专题2.3 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性、奇偶性、对称性与周期性核心考点，按知识点内在逻辑系统梳理，通过考点分析、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破性质综合应用难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用“举一反三”分层训练模式，结合近三年高考真题统计，运用数形结合、转化思想等策略，如复合函数单调性“同增异减”的方法指导，培养学生数学思维与应用意识。设置基础到综合的练习，配合即时反馈，保障复习效果，助力教师把控节奏，提升学生应考能力。

专题2.3 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义 (2)结合具体函数，了解奇偶性和对称性的概念和几何意义 (3)了解周期性的概念和几何意义 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性 新课标I卷：第6题，5分 新课标Ⅱ卷：第8题，5分 全国一卷：第5题，5分 全国二卷：第10题，6分 天津卷：第3题，5分 全国一卷：第19题，17分 全国二卷：第8题，5分 上海卷（秋考）：第5题，4分 上海卷（秋考）：第21题，18分 北京卷：第5题，5分 命题规律分析 1、函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性 函数的性质是历年高考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想。题型主要以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中渗透考查；对于选择题和填空题部分，重点考查函数的单调性问题，以及求函数的最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，侧重考查函数新定义，试题综合性强，考查难度较大。 考点1 函数的性质 知识点1 函数的单调性 1．求函数的单调区间 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)复合函数的单调性：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 知识点2 函数的最值的求法 1．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 2．复杂函数求最值： 对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 知识点3 函数的奇偶性及其应用 1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 3．常见奇偶性函数模型 (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 知识点4 函数的周期性与对称性的常用结论 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【题型1 确定函数的单调性（区间）】 【例1】（2026·山西·模拟预测）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将函数用分段函数表示出来，进而求出其单调递减区间. 【解答过程】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【解答过程】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【解答过程】因为函数在区间上均单调递增，所以当时，单调递增，所以A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 【变式1-3】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【解题思路】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【解答过程】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A. 【题型2 根据函数的单调性求参数】 【例2】（2026·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【解答过程】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 【变式2-1】（2026·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对勾函数的单调性，即可求解. 【解答过程】当时，为单调递增函数，不符合题意， 当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意， 当时，在单调递增，在单调递减， 故在上单调递减，则， 故选：C. 【变式2-2】（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-3】（2026·安徽合肥·一模）若是上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分类讨论及的的单调性，再注意分段函数的内部衔接点的大小关系，即可得到的取值范围． 【解答过程】当时，若为单调递增函数，则； 当时，为单调递增函数， 若是上的增函数，需有，解得． 故选：B． 【题型3 求函数的最值】 【例3】（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【解答过程】当时，，当且仅当时取等号. 当时，在上单调递减，此时的值域为， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 故选：D． 【变式3-1】（2026·湖南·模拟预测）已知函数，则“，”是“在上的最小值为2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据充分、必要条件的判断方法，结合函数最小值的概念进行判断. 【解答过程】先判断充分性：若函数在的最小值为3， 则“，”成立，但“在上的最小值为2”不成立， 所以“，”不是“在上的最小值为2”的充分条件. 再判断必要性：“在上的最小值为2”时，可得“，”成立， 所以“，”是“在上的最小值为2”的必要条件. 综上：“，”是“在上的最小值为2”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【解答过程】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A. 【变式3-3】（25-26高一上·河北张家口·期末）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据分式型函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】，该函数在上单调递增， 所以， 故选：B. 【题型4 函数单调性的应用：比较大小、解不等式】 【例4】（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，得到函数在上单调递增，再由的图象关于对称，求得，，结合，即可求解. 【解答过程】由函数的定义域为，当时，恒成立， 可得函数在上单调递增， 又由函数的图象关于对称，可得，， 则有，即. 故选：D. 【变式4-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【解答过程】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高一·江苏·寒假作业）已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，可得函数是周期为的函数，化简可得，，，根据函数单调性即可比较大小. 【解答过程】由题意，，则， 又，所以，变形可得， 用替换其中的，可得，所以， 所以函数的周期为， 所以，， ，又，所以， 又函数在内单调递增，所以， 即. 故选：A. 【变式4-3】（2026·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对进行变形，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【解答过程】由可得，设函数，， 则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数，在上单调递减， 而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 故选：B. 【题型5 函数的奇偶性及应用】 【例5】（2026·山东潍坊·三模）已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 【答案】D 【解题思路】根据奇函数的性质求出的值，进而求解即可． 【解答过程】由， 则， 又函数为上的奇函数，则， 即对任意成立， 整理得 所以，即，结合，解得， 所以，即． 故选：D. 【变式5-1】（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】B 【解题思路】首先根据可求出的周期，再结合可求出值，结合周期性可将转化到自变量在区间上的函数值，根据奇函数的性质及已知解析式可求解. 【解答过程】因为函数满足， 所以，即是以4为周期的函数. 由题意知奇函数的自变量可取0，所以. 又因为当时，，所以，解得， 所以当时，， 所以 . 故选：B. 【变式5-2】（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案. 【解答过程】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 故选：A. 【变式5-3】（2026·安徽安庆·三模）定义在上的偶函数，当时，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用偶函数性质求出函数在上的分段表达式并明确其在上单调递增，再由单调性将转化为，最后解绝对值不等式得到的取值范围． 【解答过程】当时，，， 又是定义在上的偶函数，所以， 所以，如图所示， 因为，所以，解得， 所以满足的的取值范围是． 故选：A. 【题型6 函数的周期性及应用】 【例6】（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】根据函数的周期性和奇偶性即可求解. 【解答过程】已知是定义在上且周期为的奇函数，所以有， 令，得， 由于是奇函数，有，所以，即，解得， 当时，，由于，所以， 因此，故B正确. 故选：B. 【变式6-1】（2026·江西·模拟预测）已知是定义在上周期为4的奇函数，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据周期性和奇偶性求解. 【解答过程】因为周期为4，所以， 令 ，得到 又因为是定义在上的奇函数，所以， 令，即， 所以，即，即. 故选：B． 【变式6-2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用奇偶函数的定义及周期函数的定义确定函数的周期，进而求出指定函数值. 【解答过程】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，则， 由是奇函数，得，因此， 则，因此， 函数是一个周期为4的函数，且， 所以. 故选：B. 【变式6-3】（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【解题思路】利用函数的周期性求解. 【解答过程】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：， ， . 故选：B. 【题型7 函数的对称性】 【例7】（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】C 【解题思路】先求出函数定义域，再根据对称性得出，再代入解析式得出，最后代回验证即可. 【解答过程】令，由，得或，故函数的定义域为． 由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，则， 此时必有，即，解得， 此时， 因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，故． 故选：C. 【变式7-1】（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意得，，即可得解. 【解答过程】由题意得，，， 则， 则的图象的对称中心是， 故选：A. 【变式7-2】（2026·湖北宜昌·二模）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【解题思路】求出函数的定义域，利用对称性的特征可得，再利用求解，最后得到即可. 【解答过程】函数的定义域满足，即， 由函数的图象关于直线对称，得的定义域关于对称， 则的解集只能为，故. 由，得， 故，即得 则，解得，故. 故选：C. 【变式7-3】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【解答过程】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以 ． 又因为，所以． 所以，所以. 故选：A. 【题型8 函数性质的综合应用】 【例8】（2026·山东聊城·三模）已知函数，的定义域均为R，且，，若是偶函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解题思路】联立两个函数关系式消去，推导得出的对称轴，结合偶函数性质推出函数周期，利用周期性和对称性求出，再代入关系式求出，最终计算目标值. 【解答过程】由得. 又因，则有， 即，故函数的图象关于直线对称. 又是偶函数，其图象关于直线对称. 故的一个周期为. 由得. 在中令，得. 由得. 因此. 故选：D. 【变式8-1】（2026·湖南·三模）已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】由奇函数定义可得，由对称性性质可得，再证明函数为周期为的周期函数，结合周期性性质和奇函数性质求结论. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数， 所以， 因为的图象关于对称， ， 令可得，， 所以，故函数的一个周期为4， 所以． 故选：C. 【变式8-2】（2026·四川成都·三模）已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，得到函数的图象关于直线对称，进而推得函数也是周期等于的函数，化简得到，结合对数函数的单调性，即可求解. 【解答过程】因为是定义在上的偶函数，可得， 所以函数的图象关于直线对称，则有， 再由是定义在上的周期为2的函数， 可得函数也是周期等于2的函数， 所以， 又因为时，是增函数，可得． 故选：D. 【变式8-3】（2026·吉林·三模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．的最小正周期为4 D．在上单调递增 【答案】B 【解题思路】通过对和的平移换元，结合函数的奇偶性与周期性，转化出自身的对称轴和对称中心，进而推导出其奇偶性与周期性. 【解答过程】因为为偶函数，所以， 将替换为，则有①， 因为为奇函数，所以， 将替换为，则有， 再将替换为，则有②， 将替换为，则有③， 结合①③得④， 结合②④得，因此为偶函数，选项A错误，B正确； 因为，结合偶函数，将替换为得， 则，即2为的周期，选项C错误， 对于D选项，如满足偶函数且周期为2， 但不满足在上单调递增. 故选：B. 【题型9 抽象函数的性质】 【例9】（2026·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用代换，可得，联立方程组，求得，结合函数为偶函数，且，得到，可则是周期为的函数，令，求得，结合，即可求解. 【解答过程】由，用代换，可得， 联立方程组，可得，即， 又由函数为偶函数，且，可得与同号， 所以，可得函数是周期为的函数， 因为，与同号，则， 令，可得，所以， 则. 故选：C. 【变式9-1】（2026·河南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【解题思路】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解. 【解答过程】令，则， 因为是定义在上的奇函数， 所以，则. 故选：C. 【变式9-2】（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．在区间是单调递增函数 【答案】C 【解题思路】赋值法可判断A，利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC，由函数的特例可判断D. 【解答过程】令，则， 所以，因为当时，， 所以， 令，所以， 即，解得：，故A错误； 由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，即 令代换，则，即， 所以，令代换，所以，故B错误； 由将代入， 可得，化简可得， 所以为奇函数，故C正确； 令，则，解得：，，故D错误. 故选：C. 【变式9-3】（2026·陕西安康·模拟预测）已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的一个对称中心为 B． C．函数为周期函数，且一个周期为4 D． 【答案】C 【解题思路】对于A，由为奇函数，则，再将代入化简可求出对称中心；对于B，由选项A可得，再由为偶函数可得，令可求出；对于C，由的图象关于点对称，结合求出进行判断；对于D，利用赋值法求解判断. 【解答过程】对于A，因为为奇函数， 所以，即， 所以，所以， 所以函数的图象关于点对称，所以A正确， 对于B，在中，令，得，得， 因为函数为偶函数，所以， 所以， 所以， 令，则，所以，得，所以B正确， 对于C，因为函数的图象关于点对称，， 所以，所以， 所以4不是的周期，所以C错误， 对于D，在中令，则， 令，则，因为，所以， 因为，所以，所以D正确， 故选：C. 【题型10 函数新定义】 【例10】（2026·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【解题思路】由新定义赋值得的图象关于直线对称，进一步赋值得为奇函数，是周期为8的周期函数，故只需求出的值即可. 【解答过程】令，则，所以； 令，则， 所以的图象关于直线对称； 令，则， 因为不恒成立，所以恒成立，所以为奇函数， 所以，所以， 所以是周期为8的周期函数，令，则， 解得，又为奇函数，所以， 所以. 故选：A. 【变式10-1】（2026·上海闵行·一模）如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“－关系”的为（ ） A．：对任意都有 B．：对任意都有 C．：对任意都有 D．：对任意都有 【答案】C 【解题思路】由为偶函数，得，结合“－关系”的定义可得出答案． 【解答过程】由为偶函数，得 对于选项A：“”为假命题，“”也为假命题，故A错误； 对于选项B∶ 由 得成立，故“”为真命题， 而由对任意恒成立，将替换为，得对任意恒成立， 从而成立，所以“”也为真命题，故B错误； 对于选项C：当时，，，此时不成立，只有非负的情况下才会成立，即“”为假命题， 而由：，用替换得，又因，故，所以成立， 所以“”为真命题，故C正确； 对于选项D：“”为真命题， 由于由，用替换得，故， 所以“”也为真命题，故D错误； 故选：C． 【变式10-2】（2026·上海·三模）设，对于定义域为D的函数与，，若函数是区间D上的单调函数，则称与在区间D上满足“性质”． (1)设，，，若与在区间D上满足“性质”，求t的取值范围； (2)设，，，．若与在区间D上满足“性质”，求的取值范围； (3)设，若对任意s、t，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数A、B，使得函数为常值函数． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）先求出，根据单调可得对称轴的位置关系，故可求参数的取值范围； （2）依据单调性定义可得在上恒成立，其中，据此可求的取值范围； （3）利用性质对任意s、t成立，先取和知与均单调，假设不存在不全为零的实数A、B使得函数为常值函数，则存在两点使与的增量比值不同，从而可构造s、t使在两点处单调性相反，产生矛盾，因此必存在线性组合为常值函数. 【解答过程】（1）因为，在区间D上满足“性质”， 故在上为单调函数， 因为为开口向上的抛物线，对称轴为，故，即． （2）由题设有在上为单调函数， 设任意，， 则， 因为，，故，， 而为上的单调函数， 故在上恒成立或在上恒成立， 而，，故或，故或． （3）若函数为常值函数，取； 同理，若函数是常值函数，取； 因此，以下考虑函数与都不为常值函数的情况． 分别取和，可以得到函数与， 不妨设函数与都是增函数（否则，若函数为减函数，将替换为）．由于函数与都不为常值函数， 因此存在，使得且， 令，其中． 首先证明：对任意都有． 反证法：假设存在使得，其中且， 不妨设，取，，对于函数， 则， ， 因此，，与是单调函数矛盾． 同理可以证明对任意都有， 因此，对任意，， 所以为常值函数， 取，则A、B不全为零，且为常值函数．得证. 【变式10-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：若定义域为R的连续函数满足对任意，当时，都有＜，则称函数为“绝对值严格增函数”． (1)若为“绝对值严格增函数”，试判断是否可能具有周期性； (2)求证：为“绝对值严格增函数”是 始终在图像上方的充要条件； (3)若“绝对值严格增函数”的值域为且在上为严格增函数，试讨论的奇偶性． 【答案】(1)不可能 (2)证明见解析 (3)当时，为偶函数；当时，为奇函数 【解题思路】第（1）问可用反证法，取与周期的整数倍作比较即可. 第（2）问先由定义得到为“绝对值严格增函数”等价于，再将化为关于的不等式，结合与特殊点即可证明两者等价. 第（3）问先利用定义与连续性证明对任意都有，再结合值域与在上的单调性分类讨论：当时，函数值恒非负，从而为偶函数；当时，再用反证法证明的零点与奇偶情况. 【解答过程】（1）不可能. 假设具有周期性，设是它的一个周期，则对任意正整数，都有. 由于，而为“绝对值严格增函数”，所以.又，矛盾. 因此不可能具有周期性. (2)先证为“绝对值严格增函数”等价于. 若，当时，有，即，所以为“绝对值严格增函数”. 反之，若为“绝对值严格增函数”，有，取，则，所以. 再证始终在图像上方等价于. 当时，等价于. 令，则，且，于是上式等价于， 进一步化简得. 若，由， 可得. 所以恒成立. 反之，若始终在图像上方，则对任意恒成立. 取，得，化简得，所以. 综上，为“绝对值严格增函数”是始终在图像上方的充要条件. （3）设，其中.由于为“绝对值严格增函数”， 当时，有. 于是. 固定，令，其中，再令， 由连续性可得， 故，即对任意，都有. 下面分类讨论. 当时，的值域为，故对任意，都有. 于是由可得，所以为偶函数. 当时，由值域为知既取负值又取正值. 又连续，所以存在，使得，存在，. 若，则由可得，矛盾. 故，且是的唯一零点. 因为在上为严格增函数，且，所以当时，. 若存在，则在与之间存在，， 与是的唯一零点矛盾,则时，. 则，即是奇函数，值域关于原点对称，故. 综上，当时，为偶函数；当时，为奇函数. 一、单选题 1．（2026·山东·模拟预测）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】由为奇函数，得，令即可求解． 【解答过程】由为奇函数，得， 令，得， 得，由， 得． 故选：A. 2．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【解答过程】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 3．（2026·云南·模拟预测）函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分段函数是上的减函数，需要保证在各个区间段是减函数，并且满足在分段点处，断点左边在断点处的函数值要不小于右支函数在断点处的极限值． 【解答过程】因为是上的严格减函数，故 当时，必须严格单调递减，故，解得； 当时，，因为，故单调递减； 分段点为，，当时，， 故，解得； 综上，实数的取值范围是． 故选：C. 4．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小. 【解答过程】由得函数的图象关于对称， 根据已知及单调性的定义，知在上为减函数， 所以在上为增函数， ，且， ． 故选：B. 5．（2026·北京西城·二模）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【解题思路】先根据奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据函数单调性的性质判断函数的单调性即可. 【解答过程】因为，其定义域为，关于原点对称, 所以, 所以 是奇函数，排除选项B和D; 因为在上单调递增，则在上单调递减, 那么在上单调递减, 因为两个减函数的和是减函数，所以在上单调递减， 综上，函数是奇函数，且在上单调递减，所以C正确. 故选：C. 6．（2026·山西大同·三模）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解题思路】先根据的对称性得出，结合奇偶性得出4是的一个周期，再结合周期性可得，即可得结果. 【解答过程】因为函数的图象关于点对称， 则，即， 当时，则， 且，可知对任意恒成立， 又因为是定义在上的奇函数，则，， 可得，即， 则，得，可知4是的一个周期， ，， 所以， 所以， 又因为，即，可得， 所以． 故选：D. 7．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，可得函数是周期为的函数，化简可得，，，根据函数单调性即可比较大小. 【解答过程】由题意，，则， 又，所以，变形可得， 用替换其中的，可得，所以， 所以函数的周期为， 所以，， ，又，所以， 又函数在内单调递增，所以， 即. 故选：A. 8．（2026·甘肃张掖·二模）已知定义在上的函数和满足，，若是偶函数，且，则（     ） A．34 B．36 C．38 D．40 【答案】C 【解题思路】利用递推关系式及函数的奇偶性得出的周期，再由赋值法求的值即可. 【解答过程】因为是偶函数，， 所以，所以， 又，两式相减可得， 所以可得，两式相减可得， 即，所以函数的周期， 由，令，可得，所以， 由，令，可得，所以， 由，令，可得， 由，令，可得，两式相减可得， 由，令，可得， 故一个周期中， 所以. 故选：C. 二、多选题 9．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数满足，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】ACD 【解题思路】对于A：令后计算即可判断；对于B：令后计算即可判断；对于C：令和，后计算即可判断；对于D：令，，用替换为，化简后得，可判断. 【解答过程】对于A：令，则， 又，所以，故A正确； 对于B：令，则， 即，所以，故B错误； 对于C：令，则， 令，则， 所以，则为偶函数，C正确； 对于D：令，则， 即， 将上式中的替换为，得， 上述两式消去，得， 即，D正确. 故选：ACD. 10．（2026·陕西西安·三模）已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（   ） A．是周期为4的周期函数 B． C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解题思路】对于A选项，因为是奇函数，由判断函数周期；对于B选项，由的周期为4，分别求解，，，即可；对于C选项，由函数对称求解即可；对于D选项，由函数对称的定义求解即可； 【解答过程】因为是奇函数，所以．因为，所以 ， 所以，因此是周期为4的周期函数，故A正确． 因为时，，所以，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以．因为的周期为4，所以．因为，所以， 所以，所以，故B正确． 因为，所以，即， 所以的图象关于直线对称，故D正确． 当时，，因为时，，所以 ， 因为的图象关于直线对称，所以，在上单调递减，故C错误． 故选：ABD. 11．（2026·河南濮阳·一模）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（    ） A．为偶函数 B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】令判断B；令以及得出为奇函数判断A；根据的对称性可得出周期性，结合对称性和周期性可判断C；利用周期性和对称性求出函数值判断D. 【解答过程】令，则，故，则，故B正确； 令，则， 则，则或， 令，则，则， 若，则，也满足， 故为奇函数，故A错误； 因为为偶函数，所以的对称轴为，则， 因为为奇函数，所以，则， 则，故，即是的一个周期， 则，故C正确； 因为，所以，； 因为，所以， ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（2026·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，若，，则__________. 【答案】3 【解题思路】先得到的一个周期为4，所以，又，，从而求出，得到答案. 【解答过程】，则，故， 所以的一个周期为4，所以， 又中，令得， 故，则. 故答案为：3. 13．（2026·全国·模拟预测）已知函数是定义域为的奇函数.设，若在的最小值为2，则在的最大值为__________. 【答案】 【解题思路】根据奇函数图象的对称性，判断在对称区间内的最值情况，根据图象的平移法则，求出平移后函数在给定区间上的最值. 【解答过程】因为是定义域为的奇函数，由在的最小值为2，得在的最大值为， 因为，所以的图象是由的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位后得到， 故在的最大值为. 故答案为：. 14．（2026·青海·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，对任意的，，当时，恒成立．若，则关于的不等式的解集为__________． 【答案】 【解题思路】根据题意求出，接着由题设得到，令，得到为偶函数，且在上递增，在上单减，结合，把不等式转化为，得到不等式组，即可求解. 【解答过程】因为是定义在上的偶函数，所以，解得， ，且，则， 又因为，所以， 所以，则， 令，则，故在上单调递增， 因为为上的偶函数，所以为上的偶函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以，即为， 即，则或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·四川绵阳·一模）设函数. (1)若，写出函数的单调区间； (2)当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为、. (2). 【解题思路】（1）将函数式改写为，结合二次函数的性质确定单调区间； （2）由题设，问题化为上，利用对勾函数及复合函数的性质判断相关函数的区间单调性，进而求最值，即可得. 【解答过程】（1）由题设，即， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为、. （2）由题设，在上恒成立，则恒成立， 所以，只需， 由在上单调递增，在上单调递减，故， 由在上单调递减，故， 所以. 16．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】(1)利用函数对称以及奇函数的性质证明. (2)通过函数的周期性以及奇函数性质求解. 【解答过程】（1）证：因为关于直线对称，所以，进而. 因为是定义在上的奇函数，，所以. 因此. 即是周期为4的周期函数. （2）由函数是定义在上的奇函数，有． 当时，，，符合式子， 故时，． 时，，． 从而，时，函数. 17．（25-26高一上·上海·阶段检测）设是定义在R上的奇函数，且对于任意的实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数，并指出其最小正周期； (2)求方程在区间上解的个数． 【答案】(1)证明过程见解析，最小正周期为6； (2)8 【解题思路】（1）根据，得到，故是一个周期为6的周期函数，并结合奇偶性得到最小正周期为6； （2）上，有2个解，结合函数的周期性和奇偶性，可知在，，上，各有2个解，画出函数图象，数形结合得到答案. 【解答过程】（1）因为，所以， 故是一个周期为6的周期函数， 又时，， 故当时，，则， 是定义在R上的奇函数，故， 显然在上，的图象无周期性， 综上，的最小正周期为6； （2）当时，， 令，则有2个根，故在上有2个解， 结合函数的周期性和奇偶性，可知在，，上，各有2个解， 画出函数在上的图象如下： 由于与有8个交点，故在上共有8个解. 18．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知在定义域上为奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断并证明函数在定义域内的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据奇函数定义域关于原点对称，可得b值，将点坐标代入，可得a值. （2）由（1）得的解析式，利用定义法，按照取值，作差，整理，定号，得结论的步骤，即可得证 （3）根据的奇偶性和单调性，结合定义域，可得不等式组，即可求得答案. 【解答过程】（1）因为在定义域上为奇函数， 所以，解得， 又，所以，解得. （2）由（1）得，， 则在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增 （3）因为在上单调递增，且为奇函数， 由，得， 所以，解得. 19．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知定义域为的函数为偶函数，它的图像是连续的曲线．任取，定义． (1)已知，求； (2)若任取，都有，求证：函数，为周期函数； (3)若任取，只要存在、且，都有．试判断函数在上的单调性（填写“增函数”“严格增函数”“减函数”“严格减函数”“既存在严格增区间也存在严格减区间”之一），并证明你的结论． 【答案】(1). (2)证明见解析 (3)增函数；证明见解析 【解题思路】（1）根据题意列不等式求解即可； （2）取，得， 取，得，结合偶函数性质和不等式性质推出，从而证明函数为周期函数； （3）采用反证法结合定义证明即可. 【解答过程】（1）已知，，则，， 解得或， 故. （2）已知是偶函数，故对任意，， 由题知任取，都有，故对任意，， 取，得 ①； 取，得，即， 整理得，令，则，代入得 ②， 结合①②可得对任意，，故是以为周期的周期函数，得证. （3）假设在上不是增函数，则存在， 取，而，由定义知， 而为偶函数，故，故，可知， 而，故，根据题干定义可知，故，与假设矛盾，因此假设不成立， 故在上是增函数. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义 (2)结合具体函数，了解奇偶性和对称性的概念和几何意义 (3)了解周期性的概念和几何意义 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性 新课标I卷：第6题，5分 新课标Ⅱ卷：第8题，5分 全国一卷：第5题，5分 全国二卷：第10题，6分 天津卷：第3题，5分 全国一卷：第19题，17分 全国二卷：第8题，5分 上海卷（秋考）：第5题，4分 上海卷（秋考）：第21题，18分 北京卷：第5题，5分 命题规律分析 1、函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性 函数的性质是历年高考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想。题型主要以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中渗透考查；对于选择题和填空题部分，重点考查函数的单调性问题，以及求函数的最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，侧重考查函数新定义，试题综合性强，考查难度较大。 考点1 函数的性质 知识点1 函数的单调性 1．求函数的单调区间 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)复合函数的单调性：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 知识点2 函数的最值的求法 1．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 2．复杂函数求最值： 对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 知识点3 函数的奇偶性及其应用 1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 3．常见奇偶性函数模型 (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 知识点4 函数的周期性与对称性的常用结论 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【题型1 确定函数的单调性（区间）】 【例1】（2026·山西·模拟预测）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课后作业）设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【变式1-3】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【题型2 根据函数的单调性求参数】 【例2】（2026·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】（2026·安徽合肥·一模）若是上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型3 求函数的最值】 【例3】（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·湖南·模拟预测）已知函数，则“，”是“在上的最小值为2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3-2】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【变式3-3】（25-26高一上·河北张家口·期末）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型4 函数单调性的应用：比较大小、解不等式】 【例4】（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一·江苏·寒假作业）已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型5 函数的奇偶性及应用】 【例5】（2026·山东潍坊·三模）已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 【变式5-1】（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【变式5-2】（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·安徽安庆·三模）定义在上的偶函数，当时，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 函数的周期性及应用】 【例6】（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【变式6-1】（2026·江西·模拟预测）已知是定义在上周期为4的奇函数，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式6-2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式6-3】（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【题型7 函数的对称性】 【例7】（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 【变式7-1】（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·湖北宜昌·二模）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【变式7-3】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型8 函数性质的综合应用】 【例8】（2026·山东聊城·三模）已知函数，的定义域均为R，且，，若是偶函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式8-1】（2026·湖南·三模）已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【变式8-2】（2026·四川成都·三模）已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·吉林·三模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．的最小正周期为4 D．在上单调递增 【题型9 抽象函数的性质】 【例9】（2026·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式9-1】（2026·河南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式9-2】（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．在区间是单调递增函数 【变式9-3】（2026·陕西安康·模拟预测）已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的一个对称中心为 B． C．函数为周期函数，且一个周期为4 D． 【题型10 函数新定义】 【例10】（2026·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（    ） A． B．0 C． D．1 【变式10-1】（2026·上海闵行·一模）如果“若，则”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“－关系”．已知函数的定义域为，为偶函数，则与下列选项中的具有“－关系”的为（ ） A．：对任意都有 B．：对任意都有 C．：对任意都有 D．：对任意都有 【变式10-2】（2026·上海·三模）设，对于定义域为D的函数与，，若函数是区间D上的单调函数，则称与在区间D上满足“性质”． (1)设，，，若与在区间D上满足“性质”，求t的取值范围； (2)设，，，．若与在区间D上满足“性质”，求的取值范围； (3)设，若对任意s、t，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数A、B，使得函数为常值函数． 【变式10-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：若定义域为R的连续函数满足对任意，当时，都有＜，则称函数为“绝对值严格增函数”． (1)若为“绝对值严格增函数”，试判断是否可能具有周期性； (2)求证：为“绝对值严格增函数”是 始终在图像上方的充要条件； (3)若“绝对值严格增函数”的值域为且在上为严格增函数，试讨论的奇偶性． 一、单选题 1．（2026·山东·模拟预测）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 2．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·云南·模拟预测）函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·北京西城·二模）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 6．（2026·山西大同·三模）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（    ） A． B． C．2 D．4 7．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·甘肃张掖·二模）已知定义在上的函数和满足，，若是偶函数，且，则（     ） A．34 B．36 C．38 D．40 二、多选题 9．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数满足，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 10．（2026·陕西西安·三模）已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（   ） A．是周期为4的周期函数 B． C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 11．（2026·河南濮阳·一模）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（    ） A．为偶函数 B． C． D． 三、填空题 12．（2026·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，若，，则__________. 13．（2026·全国·模拟预测）已知函数是定义域为的奇函数.设，若在的最小值为2，则在的最大值为__________. 14．（2026·青海·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，对任意的，，当时，恒成立．若，则关于的不等式的解集为__________． 四、解答题 15．（2026·四川绵阳·一模）设函数. (1)若，写出函数的单调区间； (2)当时，，求实数的取值范围. 16．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 17．（25-26高一上·上海·阶段检测）设是定义在R上的奇函数，且对于任意的实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数，并指出其最小正周期； (2)求方程在区间上解的个数． 18．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知在定义域上为奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断并证明函数在定义域内的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 19．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知定义域为的函数为偶函数，它的图像是连续的曲线．任取，定义． (1)已知，求； (2)若任取，都有，求证：函数，为周期函数； (3)若任取，只要存在、且，都有．试判断函数在上的单调性（填写“增函数”“严格增函数”“减函数”“严格减函数”“既存在严格增区间也存在严格减区间”之一），并证明你的结论． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $