专题2.9 对数与对数函数（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦对数与对数函数核心考点，涵盖对数运算、函数图象与性质、指对幂数比较大小等高考高频内容，按“概念-运算-性质-应用”逻辑层次梳理知识点，通过考点精讲、方法归纳、真题演练三步教学环节，帮助学生系统构建知识网络，突破运算技巧与性质应用难点。 讲义创新采用“题型归类+变式拓展”教学策略，如在对数运算题型中结合换底公式推论设计梯度训练，培养学生数学思维与运算能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合近三年高考真题解析，确保学生在有限时间内掌握解题规律，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

专题2.9 对数与对数函数（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数 (2)通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点 (3)了解指数函数y=ax（a>0且a≠1）与对数函数y=logax（a>0且a≠1）互为反函数 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 对数与对数函数 新课标I卷：第6题，5分 北京卷：第7题，4分 全国一卷：第8题，5分 北京卷：第9题，4分 天津卷：第6题，5分 命题规律分析 1、对数与对数函数 对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要考查对数的运算、对数函数的性质及应用；对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，考查内容包括：比较指对幂数的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考察，难度较易。 考点1 对数与对数函数 知识点1 对数运算的解题策略 1．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 2．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 知识点2 对数函数的常见问题及解题思路 1．比较对数式的大小 比较对数式的大小的方法是：(1)底数相同的，直接利用对数函数的单调性比较大小； (2)底数不同的，利用换底公式化成同底数的对数式，再利用对数函数的单调性比较大小. 2．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 3．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【题型1 对数的运算】 【例1】（2026·浙江金华·一模）已知，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】C 【解题思路】利用换底公式转化，进行求解即可. 【解答过程】， 所以，则，解得. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【解答过程】由可得：. 则 . 故选：C. 【变式1-2】（2026·四川绵阳·一模）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的2.5倍经过了10天，则增长为原来的5倍需要经过的天数约为（    ）（参考数据：） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】C 【解题思路】根据已知可得，进而可得，利用指对数关系、对数的运算性质、换底公式求n即可. 【解答过程】若原来蓝藻数量为，则，可得， 令经过天后蓝藻增长为原来的5倍，则，即， 可得天. 故选：C. 【变式1-3】（2026·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合对数运算性质即可得解． 【解答过程】由对数运算性质可得， 故选：D． 【题型2 对数函数的图象及应用】 【例2】（2026·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论. 【解答过程】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 【变式2-1】（2026·河北廊坊·一模）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可． 【解答过程】解：，定义域为， ，解得或， 过和，故CD不符合题意； 又时，， 所以A不符合题意，B符合题意． 故选：B. 【变式2-2】（2026·福建泉州·模拟预测）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【解答过程】令，得， 在同一坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数的图象与直线交点的纵坐标， 观察图象得，当时，；当时，；当时，， 因此ABC都可能，D不可能. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高一上·湖南益阳·期末）已知函数，则它的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由奇偶性的定义及时函数值符号，应用排除法即可得. 【解答过程】由题设，函数的定义域为，且， 所以为奇函数，排除B、D， 当时，，故，排除C. 故选：A. 【题型3 比较指对幂数的大小】 【例3】（2026·天津河西·三模）设，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质，分别求得，和，即可求解. 【解答过程】由指数函数的性质，可得，即， 且，即， 又由对数函数的性质，可得，即， 所以. 故选：D. 【变式3-1】（2026·河南·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用对数函数、指数函数的单调性，结合换底公式比较大小. 【解答过程】由对数换底公式得： ， ， 因为是增函数，且， 所以： ，即， 指数函数是减函数，因此，即， 综上可得. 故选：A. 【变式3-2】（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数函数的单调性分别计算的范围即可求解． 【解答过程】对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 综上可得． 故选：D. 【变式3-3】（2026·广东深圳·模拟预测）若，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通过对数函数的单调性判断与的大小，利用幂函数的单调性判断与的大小，从而确定正确选项. 【解答过程】由对数函数 在上单调递减， 得 ，即； 由对数函数在上单调递增， 得 ，即，因此. 由幂函数在上单调递减， 得，即. 综上，且. 故选：C. 【题型4 解对数不等式】 【例4】（2026·天津滨海新区·三模）已知：，：，则是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据对数函数的单调性及分式不等式的解法解不等式，再结集合间的关系判断求解. 【解答过程】因为，， 因为是的真子集， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式4-1】（2026·山东枣庄·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解不等式求得集合，进而求得. 【解答过程】由，解得，所以. 易知，所以. 所以. 故选：B． 【变式4-2】（2026·辽宁大连·模拟预测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用、在上的单调性，且求不等式的解集. 【解答过程】由，即且， 、在上分别单调递减、单调递增，且， 当时，，当时，， 由在上能成立，则，故原不等式的解集为. 故选：C． 【变式4-3】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 【答案】B 【解题思路】首先化简函数，再判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质解不等式. 【解答过程】， 设，，所以为偶函数， 所以，是偶函数， 当时，， 所以在单调递增，根据复合函数单调性可知，在单调递增， 所以不等式， 即，两边平方，整理为， 解得：或 所以不等式的解集为. 故选：B． 【题型5 对数（型）函数的单调性问题】 【例5】（2026·河北沧州·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据复合函数“同增异减”的性质，结合对数函数与二次函数的性质确定的取值范围. 【解答过程】因为函数在区间上单调递增， 令，而函数在定义域内单调递减， 所以在区间上单调递减， 又因为，有恒成立， 则，求解可得 所以． 故选：D. 【变式5-1】（2026·湖南·二模）已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复合函数“同增异减”的性质，得到在上单调递减，即可得解. 【解答过程】由得，所以，又且，所以， 而 的定义域为，处无定义， 当时，，因为，所以对数函数在上单调递增； 当时，， 根据复合函数性质得，内层在单调递减， 外层单调递增，因此在上单调递减. 则的递增区间是． 故选：C. 【变式5-2】（2026·陕西·模拟预测）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复合函数以及对数函数的单调性，可得内层二次函数的单调性，根据二次函数以及对数函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【解答过程】由题意，且在上单调递增， 则函数在上单调递减， 可得，即，解得. 故选：B. 【变式5-3】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【解题思路】先得出定义域，再应用偶函数定义判断偶函数，再结合对数复合函数单调性即可求解. 【解答过程】的定义域为， 因为，所以，即为偶函数， 当时，则， 由复合函数的单调性质得：在上单调递增，单调递增， 所以在上单调递增. 故选：C. 【题型6 对数函数性质的综合应用】 【例6】（2026·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 【答案】C 【解题思路】根据真数大于0，化简计算，即可判断A的正误；根据复合函数单调性“同增异减”，可判断B的正误；根据x的范围，可求得真数的范围，根据对数函数性质，可判断C的正误；根据奇函数的定义，化简整理，即可判定D的正误，即可得答案. 【解答过程】选项A：由题意，即， 所以，即，解得，故A正确； 选项B：令， 当时，单调递减， 所以在上单调递增， 又当时，函数在上单调递增， 根据复合函数单调性原则可知在上单调递增，故B正确； 选项C：因为，所以， 则，所以， 则， 所以值域为，故C错误； 选项D：因为定义域为关于原点对称，且， 所以， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故D正确. 故选：C. 【变式6-1】（2026·海南·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 【答案】B 【解题思路】先求出当时，的值域为，分析出要使的值域为，必须让时，的值域取到的所有值，然后分和两种情况分别求出的值域即可得解. 【解答过程】当时，的值域为， 所以要使的值域为，当时， 的值域需取到的所有值. 若，则的值域为， 所以只须，解得， 所以当时，的值域为； 若，则的值域为， 此时的值域不可能取到的所有值， 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式6-2】（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数，. (1)求函数的值域及单调区间； (2)若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 【答案】(1)的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为； (2). 【解题思路】（1）化简得，利用换元法及二次函数的性质求解即可； （2）化简得在上有解，由，得，从而得，利用对勾函数的性质求解即可. 【解答过程】（1）， 设，， 所以， 所以即为， 又因为， 所以的值域为； 且在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为； （2）因为， 令， 则原不等式等价于在上有解， 即在上有解， 又因为，得， 所以， 由对勾函数的性质可知， 所以， 所以实数k的取值范围为. 【变式6-3】（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知，且，且． (1)求a的值及的单调区间. (2)若对于，，使得成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)，函数在上单调递增，在上单调递减； (2). 【解题思路】（1）先由求出的值，再由复合函数单调性，同增异减，求出的单调区间. （2）构造，分别求出即，，不等式成立， 即，可求出实数t的取值范围. 【解答过程】（1）由得，即， 所以，所以， 所以， 因为，所以，故的定义域为； ， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数为增函数， 由复合函数的单调性可得：函数在上单调递增，在上单调递减． （2）令， ，，使得，即， 其中由（1）知， 又在上单调递增， ， ，． 一、单选题 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据对数的真数大于0，即可求出函数的定义域. 【解答过程】解：由题意可知，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 2．（2026·四川自贡·一模）已知，若，，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用对数运算性质及指数运算求解. 【解答过程】由，得，由，得， 则，即，又，因此，即，解得， 所以. 故选：A. 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先确定的范围，再确定的范围，将化为同底，根据对数函数单调性比较大小. 【解答过程】因为， ， ， 且，所以. 故选：D. 4．（2026·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的增函数．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合函数单调性得，再结合对数函数单调性解不等式即可. 【解答过程】因为函数是定义在上的增函数， 所以， 所以，解得，即x的取值范围是. 故选：B. 5．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通过图象的单调性判断出，再通过时的函数值小于e判断出，最后结合指数函数图象的性质比较与的大小，对于D，取特值即可证明有可能成立. 【解答过程】对于A，由图象知函数单调递增,故，A一定成立； 对于B，且，则,进而，B一定成立； 对于C，由A,B已得，，则，故一定不成立； 对于D，若，则，故有可能成立. 故选：C. 6．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 【答案】B 【解题思路】根据给定方程计算瞬时风速对应的风力等级，结合对数运算及指对互化运算即可求解． 【解答过程】将轮毂高度瞬时风速代入，得， 由知，，则， 所以， 又，所以， 所以． 故选：B. 7．（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解. 【解答过程】若，则在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得； 若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 的值域不可能为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：B. 8．（2026·四川成都·三模）已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，得到函数的图象关于直线对称，进而推得函数也是周期等于的函数，化简得到，结合对数函数的单调性，即可求解. 【解答过程】因为是定义在上的偶函数，可得， 所以函数的图象关于直线对称，则有， 再由是定义在上的周期为2的函数， 可得函数也是周期等于2的函数， 所以， 又因为时，是增函数，可得． 故选：D. 二、多选题 9．（2026·湖南·三模）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】由对数函数的性质判断A，C；由基本不等式判断B；由判断D． 【解答过程】由于，则，，所以A，C正确； ，由A可知，所以此处等号不能取，所以，故B正确； ，D错误． 故选：ABC. 10．（2026·广东深圳·模拟预测）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】根据题意单调递减，且，结合复合函数单调性求出答案. 【解答过程】的图象经过第二、三、四象限， 故单调递减，且，解得， 根据复合函数单调性可知，单调递减，故. 故选：BD. 11．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数，则（     ） A．的定义域为 B．在单调递减 C．的图像关于直线对称 D．有最大值 【答案】ACD 【解题思路】根据对数函数的定义域判断A，应用对数及二次函数复合的单调性及最值判断B,D，根据二次函数的对称性判断复合函数的对称性判断C. 【解答过程】，解得， 即的定义域为，A选项正确． ，令，则． 二次函数的图象的对称轴为直线， 又的定义域为的图象关于直线对称．C选项正确． 由复合函数单调性法则知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误． 当时，有最大值，，D选项正确． 故选：ACD. 三、填空题 12．（2026·北京顺义·一模）函数的定义域为__________. 【答案】 【解题思路】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案. 【解答过程】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 故答案为：. 13．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【答案】 【解题思路】由对数函数性质确定，，进而得到，再结合基本不等式即可求解. 【解答过程】当时，，所以函数的图象过定点， 所以，，代入得. 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立. 故答案为：. 14．（2026·宁夏银川·三模）在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：℃）之间满足：（其中，为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为小时，在的环境下保鲜时间为小时.若该蔬菜运输总物流时间为小时，为保障运输安全，要求保鲜时间不少于运输时长的倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度的最大整数数值为__________.（参考数据：，，） 【答案】 【解题思路】把与的值直接代入得到关于、的方程组，解出参数的值；根据保鲜的实际要求列出不等式；对其两边取自然对数转化为不等式，结合的值即可解出的取值范围，并从中确定的最大数值. 【解答过程】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（，为常数）. 当时，，代入得①， 当时，，代入得②， 将①②化简可得，即，解得， 由运输要求，即， 又因，所以 ， 即 ，而， 其中 ， 所以， 代入可得，因此， 解得. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最大整数值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·上海·模拟预测）已知（且）． (1)若，解方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）将代入函数，再代入方程中，结合对数函数的运算化简即可得关于的方程,解方程即可求解； （2）根据对数函数的性质，分和两种情况讨论，由单调性解不等式即可求得的取值范围. 【解答过程】（1）当时，则， 因为， 所以， 化简可得， 即， 化简得， 所以， 所以或，解得或； （2）由，且， 若，则，， 若，则，， 综上，的取值范围是． 16．（2026·山西吕梁·模拟预测）已知函数． (1)若是偶函数，求实数的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出的定义域，再利用奇偶函数的性质，即可求解； （2）根据条件，利用对数的运算及对数函数的性质得，再结合函数的定义域，即可求解. 【解答过程】（1）由，解得，所以的定义域为， 又是偶函数，则的定义域关于原点对称，所以，即实数的值为. （2）由（1）知的定义域为，由， 得到， 即， 则，解得， 所以不等式的解集为. 17．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）将对数型方程转化为只有一个正根，就结合判别式的符号分类讨论后可得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，因为， 所以，即， 解得，所以所求解集为； （2）因为， 由，得只有一个正根， 若，满足题意； 当时， 若，解是， 此时方程仅有一个实根为，满足题意； 若，即，此时方程的两根之积为，所以方程两根只能异号， 所以，可得，此时方程只有一个正根，满足题意； 综上，或， 所以实数的取值范围是：. 18．（2025·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 【答案】(1)存在实数，使得函数是偶函数 (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解题思路】（1）根据偶函数的定义可求解. （2）先根据对数函数的单调性和定义域列出不等式组；再结合且，分类讨论即可求解. 【解答过程】（1）存在实数，使得函数是偶函数. 要使函数有意义，须满足，即， 显然，即，函数的定义域. 当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，此时函数不是偶函数. 当时，， 函数的定义域为，对于任意的，都有， 并且 因此函数是一个偶函数 综上所述，存在实数，使得函数是偶函数 （2）由，得 所以且①． 由①得，. 因为且， 所以当时，， 当时，. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)求的单调性； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)定义域为 (2)当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为，减区间为 (3)的取值范围为 【解题思路】（1）先根据对数式要求真数大于 0，列出不等式组，再求解交集即可得到函数定义域； （2）先利用对数运算公式合并解析式，拆分内外层函数，再根据复合函数同增异减规律，按底数范围分类讨论，最后判定区间增减性即可； （3）先把函数零点转化为对应方程解的个数，再结合函数值域与图像交点关系，数形结合确定参数取值边界即可得解. 【解答过程】（1）由题意知， 解得：，即 ， 所以函数 的定义域为 . （2） ， 定义域为 ， 令 ，则 ， 当 时： 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 单调递增， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时： 在 上单调递增，在 上单调递减， 则 单调递减， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 综上： 当 时， 在上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. （3）当 时， ，定义域为 ， 因为 有两个零点，则 在 上有两个不同的解， 即： ， 令 ，，则 ，因此： ， 要使方程 有两个不同解， 即直线 与函数 的图像有两个交点， 则，即 ， 所以实数 的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.9 对数与对数函数（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数 (2)通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点 (3)了解指数函数y=ax（a>0且a≠1）与对数函数y=logax（a>0且a≠1）互为反函数 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 对数与对数函数 新课标I卷：第6题，5分 北京卷：第7题，4分 全国一卷：第8题，5分 北京卷：第9题，4分 天津卷：第6题，5分 命题规律分析 1、对数与对数函数 对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要考查对数的运算、对数函数的性质及应用；对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，考查内容包括：比较指对幂数的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考察，难度较易。 考点1 对数与对数函数 知识点1 对数运算的解题策略 1．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 2．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 知识点2 对数函数的常见问题及解题思路 1．比较对数式的大小 比较对数式的大小的方法是：(1)底数相同的，直接利用对数函数的单调性比较大小； (2)底数不同的，利用换底公式化成同底数的对数式，再利用对数函数的单调性比较大小. 2．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 3．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【题型1 对数的运算】 【例1】（2026·浙江金华·一模）已知，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 【变式1-1】（25-26高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·四川绵阳·一模）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的2.5倍经过了10天，则增长为原来的5倍需要经过的天数约为（    ）（参考数据：） A．12 B．15 C．18 D．20 【变式1-3】（2026·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【题型2 对数函数的图象及应用】 【例2】（2026·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·河北廊坊·一模）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·福建泉州·模拟预测）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·湖南益阳·期末）已知函数，则它的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 【题型3 比较指对幂数的大小】 【例3】（2026·天津河西·三模）设，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·河南·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·湖北武汉·三模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·广东深圳·模拟预测）若，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 解对数不等式】 【例4】（2026·天津滨海新区·三模）已知：，：，则是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-1】（2026·山东枣庄·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·辽宁大连·模拟预测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 【题型5 对数（型）函数的单调性问题】 【例5】（2026·河北沧州·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·湖南·二模）已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·陕西·模拟预测）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【题型6 对数函数性质的综合应用】 【例6】（2026·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 【变式6-1】（2026·海南·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 【变式6-2】（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数，. (1)求函数的值域及单调区间； (2)若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 【变式6-3】（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知，且，且． (1)求a的值及的单调区间. (2)若对于，，使得成立，求实数t的取值范围. 一、单选题 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川自贡·一模）已知，若，，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的增函数．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 7．（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．（2026·四川成都·三模）已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·湖南·三模）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·广东深圳·模拟预测）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数，则（     ） A．的定义域为 B．在单调递减 C．的图像关于直线对称 D．有最大值 三、填空题 12．（2026·北京顺义·一模）函数的定义域为__________. 13．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 14．（2026·宁夏银川·三模）在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：℃）之间满足：（其中，为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为小时，在的环境下保鲜时间为小时.若该蔬菜运输总物流时间为小时，为保障运输安全，要求保鲜时间不少于运输时长的倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度的最大整数数值为__________.（参考数据：，，） 四、解答题 15．（2026·上海·模拟预测）已知（且）． (1)若，解方程； (2)若，求的取值范围． 16．（2026·山西吕梁·模拟预测）已知函数． (1)若是偶函数，求实数的值； (2)解不等式． 17．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 18．（2025·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 19．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)求的单调性； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $