专题02：因数和倍数（解决问题讲义）数学人教版五年级下册

人教版五年级数学下册解决问题 专题02：因数和倍数 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 一、通用解题思路 1、审题定范围：圈出题目中的关键条件（如“在50以内”“两位数”“同时是……”），明确研究的数字范围。 2、抓特征判类型：根据条件判断属于因数、倍数、2/3/5倍数特征、奇偶性、质数合数中的哪类问题。 3、选方法找目标数： （1）因数问题：用乘法/除法算式列举因数； （2）倍数问题：用乘法算式列举倍数； （3）特征类问题：直接用数字特征筛选、验证。 4、验证作答：将找到的数代入原题条件，验证是否全部符合，规范书写答语。 二、分考点解题技巧与方法 考点1：根据因数的特征解决问题 1、核心技巧 （1）找一个数的因数的方法： ①乘法法：a×b=c（a、b、c均为非0自然数），则a、b是c的因数； ②除法法：c÷a=b（无余数），则a、b是c的因数。 （2）因数的特征：一个数的因数个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身；因数成对出现（除平方数外）。 2、解题步骤 （1）确定目标数（题目要求研究的数）； （2）用乘法/除法法列举出目标数的所有因数； （3）根据题目附加条件筛选符合要求的因数； （4）验证筛选结果是否满足所有条件。 考点2：根据倍数的特征解决问题 1、核心技巧 （1）找一个数的倍数的方法：目标数×n（n为非0自然数），结果就是目标数的倍数。 （2）倍数的特征：一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 2、解题步骤 （1）明确目标数和倍数的范围； （2）用乘法法依次列举目标数的倍数，直到超出范围； （3）结合题目条件筛选符合要求的倍数； （4）验证结果的合理性。 考点3：用2、3、5 的倍数特征解决问题 1、核心技巧 （1）2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 ①偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）； ②奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。 （2）5的倍数特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。 （3）3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 （4）既是2又是5的倍数特征：个位上是0。 （5）既是2又是3的倍数特征：个位上是0， 2， 4， 6， 8并且各数位的数之和又是3的倍数。 （6）既是5又是3的倍数特征：个位上是0或5，并且各数位的数之和又是3的倍数。 （7）既是2和3的倍数，又是5的倍数特征：个位上是0，并且各数位的数之和是3的倍数。 2、解题步骤 （1）拆分题目条件，明确需要满足的倍数特征（单一特征/组合特征）； （2）按“先易后难”原则筛选：先看个位特征（2、5的倍数），再算数字和（3的倍数）； （3）结合数字范围，列出符合所有特征的数； （4）代入原题验证。 考点4：用奇数与偶数解决问题 1、核心技巧 （1）定义区分： ①奇数（2的倍数以外的非0自然数，个位1、3、5、7、9）； ②偶数（2的倍数的非0自然数，个位0、2、4、6、8）。 （2）奇偶性运算性质：奇±奇=偶；偶±偶=偶；奇±偶=奇；奇×奇=奇；偶×偶=偶；奇×偶=偶 3、解题步骤 （1）根据题意判断相关数的奇偶性，或确定运算类型； （2）利用奇偶性运算性质分析结果的奇偶性，或推导符合条件的数； （3）结合数字范围筛选目标数； （4）验证结果是否符合实际情境。 考点5：用质数与合数解决问题 1、核心技巧 （1）定义区分： ①质数：只有1和它本身两个因数的非0自然数（最小质数是2，唯一的偶质数）； ②合数：除了1和它本身还有其他因数的非0自然数（最小合数是4）； ③1既不是质数也不是合数。 （2）常用技巧：100以内质数表需熟记，尤其是20以内质数（2、3、5、7、11、13、17、19）。 2、解题步骤 （1）明确题目要求是质数还是合数，或两者结合； （2）列举范围内的数，逐一判断其因数个数； （3）结合附加条件筛选； （4）验证结果。 考点1：根据因数的特征解决问题 【典型例题】花可以制作植物性天然香料。某茉莉试验田要求每行或每列的种植数量相同，试验田内最多种植48株茉莉，请你给出3种不同的种植方案。（每行每列不少于3株） 【练习1】学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【练习2】商店里有237枚鸡蛋，选择下面哪一种包装能正好把这些鸡蛋装完？请你用“因数和倍数”单元的知识解答。 考点2：根据倍数的特征解决问题 【典型例题】拗九节在农历正月廿九日，是福建省福州十邑地区本土特有的民间传统节日，这天家家户户用糯米、红糖、桂圆等原料煮拗九粥，用来祭祖或馈赠亲友。此外，每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”），或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫过“九”。小明的爸爸今年已经50岁了，你知道他过了几次“九”吗？ 【练习1】2024年7月30日，我国选手王楚钦和孙颖莎一路“过关斩将”获得中国奥运会乒乓球混双首金。实验小学六（1）班热爱兵乓球的学生们在家观看了比赛，观看比赛的人数是8的倍数，且在60~70人之间。六（1）班观看比赛的学生有多少人？ 【练习2】金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 考点3：2、3、5的倍数特征的实际应用 【典型例题】王老师给手机设置了一个锁屏密码“27□□”，他记得自己设置的这个四位数密码既是5的倍数，又是3的倍数。他最多需要输入几次密码才能解锁手机？为什么？ 【练习1】我市某购物中心商品齐全，服务周到，吸引了大量顾客。该购物中心的甜品店制作了115个面包，选择哪种包装盒正好能把它们装完？为什么？ 【练习2】聪聪到文具店买3本同样的日记本，日记本的单价已经模糊看不清了，付钱时他付100元，售货员阿姨找了35元给聪聪，聪聪认为钱算错了。你认为呢？你能说明其中的道理吗？ 考点4：奇数与偶数的实际应用 【典型例题】一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小船最初在南岸。 （1）摆渡15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 【练习1】新年到了，妈妈准备用微信给姐姐和弟弟共发80元的红包。如果姐姐抢得的红包钱数为奇数，弟弟抢得的红包钱数为奇数还是偶数？为什么？ 【练习2】五（1）班学生把二十几张书法作品张贴在教室墙壁上。如果每排贴5张，剩余的张数不够贴一排且是一个偶数。这些书法作品有可能是多少张？ 考点5：质数与合数的实际应用 【典型例题】为了上好劳动课，学校在教学楼后面划出一块长方形地作为劳动实践基地——植物种植角，这块长方形地的长和宽都是质数，周长是36米，这块长方形地的面积最大是多少呢？（要写出推导过程） 【练习1】小丽家的电话号码由八位数字组成，已知第一位数字为10以内最大的偶数；第二位数字为4的最小倍数；第三位数字为只有因数1和3的数；第四位数字为既是偶数又是质数的数；第五位数字为最小的质数；第六位数字为最小的合数；第七位数字为一位数中最大的合数；第八位数字为6的最大因数。你知道这个号码是多少吗？ 【练习2】下面是五年级四个班的人数统计表。 五（1）班 五（2）班 五（3）班 五（4）班 41人 36人 37人 42人 各班准备分学习小组（小组人数不能为1人）。这四个班中，哪些班能分成各组人数都相同的学习小组？哪些不能分成各组人数都相同的小组？请说明理由。 夯实基础 1．淘淘和乐乐玩掷骰子的游戏，骰子各面上的数字分别为1、2、3、4、5、6，下面的游戏规则中，公平的是（     ）。 A．掷出面朝上的数是2的倍数时，淘淘胜，是3的倍数时乐乐胜 B．掷出面朝上的数是质数时，淘淘胜，是合数时乐乐胜 C．掷出面朝上的数是奇数时，淘淘胜，是偶数时乐乐胜 D．掷出面朝上的数小于4时，淘淘胜，大于4时乐乐胜 2．王叔叔按以下的规则给自己的手机重置了四位锁屏密码（都是非零自然数）。第一个数是3的倍数且是质数；第二个数是最小的奇数；第三个数比最小的合数多2；第四个数是9的因数且是合数。王叔叔手机的锁屏密码是（     ）。 A．3049 B．6129 C．3619 D．3169 3．小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，（     ）数对了。 A．小明 B．小华 C．小敏 D．都对 4．在中国历史长河中，人们喜欢用到数字“6”，比如秦始皇以六为国数、六谷、六畜等。数字“6”之所以熠熠生辉，是因为像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫做完全数（也叫完美数）。比如6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6，下面各数中是完全数的是（     ）。 A．16 B．20 C．28 D．36 5．把写有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10数字卡片装入盒子中，任意摸出1张，摸到下面选项中（     ）可能性最小。 A．偶数 B．奇数 C．质数 D．合数 6．杭州亚运会开幕式的日期很特别：表示月份的数是一位数中最大的合数；表示日子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是 3 的最小倍数。开幕式的日期是（     ）。 A．8月23日 B．8月26日 C．9月13日 D．9月23日 二、填空题 7．李叔叔的车牌号码是“浙F·E□□□□”，其中的四个数字都很特别：左起第一位既是偶数又是质数，第二位是最小的自然数，第三位既不是质数又不是合数，最后一位既是奇数又是合数。李叔叔的车牌号码是浙F·E（ ）。 8．智能快递柜进小区，解决了社区居民取快递“最后100米”的烦恼。居民王阿姨收到一条短信，请你根据下面的描述推断出王阿姨的取件码是（ ）。 取件码由ABCDE五个数字组成，其中A是最大的一位数，B比最小的质数大1，C同时是2和3的倍数，D是最小的合数，E是一位数中最大的偶数。 9．一个运算程序，运算规则如下图，如果输入15，那么结果是（ ），如果输入7，那么结果是（ ）。 10．五（3）班共有49人，如果男生人数是奇数，那么女生人数是（ ）。（填“奇数或偶数”） 11．妈妈的行李箱密码是一个三位数，可她只记得中间的数字是5，且这个三位数既是3的倍数又是5的倍数。妈妈最多试（ ）次可以打开行李箱。 12．阅读下面的材料，根据材料中的数据，完成下面的问题。 第十八届世界田径锦标赛于当地时间2022年7月15日至24日在美国举行共10天，本届田径世锦赛共设49个项目，其中男、女子35公里竞走取代此前的50公里竞走首次进入世锦赛，中国田径队共派出23名男运动员和30名女运动员参与23个项目的角逐。全队平均年龄26岁，比东京奥运会下降了2岁。 （1）材料中划线的数中，奇数有（ ）；质数有（ ）；（ ）既是奇数又是合数。 （2）材料中划线的数中，是3的倍数的有（ ），既是3的倍数又是5的倍数的有（ ），同时是2和5的倍数的有（ ）。 （3）从文中划线的数中选出一个数，它既是48的因数，又是4的倍数，这个数是（ ）。 13．一根钢筋的米数是10以内最大的质数，王师傅要把它锯成长度均为偶数米的两根，请问可能吗？（ ）（填“可能”或“不可能”），你的理由是（ ）。 14．生命在于运动，有人说走路是最好的运动，妈妈每天坚持走路，今天她的运动步数是一个五位数，位居排行榜第一。这个数万位上的数既不是质数也不是合数，千位上的数是10以内最大的质数，百位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的偶数，个位上的数是最小的合数。这个五位数是（ ）。 15．在学校举办的“爱心义卖活动”中，五年级共捐款357□元，若这个四位数含有因数3，则□里最大可以填（ ）；若要使它既是2的倍数又是5的倍数，则□里应填（ ）。 16．学习强国是党中央推出的全国学习平台，陈老师学习强国的积分达到了58963分，至少加上（ ）分就是3的倍数；至少去掉（ ）分就同时是2和5的倍数。 17．口袋里有9张写有数字的卡片，从中任意摸出1张。 （1）（ ）摸到自然数，（ ）摸到小数。（填“一定”“可能”或“不可能”） （2）摸到（ ）的可能性大。（填“奇数”或“偶数”） （3）摸到（ ）、（ ）和（ ）的可能性相等。（填“奇数”“偶数”“质数”或“合数”） 18．中国杭州举办的第19届亚洲运动会于2023年9月23日开幕，亚运会主场馆杭州奥体博览城核心区面积约A5B3C00平方米，其中A为最小的非零自然数，B为最小的合数，C为一位数中最大的质数，这个七位数是（ ），四舍五入到万位约为（ ）万。 培优拔高 19．喜羊羊的QQ号码从左到右依次是：①6的最大因数；②最小的合数；③既不是质数，也不是合数，也不是0；④最小奇数的3倍；⑤最小的自然数；⑥既是质数，又是偶数；⑦5的最小倍数；⑧10以内最大的质数；⑨最大的一位数。喜羊羊的QQ号码是多少呢？ 20．小本用46根小棒摆图形，摆一个独立的四边形用4根小棒，摆一个独立的六边形用6根小棒。他摆了一些独立的四边形和独立的六边形后，说自己还剩下11根小棒，他说得对吗？为什么？ 21．便民超市新运进215瓶无菌消毒洗手液，如果每3瓶装一箱，能正好装完吗？如果每5瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？ 22．有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 23．一块长方形菜地的长和宽都是质数，且周长是28米，这块菜地的面积是多少平方米？ 思维拓展 24．赵老师为同学们买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元。已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 25．1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想，其中的“任何不小于7的奇数，都可以表示为三个质数之和”称为“弱哥德巴赫猜想”，并已经得到了成功的证明。根据“弱哥德巴赫猜想”，任意一个不小于7的奇数m，都可以进行这样的拆分（备注：“≥”表示大于或等于）； m＝a＋b＋c（a、b、c均为质数，且a≥b≥c），在m的所有这种拆分中，如果a、c两数之差a－c最小，我们就称a＋b＋c是m的最优拆分。并规定：P（m）＝a－c。例如9可以分解成2＋2＋5，3＋3＋3，因为5－2＞3－3，所以3＋3＋3是9的最优拆分，且P（9）＝0. （1）由上述条件，可得：P（11）＝__________；若P（n）＝1，则n＝__________；若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：__________。 （2）t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y（1≤x≤y≤9，x、y为整数）。若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P（t）的最大值。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版五年级数学下册解决问题 专题02：因数和倍数 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 一、通用解题思路 1、审题定范围：圈出题目中的关键条件（如“在50以内”“两位数”“同时是……”），明确研究的数字范围。 2、抓特征判类型：根据条件判断属于因数、倍数、2/3/5倍数特征、奇偶性、质数合数中的哪类问题。 3、选方法找目标数： （1）因数问题：用乘法/除法算式列举因数； （2）倍数问题：用乘法算式列举倍数； （3）特征类问题：直接用数字特征筛选、验证。 4、验证作答：将找到的数代入原题条件，验证是否全部符合，规范书写答语。 二、分考点解题技巧与方法 考点1：根据因数的特征解决问题 1、核心技巧 （1）找一个数的因数的方法： ①乘法法：a×b=c（a、b、c均为非0自然数），则a、b是c的因数； ②除法法：c÷a=b（无余数），则a、b是c的因数。 （2）因数的特征：一个数的因数个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身；因数成对出现（除平方数外）。 2、解题步骤 （1）确定目标数（题目要求研究的数）； （2）用乘法/除法法列举出目标数的所有因数； （3）根据题目附加条件筛选符合要求的因数； （4）验证筛选结果是否满足所有条件。 考点2：根据倍数的特征解决问题 1、核心技巧 （1）找一个数的倍数的方法：目标数×n（n为非0自然数），结果就是目标数的倍数。 （2）倍数的特征：一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 2、解题步骤 （1）明确目标数和倍数的范围； （2）用乘法法依次列举目标数的倍数，直到超出范围； （3）结合题目条件筛选符合要求的倍数； （4）验证结果的合理性。 考点3：用2、3、5 的倍数特征解决问题 1、核心技巧 （1）2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 ①偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）； ②奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。 （2）5的倍数特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。 （3）3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 （4）既是2又是5的倍数特征：个位上是0。 （5）既是2又是3的倍数特征：个位上是0， 2， 4， 6， 8并且各数位的数之和又是3的倍数。 （6）既是5又是3的倍数特征：个位上是0或5，并且各数位的数之和又是3的倍数。 （7）既是2和3的倍数，又是5的倍数特征：个位上是0，并且各数位的数之和是3的倍数。 2、解题步骤 （1）拆分题目条件，明确需要满足的倍数特征（单一特征/组合特征）； （2）按“先易后难”原则筛选：先看个位特征（2、5的倍数），再算数字和（3的倍数）； （3）结合数字范围，列出符合所有特征的数； （4）代入原题验证。 考点4：用奇数与偶数解决问题 1、核心技巧 （1）定义区分： ①奇数（2的倍数以外的非0自然数，个位1、3、5、7、9）； ②偶数（2的倍数的非0自然数，个位0、2、4、6、8）。 （2）奇偶性运算性质：奇±奇=偶；偶±偶=偶；奇±偶=奇；奇×奇=奇；偶×偶=偶；奇×偶=偶 3、解题步骤 （1）根据题意判断相关数的奇偶性，或确定运算类型； （2）利用奇偶性运算性质分析结果的奇偶性，或推导符合条件的数； （3）结合数字范围筛选目标数； （4）验证结果是否符合实际情境。 考点5：用质数与合数解决问题 1、核心技巧 （1）定义区分： ①质数：只有1和它本身两个因数的非0自然数（最小质数是2，唯一的偶质数）； ②合数：除了1和它本身还有其他因数的非0自然数（最小合数是4）； ③1既不是质数也不是合数。 （2）常用技巧：100以内质数表需熟记，尤其是20以内质数（2、3、5、7、11、13、17、19）。 2、解题步骤 （1）明确题目要求是质数还是合数，或两者结合； （2）列举范围内的数，逐一判断其因数个数； （3）结合附加条件筛选； （4）验证结果。 考点1：根据因数的特征解决问题 【典型例题】花可以制作植物性天然香料。某茉莉试验田要求每行或每列的种植数量相同，试验田内最多种植48株茉莉，请你给出3种不同的种植方案。（每行每列不少于3株） 【答案】方案一：每行种植3株，种植16行； 方案二：每行种植16株，种植3行； 方案三：每行种植4株，种植12行。 【分析】需要找出满足每行或每列种植数量相同且不少于3株，同时种植总数为48株的种植方案。需要先找出48的因数，从中筛选出符合条件的因数，再通过乘法组合得到不同的种植方案。 【详解】48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 根据题意每行每列不少于3株，所以可取48＝16×3，48＝12×4，48＝8×6。 种植方案： 方案一：每行种植3株，种植16行； 方案二：每行种植16株，种植3行； 方案三：每行种植4株，种植12行； 方案四：每行种植12株，种植4行； 方案五：每行种植6株，种植8行； 方案六：每行种植8株，种植6行。 【练习1】学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【答案】3种；方法见详解 【分析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 【详解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组4人，分成12组； ②每组6人，分成8组； ③每组8人，分成6组 一共有3种分法。 答：共有3种分法。 【练习2】商店里有237枚鸡蛋，选择下面哪一种包装能正好把这些鸡蛋装完？请你用“因数和倍数”单元的知识解答。 【答案】第一种 【分析】若整数a能够被整数b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数。哪种包装里的鸡蛋枚数是总鸡蛋枚数的因数即可先那种包装，可用237分别除以各种包装的鸡蛋枚数。 【详解】（盒） 237能被3整除，说明 237 是 3 的倍数，能按 3 枚一盒正好装完。 237不能被4整除，说明237不是4的倍数，不能按4 枚一盒正好装完。 237不能被5整除，说明237不是5的倍数，不能按5 枚一盒正好装完。 答：选择第一种包装能正好把这些鸡蛋装完。 考点2：根据倍数的特征解决问题 【典型例题】拗九节在农历正月廿九日，是福建省福州十邑地区本土特有的民间传统节日，这天家家户户用糯米、红糖、桂圆等原料煮拗九粥，用来祭祖或馈赠亲友。此外，每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”），或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫过“九”。小明的爸爸今年已经50岁了，你知道他过了几次“九”吗？ 【答案】9次 【分析】分别找出50以内“明九”和“暗九”的次数，再相加，即可求出答案。 【详解】50以内“明九”有：9、19、29、39、49，共5次 50以内“暗九”有：18、27、36、45，共4次 5＋4＝9（次） 答：他过了9次“九”。 【练习1】2024年7月30日，我国选手王楚钦和孙颖莎一路“过关斩将”获得中国奥运会乒乓球混双首金。实验小学六（1）班热爱兵乓球的学生们在家观看了比赛，观看比赛的人数是8的倍数，且在60~70人之间。六（1）班观看比赛的学生有多少人？ 【答案】64人 【分析】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此找到60~70之间8的倍数即可。 【详解】8×1＝8 8×2＝16 8×3＝24 8×4＝32 8×5＝40 8×6＝48 8×7＝56 8×8＝64 60~70之间8的倍数是64。 答：六（1）班观看比赛的学生有64人。 【练习2】金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【答案】181本 【分析】先找出100到200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上13，找出得数在100到200之间最大的数即可解答。 【详解】100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 考点3：2、3、5的倍数特征的实际应用 【典型例题】王老师给手机设置了一个锁屏密码“27□□”，他记得自己设置的这个四位数密码既是5的倍数，又是3的倍数。他最多需要输入几次密码才能解锁手机？为什么？ 【答案】他最多需要输入7次密码才能解锁手机；因为密码可能是2700，2730，2760，2790，2715，2745，2775。 【分析】因为密码是5的倍数，所以这个数的最后一位是0或5，即可能是27☐0或27☐5；如果是27☐0，那么要使这个数是3的倍数，那么四个数字相加的和是3的倍数，所以十位上的数可能是0，3，6，9，即组成的密码是2700，2730，2760，2790，有4个； 如果是27☐5，那么要使这个数是3的倍数，那么四个数字相加的和是3的倍数，所以十位上的数可能是1，4，7，即组成的密码是2715，2745，2775，有3个。 【详解】由分析可知：（次） 答：他最多需要输入7次密码才能解锁手机；因为密码可能是2700，2730，2760，2790，2715，2745，2775。 【练习1】我市某购物中心商品齐全，服务周到，吸引了大量顾客。该购物中心的甜品店制作了115个面包，选择哪种包装盒正好能把它们装完？为什么？ 【答案】选择第四种包装盒正好能把它们装完；因为115是5的倍数 【分析】面包的总个数是每个包装盒装面包的个数的倍数，就选择哪种包装盒，据此解答。 【详解】第一种：115÷2＝57（盒）……1（个），115不是2的倍数，不符合题意。 第二种：115÷3＝38（盒）……1（个），115不是3的倍数，不符合题意。 第三种：115÷4＝28（盒）……3（个），115不是4的倍数，不符合题意。 第四种：115÷5＝23（盒），115是5的倍数，符合题意。 选择第四种包装盒正好能把它们装完，因为115是5的倍数。 答：选择第四种包装盒正好能把它们装完，因为115是5的倍数。 【练习2】聪聪到文具店买3本同样的日记本，日记本的单价已经模糊看不清了，付钱时他付100元，售货员阿姨找了35元给聪聪，聪聪认为钱算错了。你认为呢？你能说明其中的道理吗？ 【答案】算错了；道理见详解 【分析】根据题意，买3本同样的日记本，说明买日记本的钱数是3的倍数；根据聪聪付的钱数和找回的钱数，求出买日记本花的钱数，再根据买日记本花的钱数是不是3的倍数，如果是3的倍数，说明钱没算错，如果不是3的倍数，说明钱算错了，据此解答。 【详解】100－35＝65 6＋5＝11 11÷3＝3……2；11不能被3整除，所以65不是3的倍数，说明钱算错了。 考点4：奇数与偶数的实际应用 【典型例题】一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小船最初在南岸。 （1）摆渡15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 【答案】（1）北岸；见详解；（2）不对；见详解 【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，第1次摆渡是从南岸驶向北岸，即第1次摆渡后船在北岸；第2次摆渡是从北岸驶向南岸，即第2次摆渡后船在南岸；第3次摆渡是从南岸驶向北岸，即第3次摆渡后船在北岸；第4次摆渡是从从北岸驶向南岸，即第4次摆渡后船在南岸⋯不断往返，发现规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸；据此解答。 （2）先判断2016的奇偶性，再根据摆渡的规律即可知道淘气的说法是否正确。 【详解】根据分析得出规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸。 （1）因为15是奇数，所以摆渡15次后，小船是在北岸。 （2）淘气的说法不对，因为2016是偶数，摆渡2016次后，小船应该在南岸。 【练习1】新年到了，妈妈准备用微信给姐姐和弟弟共发80元的红包。如果姐姐抢得的红包钱数为奇数，弟弟抢得的红包钱数为奇数还是偶数？为什么？ 【答案】 奇数，理论见详解 【分析】根据和的奇偶性，奇数＋奇数＝偶数；偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。已知总钱数80元是偶数，若姐姐抢得的钱数为奇数，则弟弟的钱数必须为奇数，才能使奇数加奇数等于偶数。 【详解】已知妈妈发给姐姐和弟弟的红包总钱数为80元，这是一个偶数。 设姐姐的钱数为奇数，弟弟的钱数为，则。 根据“奇数＋奇数＝偶数”的规则，必须为奇数，才能使等式成立。 答：弟弟抢得的红包钱数为奇数。 【练习2】五（1）班学生把二十几张书法作品张贴在教室墙壁上。如果每排贴5张，剩余的张数不够贴一排且是一个偶数。这些书法作品有可能是多少张？ 【答案】22、24、27或29张 【分析】一共二十几张书法作品，一排贴5张，剩余的张数不够贴一排且是一个偶数，那么剩余张数有可能是2张或4张，用5乘4及5×5加上2、4即可得出作品可能有多少张。 【详解】5×4＝20（张） 5×5＝25（张） 20＋2＝22（张） 20＋4＝24（张） 25＋2＝27（张） 25＋4＝29（张） 答：这些书法作品有可能是22、24、27或29张。 考点5：质数与合数的实际应用 【典型例题】为了上好劳动课，学校在教学楼后面划出一块长方形地作为劳动实践基地——植物种植角，这块长方形地的长和宽都是质数，周长是36米，这块长方形地的面积最大是多少呢？（要写出推导过程） 【答案】77平方米 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，则长与宽的和为36÷2＝18，先列举出18以内的所有质数，再找出和为18的质数，最后根据“长方形的面积＝长×宽”求出这块长方形地的最大面积，据此解答。 【详解】36÷2＝18（米） 18以内的质数有2、3、5、7、11、13、17。 5＋13＝18（米） 7＋11＝18（米） 5×13＝65（平方米） 7×11＝77（平方米） 答：这块长方形地的面积最大是77平方米。 【练习1】小丽家的电话号码由八位数字组成，已知第一位数字为10以内最大的偶数；第二位数字为4的最小倍数；第三位数字为只有因数1和3的数；第四位数字为既是偶数又是质数的数；第五位数字为最小的质数；第六位数字为最小的合数；第七位数字为一位数中最大的合数；第八位数字为6的最大因数。你知道这个号码是多少吗？ 【答案】84322496 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 据此确定各数位上的数，即可写出这个八位数。 【详解】10以内最大的偶数是8；4的最小倍数是4；只有因数1和3的数是3；既是偶数又是质数的数是2；最小的质数是2；最小的合数是4；一位数中最大的合数是9；6的最大因数是6，因此这个八位数是：84322496。 答：这个号码是84322496。 【练习2】下面是五年级四个班的人数统计表。 五（1）班 五（2）班 五（3）班 五（4）班 41人 36人 37人 42人 各班准备分学习小组（小组人数不能为1人）。这四个班中，哪些班能分成各组人数都相同的学习小组？哪些不能分成各组人数都相同的小组？请说明理由。 【答案】见详解 【分析】要想分成人数相同的小组，则这个班的人数必须是合数，因为合数至少有3个因数，然后根据合数和质数的定义进行判断即可。 【详解】因为36和42都是合数，所以五（2）班和五（4）班能分成各组人数都相同的学习小组； 41和37都是质数，所以五（1）班和五（3）班不能分成各组人数都相同的小组。 答：五（2）班和五（4）班能分成各组人数都相同的学习小组，因为36和42都是合数，五（1）班和五（3）班不能分成各组人数都相同的小组，因为41和37都是质数。 夯实基础 1．淘淘和乐乐玩掷骰子的游戏，骰子各面上的数字分别为1、2、3、4、5、6，下面的游戏规则中，公平的是（     ）。 A．掷出面朝上的数是2的倍数时，淘淘胜，是3的倍数时乐乐胜 B．掷出面朝上的数是质数时，淘淘胜，是合数时乐乐胜 C．掷出面朝上的数是奇数时，淘淘胜，是偶数时乐乐胜 D．掷出面朝上的数小于4时，淘淘胜，大于4时乐乐胜 【答案】C 【分析】因数与倍数：若整数a能被整数b（b不为0）整除，则a是b的倍数，b是a的因数。 质数与合数：大于1的自然数中，只有1和自身两个因数的是质数，除1和自身外还有其他因数的是合数（1既不是质数也不是合数）。 奇数与偶数：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数。 判断一个游戏规则是否公平，主要看参与游戏的各方获胜的可能性是否相等，如果相等，游戏规则就是公平的；如果不相等，游戏规则就是不公平的。 据此分析各选项，进而得出正确答案。 【详解】A．骰子上是2的倍数的数有2、4、6，共3个；是3的倍数的数有3、6，共2个。淘淘和乐乐获胜的可能性不同，游戏规则不公平。 B．骰子上的质数有2、3、5，共3个；合数有4、6，共2个（1既不是质数也不是合数）。淘淘和乐乐获胜的可能性不同，游戏规则不公平。 C．骰子上的奇数有1、3、5，共3个；偶数有2、4、6，共3个。淘淘和乐乐获胜的可能性相同，游戏规则公平。 D．骰子上小于4的数有1、2、3，共3个；大于4的数有5、6，共2个。淘淘和乐乐获胜的可能性不同，游戏规则不公平。 所以选项C中的游戏规则是公平的。 故答案为：C 2．王叔叔按以下的规则给自己的手机重置了四位锁屏密码（都是非零自然数）。第一个数是3的倍数且是质数；第二个数是最小的奇数；第三个数比最小的合数多2；第四个数是9的因数且是合数。王叔叔手机的锁屏密码是（     ）。 A．3049 B．6129 C．3619 D．3169 【答案】D 【分析】一位数中3的倍数有3、6、9，结合质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数找出第一个数是几； 整数中，不是2的倍数的数叫作奇数；最小的奇数是1； 一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数，最小的合数是4； 先列举出9的所有因数，再从中找出合数即可求出第四个数。 【详解】一位数中3的倍数有3、6、9，其中3的因数只有1和3，所以3是质数，6的因数除了1和6外，还有2和3，所以6是合数，9的因数除了1和9外，还有3，所以9是合数，所以第一个数是3； 最小的奇数是1，所以第二个数是1； 最小的合数是4，4＋2＝6，所以第三个数是6； 9的因数有1、3、9，1既不是质数也不是合数，3是质数，9的因数除了1和9外，还有3，所以9是合数，所以第四个数是9。 所以这个四位数是3169。 故答案为：D 3．小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，（     ）数对了。 A．小明 B．小华 C．小敏 D．都对 【答案】B 【分析】根据题意，银杏树的总棵数应能被行数和每行棵数整除，即总棵数为合数。判断71、78、79是否为质数：71和79是质数，无法分解为两个大于1的整数相乘；78是合数，符合条件。因此小华数对了。 【详解】根据分析可知，小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，小华数对了。 故答案为：B 4．在中国历史长河中，人们喜欢用到数字“6”，比如秦始皇以六为国数、六谷、六畜等。数字“6”之所以熠熠生辉，是因为像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫做完全数（也叫完美数）。比如6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6，下面各数中是完全数的是（     ）。 A．16 B．20 C．28 D．36 【答案】C 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此找出每个数的所有因数，再判断它是否符合完全数的定义。 【详解】A．16＝1×16＝2×8＝4×4 1＋2＋4＋8＝15 15≠16 16不是完全数。 B．20＝1×20＝2×10＝4×5 1＋2＋4＋5＋10＝22 22≠20 20不是完全数。 C．28＝1×28＝2×14＝4×7 1＋2＋4＋7＋14＝28 28是完全数。 D．36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55 55≠36 36不是完全数。 故答案为：C 5．把写有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10数字卡片装入盒子中，任意摸出1张，摸到下面选项中（     ）可能性最小。 A．偶数 B．奇数 C．质数 D．合数 【答案】C 【分析】1~10的数中：2、4、6、8、10是偶数；1、3、5、7、9是奇数；2、3、5、7是质数；4、6、8、9、10是合数；数字出现的次数越少，即被摸出的可能性最小，据此作答。 【详解】由分析可知： 1~10的数中，其中偶数有5个，奇数有5个，质数有4个，合数有5个，因此抽到质数的可能性最小。 故答案为：C 6．杭州亚运会开幕式的日期很特别：表示月份的数是一位数中最大的合数；表示日子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是 3 的最小倍数。开幕式的日期是（     ）。 A．8月23日 B．8月26日 C．9月13日 D．9月23日 【答案】D 【分析】因数只有1和它本身两个的数是质数；因数除了1和它本身还有其他因数是合数。 一位数的合数：4、6、8、9，则最大的是9；最小的质数是2；3的倍数有3、6、9……，最小的就是3，据此解答即可。 【详解】月份：一位数中最大的合数：9 日子：十位上的最小的质数：2 个位上是3的最小倍数：3 开幕式的日期：9月23日 故答案为：D 二、填空题 7．李叔叔的车牌号码是“浙F·E□□□□”，其中的四个数字都很特别：左起第一位既是偶数又是质数，第二位是最小的自然数，第三位既不是质数又不是合数，最后一位既是奇数又是合数。李叔叔的车牌号码是浙F·E（ ）。 【答案】2019 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此确定各位置的数，从而确定李叔叔的车牌号码。 【详解】2既是偶数又是质数，因此左起第一位是2；最小的自然数是0，因此第二位是0；1既不是质数又不是合数，因此第三位是1；一位数中即是奇数又是合数的是9，因此最后一位是9。李叔叔的车牌号码是浙F·E2019。 8．智能快递柜进小区，解决了社区居民取快递“最后100米”的烦恼。居民王阿姨收到一条短信，请你根据下面的描述推断出王阿姨的取件码是（ ）。 取件码由ABCDE五个数字组成，其中A是最大的一位数，B比最小的质数大1，C同时是2和3的倍数，D是最小的合数，E是一位数中最大的偶数。 【答案】93648 【分析】最大的一位数是9；最小的质数是2； 2和3的倍数有6，12，18……其中一位数的倍数只有6；最小的合数是4；能被2整除的数是偶数，比如0，2，4，6，8，10……其中一位数中最大的偶数是8；据此解答。 【详解】由分析可得，A是9，B是2＋1＝3，C是6，D是4，E是8，所以王阿姨的取件码是93648。 9．一个运算程序，运算规则如下图，如果输入15，那么结果是（ ），如果输入7，那么结果是（ ）。 【答案】 32 51 【分析】由运算程序可知：如果输入质数，就按先把质数平方再加2计算；如果输入合数，就按先把合数乘2再加2计算。15是合数（除了1和它本身两个因数，还有因数3、5），按照2×15＋2计算；7是质数（只有1和它本身两个因数），按照72＋2计算。 【详解】2×15＋2 ＝30＋2 ＝32 72＋2 ＝7×7＋2 ＝49＋2 ＝51 所以如果输入15，那么结果是32；如果输入7，那么结果是51。 10．五（3）班共有49人，如果男生人数是奇数，那么女生人数是（ ）。（填“奇数或偶数”） 【答案】偶数 【分析】总人数－男生人数＝女生人数，根据奇数－奇数＝偶数，进行分析。 【详解】49是奇数，男生人数是奇数，奇数－奇数＝偶数，女生人数是偶数。 五（3）班共有49人，如果男生人数是奇数，那么女生人数是偶数。 11．妈妈的行李箱密码是一个三位数，可她只记得中间的数字是5，且这个三位数既是3的倍数又是5的倍数。妈妈最多试（ ）次可以打开行李箱。 【答案】6 【分析】3的倍数：各个数位上的数字之和能被3整除的数，5的倍数：个位是0或5的数，据此结合十位的数字是5，分别列举出个位和百位的可能性即可。 【详解】如果个位数字是0； 5＋1＝6 5＋4＝9 5＋7＝12 百位数字可能是1，4或7，有3种可能性； 如果个位数字是5； 5＋5＋2＝12 5＋5＋5＝15 5＋5＋8＝18 百位数字可能是2，5或8，有3种可能性； 3＋3＝6（次） 妈妈的行李箱密码是一个三位数，可她只记得中间的数字是5，且这个三位数既是3的倍数又是5的倍数。妈妈最多试6次可以打开行李箱。 12．阅读下面的材料，根据材料中的数据，完成下面的问题。 第十八届世界田径锦标赛于当地时间2022年7月15日至24日在美国举行共10天，本届田径世锦赛共设49个项目，其中男、女子35公里竞走取代此前的50公里竞走首次进入世锦赛，中国田径队共派出23名男运动员和30名女运动员参与23个项目的角逐。全队平均年龄26岁，比东京奥运会下降了2岁。 （1）材料中划线的数中，奇数有（ ）；质数有（ ）；（ ）既是奇数又是合数。 （2）材料中划线的数中，是3的倍数的有（ ），既是3的倍数又是5的倍数的有（ ），同时是2和5的倍数的有（ ）。 （3）从文中划线的数中选出一个数，它既是48的因数，又是4的倍数，这个数是（ ）。 【答案】（1） 7、15、49、35、23 7、23、2 15、49、35 （2） 2022、15、24、30 15、30 10、50、30 （3）24 【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 （2）一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 （3）在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 【详解】（1）奇数有7、15、49、35、23；质数有7、23、2；15、49、35既是奇数又是合数。 （2）是3的倍数的有2022、15、24、30，既是3的倍数又是5的倍数的有15、30，同时是2和5的倍数的有10、50、30。 （3）它既是48的因数，又是4的倍数，这个数是24。 13．一根钢筋的米数是10以内最大的质数，王师傅要把它锯成长度均为偶数米的两根，请问可能吗？（ ）（填“可能”或“不可能”），你的理由是（ ）。 【答案】 不可能 两个偶数的和一定是偶数，而7是奇数 【分析】10以内的质数有2、3、5、7，则这根钢筋长7米，由奇数和偶数的运算性质可知，偶数＋偶数＝偶数，而7是奇数，所以无法将奇数长度的钢筋分成两根偶数长度的钢筋，据此解答。 【详解】分析可知，这根钢筋的长度是7米，王师傅要把它锯成长度均为偶数米的两根，是不可能的，因为两个偶数的和一定是偶数，而7是奇数，所以不可能。 14．生命在于运动，有人说走路是最好的运动，妈妈每天坚持走路，今天她的运动步数是一个五位数，位居排行榜第一。这个数万位上的数既不是质数也不是合数，千位上的数是10以内最大的质数，百位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的偶数，个位上的数是最小的合数。这个五位数是（ ）。 【答案】17904 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此确定各数位上的数，写出这个五位数。 【详解】1既不是质数也不是合数；10以内最大的质数是7；最大的一位数是9；最小的偶数是0；最小的合数是4，这个五位数是17904。 15．在学校举办的“爱心义卖活动”中，五年级共捐款357□元，若这个四位数含有因数3，则□里最大可以填（ ）；若要使它既是2的倍数又是5的倍数，则□里应填（ ）。 【答案】 9 0 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数，据此解答。 【详解】357□各个数位上的数字的和：3＋5＋7＝15，15能被3整除，所以□内的数字也是3的倍数，是3的倍数且也是最大的一位数的数字是9，所以□里最大可以填9； 若要使它既是2的倍数又是5的倍数，则□里应填0。 16．学习强国是党中央推出的全国学习平台，陈老师学习强国的积分达到了58963分，至少加上（ ）分就是3的倍数；至少去掉（ ）分就同时是2和5的倍数。 【答案】 2 3 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。据此解答。 【详解】5＋8＋9＋6＋3＝31 31＋2＝33 33是3的倍数，则至少加上2分就是3的倍数。 能被2和5整除的数末尾是0，则 58963－3＝58960 至少去掉3分就同时是2和5的倍数。 17．口袋里有9张写有数字的卡片，从中任意摸出1张。 （1）（ ）摸到自然数，（ ）摸到小数。（填“一定”“可能”或“不可能”） （2）摸到（ ）的可能性大。（填“奇数”或“偶数”） （3）摸到（ ）、（ ）和（ ）的可能性相等。（填“奇数”“偶数”“质数”或“合数”） 【答案】（1） 一定 不可能 （2）奇数 （3） 偶数 质数 合数 【分析】（1）无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件。在任何情况下，都不会发生的事件，是“不可能”事件。在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”事件。 （2）整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。比较奇数和偶数的个数，哪种数的个数多，摸到哪种数的可能性就大。 （3）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。确定奇数、偶数、质数、合数的个数，个数一样多的摸到的可能性相等。 【详解】（1）9张数字卡片全是自然是，一定摸到自然数，没有小数，不可能摸到小数。 （2）奇数有1、13、9、5、7，共5个，偶数有16、2、8、24，共4个，5＞4，摸到奇数的可能性大。 （3）奇数5个，偶数4个，质数有13、2、5、7，共4个，合数有16、9、8、24，共4个，摸到偶数、质数和合数的可能性相等。 18．中国杭州举办的第19届亚洲运动会于2023年9月23日开幕，亚运会主场馆杭州奥体博览城核心区面积约A5B3C00平方米，其中A为最小的非零自然数，B为最小的合数，C为一位数中最大的质数，这个七位数是（ ），四舍五入到万位约为（ ）万。 【答案】 1543700 154 【分析】根据自然数的定义可知，最小的自然数为1，一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。据此可知，最小的合数为4，一位数中最大的质数为7，据此得出七位数；四舍五入到万位要看千位上的数，如果千位上的数小于5，则千位以及千位后面的数舍去；如果千位上的数大于或等于5，则向万位进1，再将千位以及千位后面的数舍去，最后在末尾写上“万”字。 【详解】根据分析可知，A是1，B是4，C是7， 1543700≈154万 A5B3C00表示七位数是1543700；四舍五入到万位约为154万。 培优拔高 19．喜羊羊的QQ号码从左到右依次是：①6的最大因数；②最小的合数；③既不是质数，也不是合数，也不是0；④最小奇数的3倍；⑤最小的自然数；⑥既是质数，又是偶数；⑦5的最小倍数；⑧10以内最大的质数；⑨最大的一位数。喜羊羊的QQ号码是多少呢？ 【答案】641302579 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数。据此确定各数，写出这个QQ号码。 【详解】①6的最大因数是6；②最小的合数是4；③1既不是质数，也不是合数；④最小奇数是1，1的3倍是3；⑤最小的自然数是0；⑥2既是质数，又是偶数；⑦5的最小倍数是5；⑧10以内最大的质数是7；⑨最大的一位数是9。 答：喜羊羊的QQ号码是641302579。 20．小本用46根小棒摆图形，摆一个独立的四边形用4根小棒，摆一个独立的六边形用6根小棒。他摆了一些独立的四边形和独立的六边形后，说自己还剩下11根小棒，他说得对吗？为什么？ 【答案】不对；因为剩下的小棒根数应该是偶数，而11是奇数 【分析】分析题目，摆一些独立的四边形需要的小棒数是4的倍数，摆一些独立的六边形需要的小棒数是6的倍数，4的倍数和6的倍数都是偶数，两个偶数的和还是偶数，所以一共用去偶数根小棒，一共有46根小棒，根据两个偶数相减结果还是偶数解答即可。 【详解】偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，所以小本无论摆几个四边形，用的小棒根数都是偶数，无论摆几个六边形，用的小棒根数也是偶数；偶数＋偶数＝偶数，所以小本用的小棒数一定是偶数；偶数－偶数＝偶数，所以总根数46减去用去的根数结果是偶数，而11是奇数，所以他说得不对。 答：他说得不对。因为剩下的小棒数应该是偶数，而11是奇数，所以不对。 21．便民超市新运进215瓶无菌消毒洗手液，如果每3瓶装一箱，能正好装完吗？如果每5瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【答案】不能；能；215不是3的倍数，是5的倍数 【分析】如果215是3的倍数，则每3瓶装一箱，能正好装完，反之则不能装完。如果215是5的倍数，则每5瓶装一箱，能正好装完，反之则不能装完。根据3和5的倍数的特征进行分析。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 【详解】2＋1＋5＝8，8不是3的倍数，则215不是3的倍数。215个位是5，则215是5的倍数。 答：如果每3瓶装一箱，不能正好装完；如果每5瓶装一箱，能正好装完。因为215不是3的倍数，是5的倍数。 22．有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【答案】 因为8是64的因数，选8本/箱。 【分析】找出哪个种规格包装箱每箱所装的本数是64的因数，即用64除以每箱所装的本数，能整除的即为解。 【详解】 答：因为8是64的因数，所以应选每箱8本的包装箱。 23．一块长方形菜地的长和宽都是质数，且周长是28米，这块菜地的面积是多少平方米？ 【答案】33平方米 【分析】将周长除以2，求出一组长和宽的和。因数只有1和本身的数是质数，据此再结合长和宽的和，找出长方形的长和宽。长方形面积＝长×宽，根据公式再求出这块菜地的面积。 【详解】28÷2＝14（米）    3＋11＝14    11×3＝33（平方米） 答：这块菜地的面积是33平方米。 思维拓展 24．赵老师为同学们买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元。已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 【答案】3.51元 【分析】因为买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元．已知处数字相同，说明9.2是28的倍数，又因28同一个数相乘，末尾的数一定是0，2，4，6，8，故方框内的数可能是0，2，4，6，8，中的任意一个，分别填入0，2，4，6，8试一试，据此可列式解答。 【详解】9.2元92分。 9020、9222、9424、9626均不能被28整除，9828能被28整除，所以处应该填8。（元） 答：每支钢笔3.51元。 25．1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想，其中的“任何不小于7的奇数，都可以表示为三个质数之和”称为“弱哥德巴赫猜想”，并已经得到了成功的证明。根据“弱哥德巴赫猜想”，任意一个不小于7的奇数m，都可以进行这样的拆分（备注：“≥”表示大于或等于）； m＝a＋b＋c（a、b、c均为质数，且a≥b≥c），在m的所有这种拆分中，如果a、c两数之差a－c最小，我们就称a＋b＋c是m的最优拆分。并规定：P（m）＝a－c。例如9可以分解成2＋2＋5，3＋3＋3，因为5－2＞3－3，所以3＋3＋3是9的最优拆分，且P（9）＝0. （1）由上述条件，可得：P（11）＝__________；若P（n）＝1，则n＝__________；若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：__________。 （2）t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y（1≤x≤y≤9，x、y为整数）。若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P（t）的最大值。 【答案】（1）2；7；a＝b＝c          （2）6 【分析】（1）把11分解成三个质数相加，11＝2＋2＋7，11＝3＋3＋5，因为7－2＞5－3，则3＋3＋5是11的最优拆分。P（m）＝a－c，则P（11）＝5－3＝2。 若P（n）＝1，即a－c＝1，a和c是连续的质数，符合条件的只有2和3。如b是2，2＋2＋3＝7，7是质数；如b是3，2＋3＋3＝8，8不是质数，不符合题意。所以n＝7。 若P（n）＝0，即a－c＝0，说明a、b、c是相同的质数。 （2）t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，据此可得：8（x＋y）＋10x＋y＝99，则18x＋9y＝99。99是奇数，18x一定是偶数，偶数＋奇数＝奇数，则9y一定是奇数，那么y也一定是奇数。因为1≤x≤y≤9，据此分别把y＝1、3、5、7或9代入方程，求出x的值，再从中找出符合的两位数，可以求出这个两位数是35、27或19。35的最优拆分是11＋11＋13，27的最优拆分是7＋7＋13，19的最优拆分是5＋7＋7，13－11＝2，13－7＝6，7－5＝2，6＞2，则P（t）的最大值是6。 【详解】（1）通过分析可得：11的最优拆分是3＋3＋5，5－3＝2，则P（11）＝2； 若P（n）＝1，即a－c＝1，则n＝2＋2＋3＝7； 若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：a＝b＝c。 （2）根据题意可得： 8（x＋y）＋10x＋y＝99 解：8x＋8y＋10x＋y＝99 18x＋9y＝99 因为1≤x≤y≤9，符合题意的两位数是35、27或19。 35＝11＋11＋13 27＝7＋7＋13 19＝5＋7＋7 13－11＝2 13－7＝6 7－5＝2 6＞2，则P（t）的最大值是6。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $