精品解析：湖北武汉市重点中学5G联合体2025-2026学年下学期期末考试高一数学试卷

高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法法则化简复数后，再根据其几何意义得结论. 【详解】，对应点坐标为，在第三象限. 2. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合投影向量公式求解即可. 【详解】由题意知，，； 代入公式得：投影向量. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用线面平行的性质判断；对于C，利用线面垂直的判定判断；对于C，利用线面垂直的性质判断；对于D，利用线面平行的判定判断即可 【详解】解：对于A，若，，则与可能平行，可能相交，也可能异面，所以A错误； 对于B，若，，则直线与平面可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直，所以B错误； 对于C，若，，，则，所以C正确； 对于D，若，，则与可能平行，也有可能直线在平面内，所以D错误， 故选：C 4. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据斜二测画法的性质，原图形面积与直观图面积满足关系：， 直观图为等腰梯形，上底，下底，腰长，， 故梯形的高为：， 则，则，D正确. 5. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若有两解，则， 又因为，，所以，所以， 所以b的取值范围是. 6. 如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把与沿摊平，变成一个平面四边形，连接交于M，此时即为的最小值，由此计算可得结论. 【详解】直三棱柱中，侧棱，又，，平面，所以平面，而平面，所以， 侧面是正方形，是等腰直角三角形，， 把与沿摊平，变成一个平面四边形，如下图，连接交于M， 则， 又，， 由余弦定理得，此为取得的最小值， 又在直三棱柱中，， 所以所求的周长为. 7. 青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知，动点，关于圆心对称，圆半径为， 则，. 所以 . 又正六边形边长为1，则圆心到六边形各顶点距离为， 圆心到正六边形各边的垂直距离为， 因为点在正六边形上，所以， 所以， 故只有B选项符合题意. 8. 正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由面面平行的性质可得，则与所成角大小等于与所成角的大小，证明线面垂直，求出，所以，即与所成角的大小为. 【详解】因为平面平面，平面平面， 平面平面，则， 则与所成角大小等于与所成角的大小， 因为平面， 平面，所以， 又，且， ， 平面， 所以平面， 又平面，故，所以，即与所成角的大小为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 复数（为虚数单位）的共轭复数 B. 复数（为虚数单位）是纯虚数，则 C. 一组样本数据为，，，，，，，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 D. 若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，则，，，的平均数和方差分别为和 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由（为虚数单位）是纯虚数， 则，解得，故B错误； 对于C，因样本数据7，12，13， 17，18，20，32的平均数为， 若去掉这个数据，则新的一组数据的平均数也是17，故C错误； 对于D，因样本的平均数和方差分别为2和3， 则的平均数为，方差为，故D正确. 10. 如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是平行直线 B. 直线与是异面直线 C. 直线与所成的角为 D. 过，，三点的截面周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，取的中点为，连接，易得，结合相交即可判断；对于B，由异面直线的概念即可判断；对于C，易知，则为直线线与所成的角，再求角即可判断；对于D，作出截面图形，求得截面周长判断即可. 【详解】对于A，取的中点为，连接，如下图所示： 由正方体性质可知，若直线与是平行直线， 则可得三点共线，显然这与相交于点矛盾，故A错误； 对于B，易知平面，平面，直线， 平面，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，连接，，如下图： 可得，故为直线与所成的角，而， 可得直线与所成的角为，故C正确； 对于D，延长交的延长线于点，连接交于点， 延长交的延长线于点，连接交于点， 则过,,三点的截面为五边形， 因为,分别为棱，的中点，又，所以， 又，所以，所以，所以， 同理可得，所以， 由勾股定理可得，， ， 同理可得，， 所以过,,三点的截面周长为，故D正确. 11. 在中，角，，所对边分别为，，，的中点为，，且，延长到点，使点为线段的中点，下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积的最大值为 C. 若为锐角三角形，的取值范围为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，变形，由正弦定理得到，得到；B选项，由基本不等式可得，从而根据得到答案；C选项，由向量基本定理和正弦定理可得，从而得到的取值范围；D选项，先表达出，再由正弦定理和三角函数得到的最小值，从而得到答案 【详解】A选项，，由正弦定理得， 即，， ， 因为，所以， 因为，所以，A正确； B选项，延长到点，使点为线段的中点，故， 在中，由余弦定理得，故， 由基本不等式可得， 故，解得，当且仅当时，等号成立， 由面积公式可得， 故的面积最大值为，B错误； C选项，因为的中点为，所以， 两边平方可得 ， 由B知，，故， 由正弦定理得， 故， 故 ， 因为为锐角三角形，，所以， 解得， 故，， 所以， 所以， 所以，C正确； D选项，， 故 ， 由B知，， 故， 由C知，， 所以 ， 其中 ， 故 ， 其中，因为，所以，， 故当时，取得最小值， 最小值， 故的最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为3，5，8，9，12，15，17，18则这8个数据的上四分位数是____________． 【答案】16 【解析】 【详解】已知数据总量为，数据已从低到高排列， 则上四分位数，即分位数， 位置为. 因为为整数，所以上四分位数取第项和第项数据的算术平均数， 故这个数据的上四分位数为. 13. 在中，，，，的角平分线交于D，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理求得的长，再利用建立的等式，即可求得答案. 【详解】在中,由余弦定理得， 则，即， 解得，（负值舍）， 而平分，即， 又，故， 则. 故答案为： 14. 已知平面平面，球与直线相切于点，平面与平面分别截球所得截面圆的半径为和．若二面角的大小为，则球的半径为____________． 【答案】 【解析】 【分析】结合球的性质，根据勾股定理和余弦定理即可列方程求解. 【详解】根据题意以及球的对称性可得图形的剖面图如下： 设分别为平面与球所截得的圆的半径， 不妨设，，球的半径为， 故， 可得，即， ，两边平方解得， 故，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为2． （1）求圆锥的侧面积； （2）过线段的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合圆锥侧面积和圆的面积公式，分别求出侧面积和底面积即可； （2）先求出圆锥的体积，由为的中点可得圆柱的底面半径，进而求出圆柱的体积，剩下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，即可得到答案. 【小问1详解】 圆锥的侧面积为； 【小问2详解】 因为圆锥的底面半径，母线长， 所以圆锥的高 显然，且E为中点，所以， 剩下几何体的体积. 16. 如图，在平面四边形中，，． （1）若，，求的值； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中由余弦定理求出，在中再由正弦定理可得到答案； （2）由余弦定理得、，根据求出，再利用平方关系求出，最后由三角形面积公式可得答案. 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理得 ， 所以， 在中，，，， 所以由正弦定理得，得， ，得； 【小问2详解】 在中，， 由余弦定理得， 在中，，， 由余弦定理得， 因为， 所以，解得， 所以， 因为，所以， 所以的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为点、分别是、的中点， 所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定及性质，线面平行的判定即可证明； （2）根据线面夹角的定义得出即为直线与平面所成角的平面角，即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 过点作的垂线，设垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，即为直线与平面所成角的平面角， 设， 在中，即， 由（1）可知，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数； （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 【答案】（1） （2）平均数为69.5，第80百分位数为77.5. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程，解得即可； （2）根据平均数、百分位数的定义计算可得； （3）根据根据分层抽样的方差公式计算可得. 【小问1详解】 由图得，解得； 【小问2详解】 根据题意知， 因为，， 设第百分位数为，所以，， 解得， 故这100名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. 【小问3详解】 设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为 ，，，，且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 19. 已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在三棱台中，平面平面，， 又平面平面，平面， 所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据已知及面面垂直的性质即可证明； （2）根据等体积法即可求解； （3）根据二面角的定义得出二面角的平面角，结合题目列出方程即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由棱台性质知：延长交于一点，    由，得，点到平面的距离为到平面距离的3倍，则， 于是，由平面，得为点到平面的距离， 又，则是的三等分点，，即与均为正三角形， 设，则， ，解得， 故，由平面，得，， ，设点到平面的距离为， 由，得，解得：， 即点到平面的距离为． 【小问3详解】 由平面，平面，得平面平面，取中点，连接， 在等边中，，又平面平面，平面， 则平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面平面，作于， 因为平面平面，平面， 所以平面，则， 又平面，则， 作于，连接，，平面，则平面， 而平面，于是，即二面角的平面角， 设，由（2）知：，， 由，得，， 由，得， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得， ， 所以存在满足题意的点，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 4. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 复数（为虚数单位）的共轭复数 B. 复数（为虚数单位）是纯虚数，则 C. 一组样本数据为，，，，，，，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 D. 若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，则，，，的平均数和方差分别为和 10. 如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是平行直线 B. 直线与是异面直线 C. 直线与所成的角为 D. 过，，三点的截面周长为 11. 在中，角，，所对边分别为，，，的中点为，，且，延长到点，使点为线段的中点，下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积的最大值为 C. 若为锐角三角形，的取值范围为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为3，5，8，9，12，15，17，18则这8个数据的上四分位数是____________． 13. 在中，，，，的角平分线交于D，则_________ 14. 已知平面平面，球与直线相切于点，平面与平面分别截球所得截面圆的半径为和．若二面角的大小为，则球的半径为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为2． （1）求圆锥的侧面积； （2）过线段的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积． 16. 如图，在平面四边形中，，． （1）若，，求的值； （2）若，，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数； （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 19. 已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $