的2盏灯笼与桥拱最高点C的水平距离均为米． 【变式5-3】河南某高速公路隧道截面轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽米，高米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔米（中心线宽度不计）．若宽米，高米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，理由：如图，由题意得： （米） ∴点的横坐标为， 把代入，得， ， ∴能安全通过． 【分析】抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解； 求出点的横坐标，然后求出点距离抛物线的距离，再减去车辆的高度，得到的差值与比较即可判断求解 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，即， 设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）略 【题型6 利用二次函数的性质解决投球与喷水问题】 【例6】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系式为：．有下列结论： ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离时，达到最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的序号是____________． 【答案】②③/③② 【分析】对于①，计算时，的值即可判断；对于②，将一般式化为顶点式，根据顶点坐标即可判断；对于③，计算时，的值即可判断． 【详解】解：对于①：将代入，得， ∴出手高度为，故①错误； 对于②：， ∴顶点坐标为，故②正确； 对于③：将代入，得 ， 整理，得， 解得或（负值，舍去）， ∴铅球落地时的水平距离为，故③正确． 【变式6-1】景区喷泉以出水口为原点建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 【答案】米 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形通道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵通道宽为2米， ∴，即， ∵通道顶部到水柱的竖直距离均不小于2米， ∴，即， 即当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴通道顶端到地面的最大高度为（米）． 【变式6-2】公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②．喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m．现要使水柱落点距O点8m，则喷头高应调整为______m． 【答案】16 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设，将代入解析式得出；喷头高时，可设；将代入解析式得，联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为，将代入可求出． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，即抛物线的二次项系数和一次项系数不会发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出， 整理得①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得②， 联立①②可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， 此时的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴喷头高应调整为。 故答案为：． 【变式6-3】2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 【答案】(1) (2)足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是米． (3)能 【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为，代入即可求解； （2）令，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论． （3）分别计算，的函数值，进一步判断即可． 【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，， 根据图象，头球点在最高点右侧，即，舍去， ∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米． （3）解：当时，则， 当时，则， ∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离的范围内，能飞入球门． 模块三 课后作业 1．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．小球被发射后________时离地面的高度最大（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】是关于的二次函数，二次项系数小于零，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，只需计算二次函数顶点的横坐标即可得到结果． 【详解】由题意可知，是关于的二次函数，其中，，. ∵， ∴抛物线开口向下，当等于顶点横坐标时，取得最大值， 根据二次函数顶点横坐标公式得：， ∴小球被发射后时离地面的高度最大． 2．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是4米，跨度是8米，在线段上离中心M处1米的地方，桥的高度是____米． 【答案】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线解析式即可求解． 【详解】解：如图，以为原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴建立直角坐标系， 由题意得点，点， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 由题意得线段上离中心M处1米的地方， 将代入得， ∴在线段上离中心M处1米的地方，桥的高度是米． 3．如图，利用一面墙（墙最长可利用10m，且两端无法砌墙）围成一个矩形花园，与围墙平行的一边上要预留2m宽的人口，入口处不用砌墙．若用46m长的墙的材料砌围墙，则这个花园的最大面积是______． 【答案】 【分析】根据题意可以列出面积与之间的函数关系式，进行配方，利用二次函数的性质于是得到结论． 【详解】解：设与墙垂直的边，花园的面积为， 则， ． 由题意可知， ． 二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，． ∴这个花园的最大面积是． 故答案为：． 4．某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 【答案】 【分析】根据每件利润乘以总销售量得到利润的二次函数解析式，再结合二次函数的性质和给定的自变量取值范围求解最大利润． 【详解】解∶设每件玩具涨价x元， 则利润， ∵每件销售价不低于57元销售， ∴，解得， ∵，抛物线开口向下，当时，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，为， ∴最大利润w为2210元． 5．如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，两点同时停止运动．则的最大面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，设运动时间为，则，，，，然后用面积公式得出二次函数解析式，最后利用性质即可求解，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，，， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴当时，的面积有最大值，为， 故答案为：． 6．某公园的圆形喷水池中心有一个高的喷水管，向四周喷水时，水柱从喷水管喷出路径形状可以看作是抛物线的一部分，如图所示，以喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，喷泉的落水点距喷水管的水平距离为，则喷水管喷水的最大高度为______． 【答案】 【分析】先根据待定系数法求出抛物线解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， 代入，得， 解得， ∴ ， ∵， ∴当时，y有最大值为， ∴喷水管喷水的最大高度为． 7．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．点F是抛物线上的一动点，设，对应的点F有且只有两个，则m的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解抛物线的解析式、二次函数的基本性质以及二次函数图象与其他函数图象相结合问题，先根据待定系数法求出抛物线的解析式，对的位置进行分类讨论，当点在直线的下方的抛物线上时，一定有两个对应的点满足，所以当点在直线的上方的抛物线上时，此时无点满足才符合题意，故只需讨论当点在直线的上方的情况即可求解，熟练利用做辅助线，利用数形结合的方程是解题的关键． 【详解】解：由知点，点， 将，代入， 可得， 解得， ， 由题意得，当点在直线的下方的抛物线上时，一定有两个对应的点满足，所以当点在直线的上方的抛物线上时，此时无点满足才符合题意，故只需讨论当点在直线的上方的情况， 如图，过点作轴的垂线交于点，如图所示， 设点， 则点， 当时，的最大值为， 当取大于时，在上方无法找到点， 综上所述：当时，对应的点有且只有两个． 故答案为： 8．如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 【答案】 【分析】本题是二次函数的综合题，求最大值的问题．作于点H，作轴于点N，交于点M，先求得直线的解析式为，当取最大值时，P点到直线的距离有最大值，设，．用表示的长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，，， ∵， ∴， 作于点H，作轴于点N，交于点M， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当取最大值时，P点到直线的距离有最大值， 设，． ∴． ∴． ∵， ∴当时，． ∴． 故答案为：． 9．某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．设该商品线下的销售量为件，线下销售的每件利润为元，线上销售的每件利润为元如图中折线ABC、线段DE分别表示，与x之间的函数关系． (1)分别求出当和时，与x之间的函数表达式； (2)当线下的销售量为多少件时，售完这100件商品所获得的总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当线下的销售量为65件时，售完这100件商品所获得的总利润最大，最大利润是元 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，分别利用待定系数法求出当和时，与x之间的函数表达式； （2）根据题意，分别求出当和时，利润的最大值，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：当时，设与x之间的函数表达式是， 点，在线段上， ， 解得，， ∴当时，与x之间的函数表达式是； 当时，设与x之间的函数表达式， 点，在线段上， ， 解得，， 即当时，与x之间的函数表达式， 综上所述，； （2）解：设总的利润为w元， 当时，， 当时，w取得最大值，此时； 当时，， 当时，w取得最大值，此时； ， 当线下的销售量为65件时，售完这100件商品所获得的总利润最大，最大利润是元． 10．为弘扬伟大抗战精神，在抗日阅兵主题实践活动中，某兴趣小组模拟抗战时期的武器原理，设计了“水流导弹”演示装置（图1）．该装置发射的水流导弹运动轨迹呈抛物线形状，象征着中华民族抵御外敌的坚定轨迹．经过精准测量，水流导弹发射后，距离发射点水平距离40米时达到最大高度20米．活动场地模拟抗战时期山地战场，将“水流导弹”发射装置稳固安置在山坡底部的点处（模拟我军阵地），山坡上点处模拟敌军碉堡遗址，碉堡底部点与点的水平距离为50米，与地面的竖直距离为12米；为还原战场标识场景，在碉堡顶端设置了模拟敌军信号旗，旗帜顶端比碉堡底部高出3米．以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求水流导弹运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)判断水流导弹能否越过旗帜顶端，以此检验装置模拟打击的有效性？请说明理由； (3)若要使水流导弹恰好击中旗帜顶端（模拟精准打击目标），在抛物线形状不变的情况下，“水流导弹”发射装置应该向后移动多少米？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3)向后移动米 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是关键． （1）根据题意设设抛物线的解析式为，再把代入即可得到答案； （2）把代入解析式，可得，再进一步进行判断即可； （3）设此时抛物线的解析式为．把点代入，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，点是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 即， 解得， 水流导弹运动轨迹所在抛物线的解析式为． （2）解：能，理由如下： 由题可知，点的横坐标为50，纵坐标为， 点． 依题意，把代入解析式， 得， ∴水流导弹能越过旗帜顶端． （3）解：由（1）得， ∵水流导弹恰好击中旗帜顶端，且抛物线形状不变， ， 设“水流导弹”发射装置应该向后移动米， 此时抛物线的解析式为． 把点代入， ∴ ∴ 得． 当时，； 当时，（舍去）． “水流导弹”发射装置应该向后移动米． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $