期中复习讲义02：因数和倍数（考点梳理+例题讲解+提升练习）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

期中复习讲义02：因数和倍数 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、因数和倍数的认识 1.定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数（即被除数÷除数=商，商为整数，余数为0），那么被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。例如，6÷2=3，6是2和3的倍数，2和3是6的因数。 2.依存关系：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。如“6是倍数”“2是因数”的说法错误，应表述为“6是2和3的倍数”“2是6的因数”。 3.表示方法： (1)列举法：将一个数的因数或倍数按从小到大的顺序一一列出。如12的因数：1、2、3、4、6、12；5的倍数：5、10、15、20…… (2)集合圈法：用集合圈表示因数或倍数，集合圈内写具体的数，圈外标注“XX的因数”或“XX的倍数”。 考点二、因数和倍数的特征 1.因数的特征： (1)一个数的因数个数是有限的。 (2)最小的因数是1，最大的因数是它本身。 (3)因数具有对称性，即如果a是b的因数，那么b÷a的商也是b的因数（如6的因数1和6、2和3成对出现）。 2.倍数的特征： (1)一个数的倍数个数是无限的。 (2)最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 (3)倍数具有传递性，即如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数（如12是6的倍数，6是3的倍数，则12是3的倍数）。 3.因数与倍数的区别： (1)因数个数有限，倍数个数无限； (2)因数小于或等于原数，倍数大于或等于原数。 考点三、根据因数和倍数的特征解决问题 1.求一个数的因数的方法： (1)除法算式法：用该数依次除以1、2、3……，直到商大于除数为止，能整除的除数和商都是该数的因数。 (2)乘法算式法：将该数表示为两个整数相乘的形式（a×b=该数），则a和b都是该数的因数。 (3)注意：因数需成对寻找，避免重复或遗漏。 2.求一个数的倍数的方法： (1)用该数依次乘1、2、3、4……，所得的积都是该数的倍数。 (2)表示时通常写出前几个倍数，后面用“……”表示无限性。 3.解决问题的关键步骤： (1)明确问题类型：判断是求因数还是倍数（如“找一个数的所有因数”“判断一个数是否是另一个数的倍数”等）。 (2)运用特征分析：根据因数有限、倍数无限，或最大/最小因数（倍数）的特征缩小范围。 (3)验证结果：检查因数是否成对、倍数是否符合定义（如商为整数且无余数）。 考点四、2、3、5的倍数特征 1.2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的整数（0也是2的倍数）。 2.5的倍数特征：个位上是0或5的整数。 3.3的倍数特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如，123：1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 4.特殊组合的倍数特征： (1)同时是2和5的倍数：个位上必须是0（如10、20、30……）。 (2)同时是2、3、5的倍数：个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数（如30、60、90……）。 考点五、奇数与偶数的认识 1.定义： (1)偶数：是2的倍数的数，可表示为2n（n为整数），如0、2、4、6…… (2)奇数：不是2的倍数的数，可表示为2n+1（n为整数），如1、3、5、7…… 2.0的特殊性：0是最小的偶数（注意：小学阶段研究的奇数和偶数均为整数，0是偶数）。 3.特征： (1)偶数的个位是0、2、4、6、8；奇数的个位是1、3、5、7、9。 (2)连续的两个整数中，必有一个奇数和一个偶数。 考点六、质数与合数的认识及应用 1.质数（素数）的定义：一个大于1的整数，除了1和它本身没有其他因数，这样的数叫做质数。最小的质数是2（唯一的偶质数），其他质数都是奇数（如3、5、7、11……）。 2.合数的定义：一个大于1的整数，除了1和它本身还有其他因数，这样的数叫做合数。最小的合数是4，合数至少有3个因数（如4的因数有1、2、4）。 3.1的特殊性：1既不是质数也不是合数（因为1只有1个因数）。 4.判断方法： (1)质数：只有2个因数（1和本身）； (2)合数：有3个或3个以上因数； (3)可通过检查该数是否能被2、3、5等质数整除来快速判断（若一个数小于某个质数的平方，且不能被比它小的质数整除，则为质数）。 5.应用： (1)分解质因数：将一个合数用质数相乘的形式表示（如12=2×2×3），可用于简化计算或求最大公因数、最小公倍数。 (2)判断一个数是否为质数：用于解决“密码设置”“分组问题”等实际场景。 考点七、运算性质（奇数和偶数） 1.加减法性质： (1)奇数±奇数=偶数（如3+5=8，7-3=4）； (2)偶数±偶数=偶数（如4+6=10，8-2=6）； (3)奇数±偶数=奇数（如3+4=7，9-2=7）。 2.乘法性质： (1)奇数×奇数=奇数（如3×5=15）； (2)偶数×偶数=偶数（如4×6=24）； (3)奇数×偶数=偶数（如3×4=12）。 3.总结规律： (1)加减运算：“同奇同偶为偶，一奇一偶为奇”； (2)乘法运算：“有偶则偶，无偶则奇”（只要乘数中有一个偶数，积必为偶数；所有乘数都是奇数，积才为奇数）。 例题讲解 题型一、因数和倍数的认识 【例题1】48÷6＝8，( )和( )是48的因数，48是( )和( )的倍数。 【答案】 6 8 6 8 【分析】因数：一整数被另一整数整除，后者即是前者的因数，如1，2，4都是8的因数； 倍数：一个数能够被另一数整除，这个数就是另一数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。 【详解】所以48÷6＝8，6和8是48的因数，48是6和8的倍数。 【变式训练1】3.6÷0.4＝9，所以3.6是0.4的倍数，0.4是3.6的因数。( ) 【答案】× 【分析】根据因数和倍数的定义，当且仅当被除数、除数、商均为整数时，才能讨论因数与倍数的关系。本题中3.6和0.4均为小数，不符合整数条件，因此结论错误。 【详解】因数和倍数只在整数范围内讨论。虽然3.6÷0.4＝9成立，但3.6和0.4均为小数，不符合整数要求，因此3.6不是0.4的倍数，0.4也不是3.6的因数。原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练2】如果“16→8”表示8是16的因数，下面各图中正确表示各数关系的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】箭头指向的数是箭头起点的数的因数，也就是“起点数→因数”，据此判断每个选项。因数的定义，如果a÷b＝c（a、b、c均为非0的自然数），那么b和c是a的因数。 【详解】A．24和48之间，24是48的因数，箭头方向正确；2和24之间，2是24的因数，箭头方向正确；2和48之间，2是48的因数，箭头方向错误；该选项错误； B．24和48之间，24是48的因数，箭头方向正确；2和24之间，2是24的因数，箭头方向正确；2和48之间，2是48的因数，箭头方向正确；该选项正确； C．24和48之间，24是48的因数，箭头方向错误；2和24之间，2是24的因数，箭头方向正确；2和48之间，2是48的因数，箭头方向错误；该选项错误； D．24和48之间，24是48的因数，箭头方向错误；2和24之间，2是24的因数，箭头方向错误；2和48之间，2是48的因数，箭头方向错误；该选项错误。 正确表示各数关系的是图。 题型二、因数和倍数的特征 【例题2】20的因数有( )个，7的倍数有( )个。 【答案】 6 无数 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 找一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】20的因数：1，2，4，5，10，20；共有6个； 7的倍数：7，14，21，28，35，42，49…；有无数个。 填空如下： 20的因数有（6）个，7的倍数有（无数）个。 【变式训练1】一个数的最大因数是36，这个数是( )，它有( )个因数，它最小的倍数是( )。 【答案】 36 9 36 【分析】一个数的最大因数是它本身；根据找一个数因数的方法，列举出36的所有因数，一个数的最小倍数是它本身。 【详解】一个数的最大因数是36，所以这个数是36； 36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个； 36的最小倍数是36。 【变式训练2】一个数既是6的倍数，又是48的因数，这个数可能是( )。 【答案】6、12、24、48 【分析】一个数既是48的因数，又是6的倍数，即求48以内的6的倍数，先求出48的因数和6的倍数，再找出共同的数即可。 【详解】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。 所以一个数既是48的因数，又是6的倍数，这个数可能是：6、12、24、48。 题型三、根据因数和倍数的特征解决问题 【例题3】某社区有60人参加广场舞比赛，这60人要排成一个方队，要求每行和每列的人数都不少于3人，每行的人数多于每列的人数，有几种不同的排法？ 【答案】4种 【分析】根据题意，行数×列数＝60，即行数和列数是60的一对因数，并且需要满足条件：行数≥3，列数≥3，每行人数＞每列人数，根据乘法算式列出60的因数，看满足条件的有几对即可。 【详解】1×60＝60（1＜3，不符合） 2×30＝60（2＜3，不符合） 3×20＝60（每行20人，每列3人，符合条件） 4×15＝60（每行15人，每列4人，符合条件） 5×12＝60（每行12人，每列5人，符合条件） 6×10＝60（每行10人，每列6人，符合条件） 综上：有4种不同排法。 答：有4种不同的排法。 【变式训练1】为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。 【答案】一共有3种装法。一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 【分析】根据题意，把20枚阅兵式纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，要解决这个问题，我们需要找到20的所有因数，题目要求盒子个数大于3且小于11，筛选出符合条件的因数，再计算出每盒要装多少枚即可。 【详解】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 其中大于3小于11的有：4，5，10； 当盒子数为4时，每个盒子装20÷4＝5（枚） 当盒子数为5时，每个盒子装20÷5＝4（枚） 当盒子数为10时，每个盒子装20÷10＝2（枚） 答：一共有3种装法，一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 【变式训练2】2024年7月30日，我国选手王楚钦和孙颖莎一路“过关斩将”获得中国奥运会乒乓球混双首金。实验小学六（1）班热爱兵乓球的学生们在家观看了比赛，观看比赛的人数是8的倍数，且在60~70人之间。六（1）班观看比赛的学生有多少人？ 【答案】64人 【分析】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此找到60~70之间8的倍数即可。 【详解】8×1＝8 8×2＝16 8×3＝24 8×4＝32 8×5＝40 8×6＝48 8×7＝56 8×8＝64 60~70之间8的倍数是64。 答：六（1）班观看比赛的学生有64人。 题型四、2、3、5的倍数特征 【例题4】下面各数中，（    ）同时含有2、3、5的因数。 A．20 B．25 C．30 D．50 【答案】C 【分析】要找同时含2、3、5因数的数，需满足“个位是0且各位数字之和是3的倍数”两个条件。 【详解】A．个位0，但2＋0＝2不是3的倍数，不符合题意； B．个位不是0，不符合题意； C．个位0，且3＋0＝3是3的倍数，符合题意； D．个位0，但5＋0＝5不是3的倍数，不符合题意； 30同时含有2、3、5的因数。 【变式训练1】在45、36、90这三个数中，既是2的倍数也是3的倍数的有( )，既是3的倍数也是5的倍数的有( )，同时是2、3、5的倍数的数是( )。 【答案】 36、90 45、90 90 【分析】既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】45个位数字是5，不是2的倍数； 36个位数字是6，3＋6＝9，9是3的倍数，36既是2的倍数也是3的倍数； 90个位数字是0，9＋0＝9，9是3的倍数，90既是2的倍数也是3的倍数。 45个位数字是5，4＋5＝9，9是3的倍数，45既是3的倍数也是5的倍数； 36个位数字是6，不是5的倍数； 90个位数字是0，9＋0＝9，9是3的倍数，90既是3的倍数也是5的倍数。 45个位数字是5，不是2、3、5的倍数； 36个位数字是6，不是2、3、5的倍数； 90个位数字是0，9＋0＝9，9是3的倍数，90同时是2、3、5的倍数。 在45、36、90这三个数中，既是2的倍数也是3的倍数的有36、90，既是3的倍数也是5的倍数的有45、90，同时是2、3、5的倍数的数是90。 【变式训练2】32是一个四位数，它既是2和5的倍数，也是3的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 3120 3720 【分析】这个数同时是2和5的倍数，这个四位数的个位数字是0；这个数还是3的倍数，各位数字之和是3的倍数，逐一分析百位上可填的数字（0到9），进而确定最小的数和最大的数。 【详解】这个数同时是2和5的倍数，所以个位数字是0。 3＋2＋0＝5 5＋0＝5，5不是3的倍数，不符合； 5＋1＝6，6是3的倍数，符合，这个数是3120； 5＋2＝7，7不是3的倍数，不符合； 5＋3＝8，8不是3的倍数，不符合； 5＋4＝9，9是3的倍数，符合，这个数是3420； 5＋5＝10，10不是3的倍数，不符合； 5＋6＝11，11不是3的倍数，不符合； 5＋7＝12，12是3的倍数，符合，这个数是3720； 5＋8＝13，13不是3的倍数，不符合； 5＋9＝14，14不是3的倍数，不符合。 综上，这个数最小是3120，最大是3720。 题型五、奇数与偶数的认识 【例题5】下面四个数中，既是偶数，又是3的倍数的是（    ）。 A．102 B．201 C．280 D．555 【答案】A 【分析】根据偶数和3的倍数的定义，逐一验证选项。偶数是能够被2所整除的整数，偶数的个位必须是0、2、4、6或8；3的倍数需各位数字之和能被3整除。 【详解】A．102：个位为2，是偶数。各位数字之和：1＋0＋2＝3，3能被3整除，故是3的倍数。此选项正确； B．201：个位为1，不是偶数，直接排除。此选项错误； C．280：个位为0，是偶数。各位数字之和：2 ＋ 8 ＋ 0 ＝ 10，10不能被3整除，故不是3的倍数。此选项错误； D．555：个位为5，不是偶数，直接排除。此选项错误。 故答案为：A 【变式训练1】分一分，填一填。 1     13     8     4     19     2     16     246     155     307 【答案】奇数：1，13，19，155，307； 偶数：8；4；2；16；246 【分析】整数中，是2的倍数的是叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数。据此可进行分类。 【详解】奇数：1，13，19，155，307；偶数：8；4；2；16；246。 【变式训练2】奇思和妙想玩跳棋，准备了1~5五个数字卡片，每次抽一张，然后放回去，另一个人再抽。抽到奇数妙想先走，抽到偶数奇思先走。这种方法( )。（填“公平”或“不公平”。） 【答案】不公平 【分析】已知：准备了1~5五个数字卡片，也就是有数字1、2、3、4、5，其中奇数有1、3、5共3个，偶数有2、4共2个，3＞2，所以抽到奇数的可能性大于抽到偶数的可能性，据此分析。 【详解】奇思和妙想玩跳棋，准备了1~5五个数字卡片，每次抽一张，然后放回去，另一个人再抽。抽到奇数妙想先走，抽到偶数奇思先走。这种方法不公平。 题型六、质数与合数的认识及应用 【例题6】在1，2，3，4，19，21，53，87这些数中，( )是质数，( )是合数，( )既是质数又是偶数，( )既不是质数，也不是合数。 【答案】 2、3、19、53 4、21、87 2 1 【分析】质数：只有1和它本身两个因数的数；合数：除了1和它本身还有其他因数的数；偶数：能被2整除的数；1既不是质数也不是合数。根据以上定义进行数的分类。 【详解】质数：2，3，19，53； 合数：4，21，87； 既是质数又是偶数：2； 既不是质数，也不是合数：1。 【变式训练1】一个四位数，个位上是最小的质数、十位上是最小的奇数、百位上是最小的偶数，千位上是最小的合数，这个数是( )。 【答案】4012 【分析】最小的质数是2，最小的奇数是1，最小的偶数是0，最小的合数是4。 【详解】个位上是2，十位上是1，百位上是0，千位上是4，这个数是4012。 【变式训练2】爷爷家有一块长方形的菜地，这块菜地的周长是56米，并且长和宽的米数是不同质数，这块菜地的面积最大是多少？ 【答案】187平方米 【分析】根据题意，长方形周长56米，长和宽为不同质数。周长公式为，故。需找出两个不同质数之和为28的组合，并计算其乘积的最大值。 【详解】列出小于28的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23。 寻找和为28的不同质数组合： ，乘积为 ，乘积为 答：这块菜地的面积最大是187平方米。 题型七、运算性质（奇数和偶数） 【例题7】在括号里填上“奇数”或“偶数”。 奇数＋偶数的和是( )，奇数×偶数的积是( )。 【答案】 奇数 偶数 【分析】根据奇数和偶数的运算性质：奇数＋偶数＝奇数，奇数×偶数＝偶数。 【详解】奇数＋偶数：例如3＋2＝5（奇数），所以和是奇数。 奇数×偶数：例如3×2＝6（偶数），所以积是偶数。 【变式训练1】奇数×奇数＝( )，奇数－偶数＝( )，奇数＋奇数＝( )。 【答案】 奇数 奇数 偶数 【分析】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数。根据数的奇偶性可知，奇数＋奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，奇数－偶数＝奇数。据此举例解答即可。 【详解】如：3和5都是奇数，3×5＝15，则奇数×奇数＝奇数； 5是奇数，2是偶数，5－2＝3，则奇数－偶数＝奇数； 3和5都是奇数，3＋5＝8，则奇数＋奇数＝偶数。 【变式训练2】1＋3＋5＋…＋29的和是( )，1×2×3×4×…×29的积是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】 奇数 偶数 【分析】根据“奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数”可知，奇数个奇数相加的和还是奇数，偶数个奇数相加的和是偶数，“1＋3＋5＋…＋29”共有15个奇数相加；奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，1×2×3×4×…×29中的乘数有奇数有偶数，若干个非0自然数相乘时，只要有一个乘数是偶数，则积也为偶数；据此解答即可。 【详解】根据分析可知，1＋3＋5＋…＋29共有15个奇数相加，奇数个奇数相加和是奇数； 1×2×3×4×…×29中乘数有奇数有偶数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，所以积是偶数。 1＋3＋5＋…＋29的和是奇数，1×2×3×4×…×29的积是偶数。 提升练习 1．下面各数中，（    ）是7的倍数。 A．20 B．32 C．49 D．65 【答案】C 【分析】分别计算每个数除以7的结果，能够整除的就是7的倍数。 【详解】A．20÷7＝2……6，不是7的倍数； B．32÷7＝4……4，不是7的倍数； C．49÷7＝7，是7的倍数； D．65÷7＝9……2， 不是7的倍数。 49是7的倍数。 2．下面各数中（    ）是合数。 A．13 B．17 C．37 D．57 【答案】D 【分析】一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫合数，据此解答。 【详解】A．13的因数只有1和它本身，是质数； B．17的因数只有1和它本身，是质数 C．37的因数只有1和它本身，是质数； D．57的因数除了1和它本身，还有3和19，是合数。 3．一个数同时含有2、3、5的因数，这个数最小是（    ）。 A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】2、3、5均为质数，且两两互质。一个数同时有2、3、5这三个因数，那么这个数最小是2、3、5的最小公倍数，互质数的最小公倍数是它们的乘积。 【详解】2×3×5＝30 所以，这个数最小是30。 4．教室电脑桌面的锁屏密码是一个四位数“5□1□”，李老师给出提示信息：已知这个四位数既是2的倍数，又是3和5的倍数，同学们要找到正确密码，最多需要输入（    ）次。 A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】2的倍数特征：个位上是0，2，4，6或8的数，都是2的倍数，5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数，3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，既是2的倍数，又是3和5的倍数，那么个位数是0，并且各位上的数的和是3的倍数，据此解答。 【详解】同时是2和5的倍数，则个位上的数是0，又是3的倍数， 5＋1＋0＝6，那么百位上的数可能是0或3或6或9，6＋0＝6，6＋3＝9，6＋6＝12，6＋9＝15，6，9，12，15都是3的倍数，所以密码可能是5010，5310，5610，5910，因此最多需要输入4次。 5．数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5 就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是（    ）。 A．2和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15 【答案】C 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。由题意可知，孪生质数是指两个数都是质数且它们的差为2，据此逐一分析各项即可。 【详解】A．2和3都是质数，但它们的差不是2，不符合题意； B．9不是质数，不符合题意； C．11和13都是质数，且它们的差为2，符合题意； D．15不是质数，不符合题意。 是孪生质数的是11和13。 6．除了2，任意两个质数的和一定是偶数。( ) 【答案】√ 【分析】除了2以外，所有质数都是奇数。根据“奇数＋奇数＝偶数”的规律，任意两个非2的质数相加，结果一定是偶数。 【详解】除了2之外，任意两个质数的和一定是偶数。原题说法正确。 故答案为：√ 7．2、3、1这三个数字，无论怎样排列成三位数，一定是3的倍数。( ) 【答案】√ 【分析】一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此判断。 【详解】2＋3＋1 ＝5＋1 ＝6 6÷3＝2 6是3的倍数，所以2、3、1这三个数字，无论怎样排列成三位数，一定是3的倍数。 故答案为：√ 8．质数都是奇数，合数都是偶数。( ) 【答案】× 【分析】不能被2整除的数叫做奇数；能被2整除的数叫做偶数；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身外，还有其它因数，这样的数叫做合数。 【详解】2是质数，2是偶数； 9是合数，9是奇数。 所以质数不一定都是奇数，合数不一定都是偶数。 故答案为：× 9．在自然数中，50以内既是质数又是奇数的数共有10个。( ) 【答案】× 【分析】在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数；一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。据此找出50以内既是质数又是奇数的数。 【详解】50以内的奇数有：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43，45，47，49。 50以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47。其中，2是偶数，不是奇数；其余的3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47是质数，又是奇数，一共有14个。 在自然数中，50以内既是质数又是奇数的数共有14个。 故答案为：× 10．12的因数有( )，其中既是质数又是偶数的数是( )。 【答案】 1，2，3，4，6，12 2 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【详解】12＝1×12 12＝2×6 12＝3×4 12的全部因数有：1，2，3，4，6，12；其中既是质数又是偶数的数是2。 11．36的因数有( )，在这些因数中，质数有( )，合数有( )，奇数有( )，偶数有( )。 【答案】 1、2、3、4、6、9、12、18、36 2、3 4、6、9、12、18、36 1、3、9 2、4、6、12、18、36 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），偶数的个位数字为0、2、4、6、8，不是2的倍数的数叫作奇数，奇数的个位数字为1、3、5、7、9，最小的奇数是1；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，1既不是质数也不是合数。 【详解】36÷1＝36 36÷2＝18 36÷3＝12 36÷4＝9 36÷6＝6 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，在这些因数中，质数有2、3，合数有4、6、9、12、18、36，奇数有1、3、9，偶数有2、4、6、12、18、36。 12．一个两位数既是5的倍数，又是3的倍数，而且是偶数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 30 90 【分析】个位数字是0、2、4、6、8的数是偶数。个位数字是0或5的数是5的倍数；一个数各个数位上数字之和是3的倍数，那么这个数是3的倍数；据此解答。 【详解】一个两位数，它是偶数，又是5的倍数，则个位数字一定是0。 当十位数字是3、6、9时，即两位数30、60、90是3的倍数。 所以这个数最小是30，最大是90。 13．同学们报名参加跳绳比赛，参赛人数是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有( )人报名参加。 【答案】36 【分析】先计算72的因数，4和9的倍数，再找出其中最小的相同数即可。 【详解】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9 4和9的倍数：36、72、144、288 符合条件的数有36和72，最小的数是36。 14．206至少加上( )是3的倍数，至少减去( )是5的倍数。 【答案】 1 1 【分析】3的倍数特征：一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【详解】2＋0＋6＝8，8＋1＝9，9是3的倍数，所以206至少加上1是3的倍数； 206的个位是6，6－1＝5，205是5的倍数，所以206至少减去1是5的倍数。 15．李浩给电脑设置了一个六位数的开机密码：第一位，既是偶数，又是质数；第二位，既是5的倍数，又是5的因数；第三位，既是2的倍数，又是3的倍数；第四位，所有的因数是1、2、4、8；第五位，既是奇数，又是合数；第六位，自然数中最小的偶数。李浩设置的电脑开机密码是( )。 【答案】256890 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。奇数指不能被2整除的整数，偶数是能够被2所整除的整数。因数是指整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，就说b是a的因数。倍数是指一个整数能够被另一个整数整除，那么这个整数就是另一整数的倍数。据此解答。 【详解】第一位：质数中的偶数只有2，因此既是偶数，又是质数，这个数是2； 第二位：5的倍数（一位数）只能是5或0，但5的因数只有1和5，因此既是5的倍数，又是5的因数，这个数是5； 第三位：既是2的倍数，又是3的倍数，这个数是2和3的最小公倍数，这个数是6； 第四位：8的所有的因数是1、2、4、8，因此这个数是8； 第五位：一位数中既是奇数又是合数的数是9，因此既是奇数，又是合数，这个数是9； 第六位：自然数包括0，最小的偶数是0，因此这个数是0。 李浩设置的电脑开机密码是256890。 16．古人的年龄有时不用数表示，而是用一种与年龄有关的称谓来代替，如“花甲”指六十岁、“古稀”指七十岁、“耄耋”指八九十岁。聪聪爷爷今年已经年过古稀，未及耄耋，且年龄既是2的倍数，又有因数3，聪聪爷爷今年的年龄最小是( )岁。 【答案】72 【分析】聪聪爷爷年龄在71到79之间，是2的倍数（个位上的数字是0、2、4、6、8的数），同时各个数位数字之和能被3整除。 【详解】71到79之间是2的倍数的有：72、74、76、78； 7＋2＝9，能被3整除； 7＋4＝11，不能被3整除； 7＋6＝13，不能被3整除； 7＋8＝15，能被3整除。 所以聪聪爷爷今年的年龄最小是72岁。 17．“25”是一个三位数，当里填( )时，它既是2的倍数，又是5的倍数；当里填( )时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 【答案】 0 5 【分析】既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】 既是2的倍数又是5的倍数的数的个位数字一定是0，“25”是一个三位数，当里填0时，它既是2的倍数，又是5的倍数；2＋5＋0＝7、2＋5＋5＝12，当里填5时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 18．由4，5，6三个数字可以组成( )个不重复的两位数。这些数中是2的倍数的是( )，同时是3和5的倍数的是( )。 【答案】 6 46、54、56、64 45 【分析】先有序列举出用4、5、6组成的所有没有重复数字的两位数；判断2的倍数时，看个位数字是否为0、2、4、6、8；判断同时是3和5的倍数时，既要满足个位是5，又要满足各位上数字之和是3的倍数。 【详解】由4，5，6三个数字组成的两位数有45、46、54、56、64、65，共6个； 45个位数字是5（不是2的倍数），46个位数字是6（是2的倍数），54个位数字是4（是2的倍数），56个位数字是6（是2的倍数），64个位数字是4（是2的倍数），65个位数字是5（不是2的倍数），所以是2的倍数的是46、54、56、64； 个位数字是5的数有45和65，但65的各位数字之和是6＋5＝11，不是3的倍数，不符合；45的各位数字之和是4＋5＝9，是3的倍数，所以同时是3和5的倍数的是45。 19．把一根长120厘米的铁丝截成同样长的若干段，每段长为整厘米数，大于10厘米且小于20厘米，共有几种截法？ 【答案】2种 【分析】铁丝总长度＝每段长度×段数，因此每段长度必须是120的因数。 找120的因数中满足大于10且小于20的数，每一个符合条件的因数对应一种截法。 【详解】120的因数：1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。 大于10且小于20的数：12，15。 答：共有2种截法。 20．云云的妈妈在超市买了3桶同样的花生油，付款时售货员说应付257元，云云认为不对。你觉得云云的看法正确吗？说说你的理由。（每桶花生油的单价为整元数） 【答案】正确；理由见详解 【分析】单价×数量＝总价。3桶油的价钱应该是3的倍数，3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】花生油单价×3桶＝应付钱数 2＋5＋7＝14 257不是3的倍数。 答：云云的看法正确。因为每桶花生油的单价为整元数，3桶同样的花生油的价钱应该是3的倍数，257不是3的倍数，付257元不对。 21．依依买了一个笔袋、几支钢笔和几本笔记本，付给售货员50元，售货员叔叔找给她25元。依依看了看单价，说：“叔叔，您把账算错啦！”想一想，依依为什么这么快就知道账算错了？ 【答案】见详解 【分析】首先判断依依的付款和各种商品的单价是偶数还是奇数，然后依据奇偶加减的运算规律进行推断。 【详解】笔袋、钢笔、笔记本的单价都是偶数，它们的总价也一定是偶数，三个偶数的和是偶数，50元减去一个偶数，差也一定是偶数。而售货员叔叔找给她25元是奇数，所以一看就知道账算错了。（答案不唯一，合理即可） 【点睛】奇偶加减的运算规律：偶数±偶数＝偶数，偶数±奇数＝奇数； 奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数； 22．为了推进美丽乡村的建设，幸福村规划再建一个长方形健身场所，这个长方形健身场所的长和宽均为质数，并且周长是64米。这个长方形健身场所的面积最大是多少？ 【答案】247平方米 【分析】先根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出长与宽的和。然后根据质数的定义，找出和为该值的两个质数有哪些组合。接着根据长方形面积＝长×宽，分别求出每种组合下的长方形面积。最后比较面积大小，求出最大值。 【详解】长与宽的和：64÷2＝32（米） 32以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31。 3＋29＝32（3和29均为质数） 13＋19＝32（13 和 19 均为质数） 3×29＝87（平方米） 13×19＝247（平方米） 247＞87 答：这个长方形健身场所的面积最大是247平方米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义02：因数和倍数 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、因数和倍数的认识 1.定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数（即被除数÷除数=商，商为整数，余数为0），那么被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。例如，6÷2=3，6是2和3的倍数，2和3是6的因数。 2.依存关系：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。如“6是倍数”“2是因数”的说法错误，应表述为“6是2和3的倍数”“2是6的因数”。 3.表示方法： (1)列举法：将一个数的因数或倍数按从小到大的顺序一一列出。如12的因数：1、2、3、4、6、12；5的倍数：5、10、15、20…… (2)集合圈法：用集合圈表示因数或倍数，集合圈内写具体的数，圈外标注“XX的因数”或“XX的倍数”。 考点二、因数和倍数的特征 1.因数的特征： (1)一个数的因数个数是有限的。 (2)最小的因数是1，最大的因数是它本身。 (3)因数具有对称性，即如果a是b的因数，那么b÷a的商也是b的因数（如6的因数1和6、2和3成对出现）。 2.倍数的特征： (1)一个数的倍数个数是无限的。 (2)最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 (3)倍数具有传递性，即如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数（如12是6的倍数，6是3的倍数，则12是3的倍数）。 3.因数与倍数的区别： (1)因数个数有限，倍数个数无限； (2)因数小于或等于原数，倍数大于或等于原数。 考点三、根据因数和倍数的特征解决问题 1.求一个数的因数的方法： (1)除法算式法：用该数依次除以1、2、3……，直到商大于除数为止，能整除的除数和商都是该数的因数。 (2)乘法算式法：将该数表示为两个整数相乘的形式（a×b=该数），则a和b都是该数的因数。 (3)注意：因数需成对寻找，避免重复或遗漏。 2.求一个数的倍数的方法： (1)用该数依次乘1、2、3、4……，所得的积都是该数的倍数。 (2)表示时通常写出前几个倍数，后面用“……”表示无限性。 3.解决问题的关键步骤： (1)明确问题类型：判断是求因数还是倍数（如“找一个数的所有因数”“判断一个数是否是另一个数的倍数”等）。 (2)运用特征分析：根据因数有限、倍数无限，或最大/最小因数（倍数）的特征缩小范围。 (3)验证结果：检查因数是否成对、倍数是否符合定义（如商为整数且无余数）。 考点四、2、3、5的倍数特征 1.2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的整数（0也是2的倍数）。 2.5的倍数特征：个位上是0或5的整数。 3.3的倍数特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如，123：1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 4.特殊组合的倍数特征： (1)同时是2和5的倍数：个位上必须是0（如10、20、30……）。 (2)同时是2、3、5的倍数：个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数（如30、60、90……）。 考点五、奇数与偶数的认识 1.定义： (1)偶数：是2的倍数的数，可表示为2n（n为整数），如0、2、4、6…… (2)奇数：不是2的倍数的数，可表示为2n+1（n为整数），如1、3、5、7…… 2.0的特殊性：0是最小的偶数（注意：小学阶段研究的奇数和偶数均为整数，0是偶数）。 3.特征： (1)偶数的个位是0、2、4、6、8；奇数的个位是1、3、5、7、9。 (2)连续的两个整数中，必有一个奇数和一个偶数。 考点六、质数与合数的认识及应用 1.质数（素数）的定义：一个大于1的整数，除了1和它本身没有其他因数，这样的数叫做质数。最小的质数是2（唯一的偶质数），其他质数都是奇数（如3、5、7、11……）。 2.合数的定义：一个大于1的整数，除了1和它本身还有其他因数，这样的数叫做合数。最小的合数是4，合数至少有3个因数（如4的因数有1、2、4）。 3.1的特殊性：1既不是质数也不是合数（因为1只有1个因数）。 4.判断方法： (1)质数：只有2个因数（1和本身）； (2)合数：有3个或3个以上因数； (3)可通过检查该数是否能被2、3、5等质数整除来快速判断（若一个数小于某个质数的平方，且不能被比它小的质数整除，则为质数）。 5.应用： (1)分解质因数：将一个合数用质数相乘的形式表示（如12=2×2×3），可用于简化计算或求最大公因数、最小公倍数。 (2)判断一个数是否为质数：用于解决“密码设置”“分组问题”等实际场景。 考点七、运算性质（奇数和偶数） 1.加减法性质： (1)奇数±奇数=偶数（如3+5=8，7-3=4）； (2)偶数±偶数=偶数（如4+6=10，8-2=6）； (3)奇数±偶数=奇数（如3+4=7，9-2=7）。 2.乘法性质： (1)奇数×奇数=奇数（如3×5=15）； (2)偶数×偶数=偶数（如4×6=24）； (3)奇数×偶数=偶数（如3×4=12）。 3.总结规律： (1)加减运算：“同奇同偶为偶，一奇一偶为奇”； (2)乘法运算：“有偶则偶，无偶则奇”（只要乘数中有一个偶数，积必为偶数；所有乘数都是奇数，积才为奇数）。 例题讲解 题型一、因数和倍数的认识 【例题1】48÷6＝8，( )和( )是48的因数，48是( )和( )的倍数。 【变式训练1】3.6÷0.4＝9，所以3.6是0.4的倍数，0.4是3.6的因数。( ) 【变式训练2】如果“16→8”表示8是16的因数，下面各图中正确表示各数关系的是（    ）。 A． B． C． D． 题型二、因数和倍数的特征 【例题2】20的因数有( )个，7的倍数有( )个。 【变式训练1】一个数的最大因数是36，这个数是( )，它有( )个因数，它最小的倍数是( )。 【变式训练2】一个数既是6的倍数，又是48的因数，这个数可能是( )。 题型三、根据因数和倍数的特征解决问题 【例题3】某社区有60人参加广场舞比赛，这60人要排成一个方队，要求每行和每列的人数都不少于3人，每行的人数多于每列的人数，有几种不同的排法？ 【变式训练1】为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。 【变式训练2】2024年7月30日，我国选手王楚钦和孙颖莎一路“过关斩将”获得中国奥运会乒乓球混双首金。实验小学六（1）班热爱兵乓球的学生们在家观看了比赛，观看比赛的人数是8的倍数，且在60~70人之间。六（1）班观看比赛的学生有多少人？ 题型四、2、3、5的倍数特征 【例题4】下面各数中，（    ）同时含有2、3、5的因数。 A．20 B．25 C．30 D．50 【变式训练1】在45、36、90这三个数中，既是2的倍数也是3的倍数的有( )，既是3的倍数也是5的倍数的有( )，同时是2、3、5的倍数的数是( )。 【变式训练2】32是一个四位数，它既是2和5的倍数，也是3的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 题型五、奇数与偶数的认识 【例题5】下面四个数中，既是偶数，又是3的倍数的是（    ）。 A．102 B．201 C．280 D．555 【变式训练1】分一分，填一填。 1     13     8     4     19     2     16     246     155     307 【变式训练2】奇思和妙想玩跳棋，准备了1~5五个数字卡片，每次抽一张，然后放回去，另一个人再抽。抽到奇数妙想先走，抽到偶数奇思先走。这种方法( )。（填“公平”或“不公平”。） 题型六、质数与合数的认识及应用 【例题6】在1，2，3，4，19，21，53，87这些数中，( )是质数，( )是合数，( )既是质数又是偶数，( )既不是质数，也不是合数。 【变式训练1】一个四位数，个位上是最小的质数、十位上是最小的奇数、百位上是最小的偶数，千位上是最小的合数，这个数是( )。 【变式训练2】爷爷家有一块长方形的菜地，这块菜地的周长是56米，并且长和宽的米数是不同质数，这块菜地的面积最大是多少？ 题型七、运算性质（奇数和偶数） 【例题7】在括号里填上“奇数”或“偶数”。 奇数＋偶数的和是( )，奇数×偶数的积是( )。 【变式训练1】奇数×奇数＝( )，奇数－偶数＝( )，奇数＋奇数＝( )。 【变式训练2】1＋3＋5＋…＋29的和是( )，1×2×3×4×…×29的积是( )。（填“奇数”或“偶数”） 提升练习 1．下面各数中，（    ）是7的倍数。 A．20 B．32 C．49 D．65 2．下面各数中（    ）是合数。 A．13 B．17 C．37 D．57 3．一个数同时含有2、3、5的因数，这个数最小是（    ）。 A．10 B．20 C．30 D．40 4．教室电脑桌面的锁屏密码是一个四位数“5□1□”，李老师给出提示信息：已知这个四位数既是2的倍数，又是3和5的倍数，同学们要找到正确密码，最多需要输入（    ）次。 A．4 B．5 C．6 D．10 5．数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5 就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是（    ）。 A．2和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15 6．除了2，任意两个质数的和一定是偶数。( ) 7．2、3、1这三个数字，无论怎样排列成三位数，一定是3的倍数。( ) 8．质数都是奇数，合数都是偶数。( ) 9．在自然数中，50以内既是质数又是奇数的数共有10个。( ) 10．12的因数有( )，其中既是质数又是偶数的数是( )。 11．36的因数有( )，在这些因数中，质数有( )，合数有( )，奇数有( )，偶数有( )。 12．一个两位数既是5的倍数，又是3的倍数，而且是偶数，这个数最小是( )，最大是( )。 13．同学们报名参加跳绳比赛，参赛人数是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有( )人报名参加。 14．206至少加上( )是3的倍数，至少减去( )是5的倍数。 15．李浩给电脑设置了一个六位数的开机密码：第一位，既是偶数，又是质数；第二位，既是5的倍数，又是5的因数；第三位，既是2的倍数，又是3的倍数；第四位，所有的因数是1、2、4、8；第五位，既是奇数，又是合数；第六位，自然数中最小的偶数。李浩设置的电脑开机密码是( )。 16．古人的年龄有时不用数表示，而是用一种与年龄有关的称谓来代替，如“花甲”指六十岁、“古稀”指七十岁、“耄耋”指八九十岁。聪聪爷爷今年已经年过古稀，未及耄耋，且年龄既是2的倍数，又有因数3，聪聪爷爷今年的年龄最小是( )岁。 17．“25”是一个三位数，当里填( )时，它既是2的倍数，又是5的倍数；当里填( )时，它既是3的倍数，又是5的倍数。 18．由4，5，6三个数字可以组成( )个不重复的两位数。这些数中是2的倍数的是( )，同时是3和5的倍数的是( )。 19．把一根长120厘米的铁丝截成同样长的若干段，每段长为整厘米数，大于10厘米且小于20厘米，共有几种截法？ 20．云云的妈妈在超市买了3桶同样的花生油，付款时售货员说应付257元，云云认为不对。你觉得云云的看法正确吗？说说你的理由。（每桶花生油的单价为整元数） 21．依依买了一个笔袋、几支钢笔和几本笔记本，付给售货员50元，售货员叔叔找给她25元。依依看了看单价，说：“叔叔，您把账算错啦！”想一想，依依为什么这么快就知道账算错了？ 22．为了推进美丽乡村的建设，幸福村规划再建一个长方形健身场所，这个长方形健身场所的长和宽均为质数，并且周长是64米。这个长方形健身场所的面积最大是多少？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $