第09讲 二次函数y＝a²与y＝a（x－h）²＋k的图象和性质（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材人教版

第09讲 二次函数y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 二次函数y＝a（x-h）2的图象和性质 已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【知识点1 二次函数y＝a（x-h）2的图象和性质】 1．二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象性质：开口方向：当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；顶点是(h，0)，对称轴是x＝h；最值：当a>0时，有最小值y＝0，当a<0时，有最大值y＝0；增减性：当a>0且x>h时，y随x的增大而增大，x<h时，y随x的增大而减小；当a<0且x>h时，y随x的增大而减小，x<h时，y随x的增大而增大． 2．y＝ax2和y＝a(x－h)2的图象有如下关系： 　y＝ax2y＝a(x－h)2. 3．由抛物线y＝ax2的图象通过平移得到y＝a(x－h)2的图象，左右平移的规律是(四字口诀)左加右减． 4．对于二次函数的图象，只要|a|相等，则它们的形状相同，只是开口方向不同，且|a|越大，开口越小． 【题型1 二次函数y＝a（x-h）2的图象和性质】 【例1】关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 【变式1-1】抛物线的开口______；顶点坐标为______；对称轴是______；当时，______；当时，有______值是______． 【变式1-2】对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点是 D．函数有最小值0 【变式1-3】二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 二次函数y＝a（x-h）2的最值问题】 【例2】已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 __； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ___． 【变式2-1】已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为__________． 【变式2-2】已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为______． 【题型3 二次函数y＝a（x-h）2的图象平移规律】 【例3】抛物线可以看成由抛物线向______平移______个单位长度得到．抛物线的对称轴是直线______，顶点坐标是______． 【变式3-1】已知抛物线向左平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为． (1)求，的值； (2)说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式3-2】如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点.    (1)请直接写出点A，B的坐标及该抛物线的解析式：A ，B ， . (2)连接、，求的面积； (3)将抛物线向上平移个单位，使顶点落在直线上，求平移后的抛物线解析式． 【题型4 二次函数y＝a（x-h）2的图象上点的坐标特征】 【例4】若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p<q，则m的值可能是（　　） A．﹣1 B．﹣ C．0 D． 【变式4-2】已知，设函数．直线与函数，的图象分别交于点．若，则的取值范围是___________ 【变式4-3】设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 模块三 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象和性质 由前面的知识我们知道，函数y＝－x2的图象向下平移1个单位长度，可以得到函数__ __的图象；函数y＝－x2的图象向左平移1个单位长度，可以得到函数__ _的图象，那么函数y＝－x2的图象如何平移，才能得到函数y＝－(x＋1)2－1的图象呢？ 【知识点2 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象和性质】 1．一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h，k_的值决定． 2．图象和性质： (1)抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：①当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；②对称轴是x＝h；③顶点坐标是(h，k)； (2)从二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以看出：如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小． 【题型5 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象和性质】 【例5】对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】已知抛物线，下列说法正确的是（   ）． A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为 【变式5-2】对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．当时，y有最大值 D．当时，y随x增大而减小 【变式5-3】下列关于二次函数（为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是（    ） A．①③ B．①② C．③⑤ D．②④ 【题型6 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象平移规律】 【例6】在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 【变式6-2】将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则b的值为 _______． 【变式6-3】把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 【题型7 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象上点的坐标特征】 【例7】已知点，，都在抛物线上，当，，时，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是_____（用“”连接） 【变式7-3】在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点． （1）若对于，有，则______； （2）若对于，都有，则的取值范围是______． 【题型8 二次函数y＝a（x-h）2+k的最值问题】 【例8】已知二次函数 （m为常数）在自变量x满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为6，则m的值为 （    ） A．0或 B．0或6 C．2或 D．2或6 【变式8-1】当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【变式8-2】已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 【变式8-3】已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则______； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是______． 模块四 课后作业 1．将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 2．已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则___． 4．已知点在抛物线上，且，则的取值范围是______． 5．在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线与线段PQ有交点，则a 的取值范围是______． 6．抛物线的开口方向是_________，顶点坐标是___________，对称轴是直线___________．当x__________时，函数y随x的增大而增大；当x__________时，函数y随x的增大而减小． 7．已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为，则常数h的值为_______． 8．将抛物线：向左平移（）个单位长度后，再向下平移个单位长度，得到新的抛物线，若，，为抛物线图象上的三点，则，，的大小关系________．（请用“”表示） 9．已知抛物线经过点，解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 10．已知二次函数 (1)若该函数的图象经过点求二次函数的解析式； (2)若点和是该函数图象上的两个点 ①当时，求m的取值范围； ②若M、N两点分别在对称轴的两侧，当时，该函数最大值与最小值差为1，请直接写出a的取值范围____________． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 二次函数y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 二次函数y＝a（x-h）2的图象和性质 已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【知识点1 二次函数y＝a（x-h）2的图象和性质】 1．二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象性质：开口方向：当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；顶点是(h，0)，对称轴是x＝h；最值：当a>0时，有最小值y＝0，当a<0时，有最大值y＝0；增减性：当a>0且x>h时，y随x的增大而增大，x<h时，y随x的增大而减小；当a<0且x>h时，y随x的增大而减小，x<h时，y随x的增大而增大． 2．y＝ax2和y＝a(x－h)2的图象有如下关系： 　y＝ax2y＝a(x－h)2. 3．由抛物线y＝ax2的图象通过平移得到y＝a(x－h)2的图象，左右平移的规律是(四字口诀)左加右减． 4．对于二次函数的图象，只要|a|相等，则它们的形状相同，只是开口方向不同，且|a|越大，开口越小． 【题型1 二次函数y＝a（x-h）2的图象和性质】 【例1】关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质，分析开口方向、对称轴、平移规律及增减性即可． 【详解】解：函数中，二次项系数，因此开口向下，选项A错误； 顶点式为，对称轴为直线，选项B错误； 原函数向右平移2个单位得到，而非向左平移，选项C错误； 开口向下时，对称轴左侧（）函数值随增大而增大，选项D正确； 故选：D ． 【变式1-1】抛物线的开口______；顶点坐标为______；对称轴是______；当时，______；当时，有______值是______． 【答案】 向上 随的增大而增大 最小 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 由抛物线解析式可求得开口方向、顶点坐标、对称轴，再结合函数的增减性可求得答案． 【详解】 ， 抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，有最小值， 故答案为：向上；；；随的增大而增大；最小；． 【变式1-2】对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点是 D．函数有最小值0 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点和二次函数的性质，根据抛物线的性质由得到图像开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线． 【详解】解：二次函数中的，则其图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，二次函数的最大值为0， 故选项A、B、D说法不正确，选项C说法正确． 故选：C． 【变式1-3】二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．先求出二次函数的对称轴为直线，两个函数的交点坐标，再画出两个函数的大致图象，然后结合函数图象逐个分析即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 联立，解得或， 即二次函数与一次函数的两个交点坐标为和， 当时，画出两个函数的大致图象如下： 则由函数图象可知，当时，，命题①正确； 当时，，命题②正确； 当时，，命题③正确； 当时，若，则；若，则；若，则；命题④错误； 综上，正确的命题个数为3个， 故选：C． 【题型2 二次函数y＝a（x-h）2的最值问题】 【例2】已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 __； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ___． 【答案】 0 6或1/1或6 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0， 故答案为：0； （2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 【变式2-1】已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分，和三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：或（舍去）， 若，即，则当时，函数y取最大值0，不符合题意； 若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：（舍去）或， 综上，h的值为-1或， 故答案为：或． 【变式2-2】已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 【题型3 二次函数y＝a（x-h）2的图象平移规律】 【例3】抛物线可以看成由抛物线向______平移______个单位长度得到．抛物线的对称轴是直线______，顶点坐标是______． 【答案】 右 1 【分析】根据二次函数图像的平移及定点式的性质即可得到答案． 【详解】解：抛物线可以看成由抛物线向右平移1个单位长度得到．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：右，1，，． 【变式3-1】已知抛物线向左平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为． (1)求，的值； (2)说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)， (2)抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是 【分析】（1）根据二次函数的平移规律求解即可； （2）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的表达式解析式可以确定其对称轴和顶点的坐标． 【详解】（1）因为平移不改变图象的形状， 所以， 抛物线向左平移两个单位长度得到， 即， 所以； （2）抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是． 【变式3-2】如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点.    (1)请直接写出点A，B的坐标及该抛物线的解析式：A ，B ， . (2)连接、，求的面积； (3)将抛物线向上平移个单位，使顶点落在直线上，求平移后的抛物线解析式． 【答案】(1)；； (2) (3)平移后的抛物线为： 【分析】（1）把代入求出A的坐标，可得抛物线的解析式，再求出直线与抛物线的交点坐标即可； （2）如图，连接，，，求解顶点，求解，，，结合，从而可得答案； （3）由题意可得平移后的顶点坐标为：把代入中，，则平移后的抛物线的顶点坐标为：，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵直线， 当时，， ∴A的坐标是， ∴，解得：， 抛物线的解析式是． ∴，解得：或， 联立直线与抛物线解析式可得B点坐标为. （2）如图，连接，，，    ∵， ∴顶点， ∵，， ∴，，， ∴； （3）由题意可得平移后的顶点坐标为： 把代入中，， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为：， ∴平移后的抛物线为：； 【题型4 二次函数y＝a（x-h）2的图象上点的坐标特征】 【例4】若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据“当开口方向向上时，离着对称轴越远的点的纵坐标越大”即可作答． 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大， 点离着对称轴最远，其次是点，点离着对称轴最近， ． 故选：C． 【变式4-1】已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p<q，则m的值可能是（　　） A．﹣1 B．﹣ C．0 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，由点A，B坐标求出A，B关于对称轴对称时m的值，进而求解． 【详解】解：∵y＝a（x﹣m）2（a＜0）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m， 当p＝q时，m＝＝1， ∵p＜q， ∴m＞1， 故选：D． 【变式4-2】已知，设函数．直线与函数，的图象分别交于点．若，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可． 【详解】解：函数图象的对称轴分别为直线：，，， 联立与，，解得， 即与的交点的横坐标为， 同理可得，与的交点的横坐标为2， 如图， 由图可知，当时，， 故答案为：． 【变式4-3】设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 模块三 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象和性质 由前面的知识我们知道，函数y＝－x2的图象向下平移1个单位长度，可以得到函数__ __的图象；函数y＝－x2的图象向左平移1个单位长度，可以得到函数__ _的图象，那么函数y＝－x2的图象如何平移，才能得到函数y＝－(x＋1)2－1的图象呢？ 【知识点2 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象和性质】 1．一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h，k_的值决定． 2．图象和性质： (1)抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：①当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；②对称轴是x＝h；③顶点坐标是(h，k)； (2)从二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以看出：如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小． 【题型5 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象和性质】 【例5】对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数顶点式的性质，确定开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性即可． 【详解】解：∵抛物线为， ∴，，. ①∵，∴开口向下，正确； ②对称轴为直线，正确； ③顶点坐标为，即，正确； ④∵，开口向下，∴当时，随增大而减小，正确. ∴所有结论均正确，共4个. 故选：D． 【变式5-1】已知抛物线，下列说法正确的是（   ）． A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键． 通过二次函数顶点式分析开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性，逐一判断选项． 【详解】解：选项A，关于抛物线，，即开口向下，故A不符合题意； 选项B，关于抛物线，对称轴为，故B不符合题意； 选项C，关于抛物线，，开口向下，在对称轴左侧随增大而增大，在对称轴的左边，所以当时随增大而增大，故C不符合题意； 选项D，关于抛物线，顶点坐标为，故D符合题意． 故选：D． 【变式5-2】对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．当时，y有最大值 D．当时，y随x增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数的最值，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的顶点坐标为，故选项A错误； 对称轴是直线，故选项B正确； 当时，y取得最小值，故选项C错误； 当时，y随x的增大而增大，故选项D错误； 故选：B． 【变式5-3】下列关于二次函数（为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是（    ） A．①③ B．①② C．③⑤ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，通过分析二次函数的性质，判断各结论的正误．结论①中，形状由二次项系数的绝对值决定，但开口方向不同，故错误；结论②代入点验证；结论③依赖对称轴位置，不一定成立；结论④通过顶点坐标验证． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为，函数的二次项系数为 1，两者绝对值相等但开口方向不同， ∴图象形状不同，故①错误； 当时，， ∴图象经过点，故②正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x增大而减小，当时， y 随x增大而增大， ∵ m为常数，可能小于0， ∴ 当时， y不一定随的增大而减小，故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为，把代入得， ∴ 顶点在函数图象上，故④正确． ∴ 正确结论为②④， 故选D． 【题型6 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象平移规律】 【例6】在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 【变式6-1】将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【分析】先根据顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律计算得到平移后的顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线是顶点式，可得原抛物线的顶点坐标为， 将顶点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 平移后的顶点横坐标为，纵坐标为， 因此平移后的抛物线的顶点坐标为． 【变式6-2】将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则b的值为 _______． 【答案】8 【分析】本题考查二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，先表示出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可，关键是掌握二次函数平移的性质． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移个单位长度后得到的抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， 故答案为：8． 【变式6-3】把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 【答案】(1)，， (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，最大值为 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据平移规则，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象，进行求解即可； （2）根据顶点式的图象和性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象， ∴； ∴，，； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，当时，函数有最大值为． 【题型7 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象上点的坐标特征】 【例7】已知点，，都在抛物线上，当，，时，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标为， 当时，， 解得或， 抛物线与轴的两个交点坐标为：，， 当，，时，， ． 【变式7-1】若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，求出点的横坐标，再代入函数解析式计算即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 点和纵坐标相同， 、两点关于抛物线对称轴对称， 可得， 即， 点的横坐标为， 将代入函数解析式得：． 【变式7-2】若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是_____（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据二次函数开口向下，顶点处函数值最大，距离顶点越远，函数值越小，比较各点与顶点的水平距离即可确定函数值大小，解题的关键掌握二次函数图象与性质． 【详解】解：由二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，函数值在顶点处最大，且随横坐标与顶点横坐标距离的增大而减小， ∵点的横坐标分别为、、， ∴与顶点横坐标的距离分别为、、， ∴点距离顶点最近，函数值最大；点次之；点距离顶点最远，函数值最小， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点． （1）若对于，有，则______； （2）若对于，都有，则的取值范围是______． 【答案】 3 【分析】本题考查二次函数的性质： （1）把代入，可得即可； （2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出与的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答． 【详解】解：（1）∵对于，有， ∴， 解得：； 故答案为：3 （2）∵， ∴， ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小， 点距离对称轴的距离小于点距离对称轴的距离，且点的中点在对称轴的右侧， ∴． 故答案为： 【题型8 二次函数y＝a（x-h）2+k的最值问题】 【例8】已知二次函数 （m为常数）在自变量x满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为6，则m的值为 （    ） A．0或 B．0或6 C．2或 D．2或6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质（顶点式、x的范围内的最值），解题的关键是根据对称轴与自变量x的范围的位置关系分情况讨论． 由二次函数开口向上，对称轴为，顶点纵坐标为2（最小值），但题目中最小值为6，故对称轴不在这个范围内；分（时取最小值）和（时取最小值）两种情况，代入函数求并验证． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为，顶点纵坐标为2． ∵时，的最小值为， ∴不在这个范围内． ①当时，时取最小值，代入得， 即， 解得或（舍去）． ②当时，时取最小值，代入得， 即， 解得（舍去）或． 综上，或6， 故选：B． 【变式8-1】当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 【变式8-2】已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 【答案】或6 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，；当时，在，，即可求解答案． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，离对称轴越远，函数值越小， 在，，， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：的值为6或． 故答案为：6或． 【变式8-3】已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则______； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，已知二次函数图象上两点纵坐标的大小：当，点与对称轴的距离越小，值越小；当时，点与对称轴的距离越小，值越大． （1）根据得出点，关于直线对称，再联立方程组求解即可； （2）根据当，点与对称轴的距离越小，值越小，列出式子求值即可得出答案． 【详解】（1）， 点，关于直线对称， ． ， 联立，得 解得． ； 故答案为：； （2）点，在直线两侧，且， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ，． ， ，即． ， 点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远， ， ， 解得， ， ， ， 即． 由题意知当时，有最大值0， ，即， 的取值范围是． 故答案为：． 模块四 课后作业 1．将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，抛物线平移时，向下平移改变y值，向左平移改变x值，先求原顶点坐标，再根据平移方向计算新顶点，最后写出新解析式． 【详解】解：∵ 原抛物线 的顶点为 ， ∴ 向下平移4个单位后，顶点变为 ， ∴ 再向左平移3个单位后，顶点变为 ， ∴ 新抛物线的解析式为 ， 故选A． 2．已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据解析式可得对称轴，当时，函数图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，当时，函数图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，据此根据讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，则函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，则函数图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得． 3．若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则___． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，根据对称性求出对称轴，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称， ∴； 故答案为：1． 12． 4．已知点在抛物线上，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】首先根据抛物线的开口方向以及图象上点的坐标和,将各点代入，进而得出的取值范围. 【详解】分别将点代入得: ，， ， 因为， 所以， 解之的取值范围是：， 故答案为：． 5．在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P（3，1）、Q（9，1），若抛物线与线段PQ有交点，则a 的取值范围是______． 【答案】 【分析】由可得抛物线随值的变化左右移动，分别求出抛物线经过点P，Q所对应的的值即可． 【详解】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为(，0)， 当对称轴在点P左侧时，， 把P（3，1）代入得， 解得或(舍去)， 当对称轴在点P右侧时，， 把Q（9，1），代入得， 解得或(舍去)， ∴当时，抛物线与线段PQ有交点， 故答案为： 6．抛物线的开口方向是_________，顶点坐标是___________，对称轴是直线___________．当x__________时，函数y随x的增大而增大；当x__________时，函数y随x的增大而减小． 【答案】 向下 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，主要包括：抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，函数的增减性，理解和掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式性质，结合条件，直接得出开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性． 【详解】解：由抛物线是顶点式，可写为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而减小． 故答案为：向下；，，，． 7．已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为，则常数h的值为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质和最值，掌握根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 根据二次函数的开口方向和对称轴，得到函数的增减性，分类讨论h的取值范围，利用函数在的范围上的最大值为列方程，即可求解． 【详解】解： 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①若，二次函数在的范围内，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值， 即， 解得或（不合题意舍去）； ②若，二次函数在的范围内，y随x的增大而增大，在的范围内，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值，最大值为0，不合题意； ③若，二次函数在的范围内，y随x的增大而增大， 则当时，y有最大值， 即， 解得或（不合题意舍去）； 综上所述，常数h的值为或． 故答案为：或． 8．将抛物线：向左平移（）个单位长度后，再向下平移个单位长度，得到新的抛物线，若，，为抛物线图象上的三点，则，，的大小关系________．（请用“”表示） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据平移的性质先求得新的抛物线的解析式，得到对称轴为直线，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得新的抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，，为抛物线图象上的三点， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∵抛物线的开口向上， ∴， 故答案为：． 9．已知抛物线经过点，解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 【答案】(1)此抛物线的解析式为 (2)①向上；；；②；③，小， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数图像和性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图像和性质即可得出． 【详解】（1）解：把代入解析式得： ， 解得， ∴此抛物线的解析式为：； （2）①∵， ∴所以此抛物线开口向上； ∵顶点为，对称轴为， ∴此抛物线顶点坐标是；对称轴是； ②∵此抛物线开口向上，对称轴是， ∴当时，y 随 x 的增大而减小； ③∵，顶点坐标是， ∴当 时，函数有最小值为； 故答案为：①向上；；；②；③，小，． 10．已知二次函数 (1)若该函数的图象经过点求二次函数的解析式； (2)若点和是该函数图象上的两个点 ①当时，求m的取值范围； ②若M、N两点分别在对称轴的两侧，当时，该函数最大值与最小值差为1，请直接写出a的取值范围____________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将点代入，用待定系数法求解即可； （2）①将和代入得，由得：，再求解即可； ②因为点和在对称轴的两侧，所以：，解得．在上，函数在处取得最小值．最大值与最小值之差为1，所以最大值为0，且最大值在端点或处取得．再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得： 解得， 所以二次函数解析式为； （2）解：①点和在图象上，则： ， 由得：， 两边消去并除以正数得：， 展开得，化简得：， ， ， 所以的取值范围是； ②因为点和在对称轴的两侧，所以：， 解得． 在上，函数在处取得最小值．最大值与最小值之差为1， 所以最大值为0，且最大值在端点或处取得． 情况一：当时取得最大值0则：， 解得．同时，当时函数值不超过0：， 代入得：， 因为，两边乘以得： 展开化简得， 即． 结合，得． 此时，当从增大到时，从增大到（因为且可取）， 所以． 情况二：当时取得最大值0则：， 解得． 同时，当时函数值不超过0：， 代入得：， 因为，两边乘以得：， 展开化简得， 即． 结合，得． 此时，当从增大到2时，从减小到（因为且可取）， 所以． 综合两种情况，的取值范围是． 故答案为：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $