（旧知清零）专题02 因数和倍数（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

2026-2027学年人教版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 专题02 因数和倍数【能力清单+核心易错点+错题复盘练】 1、能清晰理解因数与倍数的核心定义，准确区分因数、倍数和质数、合数的概念边界。 2、能熟练完成因数枚举、倍数列举的相关操作，理解2、5、3的倍数特征与因数倍数的内在关联逻辑。 3、能熟练运用因数倍数的相关性质，完成质数合数判断、公因数公倍数求解的各类题型计算。 4、能根据不同场景，灵活选择“枚举法、特征判定法”适配对应的因数倍数相关解题需求。 5、会检验因数倍数相关结论，选择反向整除核验、因数配对推导的策略验证答案正确性。 6、能分辨因数倍数相关的实际问题，抓住“找准非零整数的整除对应关系”这一核心关键。 7、做题时，能圈出题目中的“因数”“倍数”“质数”“合数”“2的倍数”等核心关键词。 8、能熟练根据实际场景设定解题路径，区分直接特征判定、分步枚举推导的适用场景。 9、能准确识别“因数倍数基础类、2、5、3的倍数特征类、质数合数判定类”不同题型，匹配对应的规范求解步骤。 10、能根据已知的因数、倍数结果反推题目缺失的整数条件，理清因数倍数各要素的对应逻辑。 1、在非零自然数的整除关系中，若整数a能被整数b整除，a才是b的倍数、b是a的因数，脱离整除前提单独说某数是因数或倍数的表述不成立。 2、研究因数和倍数的默认范围是不包含0的非零自然数，不能把小数、分数纳入整除判定的范畴，强行套用因数倍数的定义推导结果。 3、判定一个数是否为3的倍数时，需要把这个数所有数位上的数字相加求和，再验证和是否为3的倍数，不能仅通过个位数字的特征直接下结论。 4、反向核验因数推导结果时，将得到的因数和对应整数做乘法运算，最终得到的乘积要和原数完全相等。 5、枚举一个数的所有因数时，要按配对逻辑完整遍历所有可能的整除情况，不能遗漏边界的1和它本身这两个基础因数。 6、标注因数、倍数相关实际问题的结果时，要明确匹配对应场景的单位，避免出现人数、物品数等结果和因数倍数的纯数值属性错配的问题。 7、推导同时满足多个倍数特征的数时，要先逐一匹配所有给定的倍数约束条件，不能仅满足其中某一个特征就直接确定最终数值。 8、同一道因数倍数相关题目的整除判定基准必须完全统一，不能中途随意切换研究范围，把0或小数纳入因数倍数的统计逻辑。 9、仅在非零自然数的整除场景下才能适配本单元的因数倍数相关规则，非整数的除法运算场景不能随意套用因数倍数的判定逻辑。 一、选择题 1．100以内是3和5的倍数的最大奇数是（    ）。 A．60 B．75 C．90 D．95 【答案】B 【分析】同时是3和5的倍数的数是15的倍数；个位上是1、3、5、7、9的数是奇数。 先找出100以内15的倍数，再从中筛选出奇数，最后比较大小找出最大的数。 【解答】3×5＝15 100以内15的倍数有：15、30、45、60、75、90，其中奇数有：15、45、75， 15＜45＜75，所以，100以内是3和5的倍数的最大奇数是75。 2．已知四位数“4□□0”同时是2、3、5的倍数，且百位和十位上的数相同，这样的四位数有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】同时是2和5的倍数，个位数字必须是0；又是3的倍数，各位上数字之和必须是3的倍数。结合百位和十位数字相同的条件，设出未知数字，通过枚举法找出符合条件的数字个数。 【解答】四位数“4□□0”的个位是0，所以“4□□0”同时是2和5的倍数； 四位数“4□□0”又是3的倍数，各位上数字之和必须是3的倍数。 设百位和十位上的数字都是a（a是0～9的整数）。 这个四位数的各位数字和为：4＋a＋a＋0＝4＋2a 需要4＋2a是3的倍数。 当a＝0时，4＋2a＝4＋2×0＝4＋0＝4，4不是3的倍数，不符合要求； 当a＝1时，4＋2a＝4＋2×1＝4＋2＝6，6是3的倍数，符合要求； 当a＝2时，4＋2a＝4＋2×2＝4＋4＝8，8不是3的倍数，不符合要求； 当a＝3时，4＋2a＝4＋2×3＝4＋6＝10，10不是3的倍数，不符合要求； 当a＝4时，4＋2a＝4＋2×4＝4＋8＝12，12是3的倍数，符合要求； 当a＝5时，4＋2a＝4＋2×5＝4＋10＝14，14不是3的倍数，不符合要求； 当a＝6时，4＋2a＝4＋2×6＝4＋12＝16，16不是3的倍数，不符合要求； 当a＝7时，4＋2a＝4＋2×7＝4＋14＝18，18是3的倍数，符合要求； 当a＝8时，4＋2a＝4＋2×8＝4＋16＝20，20不是3的倍数，不符合要求； 当a＝9时，4＋2a＝4＋2×9＝4＋18＝22，22不是3的倍数，不符合要求； 所以，符合条件的数有：4110、4440、4770，共3个。 3．每年的6月26日是“国际禁毒日”，当天某社区组织了37名志愿者去发“禁毒宣传单”。如果把这些志愿者分成甲、乙两队，且甲队的人数为偶数，那么乙队的人数是（    ）。 A．因数 B．倍数 C．奇数 D．偶数 【答案】C 【分析】根据总人数＝甲队人数＋乙队人数。已知总人数是奇数，甲队人数是偶数，根据“偶数＋奇数＝奇数”的性质，可确定乙队人数的奇偶性。 【解答】总人数的奇偶性：志愿者总人数为人，不能被整除，所以是奇数。 分析数量关系：志愿者分成甲、乙两队，则总人数＝甲队人数＋乙队人数。 利用奇数和偶数的运算性质推导：已知甲队人数为偶数，总人数为奇数。根据奇数和偶数的运算性质：偶数＋奇数＝奇数。所以，乙队的人数是奇数。 4．下面各数中，（    ）是偶数。 A．0.4 B．87 C． D．2026 【答案】D 【分析】在整数中，个位上是“0、2、4、6、8”的数是偶数，个位上是“1、3、5、7、9”的数是奇数，据此对各选项进行判断。 【解答】A．0.4是小数，不是整数，所以0.4不是偶数； B．87是整数，但个位上是，所以87是奇数不是偶数； C．是分数，不是整数，所以不是偶数； D．2026是整数，个位上是6，所以2026是偶数。 5．我国著名数学家陈景润证明“任何一个充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和”，例如，22＝3×5＋7。国际上将这个结论称为“陈氏定理”，下面的式子中，符合这个定理的是（    ）。 A．5＝2×1＋3 B．160＝51×3＋7 C．148＝11×13＋5 D．67＝13×5＋2 【答案】C 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据“陈氏定理”可知，符合要求的式子需满足：等式左边的数是偶数，等式右边的数都是质数。逐项分析各算式是否符合要求。 【解答】A．5＝2×1＋3，5是奇数，且1既不是质数也不是合数，不符合这个定理； B．160＝51×3＋7，51是合数，不符合这个定理； C．148＝11×13＋5，148是偶数，11、13、5都是质数，符合这个定理； D．67＝13×5＋2，67是奇数，不符合这个定理。 6．《水浒传》是我国四大名著之一，在这部古典名著中，梁山好汉共有108位。下面各数中，不是108的因数的是（    ）。 A．2 B．18 C．36 D．72 【答案】D 【分析】根据因数的意义，在整数除法中，如果商是整数且没有余数，除数就是被除数的因数。本题要求找出不是 108 因数的数，可以通过计算 108 除以各选项中的数，观察是否有余数来进行判断。 【解答】A．，商是整数且没有余数，2是108的因数，不符合题意，此选项错误； B．，商是整数且没有余数，18是108的因数，不符合题意，此选项错误； C．，商是整数且没有余数，36是108的因数，不符合题意，此选项错误； D．，有余数，72不是108的因数，符合题意，此选项正确。 7．在工程制图课上，用48个边长的小正方形拼成一个长方形零件图（没有剩余），有（    ）种不同的拼法。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，先计算出每个小正方形的面积，正方形面积＝边长×边长；而总面积是48个1平方厘米小正方形的面积之和，长方形面积＝长×宽，因此需要找出48的所有成对的正整数因数，每一组因数对应一种拼法。 【解答】一个小正方形面积：1×1＝1（平方厘米） 长方形面积：1×48＝48（平方厘米） 48的全部因数： 1×48＝48 2×24＝48 3×16＝48 4×12＝48 6×8＝48 因此一共有5种拼法。 8．贝贝是一个集邮爱好者，她现在收藏的邮票枚数是一个两位数，且同时含有因数3和5的最大奇数。贝贝收藏的邮票有（    ）枚。 A．95 B．90 C．75 D．100 【答案】C 【分析】根据因数和倍数的意义，同时含有因数3和5的数是3和5的公倍数。因为3和5互质，最小公倍数是15，即该数是15的倍数。再结合两位数、奇数及最大的条件，通过列举法找出符合要求的数，最后对照选项得出答案。 【解答】3和5的最小公倍数是15。 是两位数同时是15的倍数的数有：15、30、45、60、75、90。因为这个数又是奇数，满足条件的数是15、45、75，其中最大的奇数是75。 即贝贝收藏的邮票有 75 枚。 二、填空题 9．张老师给邮箱设置了登录密码62□□，她遗忘了后两位，只记得这个四位数密码既是3的倍数又是5的倍数。如果将符合条件的数字进行尝试，最多需要（ ）次就能登录成功。 【答案】6 【分析】5的倍数特征：个位数字是0或5，所以密码的最后一位只能是0或5。3的倍数特征：各位上的数字之和是3的倍数。据此解答。 【解答】已知密码是62□□，分两种情况： 个位是0：此时数字为62□0，各位和为6＋2＋□＋0＝8＋□，要为3的倍数，□可填1、4、7，对应3个数字。 个位是5：此时数字为62□5，各位和为6＋2＋□＋5＝13＋□，要为3的倍数，□可填2、5、8，对应3个数字。 符合条件的数字一共有3＋3＝6个，所以最多需要尝试6次就能登录成功。 10．有三个连续自然数，中间的数用a表示，最大的数是（ ）。已知三个连续奇数的和是117，最小的数是（ ）。 【答案】 【分析】连续的自然数是依次递增1的数，中间的数是a，那么前面的数比中间的数小1，后面的数比中间的数大1，据此解答。 相邻的奇数相差2，中间的奇数是三个连续奇数的平均数，先根据“平均数＝这组数据的和÷数据的个数”求出中间的奇数，再减去2就是最小的奇数。 【解答】（1）有三个连续自然数，中间的数用a表示，最大的数是a＋1； （2）117÷3＝39 39－2＝37 已知三个连续奇数的和是117，最小的数是37。 11．运动场上有47人排练节目，如果5人分一组，至少再来（ ）人能正好分完；如果3人分一组，至少再来（ ）人能正好分完。 【答案】3 1 【分析】个位上是0或5的数，都是5的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 根据题意，个位上是0时，能正好分完；算出4与7的和，用最接近的3的倍数减去和即可。 【解答】47＋3＝50（人），如果5人分一组，至少再来3人能正好分完； 3的倍数有3，6，9，12，15⋯ 12－（4＋7） ＝12－11 ＝1（人） 如果3人分一组，至少再来1人能正好分完。 12．将1－7的数字卡片（无重复）打乱次序反扣在桌面上，从中任意摸一张。摸出奇数和偶数的可能性相比，摸出（ ）的可能性大；摸出质数和合数的可能性相比，摸出（ ）的可能性大。 【答案】奇数 质数 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。分别比较奇数和偶数，质数和合数的数量，哪种数的数量多，摸出哪种数的可能性就大。 【解答】奇数有1，3，5，7，共4个，偶数有2，4，6，共3个，4＞3，摸出奇数可能性大，质数有2，3，5，7，共4个，合数有4，6，共2个，4＞2，摸出质数可能性大。 13．一个数，亿位上是7，千万位上是4，万位上是最小的奇数，百位上是最小的质数，其余各位都是0，这个数写作（ ），读作（ ），把它改写成用万作单位的数是（ ）万，省略亿位后面的尾数约是（ ）亿。 【答案】740010200 七亿四千零一万零二百 74001.02 7 【分析】最小的奇数是1，最小的质数是2，从最高位亿位上开始写，哪个数位上没有就用0补齐，据此写出数；整数的读法：先分级，从个位开始每四位分一级，分别是个级、万级、亿级，读数时从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位有一个0或连续几个0都只读一个“零”。 改写成用万作单位的数，则是找到万位，在万位右边点上小数点，省略末尾0即可； 省略亿后面的尾数则是根据千万位上的数进行四舍五入，再在末尾加上亿字。 【解答】一个数，亿位上是7，千万位上是4，万位上是最小的奇数，百位上是最小的质数，其余各位都是0，这个数写作740010200；读作：七亿四千零一万零二百，把它改写成用万作单位的数是74001.02万，省略亿位后面的尾数约是7亿。 14．梦想从学习开始，事业从实践起步。“学习强国”平台是新形势下强化理论武装和思想教育的创新探索。张老师在“学习强国”平台的积分已经达到29462分，至少再增加（ ）分，他的积分就是3的倍数；至少再增加（ ）分，他的积分就是2和5的倍数。 【答案】1 8 【分析】3的倍数特征：各个数位的数字之和是3的倍数。2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位是0或5；同时是2和5的倍数的数，个位必须是0。 据此先计算现有积分的各个数位数字之和，再确定余数，用3减去余数求出需补足的差值；要使个位变成0，需要补足的最小增量为10减去个位现有的数字。 【解答】29462的各个数位数字之和为：2＋9＋4＋6＋2＝23 23÷3＝7……2 因此要使积分是3的倍数，需要补足的最小增量为：3－2＝1 要使积分是2和5的倍数，需要补足的最小增量为：10－2＝8 15．中国第一次参加奥运会的年份是一个四位数。千位上的数既不是质数也不是合数，百位上的数是一位数中最大的奇数，十位上的数的最小倍数是3，个位上的数是最小的质数。中国第一次参加的是（ ）年奥运会。 【答案】1932 【分析】根据质数与合数、奇数与偶数以及倍数的特征，逐一确定千位、百位、十位和个位上的数字。注意四位数的最高位不能为0，1既不是质数也不是合数，最小的质数是2，一个数的最小倍数是它本身。 【解答】千位：在自然数中，1既不是质数也不是合数，0也不是质数或合数。因为这个年份是一个四位数，最高位（千位）不能是0，所以千位上的数只能是1； 百位：最大的一位奇数是9，所以百位上的数是9； 十位：一个数的最小倍数是它本身，所以十位上是3； 个位：最小的质数是2，所以这个数是1932。 16．李叔叔收到一条智能快递柜的取件信息，取件码为ABCDEF，已知A是最小的合数，B是最小的质数，C是8的最小因数，D比2的最小倍数多1，E是10以内既是2的倍数又是3的倍数的数，F比最小的合数多1，根据上面的描述，李叔叔的取件码是（ ）。 【答案】421365 【分析】大于1的自然数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。最小的质数是2，最小的合数是4。一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的。10以内既是2的倍数又是3的倍数的数，先写出2的倍数，再写出3的倍数，最后确定10以内2和3的公倍数。 【解答】确定A： A是最小的合数，所以A是4。 确定B： B是最小的质数，所以B是2。 确定C： C是8的最小因数，所以C是1。 确定D： 比2的最小倍数多1，，所以D是3。 确定E： 2的倍数有：2、4、6、8、10…… 3的倍数有：3、6、9、12、15…… 10以内2和3的公倍数是6，所以E是6。 确定F： F比最小的合数多1，，所以F是5。 综上，李叔叔的取件码是421365。 三、判断题 17．在自然数中，2既是最小的质数，也是最小的偶数。（ ） 【答案】× 【分析】质数是指只有1和它本身两个因数的自然数，最小的质数是2。偶数是指能被2整除的自然数，因为自然数包含0，且，所以0是偶数，最小的偶数是0。 【解答】最小的质数是2，最小的偶数是0，不是2，原说法错误。 故答案为：× 18．因为21÷7＝3，所以3和7是21的因数，21是3和7的倍数。（ ） 【答案】√ 【分析】根据因数和倍数的意义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 【解答】在算式21÷7＝3中，21、7、3均为非零自然数，且商是整数没有余数。因此，3和7是21的因数，21是3和7的倍数。 故答案为：√ 19．如果（均是不为0的整数），在这个等式中，一定是一个偶数。（ ） 【答案】× 【分析】奇数是不能被2整除的数，偶数是能被2整除的数；根据“偶数＋奇数＝奇数”进行判断。 【解答】2a＋3b＝2025（a，b均不为0的整数） 2a一定是偶数，“偶数＋奇数＝奇数”，3b必须是奇数。 3是奇数，只有当b是奇数时，3b才是奇数。所以题目中说“b一定是一个偶数”是错误的。 故答案为：× 20．从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取一张，看牌面的数字，抽到合数的可能性比质数大。（ ） 【答案】× 【分析】解题关键在于明确一副扑克牌（去掉大小王）中每张牌代表的数值。通常约定A代表1，J、Q、K分别代表11、12、13。因此，牌面数字涵盖了1至13的自然数。我们需要找出这13个数中哪些是质数，哪些是合数，统计它们的个数。因为每种牌面都有4张，所以牌面种类数量多的，抽到的可能性就大；数量相等的，可能性就相等。 【解答】一副扑克牌去掉大小王后共有52张，分为4种花色，每种花色有13张牌。 牌面代表的数字分别为：1（A）、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（J）、12（Q）、13（K）。 根据质数和合数的定义进行分类： 质数有：2、3、5、7、11、13，共6个。 合数有：4、6、8、9、10、12，共6个。 1既不是质数也不是合数。 因为每种数字的牌都有4张，所以质数牌共有张，合数牌共有张。 两者可能性相等，原题说法“抽到合数的可能性比质数大”错误。 故答案为：× 四、作图题 21．找出5的倍数，把相应的星星涂上黄色。 【答案】见详解 【分析】5的倍数特征：个位数字是0或5的数是5的倍数。 【解答】分析可知： 五、解答题 22．五（1）班同学参加劳动实践，已经来了37人。至少再来多少人，才能正好分成7人一组？ 【答案】5人 【分析】根据题意，要想正好分成7人一组，那么参加活动的总人数必须是7的倍数。用已经来了的人数除以7，商是分的组数，余数是剩下的人数，再用7减去剩下的人数，即是还需至少来的人数，才能正好分成7人一组。 【解答】37÷7＝5（组）……2（人） 7－2＝5（人） 答：至少再来5人，才能正好分成7人一组。 23．A、B两个自然数，它们都是4的倍数。小明认为，它们的和一定也是4的倍数；小红认为不一定。你的判断是什么？请说明理由。 【答案】小明的说法正确； 理由：设A＝4m（m为整数），B＝4n（n为整数），那么A＋B＝4m＋4n＝4（m＋n），因为m、n为整数，所以m＋n也是整数，所以A＋B是4的倍数，所以说法正确。 【分析】整数a除以整数b（b≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a；如果整数a能被整数b（b≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数，两个自然数分别是4的倍数，和一定是4的倍数，可以采用假设法解答。 【解答】略 24．在一次红色文化宣传活动中，志愿者要把36份红色宣传手册平均分给若干个小组，每个小组至少分3份，有多少种不同的分法？ 【答案】7种 【分析】要把36份手册平均分给若干个小组，表示每个小组分得的份数是36的因数，每个小组至少分3份，找出大于或等于3的因数，据此解答。 【解答】36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36 每个小组至少分3份，所以每个小组分得的份数必须大于或等于3 大于或等于 3 的数有：3，4，6，9，12，18，36。 具体分法： 1. 每个小组分3份，分给12个小组； 2. 每个小组分4份，分给9个小组； 3. 每个小组分6份，分给6个小组； 4. 每个小组分9份，分给4个小组； 5. 每个小组分12份，分给3个小组； 6. 每个小组分18份，分给2个小组； 7. 每个小组分36份，分给1个小组； 答：一共有7种不同的分法。 25．李老师在书店购买了一些《故事书》和《科学探索》，付给收银员100元，找回了17元。你认为找回的钱数对吗？为什么？ 【答案】不对；理由见详解 【分析】两种书籍的单价分别是5元、10元，5和10均是5的倍数，所以买书籍的钱数是5的倍数，求出实际用的钱数，再判断这个数是否是5的倍数即可。5的倍数判断：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 【解答】100－17＝83（元） 个位是3，所以83不是5的倍数，即找回的钱不对。 答：找回的钱不对。买书花的钱应该是5的倍数，实际是83元，83元不是5的倍数。 26．阳光小学五年级同学参加学校举办的数学竞赛。此次竞赛共有20道题，评分标准：答对一道题得5分，答错一道题扣1分，不答不得分。如果所有参赛同学都答了，那么参赛同学的总分是奇数还是偶数？ 【答案】 偶数 【分析】根据评分标准，若全部答对，总分为偶数。每答错一道题，分数减少 5＋1＝6（分），6 是偶数。根据偶数减偶数仍为偶数的性质，无论答错多少道题，每名同学的得分均为偶数。所有同学的得分都是偶数，相加后总分仍为偶数。 【解答】假设一名同学 20 道题全部答对 得分为：20×5＝100（分） 100 是偶数。 若有一道题答错，则少得 5 分，还要倒扣 1 分 分数减少：5＋1＝6（分） 6 是偶数。 因为偶数减去偶数仍得偶数，所以无论答错几道题，这名同学的得分都是偶数。 每名同学的得分都是偶数，那么所有参赛同学的总分相加，结果也是偶数。 答：参赛同学的总分是偶数。 27．水墨画是中国绘画的代表，其特点是近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富。林叔叔绘制了一幅长方形水墨画，周长是60分米，它的长与宽是两个质数，这幅水墨画的面积可能是多少平方分米？ 【答案】161平方分米，或209平方分米，或221平方分米 【分析】根据长方形的周长公式，周长除以 2 即可求出长与宽的和。已知长与宽的和是30分米，且长和宽都是质数，需要找出和为30的两个质数有哪些组合。确定长和宽的具体数值后，再利用长方形的面积公式计算出可能的面积。 【解答】长与宽的和： 60÷2＝30（分米） 和为30的两个质数： 30以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。 将30拆分成两个质数相加，可能的组合有： 7＋23＝30 11＋19＝30 13＋17＝30 分别计算长方形的面积： 7×23＝161（平方分米） 11×19＝209（平方分米） 13×17＝221（平方分米） 答：这幅水墨画的面积可能是161平方分米，或209平方分米，或221平方分米。 28．象棋历史悠久，是一项普及性比较高的传统智力竞技游戏。2008年入选中国第二批国家级非物质文化遗产代表性项目名录。象棋棋子一共有32个。 （1）苗苗和聪聪下象棋，两人在棋盘上已经摆放的棋子个数是奇数，聪聪说“没有摆上去的是偶数个。”你认为聪聪说的对吗？说明理由。 （2）两人下棋下到中途，棋盘上剩下的棋子数和棋盘外的棋子数都是大于3的质数，棋盘上剩下的棋子数比棋盘外的棋子少。请你推算一下棋盘上还有多少个棋子。 【答案】（1）不对；见详解 （2）13个 【分析】（1）根据奇数和偶数的运算性质“偶数－奇数＝奇数”可知，象棋的总数是32个，32是一个偶数，棋盘上已经摆放的棋子个数是奇数，那没有摆上去的必然是奇数，不可能是偶数。 （2）根据已知条件，棋盘上剩下的棋子数＋棋盘外的棋子数＝32，且棋盘上剩下的棋子数和棋盘外的棋子数都是大于3的质数，列举出小于32且大于3的质数：5，7，11，13，17，19，23，29，31，接着从这些质数中找出两个质数使它们的和是32，13＋19＝32，再根据棋盘上剩下的棋子数比棋盘外的棋子少，即可求解。 【解答】（1）棋盘外的棋子数＝棋子总数－棋盘上的棋子数 因此，棋盘外的棋子数：偶数（32）－奇数＝奇数 答：聪聪说的不对，因为棋子总数为偶数，棋盘上的棋子数为奇数时，则棋盘外的棋子数必为奇数。 （2）小于32且大于3的质数：5，7，11，13，17，19，23，29，31。 13＋19＝32 棋盘上剩下的棋子数＜棋盘外的棋子数 棋盘上剩下的棋子数＝13（个） 棋盘外的棋子数＝19（个） 答：棋盘上剩下的棋子数是13个。 29．一般而言，兔子在出生2个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子，如果所有兔子都不死，个月后有多少对兔子？这就是斐波那契数列的由来，也因以兔子繁殖为例子引入，又称为“兔子数列”。 （1）用数列表示：1，1，2，3，5，8，13，21，（ ），（ ）…… （2）数列的第100个数是奇数还是偶数？请说明理由。 【答案】（1） 34 55 （2）奇数；理由见详解 【分析】（1）根据斐波那契数列的核心规律，从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和，按照该规律计算括号内的数。 （2）先观察数列中数的奇偶性变化，找到固定的循环周期，再用总数÷周期长度，根据余数判断第100个数的奇偶性。 【解答】（1）该数列的规律为：从第三个数起，每个数等于前两个数的和 13＋21＝34 21＋34＝55 所以括号内依次填写34、55。 （2）先列出数列对应数字的奇偶性： 1（奇）、1（奇）、2（偶）、3（奇）、5（奇）、8（偶）、13（奇）、21（奇）、34（偶）…… 可得出奇偶性规律：奇、奇、偶，每3个数为一个循环周期。 计算周期数与余数：100÷3＝33（组）……1（个） 余数为1，说明第100个数对应一个循环周期的第1个数，为奇数。 30．用36个边长1厘米的小正方形拼成长方形（或正方形），一共有多少种不同的拼法？先在下表中列举出所有不同的可能，再填空。 长（厘米） 36 宽（厘米） 1 （1）一共有（    ）种不同的拼法。 （2）在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是（    ）厘米，最小是（    ）厘米。 【答案】（1）列表见详解；5； （2）74；24； 【分析】用36个小正方形拼成长方形（或正方形），面积不变（36平方厘米）。长方形的长和宽必须是36的因数，且长≥宽。因此需列举36的所有因数对（长、宽），计算不同拼法的周长，再比较最大值和最小值。 【解答】 长（厘米） 36 18 12 9 6 宽（厘米） 1 2 3 4 6 （1）一共有5种不同的拼法。 （2）（36＋1）×2 ＝37×2 ＝74（厘米） （18＋2）×2 ＝20×2 ＝40（厘米） （12＋3）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） （9＋4）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） （6＋6）×2 ＝12×2 ＝24（厘米） 74＞40＞30＞26＞24 在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是74厘米，最小是24厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 专题02 因数和倍数【能力清单+核心易错点+错题复盘练】 1、能清晰理解因数与倍数的核心定义，准确区分因数、倍数和质数、合数的概念边界。 2、能熟练完成因数枚举、倍数列举的相关操作，理解2、5、3的倍数特征与因数倍数的内在关联逻辑。 3、能熟练运用因数倍数的相关性质，完成质数合数判断、公因数公倍数求解的各类题型计算。 4、能根据不同场景，灵活选择“枚举法、特征判定法”适配对应的因数倍数相关解题需求。 5、会检验因数倍数相关结论，选择反向整除核验、因数配对推导的策略验证答案正确性。 6、能分辨因数倍数相关的实际问题，抓住“找准非零整数的整除对应关系”这一核心关键。 7、做题时，能圈出题目中的“因数”“倍数”“质数”“合数”“2的倍数”等核心关键词。 8、能熟练根据实际场景设定解题路径，区分直接特征判定、分步枚举推导的适用场景。 9、能准确识别“因数倍数基础类、2、5、3的倍数特征类、质数合数判定类”不同题型，匹配对应的规范求解步骤。 10、能根据已知的因数、倍数结果反推题目缺失的整数条件，理清因数倍数各要素的对应逻辑。 1、在非零自然数的整除关系中，若整数a能被整数b整除，a才是b的倍数、b是a的因数，脱离整除前提单独说某数是因数或倍数的表述不成立。 2、研究因数和倍数的默认范围是不包含0的非零自然数，不能把小数、分数纳入整除判定的范畴，强行套用因数倍数的定义推导结果。 3、判定一个数是否为3的倍数时，需要把这个数所有数位上的数字相加求和，再验证和是否为3的倍数，不能仅通过个位数字的特征直接下结论。 4、反向核验因数推导结果时，将得到的因数和对应整数做乘法运算，最终得到的乘积要和原数完全相等。 5、枚举一个数的所有因数时，要按配对逻辑完整遍历所有可能的整除情况，不能遗漏边界的1和它本身这两个基础因数。 6、标注因数、倍数相关实际问题的结果时，要明确匹配对应场景的单位，避免出现人数、物品数等结果和因数倍数的纯数值属性错配的问题。 7、推导同时满足多个倍数特征的数时，要先逐一匹配所有给定的倍数约束条件，不能仅满足其中某一个特征就直接确定最终数值。 8、同一道因数倍数相关题目的整除判定基准必须完全统一，不能中途随意切换研究范围，把0或小数纳入因数倍数的统计逻辑。 9、仅在非零自然数的整除场景下才能适配本单元的因数倍数相关规则，非整数的除法运算场景不能随意套用因数倍数的判定逻辑。 一、选择题 1．100以内是3和5的倍数的最大奇数是（    ）。 A．60 B．75 C．90 D．95 2．已知四位数“4□□0”同时是2、3、5的倍数，且百位和十位上的数相同，这样的四位数有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 D．1 3．每年的6月26日是“国际禁毒日”，当天某社区组织了37名志愿者去发“禁毒宣传单”。如果把这些志愿者分成甲、乙两队，且甲队的人数为偶数，那么乙队的人数是（    ）。 A．因数 B．倍数 C．奇数 D．偶数 4．下面各数中，（    ）是偶数。 A．0.4 B．87 C． D．2026 5．我国著名数学家陈景润证明“任何一个充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和”，例如，22＝3×5＋7。国际上将这个结论称为“陈氏定理”，下面的式子中，符合这个定理的是（    ）。 A．5＝2×1＋3 B．160＝51×3＋7 C．148＝11×13＋5 D．67＝13×5＋2 6．《水浒传》是我国四大名著之一，在这部古典名著中，梁山好汉共有108位。下面各数中，不是108的因数的是（    ）。 A．2 B．18 C．36 D．72 7．在工程制图课上，用48个边长的小正方形拼成一个长方形零件图（没有剩余），有（    ）种不同的拼法。 A．3 B．4 C．5 D．6 8．贝贝是一个集邮爱好者，她现在收藏的邮票枚数是一个两位数，且同时含有因数3和5的最大奇数。贝贝收藏的邮票有（    ）枚。 A．95 B．90 C．75 D．100 二、填空题 9．张老师给邮箱设置了登录密码62□□，她遗忘了后两位，只记得这个四位数密码既是3的倍数又是5的倍数。如果将符合条件的数字进行尝试，最多需要（ ）次就能登录成功。 10．有三个连续自然数，中间的数用a表示，最大的数是（ ）。已知三个连续奇数的和是117，最小的数是（ ）。 11．运动场上有47人排练节目，如果5人分一组，至少再来（ ）人能正好分完；如果3人分一组，至少再来（ ）人能正好分完。 12．将1－7的数字卡片（无重复）打乱次序反扣在桌面上，从中任意摸一张。摸出奇数和偶数的可能性相比，摸出（ ）的可能性大；摸出质数和合数的可能性相比，摸出（ ）的可能性大。 13．一个数，亿位上是7，千万位上是4，万位上是最小的奇数，百位上是最小的质数，其余各位都是0，这个数写作（ ），读作（ ），把它改写成用万作单位的数是（ ）万，省略亿位后面的尾数约是（ ）亿。 14．梦想从学习开始，事业从实践起步。“学习强国”平台是新形势下强化理论武装和思想教育的创新探索。张老师在“学习强国”平台的积分已经达到29462分，至少再增加（ ）分，他的积分就是3的倍数；至少再增加（ ）分，他的积分就是2和5的倍数。 15．中国第一次参加奥运会的年份是一个四位数。千位上的数既不是质数也不是合数，百位上的数是一位数中最大的奇数，十位上的数的最小倍数是3，个位上的数是最小的质数。中国第一次参加的是（ ）年奥运会。 16．李叔叔收到一条智能快递柜的取件信息，取件码为ABCDEF，已知A是最小的合数，B是最小的质数，C是8的最小因数，D比2的最小倍数多1，E是10以内既是2的倍数又是3的倍数的数，F比最小的合数多1，根据上面的描述，李叔叔的取件码是（ ）。 三、判断题 17．在自然数中，2既是最小的质数，也是最小的偶数。（ ） 18．因为21÷7＝3，所以3和7是21的因数，21是3和7的倍数。（ ） 19．如果（均是不为0的整数），在这个等式中，一定是一个偶数。（ ） 20．从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取一张，看牌面的数字，抽到合数的可能性比质数大。（ ） 四、作图题 21．找出5的倍数，把相应的星星涂上黄色。 五、解答题 22．五（1）班同学参加劳动实践，已经来了37人。至少再来多少人，才能正好分成7人一组？ 23．A、B两个自然数，它们都是4的倍数。小明认为，它们的和一定也是4的倍数；小红认为不一定。你的判断是什么？请说明理由。 24．在一次红色文化宣传活动中，志愿者要把36份红色宣传手册平均分给若干个小组，每个小组至少分3份，有多少种不同的分法？ 25．李老师在书店购买了一些《故事书》和《科学探索》，付给收银员100元，找回了17元。你认为找回的钱数对吗？为什么？ 26．阳光小学五年级同学参加学校举办的数学竞赛。此次竞赛共有20道题，评分标准：答对一道题得5分，答错一道题扣1分，不答不得分。如果所有参赛同 学都答了，那么参赛同学的总分是奇数还是偶数？ 27．水墨画是中国绘画的代表，其特点是近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富。林叔叔绘制了一幅长方形水墨画，周长是60分米，它的长与宽是两个质数，这幅水墨画的面积可能是多少平方分米？ 28．象棋历史悠久，是一项普及性比较高的传统智力竞技游戏。2008年入选中国第二批国家级非物质文化遗产代表性项目名录。象棋棋子一共有32个。 （1）苗苗和聪聪下象棋，两人在棋盘上已经摆放的棋子个数是奇数，聪聪说“没有摆上去的是偶数个。”你认为聪聪说的对吗？说明理由。 （2）两人下棋下到中途，棋盘上剩下的棋子数和棋盘外的棋子数都是大于3的质数，棋盘上剩下的棋子数比棋盘外的棋子少。请你推算一下棋盘上还有多少个棋子。 29．一般而言，兔子在出生2个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子，如果所有兔子都不死，个月后有多少对兔子？这就是斐波那契数列的由来，也因以兔子繁殖为例子引入，又称为“兔子数列”。 （1）用数列表示：1，1，2，3，5，8，13，21，（ ），（ ）…… （2）数列的第100个数是奇数还是偶数？请说明理由。 30．用36个边长1厘米的小正方形拼成长方形（或正方形），一共有多少种不同的拼法？先在下表中列举出所有不同的可能，再填空。 长（厘米） 36 宽（厘米） 1 （1）一共有（    ）种不同的拼法。 （2）在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是（    ）厘米，最小是（    ）厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $